2.4. Elektrische Ladungen in elektrischen Feldern

Für Studierende der Pharmazie
Andreas J. Kungl
Institut für Pharmazeutische Wissenschaften
Universität Graz
Stand: Dezember 2004
Elektrizität und
Magnetismus
1. Das elektrostatische Feld
1.1. Elektrische Ladungen
Es gibt zwei unterschiedliche elektrische Ladungen:
positive (+) und negative (-)  können einander neutralisieren
Gleichnamige Ladungen stoßen einander ab,
ungleichnamige Ladungen ziehen einander an.
Die elektrische Ladung ist an einem materiellen Träger gebunden.
Die SI-Einheit der Ladung ist das Coulomb C. Es ist eine abgeleitete
Einheit: 1C = 1A x s. Das Ampere (A) ist die Einheit der Stromstärke.
Die elektrische Ladung ist gequantelt (kommt nur als ganzzahliges
Vielfaches der Elementarladung vor).
e  1,602 1019 C
 negative Ladung trägt Elektron
 positive Ladung trägt Proton
Ladungen bleiben in einem abgeschlossenem System immer erhalten.
Ladungen werden mit Elektroskopen oder Elektrometern nachgewiesen (beruhen i.a. auf der Abstoßung gleichnamiger Ladungen).
1.1.1. Leiter – Nichtleiter - Halbleiter
Leiter: Materialien, in denen sich elektrische Ladungen nahezu frei
bewegen können, z.B.: Metalle (Cu, Al, An und Ag), Salzlösungen, heiße Gase
Nichtleiter (Isolatoren): zB Glas, Kunststoffe, Porzellan, Quarz, etc.
Es gibt keinen idealen Nichtleiter, sehr gut isolierende Wirkung hat zB Quarzglas (isoliert 1025-mal besser als Cu)
Leitung beruht auf der quasifreien Bewegung von Elektronen als
Ladungsträger im Metall, positive Ladungen sind unbeweglich. In
anderen Leitern, zB Elektrolyte, bewegen sich sowohl negative als
auch positive Ladungsträger (Ionen).
Halbleiter: zB Elementhalbleiter Silicium und Germanium. Zum
Ladungstransport tragen sowohl negative (Elektronen) als
auch positive (Defektelektronen) bei.
1.2. Influenz
Störung der Gleichgewichts-Ladungsverteilung durch Annäherung einer
Ladung an einen (metallischen) Leiter
+






Metallischer
Leiter
+
+
+
+
+
+
Der Effekt verschwindet nach Entfernung der Ladung.
1.3. Polarisation
Nähert man einem Nichtleiter eine Ladung so findet zwar keine
Ladungstrennung, wohl aber ein Auftauchen von Ladungen an der
Oberfläche des Nichtleiters statt.
Dieser Effekt verschwindet nach Entfernung der Ladung.
1.4. Das elektrische Feld
… ist der Raum um elektrische Ladungen, in dem andere Ladungen Kräfte
erfahren. Beschreibung des elektrischen Feldes mittels Feldlinien.
Im elektrostatischen Feld
verlaufen die Feldlinien von einer Ladung einer Polarität zur Ladung der
entgegengesetzten Polarität
beginnen oder enden Feldlinien nie im freien Raum
schneiden sich Feldlinien niemals
gibt es keine in sich geschlossenen Feldlinien
beginnen Feldlinien an der positiven und enden an der negativen Ladung
ist die Dichte der Feldlinien ein Maß für die Stärke des Feldes
Ein Plattenkondensator besteht aus
zwei Platten unterschiedlicher Ladung
(betragsmäßig gleich). Im Inneren des
Kondensators verlaufen die Feldlinien
parallel  das elektrische Feld hat
überall die gleiche Richtung und Stärke
= homogen (außen: inhomogen).
Kugelkondensator: Im Inneren einer
geordneten Hohlkugel befindet sich
eine positiv geladenen Metallkugel 
Influenz, Feldlinien verlaufen radical
und das inhomogene Feld hängt nur
von der Ladung der inneren Kugel ab.
2. Kräfte zwischen Ladungen
2.1. Das Coulomb‘sche Gesetz

F1
Q1

r0
Q2

F2
r
Zwei punktförmige Ladungen Q1 und Q2 befinden sich im Abstand r, dann
ist F2 die Kraft, die von Q1 auf Q2 ausgeübt wird und umgekehrt.


