Vortrag - Institut für Informatik

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Seminar über Algorithmen
Facility Location Game
„Seminar über Algorithmen“, Institut für Informatik SS 2006
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Klaas Joeppen
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Inhalt:
(i) Wiederholung
(ii) Facility Location Problem
(iii) Facility Location Spiel
(iv) Nutzen-Funktionen vom Facility Location Spiel
(v) Nash-Gleichgewichte
(vi) Price of Anarchy
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Wiederholung
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Wiederholung Potentzial-Funktionen
(i) Eine Potential-Funktion muss den Gewinn/Verlust eines
Spielers tragen
(ii) Die Existenz einer Potential-Funktion impliziert:
(i) Es existiert ein Nash-Gleichgewicht
(ii) Eine Lösung mit Minimum  Wert ist ein NashGleichgewicht
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Facility Location Problem
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Das Facility Location Problem besteht aus
(i)
Einer Menge von Standorten S:={s1,..,sn}
(i)
Jeder Standort sj erfordert Eröffnungskosten von cj ≥0
(ii) Einer Menge von Märkten M:={m1,..,mm}
(i)
Jeder Markt mi hat einen maximalen Preis
Πi
(iii) Einem gewichteten, vollständigem, bipartiten Graphen
G:=(M U S,V)
(i)
Jede Kante von sj nach mi hat das Gewicht λij ≥ 0
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Facility Location Problem Modell
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Facility Location Problem
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(i) Eine Lösung L
werden
 S:={s1,..,st} sind die Standorte, die eröffnet
(ii) Die Bewertung von H(L) ist definiert
(iii) Das Maximierungs-Problem ist formell
(iv) Das k-Median-Problem
(v) Es müssen alle Märkte beliefert werden, also H(L) < 0 ist
möglich
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Facility Location Problem Beispiel
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1-median
Maximierungsproblem
H=1-4 + 5-4 + 10-2 -2 = 4
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H= 1-2 + 5-1 + 10 – 2 - 2 – 4 = 5
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Facility Location Spiel
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Modifikationen zum Spiel
(i)
Gespielt wird von k Spielern
(ii) Jeder Spieler f darf nur Standorte in Sf  S errichten.
(i)
Es dürfen mehrere Spieler am gleichem Standort eröffnen
(ii)
Beim k-median Game ist |Sf| ≤ 1
(iii) Jede Kante von sj nach mi hat für Spieler f ein Gewicht λijf
(iv) Jeder Standort sj erfordert für Spieler f Eröffnungskosten von
cjf
(v)
Es müssen nicht alle Märkte beliefert werden
(vi) Beim k-median Game cjf = 0 für alle j, f angenommen
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Facility Location Spiel
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Spieltheorie:
•Eine Lösung besteht aus L:={F1..Fk} mit Ft  St, sind die
eröffneten Standorte von Spieler t
• Ein Markt mi wird von den günstigsten eröffneten Standorten σi
beliefert
• Sei min
λi :=λijf
das Minimum für alle j, f mit sj  Ff
λijf =min λi}
λijf =min λi mit sjєFf für Spieler f so ist f Lieferant für
• σi := {sjєFf mit
• Existiert
Markt i
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Facility Location Spiel
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Preisbestimmung
•
Der Preis pi für Markt mi, den jeder aus σi bekommt ist der des
günstigsten Konkurrenten
•
pi:=min(min λij (
), Πi) von allen eröffneten
Standorten für einen Lieferanten f
•
Gibt es mehrere Standorte von unterschiedlichen
Spielern in σi ist pi=min
λi
Da die Konkurrenten sich die Preise zerstören
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Facility Location Spiel Beispiel
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Spielernutzen-Funktion
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(i) Kein Spieler beliefert Märkte bei denen er nicht der günstigste
Lieferant ist
(ii) Der Gewinn eines Spielers an Markt mi ist min
beliefert und 0 sonst
λi -pi, falls er ihn
(iii) Der gesamte Spielergewinn eines Spielers f αf ist die Summe
aller seiner Gewinne an allen Märkten vermindert um seine
Eröffnungs-Kosten
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allgemein und gesamt Nutzen-Funktion
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(i) der allgemeine (Kunden-) Nutzen für jeden Markt mi der
beliefert, wird definiert durch Πi-pi
(ii) Die Summe über alle belieferten Märkte stellt den allgemeine
(Kunden-) Nutzen da
(iii) Die gesamte Nutzen-Funktion setzt sich zusammen aus dem
Kundennutzen und den Spielergewinnen
(für nicht belieferte Märkte mi nimmt man min λi = Πi an)
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allgemein Nutzen-Funktion
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Potential-Funktion
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Satz:
ist Potential-Funktion
Beweis:
Sei L eine Lösung und L1 := L / Ff
a) War Spieler f kein Lieferant für Markt mi in L so verändert
sein auscheiden min
λi nicht.
