Überprüfung der kognitiven Entwicklung von mathematischem

Empirische Untersuchung
einer Wissensstruktur für das
Lösen mathematischer
Textaufgaben durch Kinder
[Arbeitstitel]
Themenüberblick
 Wissensraumtheorie
 Kognitive Entwicklungstheorien
 Erwerb
mathematischer Kompetenzen
 Fragestellung
Wissensraumtheorie
(Doignon & Falmagne)

formale Theorie der effizienten Erfassung
von Wissen
 Konzept: Repräsentation eines
Wissenszustands einer Person bezüglich
eines speziellen Bereiches durch eine
bestimmte Menge an Aufgaben, die eine
Person in der Lage ist zu lösen
Theorie

es gibt eine Aufgabenmenge Q
 innerhalb dieser Menge äußern sich
Abhängigkeitsbeziehungen (surmise-relations)
zwischen den Aufgaben als binäre Relation: q  t
– aufgrund einer richtigen Lösung von t kann auf eine
richtige Lösung von q geschlossen werden
– werden dieser Realtion die Eigenschaften Transitivität
und Reflexivität zugeschrieben, spricht man von einer
Quasiordnung
– diese surmise-relations können in Hasse-Diagrammen
dargestellt werden

prerequisite-relation:
– eine oder mehrere Aufgaben q sind nötige
Voraussetzungen für das Lösen einer Aufgabe t
– Hasse-Diagramm einer surmise-relation
r
t
q
s
Nachteil: jede Aufgabe hat genau eine Menge
vonVorgängeraufgaben

Wissenszustand:
– Teilmenge von Aufgaben, die eine Person fähig ist zu lösen
– Menge 2n aller möglichen Wissenszustände wird aufgrund
der surmise-relations auf theoretisch erwartbare reduziert

Wissenstruktur:
– geordnetes Paar (Q, K):
Q... Aufgabenmenge
K... Menge der Wissenszustände
(Teilmengen aus A)

Wissensraum: 3 Axiome: quasi-ordinal, wenn:
– Menge Q und die leere Menge Zustände sind
– jede Vereinigung von Zuständen ein Zustand ist
– jede Durchschnittsbildung von Zuständen ein Zustand ist

eine Aufgabe kann mehrere Vorgängeraufgaben haben
 und/oder –Graphen
r
t
v
s

Surmise- system
q

der Lösung von r kann Lösung von s oder von q und t
vorangehen
 mehrere Vorgängeraufgaben werden als Klauseln C
bezeichnet
 in einer surmise-function (x) wird jeder Aufgabe x die
Menge ihrer Klauseln C zugewiesen
 geordnete Paar (Q, ) wird als surmise-system
bezeichnet

die Klauseln und die aus ihrer Vereinigung
gewonnenen Zustände werden als
Wissenzustände in die Wissensstruktur
aufgenommen = Wissensraum

eine Wissensstruktur kann auch in Form
einer Basis dargestellt werden, die nur die
Klauseln enthält, die in keiner
Teilmengenbeziehung  untereinander
stehen
Erweiterung der Theorie durch
Albert & Held

Komponentenbasierende Wissensräume:
– stellen kognitive Anforderungen dar, die
notwendig sind zur Lösung eines Problems
– ihre Eigenschaften werden als Attribute
bezeichnet