1
Q1  Q2 
F2 

 r0   F1
2
4 0
r
Sind Q1 und Q2 gleichnamig wirken die Kräfte abstoßend, sind sie
ungleichnamig kommt es zu einer Anziehung.
1
Der Faktor 4 ist eine Maßsystemkonstante (f*).
0
f 
*
1
40
 10 7  c 2 
2
N

m
 (8,987551787...)  109 2 2
A s
Der Wert der elektrischen Feldkonstanten ε0 beträgt
 0  (8,854187817...)  10
12
A2  s 2
2
N m
2.2. Elektrische Feldstärke
Definiert für eine Punkladung Q im Abstand r von einer anderen Ladung.

E
1
40

Q 
 r0
2
r
Dabei ist r0 der Einheitsvektor in radialer Richtung, dh Felder von Punktladungen sind Radialfelder. Eine Probe- oder Testladung q, deren eigenes
elektrisches Feld vernachlässigt werden kann, erfährt daher im elektrischen
Feld der Ladung Q die Kraft.


F  q E
 allgemeine Definition der elektrischen Feldstärke:

 F
E
q
N
Einheit :
C
Befindet sich q im elektrischen Meld von mehreren Ladungen Qi 
Gesamtkraft Fges durch Vektoraddition der Einzelkräfte:
m 
m Q

q

Fges   Fi 
  2i  r0
i 1
40 i 1 ri
Daraus ergibt sich die Gesamtfeldstärke Eges
 
E ges (r ) 

Fges (r )
q

  Ei (r )
m
i 1
Qualitativ: Veranschaulichung durch Feldlinien;
Tangente in einem Punkt der Feldlinie zeigt die Richtung der Feldstärke in
diesem Punkt (auch die Richtung der Kraft auf einer Probeladung).
Feldliniendichte ist ein Maß für die Stärke des elektrischen Feldes.
2.3. Einfluss des Dielektrikums zwischen den
Ladungen
Befindet sich zwischen den aufeinander wirkenden Ladungen ein Isolator
 Polarisation berücksichtigen bei der Ermittlung der elektrischen Feldstärke bzw der Kraft. Durch die Polarisation
wird innerhalb des Isolators ein

E D, welches das ohne Dielektrikum
elektrisches Gegenfeld aufgebaut,

herrschende elektrische Feld EV schwächt.
Solche Isolatoren nennt man Dielektrike. Maß für die
makroskopische Polarisationseigenschaft des
Isolators ist die Dielektrizitätszahl  r (im Vakuum=1).
Befindet sich eine Ladung in einem Dielektrikum mit
so verringert sich die Feldstärke.
E Diel 
1
r
 EVakuum
Eine Verringerung der elektrischen Feldstärke bedeutet eine geringere
Coulombkraft zwischen zwei Ladungen, die durch ein Dielektrikum mit  r
getrennt werden.
Q1  Q2
F

40  r  r 2
1
2.4. Elektrische Ladungen in elektrischen
Feldern

Homogenes elektrisches Feld ( E überall konstant)
Einbringen einer positiven Ladung,
 die im
 gesamten
Feldbereich die konstante Kraft F  q  E erfährt.
Diese beschleunigt die Ladung in Richtung des
Feldes. Beschleunigung a = F/m = (q x E)/m
Eine Ladung q mit Masse m fliegt mit der Horizontalgeschwindigkeit
 
vh  v0 senkrecht zu den Feldlinien. Als positive Ladung erfährt sie eine
Kraft und damit eine Beschleunigung, wie auch als negative. Für ein
Elektron gilt zum Zeitpunkt t:
in x-Richtung: x = v0 x t
in y-Richtung: y = (a x t2)/2=
= [(e x E)/(2m)] x t2
Daraus ergibt sich die Parabelbahn des Elektrons zu
e E
2
y

x
2
2m  v0
Inhomogenes elektrisches Feld: bringt man eine Probeladung q mit
Masse m zB in das radiale Feld
Einzelladung Q,
  einerpunktförmigen

dann erfährt sie eine Kraft F (r )  q  E (r ) . Im Falle einer positiven
Ladung zeigt die Kraft in Richtung des Feldes. Da E ~ 1/r2 ist die Kraft
nicht konstant und ist unmittelbar bei Q am größten.
2.5. Elektrische Dipole in elektrischen Feldern
Zwei ungleichnamige Ladungen +Q und –Q im Abstand l nennt man einen
elektrischen Dipol. Elektrisches Dipolmoment p ist gegeben durch ( l =
Radiusvektor).


p  Ql
Dieser Dipol erfährt in einem elektrischen Feld eine Kraft, die von der Art
des elektrischen Feldes und von der Lage des Dipols im Feld abhängt.
Homogenes elektrisches Feld
wenn der Dipol parallel zur elektrischen Feldstärke liegt, ist die
Summe der Einzelkräfte –Q x E und +Q x E gleich null.
Liegt der Dipol beliebig im Feld (α = Winkel zwischen
Dipolachse und

Feldrichtung), so erfährt er ein Drehmoment T , das ihn in
Feldrichtung bringen will.
   

