raumvorstellung 5
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Möglichkeiten zur Schulung der Raumvorstellung Andreas Asperl, Wien [email protected] Intelligenzen Thurstone (1938) • Raumvorstellung gehört zu den 7 grundlegenden mentalen Fähigkeiten (primary mental abilities) • Verbal, Word Fluency, Number, Perception, Space, Memory,, Reasoning • Raumvorstellung setzt sich aus drei Komponenten zusammen: • Veranschaulichung (Visualization) • Räumliche Beziehungen (Spatial Relations) und • Räumliche Orientierung (Spatial Orientation) Intelligenzen • Howard Gardners acht Intelligenztypen – – – – – – – – logisch-mathematisch linguistisch naturalistisch musikalisch räumlich kinästhetisch interpersonal intrapersonal • Kernkomponenten der räumlichen Intelligenz: – Zurechtfinden im Raum – Fähigkeit, die visuellräumliche Welt genau wahrzunehmen – Fähigkeit, diese Wahrnehmungen zu transformieren Intelligenzen Linn und Petersen (1985) beschreiben den Intelligenzfaktor „Raumvorstellung“ ebenfalls mit drei Kategorien: •Räumliche Wahrnehmung (Spatial perception), • Vorstellungsfähigkeit von Rotationen (Mental Rotation) und • Veranschaulichung (Spatial Visualization). Modell von Thurstone Veranschaulichung (Visualization) Räumliche Beziehungen (Spatial Relations) und Räumliche Orientierung (Spatial Orientation) Weitere Beispiele: Würfelnetze, Polyedernetze, … Modell von Thurstone Veranschaulichung (Visualization) Räumliche Beziehungen (Spatial Relations) und Räumliche Orientierung (Spatial Orientation) © Veritas Verlag © Veritas Verlag Modell von Thurstone Veranschaulichung (Visualization) Räumliche Beziehungen (Spatial Relations) und Räumliche Orientierung (Spatial Orientation) © Thomas Vogt Ein weiterer wichtiger Faktor Vorstellungsfähigkeit von Rotationen kommt häufig in Intelligenztests (MRT) vor RV im täglichen Leben • Wegbeschreibungen • Einparken von Autos • Zusammenbau von Selbstbaumöbel • Einräumen von Koffern and Zimmern RV in der Schule • Mathematik, • Physik, • Chemie, • Biologie, • Werkunterricht • Geometrie. RV und Berufe • im technischen Bereich: Konstrukteure, Modellbauer, Automechaniker, Elektriker, Installateure, Zimmermänner, Tischler, ... • im naturwissenschaftlichen Bereich Physiker, Chemiker (Fullerene), Biologen (Kristallographie), … • im künstlerischen Bereich Architekten, Designer und Bildhauer RV und Berufe Raumvorstellung muss bereits frühzeitig und ständig geschult werden! Veranschaulichung räumliche Beziehungen räumliche Orientierung Mentale Rotation Ägyptisches Dreieck Die ägyptischen Landvermesser verwendeten zur Konstruktion von rechten Winkeln ein Seil, das durch Knoten in 12 gleiche Abschnitte geteilt wurde. Kannst du die 5 Teile so legen, dass sie a) die beiden kleinen Quadrate lückenlos ausfüllen b) das große Quadrat ausfüllen? Perigal‘s Puzzle a) Fülle das mittlere Quadrat mit den vier Trapezen; das blaue Quadrat passt genau in das kleinste Quadrat. b) Kannst du auch das große Quadrat mit allen fünf Teilen lückenlos ausfüllen? Perigal‘s Puzzle Mit diesem Puzzle lässt sich auch der Satz von Pythagoras recht elegant zeigen. Quadrate halbieren Die Figur links oben zeigt ein (die einfachste) Möglichkeit, um ein Quadrat nach den vorgegebenen Linien in zwei deckungsgleiche Hälften zu teilen. Wie viele Teilungsmöglichkeiten findest du noch? Quadrate halbieren Es gibt genau 6 Lösungen Quadrate vierteln Die Figur links oben zeigt ein (die einfachste) Möglichkeit, um ein Quadrat nach den vorgegebenen