Material zum Projekt „Standortplanung“
Werbung
Material zum Projekt „Standortplanung“ Hinweise zur Bearbeitung der Aufgaben Die Aufgaben auf den Übungsblättern zwei bis sieben sind Ergänzungen zu den Inhalten der Unterkapitel zur Standortplanung. Sie sollen das Verständnis der Thematik erleichtern und so zur Lösung der Ausgangsaufgaben hinführen. Auf den Übungsblättern sind die jeweiligen Unterkapitel vermerkt, auf die sich die Aufgaben beziehen. Es wird empfohlen, zuerst die entsprechenden Teilkapitel durchzuarbeiten und direkt im Anschluss daran die zugehörigen Übungsaufgaben zu lösen, da viele Inhalte aufeinander aufbauen. Ob und wie die Aufgaben innerhalb der Gruppen aufgeteilt werden bleibt den Gruppenmitgliedern selbst überlassen. Es sollte nur dafür gesorgt werden, dass jeder die Lösungen der Aufgaben verstanden hat und selbst nachvollziehen kann. Beachten Sie auch die Aufgaben mit Lösungen und die Beispiele, die im Lernprogramm enthalten sind, sie geben wichtige Hinweise zur Lösung der Aufgaben auf den Übungsblättern.. Auf jedem Aufgabenblatt ist veranschlagt, wie viel Zeit die Bearbeitung dieses Blattes voraussichtlich benötigt. Dies ist nur eine Richtangabe und kann natürlich deutlich unterschritten bzw. überschritten werden. Die Angabe soll eine bessere Zeiteinteilung ermöglichen. Tipps zur Gruppenarbeit Es wartet viel Arbeit auf sie, daher einige Tipps zur effektiven Zusammenarbeit... Setzen Sie sich vor Beginn der Arbeit mit der ganzen Gruppe zusammen und besprechen Sie ihre Vorgehensweise gemeinsam. Klären Sie während der Besprechung auch eventuell auftretende Fragen und einigen Sie sich danach auf einen Lösungsweg. Es ist ratsam, die gewonnenen Ergebnisse detailliert festzuhalten, damit diese jederzeit auch eventuell von anderen Gruppen nachvollzogen werden können. Stellen Sie einen groben Zeitplan auf, der festlegt, wann Sie mit der jeweiligen Aufgabe fertig sein sollten, damit sie ihr Arbeitstempo ungefähr einschätzen können (lesen Sie dafür zunächst alle Übungsblätter durch!) Helfen Sie sich gegenseitig! Wir wünschen viel Spaß dabei! 1. Übungsblatt Aufgaben zur Standortplanung: Planung eines Feuerwehrhauses, Bestückung von Halbleiterplatinen Die folgenden beiden Aufgaben können zu diesem Zeitpunkt noch nicht von Ihnen gelöst werden. Lesen Sie sie trotzdem aufmerksam durch. Ziel dieses Projekts ist es am Ende die korrekte Lösung angeben zu können. 1. Bei der Planung eines Feuerwehrhauses geht man von der Frage aus, wo es gebaut werden muss, damit im Falle eines Brandes die Anfahrzeit der Feuerwehr eine bestimmte Zeit nicht überschreitet. Anders ausgedrückt besteht das Problem darin, zu existierenden Betrieben ein Feuerwehrhaus derart zu errichten, dass die maximale Entfernung zwischen den Betrieben und dem Feuerwehrgebäude möglichst klein ist. Hierzu sind folgende Betriebe Ex mit zugehörigen Standortkoordinaten gegeben: Ex1 = (2|2), Ex2 = (4|8), Ex3 = (7|-2), Ex4 = (8|5) und Ex5 = (10|3). a) Bestimmen Sie rechnerisch den optimalen Standort des Feuerwehrhauses, so dass die maximale Entfernung zu den Betrieben möglichst klein ist und geben Sie dessen Koordinaten auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet an. b) Durch folgende Eckpunkte ist ein Naturschutzgebiet begrenzt, innerhalb dessen das Feuerwehrgebäude nicht errichtet werden darf: P1 = (2|5), P2 = (4|0,5), P3 = (6,5|-0,5) und P4 = (8|4). Geben Sie auch für diesen Problemfall die Koordinaten des optimalen Feuerwehrhausstandortes an (geometrische Bestimmung). 