T  Ql  E  p E
 

T  Q  l  E  sin 
Das Drehmoment verschwindet, sobald das Dipolmoment parallel
zur Feldstärke steht.
Inhomogenes elektrisches Feld
Elektrische Feldstärke ist längs Feldlinien nicht konstant 
 Feldgra
dient, dh das elektrische Feld ändert sich entlang dr um dE . Auf den
Dipol wirkt sowohl ein Drehmoment als auch eine resultierende Kraft,
die den Dipol in Richtung zunehmender Feldstärke zieht.
 
   
T (r )  p(r )  E (r )

  dE
F  p 
dr
3. Elektrisches Potential
Verschiebt man in einem elektrostatischen
Feld eine Ladung q vom Ort 1

zum Ort 2, so ist dafür eine Kraft F notwendig und es wird entlang des

Weges ds folgende Arbeit verrichtet:
 
W21   F  ds
2
1
PO sei ein Bezugspunkt und die Ladung werde bis zu P verschoben 
Zuordnung von potentieller Energie.
P
 
E pot ( P)    F  ds    Fs  ds
P
P0


Fs: Komponente von F in Richtung s .
P0
Die potentielle Energie ist eine für jeden Raumpunkt P des Feldes

charakteristische Größe, sobald P0 festgelegt ist. Mit F  q  E folgt:
 
E pot ( P)  q   E  ds
P
P0
Charakterisierung des Punktes P unabhängig vom Probeladung q 
Einführung der feldbeschreibenden Zustandsgröße
  E pot ( P)
 ( P)    E  ds 
P
q
P
0
Elektrisches Potential
Als Bezugspunkt wird in Elektrostatik meinst ein unendlich ferner Punkt
gewählt (oft Punkt der Erdoberfläche  Bezeichnung des Punkts als
„Erde“). Potential des Bezugspunkts P0 wird gleich null gesetzt: φ(P0)=0.
Das Potential φ(P) im Punkt P(x, y, z) ist nur abhängig vom extern vorgegebenen elektrischen Feld und nimmt in Richtung von E fortschreitend ab 

E   grad  ( x, y, z )
Linien bzw Flächen gleichen Potentials nennt man
Äquipotentiallinien bzw –flächen. Das elektrische Feld
steht in jedem Punkt normal auf die Äquipotentialflächen.
Beim Verschieben einer Ladung auf einer Äquipotentialfläche wird keine Arbeit verrichtet.
Verschiebt man eine Ladung q zwischen zwei beliebigen Punkten des
felderfüllten Raums, zB von (1) nach (2), so verrichtet man die Arbeit W21,
für die gilt
W21  E pot  q  q
Die Potentialdifferenz Δφ = φ (2) – φ(1) nennt man die Spannung U21
zwischen den Punkten 1 und 2.
U 21     (2)   (1) 
 
