PPT 10 - Didaktik der Mathematik

Lehrstuhl für Didaktik der Mathematik
Grundbegriffe
der Schulgeometrie
SS 2008 Teil 10
(M. Hartmann)
Längenmaße
Ursprünglich
Körpermaße
1101 (Heinrich I. von England)
Der Fuß als
Mittelung von
vielen Füßen
Ein Fuß entspricht etwa
12 Inch bzw. Zoll
Probleme:
• Körpermaße sind weder exakt noch für jeden Menschen gleich.
• Regional unterschiedliche Maße behinderten den Handel
http://leifi.physik.uni-muenchen.de/web_ph11/geschichte/01grundgroessen/laengenmessung/laengeneinheit.htm
Normierung der Längeneinheit
Erste Vorschläge: Länge des
Sekundenpendels
1793 (französische Nationalkonvent)
1 Meter := zehnmillionste Teil des
Erdmeridianquadranten
Kopien des Pariser Urmeters aus
Platin-Iridium
Heute als die Länge, die Licht im
Vakuum in 1 / 299.792.458 s zurücklegt
Abgeleitete Einheiten
• Im Gegensatz zu früheren Längenmaßsystemen werden
ergänzende Einheiten heute als Zehnerpotenzen von 1m
als abgeleitete Einheiten festgelegt:
Selten
gebraucht
km
hm
1000 100
Schulrelevant
Lücken
dam m dm cm mm ?? ??
10
Üblich in Physik
und Technik
mm ?? ?? nm Ǻ
??
pm
10-1 10-2 10-3 10-4 10-5 10-6 10-7 10-8 10-9 10-1010-11 10-12
Umrechnung von Längeneinheiten
• Methode des Physikers:
• Methode in der Schule:
– Bitte keine abstrakten Umrechnungszahlen!!
– Umrechnung erfolgt auf Basis der Anschauung
• Stets qualitative Überlegung voranschalten: Braucht man von der
neuen Einheit mehr oder weniger?
– Je kleiner die Einheit desto mehr Stücke benötigt man zum Auslegen,
je größer …
– Die Umrechnung kann mithilfe der flexiblen Interpretation in der
Stellenwerttafel mit den Dezimalbrüchen vernetzt werden:
m
km
T
H
Z
E
3
z
5
cm
dm
h
mm
t
1
351 dm = 0,0351 km = 35,1 m = 35100 mm
Fachmathematische Grundbegriffe der
Flächeninhaltslehre:
•
Ein Vieleck V heißt elementargeometrisch in V1,…,Vn zerlegt,
wenn
1. V = V1U…U Vn
2. Je zwei der Vielecke V1,…, Vn haben höchstens Randpunkte
gemeinsam (Überlappungsfreiheit)
•
Zwei Vielecke V und W heißen zerlegungsgleich, wenn sie in
endlich viele Vielecke V1,…,Vn bzw. W1,…,Wn so zerlegt werden
können, dass für i= 1,…,n gilt:
Vi ist kongruent zu Wi
–
•
•
Zerlegungsgleichheit ist eine Äquivalenzrelation
Zwei Vielecke heißen ergänzungsgleich, wenn sich durch endlich
viele paarweise kongruente Vielecke zu zerlegungsgleichen
Vielecken ergänzen lassen
Satz: Zerlegungsgleiche Vielecke sind auch ergänzungsgleich
Die vier Axiome des Flächeninhalts
•
Eine Funktion, die jedem Vieleck V eine reelle Zahl |V|
zuordnet, heißt Flächeninhaltsfunktion, wenn gilt:
1.
2.
3.
4.
•
|V|>0 stets
|V1|=|V2|, falls V1 kongruent zu V2 ist
|V|=|V1|+|V2|, falls V in V1 und V2 zerlegbar ist
|V|=1, falls V das Einheitsquadrat ist
Satz: Es gibt nur eine einzige Flächeninhaltsfunktion.
Diese ordnet zerlegungs- bzw. ergänzungsgleichen
Vielecken denselben Flächeninhalt zu.
Aufbau des Flächeninhaltsbegriffs in der Schule
1. Direkter Flächenvergleich:
–
Figuren aufeinander legen
2. Indirekter Flächenvergleich mittels eines
–
ungenormten Repräsentanten (geeignetes weiteres Vieleck)
•
•
–
Beispiele:
–
–
Bankflächen mittels Heft vergleichen
Teilfiguren in Dreiecksparkett mittels der Dreiecke vergleichen
–
Für ein Wand wir 6kg Farbe benötigt für die andere 9kg…
Motivation: Quantifizierung des Größenunterschieds
genormten Repräsentanten (Einheitsquadrat)
•
•
Motivation: Vergleich auch bei größeren Distanzen möglich durch
Rückführung des Problems auf Längeneinheit
Warum Einheitsquadrate und nicht z.B. gleichseitige Einheitsdreiecke?