2. Gegeben ist ein Platinenbestückungsproblem mit folgenden Einbauplätzen: Ex1 = (-3|-1), Ex2 = (2|5) und Ex3 = (6|-3). a) Ermitteln Sie zunächst rechnerisch den optimalen Standort des Bauteilbehälters für diese drei Einbauplätze und geben Sie dessen Koordinaten auf zwei Stellen hinter dem Komma gerundet an. Weiterhin sind folgende zusätzliche Einbauplätze gegeben: Ex4 = (2|-1), Ex5 = (5|5) und Ex6 = (6|1). b) Bestimmen Sie den optimalen Standort des Bauteilbehälters für diese sechs Einbauplätze. Gehen Sie als erstes davon aus, dass der zum Einbauen der Teile verwendete Roboter seine Arme in beliebige Richtungen bewegen kann. c) Geben Sie nun den optimalen Behälterstandort für den Fall an, dass der zum Einbauen der Teile verwendete Roboter seine Arme nur in Richtung der Koordinatenachsen bewegen kann. 2. Übungsblatt: (Zeitansatz 45 min) (bezieht sich auf folgende Themen: Problembeschreibung des Center Standortproblems Geometrische Lösung des Center Problems für zwei Einsatzorte Geometrische Lösung des Center Problems für drei Einsatzorte Beweis der Lösungsverfahren für zwei und drei Einsatzorte Geometrische Lösung des Center Problems für beliebig viele Einsatzorte) 1. Lesen Sie die Problembeschreibung des Center Standortproblems aufmerksam durch! 2. Leiten Sie die Formel für die euklidische Entfernung mit Hilfe des Satzes von Pythagoras her. 3. Gegeben sind folgende Unfalleinsatzorte in einem Skigebiet: Ex1 = (3|10), Ex2 = (2|4), Ex3 = (5|8) und Ex4 = (9|2,5). Berechnen Sie die Center Zielfunktion, wenn als Standort der Hubschrauberbasis X(2|3) gewählt wird. 4. Bevor die nächsten Themen bearbeitet werden stellen Sie zunächst selbst Vermutungen über den optimalen Standort bei zwei bzw. drei gegebenen Einsatzorten an! Arbeiten Sie anschließend die Teilkapitel zur geometrischen Lösung des Center Problems für zwei und drei Einsatzorte, sowie die Theorie zum Beweis der zugehörigen Lösungsverfahren durch. 5. Übertragen Sie anschließend die Argumentationsweise des Beweises auf von Ihnen selbst gewählte Beispiele, d.h. bestimmen Sie die Lösungen der selbst gewählten Beispiele und beweisen Sie die Optimalität der gewählten Standorte. 6. Bestimmen sie geometrisch den optimalen Standort einer Hubschrauberbasis für oben angegebene Einsatzorte. 3. Übungsblatt: (Zeitansatz 1 Stunde) (bezieht sich auf folgende Themen: Rechnerische Lösung des Center Standortproblems) 1. Informieren Sie sich zunächst selbständig über folgende Themen und fertigen sie jeweils eine kurze Materialsammlung an: Lineare Funktionen und Geraden Bestimmung der Gleichung der linearen Funktion durch zwei gegebene Punkte Bestimmung der Gleichung der senkrechten Geraden durch einen Punkt einer gegebenen Geraden Bestimmung von Geradenschnittpunkten 2. Gegeben sind folgende Einsatzorte in einem Unfallgebiet: Ex1 = (2|4), Ex2 = (5|8) und Ex3 = (9|2,5) (vgl. Übungsblatt 1). Bestimmen Sie rechnerisch den optimalen Standort für diese Einsatzorte. Folgende Vorgehensweise ist dabei ratsam: I. Bestimmung der Gleichungen zweier Mittelsenkrechten II. Bestimmung der Koordinaten des optimalen Standortes als Schnittpunkt dieser Mittelsenkrechten. 4. Übungsblatt: (Zeitansatz 1,5 Stunden) (bezieht sich auf folgende Themen: Restriktive Center Standortprobleme) 1. Betrachtet wird ein Center Standortproblem mit folgenden Einsatzorten: Ex1 = (5|5), Ex2 = (15|7) und Ex3 = (7|15). Weiterhin sind zu diesem Problem zwei Restriktionen gegeben, d.h. Gebiete, in denen die Hubschrauberbasis nicht errichtet werden darf. Die verbotenen Gebiete sind durch die angegebenen Eckpunkte und deren direkte Verbindungsstrecke bestimmt. a) Betrachtet wird die Restriktion, die durch folgende Eckpunkte bestimmt ist: P1 = (3,5|7,5), P2 = (5|12), P3 = (8|12) und P4 = (8,5|6). b) Das zweite verbotene Gebiet ist durch folgende Eckpunkte begrenzt: P1 = (6|5), P2 = (8|14), P3 = (10|14) und P4 = (14|7). 2. Zeichnen Sie die Einsatzorte und die verbotenen Gebiete in ein Koordinatensystem. 3. Bestimmen Sie zunächst den unrestriktiven optimalen Center Standort geometrisch. 4. In welchem Fall beeinflusst die Restriktion das Ausgangsproblem? 5. Nennen Sie für diesen Fall einen zulässigen Standort. 6. Bestimmen Sie auch für diesen Fall den optimalen Standort einer Hubschrauberbasis. 