W21
   E  ds  
1
q
2
Einheit: 1Volt
1V  1
J
C
Liegt bei der Bewegung einer Ladung im elektrischen Feld keine zusätzliche Kraft vor, so gewinnt die Ladung die vom Feld an ihr verrichtete Arbeit
als kinetische Energie.
1
1
2
2
Ekin  m  v2  m  v1  W21
2
2
Unter Berücksichtigung des Energieerhaltungssatzes ΔEkin + ΔEpot=0 ergibt
sich
Ekin  q    q U 21
In diesem Fall wird U21 als Beschleunigungsspannung bezeichnet. Wenn
die Ladung q durch eine äußere Kraft verschoben wird, so ist von dieser
die Arbeit W21* aufzubringen (W21*= - W21). Dadurch nimmt die potentielle
Energie ΔEpot der Ladung zu.
W21  E pot  q  U 21
*
4. Die Kapazität
Da die elektrische Feldstärke E proportional Q ist und die Spannung
proportional E, so ist auch Q proportional der Spannung: Q ~ U
Die entsprechende Proportionalitätskonstante wird als Kapazität bezeichnet.
Q
C
U
Einheit: Farad (F)
1F  1
C
V
Ein Kondensator besitzt die Kapazität C = 1F, wenn zwischen seinen
Platten, die je eine Ladung Q = 1C tragen, eine Potentialdifferenz U=1V
herrscht. Zur Berechnung wird die gesamte Ladung eines Vorzeichens
verwendet.
Die Kapazität eines Leiters ist bei vorgegebener Spannung ein Maß für
sein Ladungsspeichervermögen.
4.1. Parallelschaltung von Kondensatoren
Leiterfläche eines Kondensators direkt mit je
einem Pol der Spannungsquelle und zugleich
mit Leiterfläche gleicher Polarität der anderen
Kondensatoren verbunden. An jedem Kondensator liegt die gleiche Spannung U. Für n
parallel geschaltete Kondensatoren mit der
Kapazität C; gilt: (i = 1, …, n)
Q1 = C1 x U; Q2 = C2 x U; … Qn = Cn x U
Die gesamte Ladung, die von der Spannungsquelle transportiert wird,
ergibt sich zu
Q = Q1 + Q2 + … + Qn = (C1 + C2 + … + Cn) x U = C x U
Für die Gesamtkapazität gilt daher, dass sie die Summe der Einzelkapazitäten im Fall von parallelgeschaltenen Kondensatoren ist
n
C   Ci
i 1
4.2. Serienschaltung von Kondensatoren
Die Leiterfläche des ersten und eine Leiterfläche des
letzten Kondensators sind mit je einem Pol der Spannungsquelle verbunden. Zuerst Aufladen der direkt mit
der Spannungsquelle verbundenen Leiterplatten und
erst dann durch Influenz Aufladung der dazwischen
liegenden Leiterplatten. Die Gesamtspannung ergibt
sich aus den Einzelspannungen.
U = U1 + U2 + … + U n
Da U=Q/C ergibt sich für die Gesamtspannung
1
1
1
Q
U  Q( 
 ...  ) 
C1 C2
Cn
C
Die resultierende Gesamtkapazität erhält man daraus
Q
1
1
1
U  ( 
 ...  ) 1
U
C1 C2
Cn
oder
1 n 1

C i 1 Ci
Bei Serienschaltungen ist der Kehrwert der Gesamtkapazität gleich der
Summe der Kehrwert der Einzelkapazitäten.
5. Der elektrische Strom
Im Gegensatz zur Elektrostatik: bewegte Ladungen. Für den
Ladungstransport stehen als Ladungsträger vor allem Elektronen (in
Metallen) oder positive/negative Ionen zur Verfügung (letztere v.a. in
Elektrolytlösungen).
5.1. Elementarladung
Ladungen treten immer als ganzzahlige Vielfache z einer Elementarladung
auf  Elementarquant e
e = (1,602176462 + 0,000000063) x 10-19C
 1,6 x 10-19C
Jede Ladung q lässt sich in der Form
q=zxe
darstellen. Elektron und Proton tragen betragsmäßig die gleiche Ladung,
wobei die Elektronenladung negativ und die Protonenladung positiv ist.
qElektron = -e
qProton = e
5.2. Stromstärke
Wenn zwei Punkte eines Leiter, 1 und 2, unterschiedliches Potential
aufweisen, so herrscht eine Spannung U = φ2 – φ1. Dadurch entsteht ein
elektrisches Feld, das auf die Ladungen eine Kraft q x E ausübt 
Ladungen werden im Leiter transportiert (es fließt Strom) bis die Potentiale
gleich sind. Wird die Potentialdifferenz aufrechterhalten, so fließt in der Zeit
∆t eine konstante Ladungsmenge ∆Q durch den Leiter. Die Stromstärke I
ergibt sich zu
Q
I 
t
Bei zeitlich nicht konstanter Stromstärke gilt
dQ
I
dt
Einheit: 1 Ampere (A)
Bei einer Stromstärke von 1A fließt in 1s die Ladungsmenge 1C durch den Leiter.
Stromrichtung: vereinbart von plus zu minus
5.3. Stromdichte
… ist jene Stromstärke, die die Fläche A durchfließt, die senkrecht zur
Bewegungsrichtung der Ladungsträger steht.
I
Q
j

