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MATHEMATISCHE MODELLIERUNG AM
BEISPIEL VERSCHIEDENER
FALLSTUDIEN
Seminar Angewandte Mathematik für LAK
Professor Schmitt
Maria Hutsteiner, Kerstin Kranz
ÜBERBLICK

Was ist Modellierung?

Fallbeispiele:


1. Müllabfuhr – Optimierungsproblem

2. Rettungshubschrauber – Standortbestimmung
Zusammenfassung
MODELLIERUNG
Modellbildung
Reales Problem
Mathematisches Problem
Analyse
Überprüfung
Simulation
Interpretation
Reale Lösung
Mathematische Lösung
MÜLL MÜLL MÜLL

Stadtreinigungen entsorgten 2007:
Hamburg: ~754000 t, 587 kg pro Einwohner, 2066 t
täglich
 Österreich: ~430 kg pro Einwohner


Optimale Route: Spart Treibstoff, Zeit
Geld

Mei Go Guan „Chinesisches- Postboten-Problem“
ROUTENPLANUNG -MÜLLABFUHR

Optimierungskriterien:
Sackgasse
 Einbahnstraße
 jede Straße mind. einmal abfahren
 Anfangspunkt = Endpunkt

MODELLIERUNG- GRAPHENTHEORIE
aus Straßennetz Graph erstellen
 Graph: Ein Graph besteht aus einer Menge von
Knoten, Kanten und einer Zuordnung, die jeder
Kante ein Knotenpaar zuweist (Knoten sind
Endpunkte der Kante)


Grad: Anzahl der Kantenenden an einen Knoten
MODELLIERUNG- GRAPHENTHEORIE
Straßen gerade Kanten
 Kreuzungen, Ende Sackgasse


Knoten
Kantengewichte (verschiedene Parameter wie
z.B. Weglänge, Durchfahrtszeit usw.)
EULERGRAPHEN- EULERTOUREN




Eulerweg: Ein Weg, der durch jede Kante eines
zusammenhängenden Graphen genau einmal führt,
heißt Eulerweg
Eulergraph: Ein Graph, der eine Eulertour enthält,
heißt Eulergraph
Eulertour: Eulerweg mit gleichem Start-und
Zielpunkt
Algorithmen:
Zwiebelschalen- Algorithmus (Hierholzer-Algorithmus)
 Fleurys Algorithmus

ZWIEBELSCHALEN-ALGORITHMUS


1. Schritt: Wähle einen Startknoten
2. Schritt: Gehe auf unmarkierten Kanten und
markiere diese
Falls alle markiert
Schritt 3
 Falls nicht, suche neuen Startknoten, wiederhole
Schritt 2

3. Schritt: Gehe entlang des ersten Kreises bis er
einen weiteren berührt; gehe weiter auf dem neuen
bis dieser wieder einen weiteren berührt usw.
 Gehe den zuletzt begonnenen zu Ende, dann den
vorhergehenden, usw. bis alle Kanten besucht
wurden

FLEURYS- ALGORITHMUS


Brücke: Kante in einem Graphen, bei deren
Wegnahme der Graph in zwei Komponenten
zerfallen würde
1. Schritt: beginne mit beliebiger Kante

2. Schritt: wähle nächste Kante so, dass sie im
Restgraphen keine Brücke bildet
…
grün = Brücke
UNGERADE KNOTEN

Knoten besitz ungeraden Grad
Bsp. 2 ungerade Knotengrade

Mehr als 2 ungerade Knotengrade:

Anzahl gerade: wie oben
 Anzahl ungerade: ????

UNGERADE KNOTEN


Satz: In jedem Graphen ist die Anzahl der
Knoten mit ungeradem Grad gerade.
Satz: Die Summe aller Knotengrade eines
Graphen = doppelte Anzahl der Kanten,
(da jede Kante die Summe aller Knotengrade
genau um 2 erhöht (Anfangs- und Endknoten))
aus jedem Graph lässt sich Eulergraph
entwickeln
THE PERFECT MATCH