b) War Spieler f Lieferant für Markt mi in L so verändert sich
min
λi zu pi, da nun pi der günstigste Preis ist
Also ist für Markt mi
Φ(L1) - Φ(L) = min λi
- pi
Das ist aber auch genau der Gewinn von Spieler f,
Markt mi
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αf
für
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Potential-Funktion
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L Lf
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Potential-Funktion
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Die Eröffnungskosten für alle Spieler w≠f in Lf und L gleich sind
gilt:
Also
Nimmt Spieler f nun doch wieder mit einer anderen Lösung L2 teil,
verändert sich Φ(L2) - Φ(L) genau um die Eröffnungskosten und
verringert für jeden Markt mi den f in L2 beliefert um den Gewinn
von αf in L2 in Markt mi
Also ist Φ eine Potentialfunktion und es existieren NashGleichgewichte.
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Nash-Gleichgewichte
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Satz: Es existieren reine Nash-Gleichgewichte
Beweis: man betrachtet einen gerichteten Graphen G dessen Kanten
die Spielzüge repräsentieren die den Spielergewinn α
erhöhen
eines Spielers
G ist ein Baum. Für die Blätter gilt dann, dass kein Spieler seine
Position verbessern kann, sie sind die Nash-Gleichgewichte.
Angenommen in G gäbe es einen Kreis
K:={ci1:={F1,...,Fk}, ...,cit}
Dann gilt
es folgt
αf(ciw) < αf(ciw+1) für einen Spieler f
Φ(ciw) > Φ(ciw+1)
Somit ist
Also auch
Φ monoton fallend entlang des Kreises K
Φ(ciw+1) > Φ(ci1) > ... Φ(ciw+1)
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Nash-Gleichgewicht Algorithmus
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Der Beweis zeigt nicht nur die Existenz eines puren NashGleichgewichtes
sondern liefert einen Algorithmus zum Erreichen eines NashGleichgewichtes aus einer Lösung L
do
Ltmp = L
for Spieler f
L = verbesserere αf(L) für Spieler f
while(L != Ltmp )
Spielen die Spieler einzeln, egoistisch und dürfen sie ihre Lösung
beliebig oft verbessern wird ein Nash-Gleichgewicht erreicht
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Nicht optimales Nash-Gleichgewicht
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Falls S1={1,2} und S2={3,4} zeigt dieses Beispiel das NashGleichgewichte nicht eindeutig sind.
H({{2},{3}}) = 2 das Optimum wäre H({{1},{4}}) = 4
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Optimum ist Nash-Gleichgewicht
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Aber da
Ist die Optimale Lösung
Ω auch ein Nash-Gleichgewicht
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Price of Anarchy
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Satz:
Für jedes Nash-Gleichgewicht beim k-median Problem ohne
Eröffnungskosten gilt 2*H(N)≥H(Ω)
Beweis:
Hilfslemma:
Sei N' die Lösung in der Spieler f in seine Standorte wie in Ω
eröffnet, alle anderen aber bei ihren aus N bleiben dann gilt
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Price of Anarchy
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Hilfslemma Beweis:
λij (N')= λij (Ω) und für alle i,j Ω
(ii) Ist min λi(N) > min λi(Ω) ist f Lieferant in Ω also auch in N'
(i) Es gilt für Spieler f
Da in N' nur f seine Strategie geändert hat, gilt
(i) pi(N')
≥ min λi(N)
Fall 1) Gleichheit gilt, falls f nicht Lieferant in N für i war
Fall 2) Größer oder gleich, falls f Lieferant in N für i war
(iii) Somit pi(N')-min
Lieferant in
Ω
λi(N') ≥ min λi(N) - min λi(Ω), falls f ist
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Price of Anarchy
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Fall 1) pi(N') = min
λi(N)
Lösung N
Spieler Rot geht zu seiner optimalen Lösung in Ω
Lösung N'
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Price of Anarchy
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Fall 2) pi(N') ≥ min
λi(N)
Lösung N
Spieler Rot geht zu seiner optimalen Lösung in Ω
Lösung N'
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Price of Anarchy
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Weiter Hauptbeweis
(i) Da N ein Nash-Gleichgewicht ist gilt
Aus (i) und dem Hilfslemma folgt
Summiert man diese Ungleichung über alle Spieler gilt:
1.)
da die Kundengewinne fehlen
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Price of Anarchy
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2.)
folgt
H(N)
≥
2*H(N)
H(Ω) -H(N)
≥
H(Ω)
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Quellen:
„Nash equilibria in competitive societies with applications
to facility location, traffic routing and auctions“ - Adrian Vetta
„Potentialfunktion für Load Balancing“ - I. Kyryko
“An 0.828-approximation algorithm for the
uncapacitated location problems” - A.Ageev and M.Sviridenko
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