A t  A
Einheit: A/m2
5.4. Arbeit und Leistung des elektrischen
Stroms
Es wird eine Arbeit dW = W21 = -U21 x dq an der Ladung dq errichtet, wenn
sie im elektrischen Feld zwischen zwei Punkten mit der Potentialdifferenz
U21 = ∆φ = (φ 2 – φ1) bewegt wird. Eine positive Ladung +q erfährt durch
die Beschleunigungsarbeit im elektrischen Feld eine Änderung ihrer
potentiellen Energie um
E pot  q  U
Bei der Bewegung von der positiven Platte des Kondensators erhält die
Ladung die kinetische Energie m/2 x v2 = q x U (U = Spannung am
Kondensator). Die Gesamtenergie, die die Ladung erhält, wird der
Spannungsquelle entzogen.
Handelt es sich bei den beschleunigten Teilchen um solche mit der
Elementarladung e, so lautet die durch die Beschleunigungsspannung
verrichtete Arbeit
W=exU
Bei Beschleunigungsspannung von 1V erhält das Teilchen die Energie
W = 1eV  1,6 x 10-19J
Wenn in einem metallischen Leiter in der Zeit t der Strom I fließt, so wird
die Ladung Q = I x t transportiert. Die von der Spannungsquelle
aufgebrachte Arbeit lautet
W=QxU=UxIxt
Daraus ergibt sich die aufgebrachte Leistung mit
P=UxI
Einheit: Watt (W)
1W = 1V x A = 1 J/s
Bei zeitlich nicht konstanter Spannung oder Strom ergibt sich die
Momentanleistung zu
P(t) = U(t) x I(t)
bzw die von der Spannungsquelle verrichtete Arbeit aus der Integration von
P(t) zwischen t1 und t2.
t2
W   U (t )  I(t )  dt
t1
6. Elektrischer Widerstand
Wenn sich Ladungen in Materie bewegen, so stellt diese dem Stromfluss
den sog. elektrischen Widerstand entgegen (Reibungskräfte). Daher muss,
um elektrische Ladungen durch Materie zu transportieren, im Leiter ein
elektrisches Feld E  0 vorhanden sein, dh es muss eine Spannung U  0
anliegen, damit der Stromfluss aufrechterhalten und die Reibungskräfte
kompensiert werden.
Der elektrische Widerstand R eines Leiters wird definiert durch (Ohm‘
sches Gesetz)
U
R
I
Einheit: Ohm (Ω)
1V
1 
1A
Der Leitwert G eines Leiters ist als Kehrwert des Widerstands definiert
1
G
R
Einheit: Siemens (S)
1S 
1 1A

 1V
Unterscheidung zwischen ohmschen und nichtohmschen Leitern erfolgt
anhand der Strom-Spannungs-Charakteristik des Leiters  Kennlinie des
Leiters
Ohmsche Widerstände ergeben eine
Gerade mit Anstieg G = 1/R
6.1. Spezifischer Widerstand
Der elektrische Widerstand eines Leiters ist abhängig vom atomaren
Aufbau und der Geometrie.
l
R 
A
l: Länge des Leiters
A: Querschnittsfläche
ρ: spezifischer elektrischer Widerstand
(materialspezifische Größe), Einheit: Ω x m
Daraus ergibt sich die elektrische Leitfähigkeit
und der Leitwert eines drahtförmigen Leiters