Systematische Aufgabenkonstruktion:
erleichtert Vergleich von Aufgaben
– Konstruktionsprinzip: „componentwise
ordering rule“
Beispiel zur Konstruktion von
Aufgaben, die aus Komponenten mit
verschiedenen Attributen bestehen
Komponenten A und B, mit ihren Attributen:
A = {a1,a2 ,a3 }
B = {b1, b2}
a1 = reelle Zahlen
a2 = ganze Zahlen
a3 = natürliche Zahlen
b1= Berechnung
Potenzen
b2 = Addition
von
Durch Bildung des kartesischen Produkts
von A und B erhält man 6 verschiedene
Aufgabentypen: A x B
p = {(a1b1), (a1b2), (a2b1), (a2b2),(a3b1),(a3b2)}
Beispiel:
(a2b1) = Berechnung von Potenzen ganzer
Zahlen  (-5)2
Attribute und ihre
Problemstruktur nach der
koordinatenweisen Ordnung
(a1b1) o
A x B
(a2b1) o
a1
b1
a2
x
b2
a3
(a3b1 ) o
o (a1b2)
o (a2b2)
o (a3b2)
Lexikographische Ordnung
o (a1b1)
A x B
o (a1b2)
a1
a2
a3
b1
o (a2b1)
b2
o (a2b2)
x
o (a3b1)
o (a3b2)
Ansatz von Held
den Attributen werden Anforderungen, „skills“,
zugeschrieben
 skills beziehen sich auf kognitive Anforderungen,
die zur Lösung einer Aufgabe von Bedeutung sind
 sie werden aus der Analyse der Lösungswege von
Aufgaben gewonnen:
 Welches Wissen ist für die Lösung einer
Aufgabe nötig?
 Welche Eigenschaften der Aufgabe sind es,
die einen bestimmten Lösungsweg bedingen?

Ordnung der Attribute

erfolgt anhand der Annahmen über die
erforderlichen skills
 basiert auf Inklusion der Menge von skills:
– ein Attribut, das aus einer Teilmenge von skills
eines anderen Attributs besteht, ist das leichtere

mögliche Ordnungsprinzipien:
– componentwise order oder die lexikographische
Ordnung
Komponenten A und B:
A = {a1,a2,a3}
B = {b1, b2}
ρa (a1) = {O1}
ρa (a2) = {O1, O2}
ρa (a3) = {O1, O2, O3}
ρb (b1) = {O4}
ρb (b2) = {O4, O5}
(a3) {O1, O2, O3}
(b2) {O4, O5}
(a2) {O1, O2}
(b1) {O4 }
(a1) {O1}
Kognitive
Entwicklungstheorien

Theorie von Piaget
 Informationsverarbeitungstheorie
 Konzept-Ansatz
 Transfer-Strategie-Ansatz
 Rolle von Textaufgaben
 Verbindung zur Wissensraumtheorie
Theorie von Piaget






klassische Stadientheorie
4 Stadien
jedes Stadium geht aus dem vorangehenden
Stadium hervor und bereitet das darauffolgende
vor
inhaltsunabhängige, abstrakte Denkschemata
allgemeine Repräsentationsfähigkeit
Veränderung der Denkschemata durch radikale
Umstrukturierung
Kritik an Piaget
– Unterschätzungen der Kompetenz des Säuglings,
– keine stadientypischen Einschränkungen des Denkens
– keine stadientypische Homogenität
 alle
neueren Theorien sind aus der
Auseinanderstetzung mit Piagets Theorie
entstanden
 befassen sich damit, welche kognitiven
Strukturen zugegen sein müssen, um eine
bestimmte Leistung erbringen zu können, bzw.
welche Defizite Kinder daran hindern bestimmte
Aufgaben zu lösen.
Informationsverarbeitungstheorien:
1. Neo-Piaget-Theorie:
Pascual-Leone, Halford; Case

Kind als Computer-Metapher: Grundannahmen:
Denken ist Informationsverarbeitung, diese ist
begrenzt, Leistungsfähigkeit beteht darin,
Begrenzung zu erweitern
 auch als Neo-piaget-Theorie bezeichnet, da sie auch
das Konzept bereichsübergreifender Stadien
beinhaltet.
 Determinante kognitiver Veränderungen ist
Veränderung der Informationskapazität.
 Informationen aus der Umgebung werden durch
Sinnesorgane registriert, in den Kurzzeit-, oder
Arbeitsgedächtnisspeicher überführt und können in
das Langzeitgedächtnis kommen.
2 Richtungen:

mit ansteigendem Alter:
 Erweiterung des
Arbeitsgedächtnisspeichers oder
 Steigerung der Effizienz in der Nutzung
kognitiver Ressourcen
ermöglicht Lösung komplexerer Aufgaben
2. Transfer-Strategie-Ansatz:
Stern, Siegler, Kuhn