Linien in vier deckungsgleiche Flächen zu teilen. Wie viele Teilungsmöglichkeiten findest du noch? Quadrate vierteln Es gibt genau 4 Lösungen Figuren halbieren Zerlege die unregelmäßige Figur in zwei deckungsgleiche Flächen – Teilungslinien sind nur entlang der vorgegebenen Linien erlaubt! Kannst du die Figur auch in 4 deckungsgleiche Flächen teilen? Figuren halbieren Figuren halbieren Zerlege die unregelmäßigen Figuren jeweils in zwei deckungsgleiche Flächen! Nun sind auch beliebige geradlinige Schnittlinien erlaubt! Figuren halbieren Umsprungbilder Impossibles Objekt von Gerhard PILLWEIN – erzeugt mit Microstation durch geschicktes „zur Deckung bringen“. Drahtgittermodell – mögliche und „unmögliche“ Ausführung der Sichtbarkeit Bestimmung von Sichtbarkeiten Würfelnetze Nun werden wir Würfel falten. View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Charly‘s Würfel 1 Charly hat verschiedene, aus sechs Quadraten bestehende Papierstreifen ausgeschnitten und möchte diese nun zu einem Würfel zusammensetzen. Er darf dabei nur längs der vorgegebenen Kanten knicken und zum Befestigen aneinanderstoßender Seitenflächen verwendet er ein Klebeband. Welche der ausgeschnittenen Papierstreifen kann Charly auf diese Art zu einem Würfel zusammensetzen? Kannst Du Charly noch andere Papierstreifen erzeugen, die das Netz eines Würfels bilden? Wie viele verschiedene Würfelnetze gibt es überhaupt? Charly‘s Würfel 2 Du hast sicherlich alle verschiedenen Würfelnetze gefunden Wie viele gemeinsame Kanten zwischen Quadraten treten bei den einzelnen Netzen auf? Ist dein gefundenes Ergebnis nicht merkwürdig? Versuche, eine Begründung dafür zu finden! Würfelnetze GELB – BLAU ROT – ORANGE GELB – ROT GRÜN - GRAU GRAU – ORANGE GRÜN - BLAU Welche Farben liegen nach dem Auffalten des Würfels jeweils in zueinander parallelen Seitenflächen? Würfelnetze Variante Welche Netze ergeben denselben Würfel? Würfeltauchen Stell dir vor, der Würfel sei bis zur Mitte in Farbe getaucht worden. Färbe die entsprechenden Flächen im Würfelnetz. Würfeltauchen (Lösungsvorschlag) Das bemalte Netz rechts wäre eine mögliche Lösungsvariante. Würfeltauchen 2 Stell dir vor, der Würfel sei bis zur Mitte der oberen geneigtne Kanten in Farbe getaucht worden. Färbe die entsprechenden Flächen im Würfelnetz. Würfeltauchen 2 (Lösungsvorschlag) Das bemalte Netz rechts wäre eine mögliche Lösungsvariante. Bemalte Würfelnetze Finde zum gezeigten Würfel passende Netze! Bemalte Würfelnetze View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Bemalte Würfelnetze View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Bemalte Würfelnetze (Lösung) Eine Seitenfläche bleibt unbekannt!! Würfelnetze mit Mustern 1) Finde zum gezeigten Würfel ein passendes Netz (Angabeblatt links)! Verwende dabei nur folgende Muster: Lösungsschritt 1 1) Finde zum gezeigten Würfel ein passendes Netz (Angabeblatt links)! 2) Für die sechste Seitenfläche bleibt nur noch dieses Muster übrig. 3) Wähle nun eine beliebige Lage für das sechste Muster. Lösungsschritt 2 4) Zum Beispiel kannst du diese Lösung wählen: Damit hast du den Raumwürfel eindeutig festgelegt!! 