–
–
•
Parkettieren insbesondere der häufig auftretenden Rechtecksflächen und
Abzählen besonders leicht möglich
Propädeutisch: Bestimmung von Anzahlen in Figuren aus Quadraten
3. Ableitung von Flächeninhaltsformeln
www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Homepage/Hartmann/Ubersichtsdarstellungen/flaeche2.swf
• Rechteck
– 1. Schritt: Auslegen mit Einheitsquadraten und Abzählen
– 2. Schritt: Erarbeitung eines verkürzten Abzählverfahrens
– 3. Schritt: Formel (Dabei Festlegung von m•m = m² als
Flächeninhalt des Einheitsquadrats)
– 4. Schritt: Umrechnungen von einer Maßeinheit in eine andere
• Andere Vier- bzw. Vieleckstypen
– Die Formeln für andere Vieleckstypen werden (letztlich) auf das
Rechteck zurückgeführt durch
•
•
•
•
Umbauen (insbesondere Idee der Mittenlinie),
Zerlegen (insbesondere Idee der Triangulation) bzw.
Ergänzen
Scheren (auch Cavalieri)
• Beliebige „krummlinige“ Formen
– Vor allem für Grobabschätzung: Ersetzen durch geeignete Vielecke
– Auf Karopapier durch Auszählen der Quadrate
• Auch einbeschriebenes und umbeschriebenes „Karovieleck“
– Folie mit Karoraster auf Figuren legen
– Trapezstreifenmethode
• Kreis
– 1. Schritt: Grobabschätzung
führt bereits zu Ansatz: AKreis= p• r²
– 2. Schritt: Genauere Bestimmung des Faktors p an Beispielen. Dazu
z.B.:
• Bestimmung der Flächeninhalte von Kreis und Quadrat wie oben oder
• Ausschneiden und Wiegen (Hebelgesetz)
– Weitere bzw. ergänzende Möglichkeit: „Tortenstückmethode“
• Voraussetzung: Umfang des Kreises bereits erarbeitet
• Stellt Zusammenhang zwischen Umfang und Flächeninhalt her
– Für Examen: Fachmathematische p-Bestimmung z.B. mittels Folge einbzw. umbeschriebener n-Ecke die immer bessere Näherungswerte für
das Verhältnis aus Kreisumfang und Durchmesser liefern.
Die Satzgruppe des Pythagoras
• In einem rechtwinkligen Dreieck
– sind die Quadrate über den Katheten zusammen flächengleich
dem Quadrat über der Hypotenuse (Satz des Pythagoras)
– ist das Quadrat über der Höhe flächengleich dem Rechteck aus
den beiden Hypotenusenabschnitten (Höhensatz)
– ist das Quadrat über einer Kathete flächengleich dem Rechteck
aus der Hypotenuse und dem anliegenden
Hypotenusenabschnitt (Kathetensatz)
• Einfache Beweise (fürs Examen):
– Zerlegung des rechtwinkligen Dreiecks durch die Höhe in zwei
dazu ähnliche Dreiecke
• Weitere Beweise:
–
http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Vorlesungen/Geometrie_HS/3_Figuren_Koerper/Flaecheninhalt/Pythagoras/Pythagoras.htm
• Zu jedem Satz existiert eine Umkehrung
Aufbau des Volumenbegriffs
Analog Flächeninhalt!!
• direkter Volumenvergleich
– ohne Verformung: Kiste in Kiste stellen
– mit Verformung
• Flüssigkeiten umschütten
• Knetmasse verformen
• indirekter Vergleich mittels
– ungenormten Repräsentanten (z.B. Tetrapack)
– genormten Repräsentanten (Einheitswürfel)
• 1l := Volumen eines 1dm-Würfels!
• Propädeutisch: Anzahl der Würfel in Würfelbauten bestimmen
• Achtung es ist dringend notwendig immer w
Aktivitäten
• Volumenvergleiche bzw. -messungen durch
– Wiegen
• Vollkörper gleichen Materials verwenden
– mit Wasser befüllen
• Direktvergleich
• Umschütten in drittes Gefäß (z.B. Messbecher)
– Wasser verdrängen
• Überlaufen lassen
• Wasserspiegel ansteigen lassen
– Zerlegungen
• Bei gerade Säulen analog zu Vielecken
Ableitung der Volumenformeln
http://www.didmath.ewf.uni-erlangen.de/Homepage/Hartmann/Ubersichtsdarstellungen/Volumen11.swf
Umgang mit Formeln
•
•
•
Intensive formenkundliche Analysen voranstellen
Grundverständnis von Flächeninhalt und Volumen als Anzahl von
Einheitsquadraten bzw. –würfeln permanent aufrechterhalten
Formeln nicht zu früh einführen
– Zunächst intensive Erfahrung mit Auslegen, dann erst Suche nach schnelleren
Verfahren, die das Auslegen überflüssig machen
•
Analogien herausarbeiten (Länge-Flächeninhalt-Volumen)
– Grundidee: Vergleich mit Einheit
– S.o. (Analogisieren)
•
•
Keine überflüssigen Einzelformeln (Modulares Arbeiten)
Notwendige Schülerkompetenzen:
– Anwendungsbereich kennen (insbesondere Erkennen von Figuren und
Körperntypen)
– Formel anschaulich interpretieren können
– auf andere Bezeichnungen übertragen können
– Größen einsetzen und mit diesen rechnen können
– Formeln umstellen können
– Formel in Formel einsetzen können
– Zusammengesetzte Körpern bzw. Figuren vielseitig additiv bzw. subtraktiv
analysieren können