intraindividuelle Variabilität und interindividuelle
Unterschiede im Entwicklungsverlauf
Wissen ist oft an Kontext seines Erwerbs gebunden
Probleme bei der Übertragung von Wissen an neue
Aufgaben
Trennung von Strategieentdeckung und
Strategieanwendung
verschiedene Strategien sind parallel vorhanden und
einsetzbar
Frage nach Mechanismen der Selektion zwischen
Problemlösungsalternativen
Bereichspezifische Theorie:
Konzept-Ansatz:
Gelman, Stern, Resnick

radikale Veränderungen inhaltsspezifischer
Konzepte im Laufe der kognitiven
Entwicklung
 konzeptuelle Umstrukturierung:
restrukturierte Konzepte basieren
auf abstrakteren Prinzipien, frühere
konkrete Merkmale eines Konzepts
verschwinden
Erwerb mathematischer
Kompetenzen

zur Bewältigung vieler Anforderungen in
der Gesellschaft
 bedeutendes Ziel in der Schule
 flexibel einsetzbare Basiskonzepte und
Problemlösekompetenzen so vermitteln,
dass sie in realen Situationen angewandt
werden können

Suche nach den Ursachen für Hindernisse
und Probleme der Kinder mit der
Entwicklung mathematischen
Verständnisses
 Aufgabe der kognitiven Psychologie
Textaufgaben
– zur Untersuchung von Lern- und Denkprozesse
– Lösungen sind einfach
– Stoffinhalt ist überschaubar ist
– genaue Abbildung von Lösungsprozessen
– Vergleich mit empirischen Daten

2 Textsysteme:
- Handlungswelt und Sachwelt
- mathematische Strukturwelt


sprachlich miteinander verbunden
Studium des Wechselspiels von sprachlichen, sachlichen und
mathematischen Verarbeitungsprozessen bzw. Wissen.
Textaufgaben als
Forschungsgegenstand der Lernund Entwicklungspsychologie

ermöglicht Studium von Verstehensprozessen:
- die Situation verstehen
- in mathematische Gleichung umsetzen

erfordert Repräsentation eines mentalen
Modells:
Wissensrepräsentation auf
unterschiedlichem qualitativen und
quantitativen Niveau, konstruiertes
Modell der externen Umgebung,
abstrakt, flexibel, komplex
3 Grundtypen von Textaufgaben
zur Addition und Subtraktion
1. Kombinationsaufgaben
2. Austauschaufgaben
3. Vergleichsaufgaben
 innerhalb eines Aufgabentyps unterscheiden
sich die Aufgaben in der Art, nach welcher
Menge gesucht wird
Kombinationsaufgaben
1. Teilmenge unbekannt
Maria und Hans haben zusammen 8 Murmeln.
Maria hat 6 Murmeln. Wie viele Murmeln hat
Hans?
2. Vereinígungsmenge unbekannt
Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 Murmeln. Wie
viele Murmeln haben sie zusammen?
Austauschaufgaben
1. Endmenge unbekannt
Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3 (2)
Murmeln. Wie viele Murmeln hat Maria jetzt?
2. Austauschmenge unbekannt
Maria hatte 5 Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans einige
Murmeln. Jetzt hat Maria 8 (3) Murmeln. Wie viele
Murmeln hat ihr Hans gegeben?
3. Anfangsmenge unbekannt
Maria hatte einige Murmeln. Dann gab ihr (sie) Hans 3
Murmeln. Jetzt hat Maria 5 (4) Murmeln. Wie viel
Murmeln hatte sie am Anfang?
Vergleichsaufgaben
1. Differenzmenge unbekannt
Maria hat 5 Murmeln. Hans hat 8 (2) Murmeln.
Wie viele Murmeln hat Hans mehr (weniger) als
Maria?
2. Vergleichsmenge unbekannt
Maria hat 3 Murmeln. Hans hat 4 (2) Murmeln
mehr (weniger) als Maria. Wie viel Murmeln hat
Hans?
3. Referenzmenge unbekannt
Maria hat 7 Murmel. Sie hat 4 (2) Murmeln mehr
(weniger) als Hans. Wie viel Murmeln hat Hans?