5) Zeichne nun das Netz dieses Würfels in der zweiten Netzvorlage ein: Lösung Als Lösung erhältst du: Tipp: Verwende CLIXIQuadrate und klebe die Muster auf die Seitenflächen. Tetraederproblem Drei der Zeichnungen stellen jeweils ein Netz desselben Tetraeders dar. A B C D Welches Netz stammt von einem anderen Tetraeder? Tetraederproblem Drei der Zeichnungen stellen jeweils ein Netz desselben Tetraeders dar. A B C D View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Welches Netz stammt von einem anderen Tetraeder? Fliegen – Spinne - Aufgaben Die Spinne ist hungrig und ungeduldig; ihr Plan, möglichst rasch (also auf kürzestem Weg) zur Fliege zu gelangen, um sie dann als Häppchen zu verspeisen, ist in der Figur links als punktierte Linie eingetragen. Aber, ist der eingezeichnete Weg tatsächlich der kürzeste? Fliegen – Spinne - Aufgaben Bemerkungen zum Hyperkubusnetz: • Gemälde von Salvadore DALI • Corpus Hypercubicus (1954) • vom Punkt zum Hyperkubus • „Perspektive“ eines Hyperkubus (Schlegeldiagramm) Fliegen – Spinne - Aufgaben Bemerkungen zum Hyperkubusnetz: www.engon.de Omi‘s Tischdeckenkunst Omi‘s Tischdeckenkunst Würfelketten Stellt man drei Würfel so zusammen, dass jeder eine ganze Seite mit einem Nachbarwürfel gemeinsam hat, dann gibt es genau zwei verschiedene Möglichkeiten. Wie viele Möglichkeiten gibt es, vier Würfel anzuordnen? Würfelketten Es gibt 8 Anordnungen, die verschieden sind. Zwei davon sind „Spiegelbilder voneinander“ - welche sind es? Würfelketten View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Sind die beiden Objekte identisch? Kannst du beide Objekte so drehen, dass dasselbe Bild entsteht? Würfelschnitte Welche der abgebildeten geometrischen Figuren erhält man mittels eines einzigen Schnittes durch einen Würfel? Quadrat, Rechteck, rm. Fünfeck, rm. Sechseck, gleichseitiges Dreieck, gleichschenkeliges Dreieck Würfelschnitte Zeichne zwei Schnittfiguren in die Würfelbilder ein! Beachte die Eigenschaften der Parallelprojektion! Würfelschnitte View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Schnitt nach einem Rechteck View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Schnitt nach einem Quadrat Würfelschnitte View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Schnitt nach einem gleichschenkeligen Dreieck View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Schnitt nach einem gleichseitigen Dreieck Würfelschnitte View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Schnitt nach einem regelmäßigen Sechseck Schnitt nach einem regelmäßigen Fünfeck ? Würfel zählen Dieser dreidimensionale Knoten ist aus lauter Würfeln zusammengesetzt. Alle Würfel sind gleich groß, es gibt keine losen Enden und die Würfel sind jeweils mit einer ganzen Oberfläche verbunden. *Wie viele Würfel sind zur Konstruktion jedenfalls notwendig? Würfel zählen View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Man benötigt mindestens 24 Würfeln! Möbiusband View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Das „endlose“ Möbiusband von M.C. ESCHER Ein Würfelring in Form eines Möbiusbandes. Möbiusband Der Würfelring besteht aus 22 Würfeln; er besitzt wie das Möbiusband nur eine Oberfläche. Kannst du einen Würfelring mit denselben Eigenschaften aber der geringst möglichen Anzahl an Würfeln zusammenbauen? Möbiusband Lösung: 80E View in 3D with Deep View Free at www.righthemisphere.com/dv Mit nur 10 Würfeln lässt sich ein Würfelring in Möbiusbandform erzeugen. Zusatz: Wie lang ist das violette Band, wenn die Seitenkantenlänge des Würfels 2 Einheiten beträgt? Die Informationsblätter der Geometrie (IBDG) unterstützen den Geometrieunterricht durch fachspezifische Artikel und verstehen sich auch als ein Medium zum Meinungs- und Erfahrungsaustausch aller mit Geometrie befasster Personen und Institutionen. (Kontaktadresse: [email protected])