1

A
G  
l
6.2. Spannungsabfall am Widerstand
Wenn zwischen den Enden A und B eines Leiters der Länge l mit der
Querschnittsfläche A (Rl = ρ x l/A) eine Spannung U = φA – φB anliegt, so
fließt durch den Leiter ein Strom.
U
I
Rl
Das Potentialgefälle an dem Teilstück x zwischen A und C
beträgt Ux = φA – φC und wird als Spannungsabfall am
Teilwiderstand RX (= ρ x x/A) des Leiters bezeichnet.
Daher ist
U X  I  Rx
bzw
UX U 
RX
x
U 
Rl
l
Die Spannung Ux ist proportional x, also kann man an einem Widerstand
jede Spannung Ux zwischen null und der am Widerstand angelegten
Spannung U abgreifen.
Diese Schaltung nennt man Spannungsteiler- oder Potentiometerschalung.
6.3. Schaltung von Widerständen
Bisher nur einfache Stromkreise betrachtet bestehend
aus Spannungsquelle und Widerstand, indem Strom
fließt (geschlossener Stromkreis).
Bei mehreren Spannungsquellen und Widerständen, bzw bei
Vorhandensein von Kapazitäten und Induktivitäten  Anwendung der
Kirchhoff‘schen Regeln zur Ermittlung des Gesamtstroms, des
Gesamtwiderstands, etc
6.4. Knotenregel (1. Kirchhoff‘sche Regel)
„Die Summe der zufließenden Ströme (positiv gerechnet) und der
abfließenden Ströme (negative gerechnet) ist gleich null in einem
Verzweigungspunkt eines Netzwertes.“
n
 I  I  I  I  ...  I  0
k 1
k
1
2
3
n
bzw die Summe der zufließenden
Ströme ist gleich der Summe der
abfließenden Ströme
6.5. Maschenregel (2. Kirchhoff‘sche Regel)
Eine geschlossene Masche eines Netzwerks
enthält ohm‘sche Widerstände und Spannungsquellen (zB Batterien). An den Polen der Batterie
liegt eine Potentialdifferenz vor. Im unbelasteten
Zustand der Batterie, dh wenn kein Strom fließt
(I=0), wird die an den Polklemmen herrschende
Spannung als elektromotorische Kraft (EMK), UEMK,
bezeichnet. Im Stromkreis einer Masche betrachtete Spannungsquellen sind EMKs. Dann gilt:
„Die Summe der elektromotorischen Kräfte UEMK ist gleich der Summe der
an den Widerständen Ri durch die sie durchfließenden Ströme Ii erzeugten
Spannungsabfälle Ri Ii“
l
n
U
k l
EMK
k
  Ri  I i
i l
Bei Anwendung der Maschenregel muss auf die Vorzeichen der Spannungsquellen und die Richtungen der Ströme Acht gegeben werden: in
Umlaufrichtung fließende Ströme werden positiv gerechnet, ebenso wird
bei Durchquerung einer Spannungsquelle in Richtung EMK die Potentialänderung (Spannung) positiv gezählt.
7. Elektromagnetismus
7.1. Magnetische Felder
Erde stellt einen Permanentmagneten dar:
magnetischer Südpol  geographischer Nordpol
magnetischer Nordpol  geographischer Südpol
Magnetische Feldlinien sind von Nord nach Süd gerichtet und sind in
sich geschlossen
Gleichnamige Pole stoßen sich ab, ungleichnamige ziehen sich an.
Es gibt keine magnetischen Monopole (Nord- und Südpol treten immer
paarweise als Dipol auf).
Ein gerader, zylindrischer, stromdurchflossener Leiter besitzt ein zirkulares
Magnetfeld, dessen Feldlinien konzentrische Kreise senkrecht zur Stromrichtung ausbilden. Die Stärke des Magnetfelds fällt nach außen ab.
Eine stromdurchflossene Zylinderspule
(Solenoid) erzeugt ein starkes Magnetfeld, das im Inneren der Spule homogen
ist.
7.2. Magnetische Kraftflussdichte
Magnetische Flussdichte zur Beschreibung des Felds eines
 Permanentmagneten wie auch einer Spule. Betrag der Flussdichte B .
I err  N
I err  N
B  r  0 
 
l
l
Einheit: Tesla (T)
1T  1
V s
m2
Ierr: Erregerstrom
l:
Länge der Spule
N: Windungszahl der Spule
µr: Permeabilitätszahl (relative Permeabilität) eines Stoffes. Gibt an, um
wieviel sich die magnetische Flussdichte vergrößert, wenn der vorher
leere Raum innerhalb der Spule mit Materie gefüllt wird (µr: 1 für
Vakuum); µr = µ/µ0
µ:
Permeabilität
µ0: magnetische Feldkonstante (Vakuumpermeabilität)
Charakterisierung des magnetischen
Feldes im Vakuum durch die

magnetische Feldstärke H .
H
B
B

 r  0 
Einheit: A/m
7.3. Kräfte auf stromdurchflossene Leiter im
Magnetfeld
Wird ein stromdurchflossener Leiter der Länge l in ein
homogenes
Magnetfeld eingebracht, so erfährt er eine

Kraft F , die sowohl senkrecht auf die Richtung des
Stroms I als auch senkrecht auf das Feld steht.
 

F  Il  B
Der Betrag der Kraft ergibt sich zu
F  I  l  B  sin 
Wobei α der Winkel zwischen der
 positiven Stromrichtung und dem Feld
der magnetischen Flussdichte B ist.
7.3. Kräfte auf bewegte Ladungen
Elektrischer Strom ist die Bewegung von Einzelladungen der Ladung q mit
der Driftgeschwindigkeit v. Wenn n die Anzahl der Ladungsträger pro
Volumeneinheit ist, dann ist die Stromdichte j = n x q x v und die Stromstärke I = j x A (A: Querschnittsfläche des Leiters)  Kraft auf den stromdurchflossenen Leiter