Matching: Teilgraph, in dem alle Knoten
höchstens Grad 1 haben


Minimal: Summe der Kantengewichte ≤ Summe der
Kantengewichte bei jedem anderen Matching, das
diese Knoten verbindet
Perfektes Matching: nur Knoten vom Grad 1,
alle Knoten sind zu Paaren verbunden
STANDORTWAHL FÜR
RETTUNGSHUBSCHRAUBER

AUSGANGSPROBLEM:



Ein Rettungshubschrauber soll mehrere
Einsatzgebiete optimal versorgen.
 Was heißt „optimal“?
BEISPIEL:

gleichmäßig schnelle Versorgung der Unfallopfer
BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung

Vereinfachte Modellannahmen:
Modellieren Einsatzgebiete sowie
Hubschrauberstandort als Punkte in der Ebene
 Flugzeit zw. A und B – proportional zur Länge der
geraden Strecke zw. A und B
 Es wird nur die Zeit bis zur Erstversorgung des
Unfallopfers berücksichtigt
 Unfallhäufigkeit ebenfalls nicht berücksichtigt

BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung
Wenn wir annehmen, dass M Einsatzorte Ex1(a11 | a12),
Ex2(a21 | a22),..., ExM(aM1 | aM2) zu beachten sind und
X(x1 | x2) irgendein Standort für den Hubschrauber ist,
so ist für m = 1,…, M
die Euklidische Entfernung zwischen dem m-ten
Standort Exm(am1 | am2) und X
BSP.: Gleichmäßig schnelle Versorgung

CENTER ZIELFUNKTION

CENTER STANDORTPROBLEM
ZWEI EINSATZORTE:
 Mittelpunkt der Strecke zw.
den beiden Einsatzorten
Ex2(-1,5 | 10)
10
8
X(1 | 8)
Ex1(3,5 | 6)
6
4
2
-4
-2
2
4
6
8
10
4
3
r*
2
Ex1(1 | 2)
r*
Ex2(5 | 2)
X*(3 | 2)
1
1
2
3
4
5
In der (gelben) Kreisscheibe um Ex1 mit Radius r* hat jeder Punkt X außer X* eine
Entfernung von Ex2, die größer als r* ist.
Analog hat jeder Punkt X außer X* in der (grünen) Kreisscheibe um Ex2 mit Radius
r* eine Entfernung von Ex1, die größer als r* ist.
Außerhalb der beiden Kreisscheiben ist die Entfernung sowohl von Ex1 als auch von
Ex2 größer als r*.
DREI EINSATZORTE – FALL1:(Spitzwinkeliges
Dreieck)
 Umkreismittelpunkt
10
Ex2(5 | 9)
8
6
X(3 | 4)
4
Ex1(-2 | 2)
-4
2
2
-2
-2
4
6
8
Ex3(-5 | -1)
10
Ex2(2 | 6)
6
4
X*(4 | 2)
2
Ex3(8 | 0)
2
-2
4
6
8
10
Ex1(2 | -2)
Der einzige Punkt mit Euklidischer Entfernung kleiner oder gleich r* zu allen
drei existierenden Standorten ist X*.
FALL2:(Stumpfwink. Dreieck)
6
4
Ex2(1 | 3)
Ex1(-5 | 3)
2
XM(0 | 1)
-8
-6
-4
2
-2
-2
XU(-2 | -4)
-4
-6
4
6
Ex3(5 | -1)
FALL2:(Stumpfwink. Dreieck)

Seien Ex1 und Ex2 die Endpunkte der längsten
Seite und X* der Mittelpunkt dieser Seite.
Dann gilt für jeden Standort X, der von X*
verschieden ist:
FALL 3 (?) – rechtwinkeliges Dreieck
SATZ:
MEHR ALS DREI EINSATZORTE:

Lösung durch Probieren?
Ex4(4 | 15)
14
Ex3(7 | 13)
12
100
10
8
6
X1(4 | 5)
4
2
Ex1(0 | 0)
-2
2
4
6
8
10
Ex2(9 | -2)
Ex4(4 | 15)
14
Ex3(7 | 13)
12
10
122
8
6
X2(5 | 4)
4
2
Ex1(0 | 0)
-2
2
4
6
8
10
Ex2(9 | -2)
Ex4(4 | 15)
14
Ex3(7 | 13)
12
101
10
8
6
X3(5 | 5)
4
2
Ex1(0 | 0)
-2
2
4
6
8
10
Ex2(9 | -2)
Ex4(4 | 15)
14
Ex3(7 | 13)
12
100
10
8
6
X1(4 | 5)
4
2
Ex1(0 | 0)
-2
2
4
6
8
10
Ex2(9 | -2)
MEHR ALS DREI EINSATZORTE:
Zurückführung auf das Problem mit zwei oder
drei Einsatzorten
 Für alle Paare und Tripel in der Menge Ex mache
das folgende:


Schritt 1: Bestimme den optimalen Center Standort
X‘ und den optimalen Zielfunktionswert r‘ für das
Center Standortproblem mit zwei bzw. drei
Einsatzorten.

Schritt 2: Bestimme den Kreis mit Radius r‘ um X‘.
Falls die entsprechende Kreisscheibe alle Punkte in
Ex enthält, ist X‘=X* und r‘=r* (X*... Optimaler Center Standort, r*...
Optimaler Center Zielfunktionswert)
15
12
9
Ex2(14 | 7)
r* ≈ 15,8
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
6
X*(3 | -1)
-3
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
> 90°
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
> 90°
Ex4(-9 | -5)
3
-3
6
9
12
15
18
-3
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
-3
6
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
15
12
9
Ex2(14 | 7)
r* ≈ 15,8
6
Ex1(-12 | 4)
3
-12
-9
-6
3
6
X*(3 | -1)
-3
9
12
15
18
-3
Ex4(-9 | -5)
-6
Ex3(18 | -6)
-9
Optimierung bei Kenntnis der
Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE
1)
Intuitive Lösungsfindung
w1, w2 ... Unfallhäufigkeiten in Ex1 u. Ex2
Bsp.: w1< w2 , etwa w1=1, w2=2
Ex1
- Hubschrauber wird näher an Ex2 heranrücken
w1
w2
1
2
X* 
Ex1 
Ex2  Ex1  Ex2
w1  w2
w1  w2
3
3
 Schwerpunkt
Ex2
Optimierung bei Kenntnis der
Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE
2)
Zielfunktion und Optimierung
Optimierung bei Kenntnis der
Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE
2)
Zielfunktion und Optimierung
F ( X ) : w1d ( Ex1 , X ) 2  w2 d ( Ex2 , X ) 2
Optimierung bei Kenntnis der
Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – ZWEI EINSATZORTE
2)
Zielfunktion und Optimierung
F ( X ) : w1d ( Ex1 , X ) 2  w2 d ( Ex2 , X ) 2
Minimierung der Zielfunktion führt zur Lösung:
w1
w2
X* 
Ex1 
Ex2
w1  w2
w1  w2
 Schwerpunkt
Optimierung bei Kenntnis der
Unfallhäufigkeit

EIN HUBSCHRAUBER – N EINSATZORTE

Zielfunktion:
N
F (Q ) :  wi d ( Pi , Q ) 2
i 1
N

Bedingung:
gradF (Q)  2 wi ( Pi  Q )  0
i 1

Q

N

Lösung:
i 1
N
wi Pi
i 1
wi
n Hubschrauber – m Einsatzorte

LÖSUNGSALGORITHMUS:

Wähle n verschiedene Einsatzorte als Hubschrauberstandorte
zufällig aus.

Ordne jeden Einsatzort einem ihm nächstgelegenen
Hubschrauberstandort zu.

Verlege jeden Hubschrauber in den optimalen Standort der ihm
zugeordneten Einsatzorte. Bewegt sich dabei kein
Hubschrauber mehr, halte an, andernfalls gehe zu 2.
n Hubschrauber – m Einsatzorte - BEISPIEL
ZUSAMMENFASSUNG

Optimierung des Weges in vielen Bereichen
anwendbar (Busrouten, Speditionen, Postboten,
Museen)
Ortlieb et. al. Mathematische Modellierung.
Vieweg und Teuber, Wiesbaden, 2007.
 Hamacher, E. Korn, R. Korn, Schwarze. Mathe
und Ökonomie. Universum Verlag, Wiesbaden,
2004.
 Gritzmann, Brandenberg. Das Geheimnis des
kürzesten Weges. 3. Auflage, Verlag Springer,
Berlin, Heidelberg, 2005.