Schwierigkeitsgrad der Aufgaben
– konsistente Ergebnisse
– Aufgaben, denen die gleiche mathematische Operation
zugrunde liegt, unterscheiden sich deutlich in ihrer
Schwierigkeit
– Aufgaben zur Kombination sind allgemein gesehen am
leichtesten, solche zum Vergleich am schwierigsten
– innerhalb der Aufgabentypen gibt es in Abhängigkeit der
Art der gesuchten Menge Schwierigkeitsunterschiede
– innerhalb der Vergleichsaufgaben sind solche mit
unbekannter Referenzmenge am schwierigsten
Was macht das Lösen von
Textaufgaben so schwierig?


viele Studien dazu
3 Hypothesen, was für die Schwierigkeit
einer Aufgabe verantwortlich ist:
1. abstrakt-mathematisches Wissen
2. Sprachverständnis
3. Situationsverständnis
1. Bedeutung des abstraktmathematischen Wissens

Modell von Riley, Greeno & Heller (1983):
– manche Aufgaben sind deshalb schwieriger, da sie nicht
mit einfachen Zählprozeduren lösbar sind, sondern
arithmetische Kenntnisse, z.B. Teil-Ganzes-Schema,
erfordern, wie zum Beispiel Vergleichsaufgaben
– setzt Repräsentation eines abstrakten Problemmodells
voraus
– warum aber sind Aufgaben mit unbekannter
Referenzmenge schwieriger als soche mit unbekannter
Vergleichsmenge?
– auch andere Faktoren müssen mitspielen
2. Bedeutung des
Sprachverständnisses

Modell von Cummins, Kintsch, Reusser und
Weimer (1988):
– Schwierigkeit liegt darin, abstrakte Sprache
(„mehr“ / „weniger“) zuverstehen
– Experiment:


Aufgabe vor oder nach ihrer Bearbeitung
nacherzählen
Frage zu einer unfertigen Aufgabe finden
Ergebnisse:
– Lösungshäufigkeiten waren korreliert mit der
Nacherzählung der Aufgabe und Finden einer
angemessenen Frage
– korrekte Lösungen waren korreliert mit
korrekter Nacherzählung und angemessenen
Fragen
– Textaufgaben mit abstrakter Sprache führten
eher dazu, die Aufgabe mißzuverstehen
Bedeutung des
Situationsverständnisses

Situationsmodell: Alltagswissen über die im Text
beschriebene Situation erleichtert Aufgaben
– Untersuchung von Stern: wirkt sich Aktivierung eines
Alltagskontextes auf Lösen von Vergleichsaufgaben
aus?



vor der Aufgabe wird ein kurzer Text präsentiert, in dem es um
den Vergleich von Mengen geht
hat positive Wirkung, auch wenn Inhalt des Textes dem der
Aufgabe widerspricht
je enger die Beziehung zwischen der Geschichte und der
Aufgabe ist (kompatibel), desto höher sind die
Erleichterungseffekte
– stützt die Annahme der Textverarbeitung, dass eine episodische
Struktur den Aufbau eines mathematischen Problemmodells
steuert

Reformulierungseffekte: Hudson (1983)
 Aufgaben mit unbekannter Differenzmenge
– 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wieviel
mehr Vögel als Würmer gibt es?