 
F  q  n  l  A  (v  B )
Damit ergibt sich die Kraft auf eine
 einzelne positive Ladung q, die sich mit
v im Magnetfeld der Flussdichte B bewegt zu

 
F  q  (v  B )
Lorentzkraft
7.4. Massenspektrometer
In einer Ionenquelle erfolgt die Ionisierung der Teilchen und die Bildung
eines Ionenstrahls. Die Ionenerzeugung erfolgt durch: Elektronenstoßionisation, Feldionisation, Oberflächenionisation, Photoionisation, Hochfrequenzgasentladung, Ladungsaustausch–Reaktion.
Die ionisierten Teilchen werden durch eine Spannung U elektrostatisch
beschleunigt. Danach gelangt der Ionenstrahl
zur Massentrennung in ein

homogenes Magnetfeld der Flussdichte B senkrecht zur Feldrichtung.
Dabei durchlaufen die Ionen Kreisbahnen, deren Radien sich folgendermaßen ergeben
1
m
r   2 U 
B
q
Daraus erhält man die spezifische Ladung q/m
q
2U
 2
2
m r B
Dabei ist die Ladung q ein ganzzahliges Vielfaches der Elementarladung e:
q = z x e. Die räumliche Trennung der Massen wird durch einen geeigneten
Detektor (zB Photoplatte) bestimmt.
Massenseperatoren sind Kombinationen aus elektrischen und magnetischen Ablenkverfahren. Im Massenspektrometer nach F. W. Aston erfolgt
die Ablenkung des Ionenstrahls mittels gekreuzter elektrischer und magnetischer Felder  Fokussierung von Ionen mit verschiedener Geschwindigkeit aber gleicher spezifischer Ladung.
7.5. Magnetische Induktion
Induktion in bewegten Leiter bei zeitlich konstantem
Magnetfeld: erst bei Verschiebung des Drahtbügels
beobachtet man am Amperemeter einen Ausschlag,
dh im Leiterkreis fließt Strom  es liegt Spannung
vor: Induktionsspannung und Induktionsstrom.
Induktion im ruhenden Leiter bei zeitlich veränderlichem Magnetfeld: zB
Annäherung eines Stabmagneten an eine Leiterschleife  wieder beobachtet man Induktionsspannung und Induktionsstrom.
Elektrische Felder können daher auf zwei Arten erzeugt werden:
1) Elektrische Ladungen erzeugen ein elektrisches Feld

2) Zeitlich veränderliche magnetische B -Felder erzeugen ein elektrisches
Feld mit in sich geschlossenen Feldlinien (quellenfreies Wirbelfeld). Die
Induktionsspannung Uind eines solchen Feldes wird definiert über das
Wegintegral der elektrischen Feldstärke längs der geschlossenen
Leiterschleife
 
U ind   E  ds

Die Induktionsspannung wird verursacht durch das zeitlich variable B -Feld
in einer Leiterschleife der Fläche A. Daher kann Uind folgendermaßen

angeschrieben werden
U ind
 dB
  A
dt
 
Daraus erhält man mit dem magnetischen Fluss  = B x A das
Faraday‘sche Induktionsgesetz
U ind
d
d  