5. Übungsblatt: (Zeitansatz 2 Stunden) (bezieht sich auf folgende Themen: Problembeschreibung des Median Standortproblems Geometrische Lösung des Median Problems für drei Einbauplätze mit euklidischer Entfernung Rechnerische Lösung des Median Problems für drei Einbauplätze mit euklidischer Entfernung) 1. Gegeben sind folgende Einbauplätze für Bauteile: Ex1 = (1|3), Ex2 = (7|7) und Ex3 = (9|1). Formulieren Sie die Median-Zielfunktion, wenn als Standort des Bauteilbehälters X(5|3) gewählt wird. 2. Bestimmen Sie geometrisch den optimalen Median Standort des Bauteilbehälters und den zugehörigen Zielfunktionswert. 3. Informieren Sie sich zunächst (bevor das Thema „Rechnerische Lösung des Median Problems für drei Einbauplätze mit euklidischer Entfernung“ behandelt wird) selbständig über folgende Themen und fertigen sie jeweils eine kurze Materialsammlung an: Darstellung und Schreibweise eines Vektors Bestimmung eines senkrechten Vektors zu einem gegebenen Vektor Umwandlung eines gegebenen Vektors in einen Vektor der gleichen Richtung und Länge 1 Addition von Vektoren 4. Bestimmen Sie nun die Koordinaten des optimalen Standortes für obiges Beispiel rechnerisch und vergleichen Sie diese mit den geometrisch ermittelten Koordinaten. Folgende Vorgehensweise ist bei der rechnerischen Standortermittlung ratsam: I. Berechnung der noch fehlenden Eckpunkte der gleichseitigen Dreiecke II. Herleitung der Gleichungen der Simson Linien III. Bestimmung des Schnittpunkts der Simson Linien 6. Übungsblatt: (Zeitansatz 1 Stunde) (bezieht sich auf folgende Themen: Lösung des Median Standortproblems für beliebig viele Einbauplätze mit quadratischer euklidischer Entfernung) 1. Informieren Sie sich zunächst selbständig über folgende Themen und fertigen sie jeweils eine kurze Materialsammlung an: Allgemeine Vorgehensweise bei Kurvendiskussionen Differentiationsregeln 2. Gegeben ist ein Platinenbestückungsproblem mit folgenden Einbauplätzen: Ex1 = (1|1), Ex2 = (1|4), Ex3 = (2|1), Ex4 = (4|1), Ex5 = (4|4), Ex6 = (3|5) und Ex7 = (1|8). 3. Formulieren Sie die zugehörige Median-Zielfunktion mit quadratischer euklidischer Entfernung. 4. Schreiben Sie die Median-Zielfunktion derart um, dass diese der Summe zweier differenzierbarer Funktionen einer Veränderlichen, f 1(x1) und f2(x2), entspricht. 5. Bestimmen Sie rechnerisch die Koordinaten des optimalen Standortes des Bauteilbehälters. Weisen Sie zusätzlich mit Methoden der Kurvendiskussion nach, dass der gefundene Standort tatsächlich einem Minimum der Zielfunktion entspricht. 7. Übungsblatt: (Zeitansatz 1,5 Stunden) (bezieht sich auf folgende Themen: Median Standortprobleme mit Rechteckentfernung) 1. Berechnen Sie die Rechteckentfernungen (l1-Entfernungen) zwischen folgenden Punktepaaren: (5|8) und (3|4) (10|3) und (7|1) (6,5|6) und (4|2,5) 2. Gegeben ist weiterhin ein Platinenbestückungsproblem mit folgenden Einbauplätzen: Ex1 = (1|1), Ex2 = (1|3) und Ex3 = (2|4). 3. Bestimmen Sie den optimalen Standort des Bauteilbehälters mit Rechteckentfernung. Hierzu sind folgende Punkte abzuarbeiten: I. Formulieren Sie die zugehörige Median-Zielfunktion mit Rechteckentfernung II. Schreiben Sie die Median-Zielfunktion derart um, dass diese der Summe zweier Funktionen einer Veränderlichen, f1(x1) und f2(x2), entspricht III. Lösen Sie die Beträge durch Fallunterscheidung auf IV. Zeichnen Sie die stückweise linearen Funktionen f1(x1) und f2(x2) in zwei verschiedene Koordinatensysteme und kennzeichnen Sie die jeweiligen Minima 8. Übungsblatt Fassen Sie das Gelernte kurz und übersichtlich zusammen, so dass Sie es in der Klasse vorstellen können und die anderen Gruppen anhand ihres Materials verstehen, wie die Aufgaben gelöst wurden. Es steht Ihnen natürlich auch auf frei, für die Ergebnispräsentation eigene Beispiele auszuwählen, wenn Ihnen dies passender erscheint. Zu kleineren Konstruktionsaufgaben sollte stets eine Konstruktionsbeschreibung angefertigt werden. Mit diesem bei der Durcharbeitung der einzelnen Themen gesammelten Wissen sollte es Ihnen nun möglich sein, die Aufgaben auf Übungsblatt 1 zu bearbeiten. Fühlen Sie sich noch etwas unsicher, empfiehlt es sich, die zusätzlichen Übungsaufgaben des Lernprogramms zu bearbeiten. Gratulation! Das Projekt Standortplanung ist nach Lösung von Übungsblatt 1 beendet!