Konnten nur 25 % der untersuchten Kinder lösen
– 5 Vögel haben Hunger. Es gibt 3 Würmer. Wie viele
Vögel bekommen keinen Wurm?

konnten 96% lösen
– Ergebnis wurde von Stern (1993) bei Vergleichsaufgaben repliziert
– Interpretation: Sprache beeinflußt Lösung
– ABER: es kommt neben Sprachveränderung auch zu einer
Veränderung des Situationsverständnisses: ..bekommen keine.. =
vertraute Alltagssituation: Angleichung von Objekten
– weiter bezieht sich Umformulierung auf eine konkrete Menge, was
wiederum Aufbau des math. Problemmodells erleichtert, da es
nicht das Verständnis des Teil-Ganzes-Schem erfordert
Weitere Ergebnisse von Stern

Einfluss von:
– Intelligenz und spezifischem Wissen

Einfluß von Intelligenz verringert sich bei Einbezug des spezifischen
Wissens
– Aufgabenauswahl

strukturorientierte Aufgaben , die auf Vermittlung mathematischer
Prinzipien abzielen, verbessern Leistung eher als performanzorientierte, die
Einübung von Rechenprozeduren und mathematischen Fakten beinhalten
– Vorstellungen der Lehrer über Erwerb mathem. Kompetenzen

positivere Auswirkung von konstruktivistischer Grundhaltung, Freiheit in
der Art wie man Aufgaben löst, als rezeptive Haltung, nur Aufgaben
vorgeben, für deren Lösung genaue Anweisungen gegeben wurden
– mathematisch-numerischen Prinzipien
Erklärung der Schwierigkeit von
Verleichsaufgaben von Stern

Vergleichsaufgaben erfordern Konzept des
Relationszahlverständnisses
– ...4 Murmeln mehr als...
– mit der Zahl wird keine konkrete Menge beschrieben,
sondern eine Beziehung zwischen Zahlen

Defizite in der kognitiven Umstrukturierung
– Umstrukturierung des Zahlkonzeptes und Konzept von
Addition und Subtraktion wären notwendig
– entspricht dem Konzept-Ansatz

Defizite im Sprachverständnis können
Schwierigkeitsunterschiede weniger gut erklären
Erklärung der anderen
kognitiven
Entwicklungstheorien

nach der Informationsverarbeitungstheorie
erfordern Vergleichsaufgaben mehr
Speicherkapazität und sind somit schwieriger zu
lösen

der Transfer-Strategie-Ansatz besagt, dass die
Schwierigkeit in der Übertragung von Wissen auf
neue Aufgaben liegt, Textaufgaben kommen
seltener vor als numerische Beispiele und sind
daher schwieriger zu lösen
Ableitung der Fragestellung

je nach Entwicklungstheorie werden eben
unterschiedliche Bereiche als zentral für das Vertändnis
mathematischer Textaufgaben gesehen
 diese Dimensionen müßten aus mindestens zwei
Ausprägungen bestehen, komplett variiert und
permutiert werden
 aufwendige Problemkonstruktion und Daten-Analyse
 mit Hilfe der Wissensraumtheorie können Hypothesen geprüft
werden, welche Voraussetzungen erfüllt sein müssen, damit
bestimmte Probleme gelöst werden können

auch bei komplexen Aufgabenstrukturen, in denen mehrere
Dimensionen variiert werden
Ansatz von Held

nach diesem Ansatz werden Aufgaben
systematisch konstruiert, indem zuerst
Komponenten definiert werden, die aus mehreren
Eigenschaften bestehen, für die dann bestimmt
wird, welche kognitiven Anforderungen sie an eine
Person stellen
 Aufgaben, für die mehr Anforderungen nötig sind,
sind schwieriger
 anhand dieser Informationen werden die
Wissensstrukturen erstellt
 je nach kognitiven Entwicklungstheorien, die
jeweils andere Bereiche (Komponenten) als zentral
sehen, werden sich unterschiedliche Strukturen
ergeben
Fragestellung

Ist es möglich, im Rahmen der
Wissensraumtheorie eine auf einer kognitiven
Entwicklungstheorie beruhende Wissensstruktur
zu erstellen, die die Schwierigkeitsunterschiede
im Lösen von Textaufgaben beschreiben kann?

Können Textaufgaben in Anforderungen zerlegt
werden, die eine Bildung von Relationen ihrer
Voraussetzung ermöglichen?