   B  dA
dt
dt
7.6. Lenz‘sche Regel
Als Folge der induzierten Spannung Uind fließt in einer geschlossenen Leiterschleife ein Induktionsstrom Iind, der wiederum selbst ein Feld erzeugt =
Bind. Die Richtung, in welcher der Strom Iind fließt, wird durch die Lenz‘sche
Regel festgelegt:
„Der Induktionsstrom ist stets so gerichtet, dass sein Feld Bind der
Ursache der Induktion entgegenwirkt, dh das Feld Bind sucht die
Änderung dB/dt des vorgegebenen Feldes B zu kompensieren.“
7.7. Selbstinduktion
Der sich ändernde Kraftfluss  durchsetzt auch die felderzeugende Spule
selbst, dh dass in ihr ebenfalls ein Induktionsvorgang stattfindet. Lt.
Lenz‘scher Regel ist der Induktionsstrom Iind so gerichtet, dass er dem felderzeugenden Strom I in der Spule entgegenwirkt. Die infolge der Selbstinduktion erzeugte Induktionsspannung Uind ist abhängig von der Änderung
des Kraftflusses  und von einem Spulenfaktor = Selbstinduktionskoeffizient oder Induktivität L.
Für die Selbstinduktionsspannung gilt
U ind
dI
 L 
dt
Einheit: Henry (H)
1H  1
V s
A
Die Induktivität hängt nur von den geometrischen Daten der Spule und dem
sie erfüllenden Material ab (relative Permeabilität μr).
A
L  r  0  N 
l
2
8. Wechselstrom
Strom, der periodisch seine Richtung und Stärke ändert, wird als Wechselstrom bezeichnet und wird durch eine entsprechend periodisch veränderliche Wechselspannung hervorgerufen. Beide lassen sich durch die harmonischen Funktionen Sinus und Cosinus darstellen. So ist der Momentanwert I(t) der Stromstärke für sinusförmigen Wechselstrom
I(t )  I0  sin   t
I0 = Scheitelwert (Amplitude)
des Stroms
ω = Kreisfrequenz
Analog läßt sich der Momentanwert der Spannung U(t) darstellen
U (t )  U 0  sin   t
Zwischen Frequenz v, Kreisfrequenz ω und Periodendauer T besteht
folgender Zusammenhang
  2  v 
2
T
8.1. Effektivwerte von Spannung und Strom
Die momentane Leistung einer Wechselspannungsquelle, die am
ohm‘schen Widerstand R anliegt beträgt
P(t )  U (t )  I(t )  U 0  I 0  sin 2 (  t )
und ist ebenfalls eine periodische Funktion der Zeit.
Wenn man sin2(ω x t) = ½ (1 - cos (2ωt)) schreibt, so
sieht man, dass die Wechselstromleistung mit der
doppelten Frequenz (2ω) um einen mittleren Wert P
schwankt. Die mittlere Leistung ergibt sich zu
T
1
P   U 0  I 0  sin 2 (  t )  dt
T0
1
 U 0  I0
2
Dh ein von einer Gleichspannung U0/√2 erzeugter Gleichstrom I0/√2
erbringt die gleiche Leistung wie der Wechselstrom mit dem Scheitelpunkt
I0 erzeugt vom der Wechselstromspannung mit der Amplitude U0. Daher
führt man Effektivwerte für die Spannung und die Stromstärke eines
Wechselstroms ein
U eff
U0

2
I eff
I0

2
Def: die effektive Stromstärke eines Wechselstroms entspricht der Stromstärke eines Gleichstroms, der an einen ohm‘schen Widerstand dieselbe Leistung erzielt wie ein Wechselstrom (analog für Spannung).
8.2. Wechselstromwiderstand
Wenn der Wechselstromkreis neben ohm‘schen Widerständen auch Induktivitäten L und/oder Kapazitäten C enthält, dann sind Strom und Spannung
ia nicht mehr in Phase  Phasenverschiebung φ
Für den Strom gilt dann
I(t )  I0  sin(   t   )
2
I(t )  I 0  sin(
t )
T
8.3. Ohm‘scher Widerstand
Strom erzeugt nur Joule‘sche Wärme
U ~  U (t )  U 0  sin(   t )
Nach der Maschenregel gilt U = R x I, dh dass die Stromstärke ebenfalls
sinusförmig mit derselben Kreisfrequenz ω ist.
U~ U0
I~ 

 sin(   t )
R
R
 Die Phase zwischen Strom und Spannung wird durch einen rein
ohm‘schen Widerstand nicht beeinflusst.
8.4. Kapazitiver Widerstand
Wenn Kondensator mit der Gesamtkapazität C an eine Wechselspannungsquelle U~ angeschlossen wird, so gilt U~ = Q/C.
Da I = dQ/dt folgt für den Strom durch zeitliche Differentiation
I = C x dU~/dt, und man erhält für die Stromstärke

I ~    C  U 0  sin(   t  )
2
 Beim rein kapazitiven Widerstand eilt der Strom
der Spannung um den Phasenwinkel φ = π/2,
dh um eine viertel Periode (T/4) voraus
Bei der Kapazität C ergibt sich für die Scheitelwerte von Spannung u Strom
U 0 ,C
1

 I 0 ,C
 C
Daraus ergibt sich der kapazitive Widerstand zu
RC 
1
 C
8.5. Induktiver Widerstand
Die Spule setzt dem Wechselstrom einen größeren Widerstand
entgegen als dem Gleichstrom. Anwendung der Maschenregel
auf diesen Stromkreis ergibt U~ + Uind = 0. Mit Uind = -L x dI/dt
und daher U~ = L x dI/dt erhält man

U ~    L  I 0  sin(   t  )
2
Die Scheitelwerte von Spannung und Strom ergeben sich zu
U 0, L    L  I 0, L
Daraus erhält man den induktiven Widerstand
RL    L