Skalenanalyse in der Hydrologie

Das BMBF-Vorhaben
Skalenanalyse hydrologischer und
hydrometeorologischer Zeitreihen
Skalenanalyse in der Hydrologie – warum?
Von Peter Braun, ehemals Bayerisches Landesamt für Wasserwirtschaft
Bayerisches Landesamt
für Wasserwirtschaft
Norwegisches Waldforschungsinstitut
Ausgangspunkt
• Empirischen Daten in der Hydrologie werden in einer bestimmten
Auflösung (Skala) gemessen
• Wichtige statistische Kennzahlen bzw. Charakteristika hängen (in
oftmals unbekannter Weise) von diesen Skalen ab.
• Im Rahmen von KLIWA wurde erkannt, dass es dringend notwendig
ist, diese Skalenabhängigkeit zu klären
• Zunächst wurde versucht, den Einfluss räumlicher Skalen zu
untersuchen (z.B. Einfluss der Rastermaschenweite auf den
dynamischen Output von ASGII (WH – Modell))
• Zahlreiche rasterbasierte Parameterfelder (z.B. der BEVEN – Index)
für das Modell waren
skaleninvariant, d.h., sie zeigen fraktales Verhalten.
21. 10. 2004 München
Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
Skaleninvarianz, Potenzgesetze
• Für die Hydrologie besonders wichtig ist die Erkenntnis,
dass nicht nur geometrische bzw. räumliche Objekte
skaleninvariant sein können, sondern auch statistische
Eigenschaften von Zeitreihen skaleninvariantes
Verhalten aufweisen können.
• Statistische Charakteristika können bei Skalenwechsel
durch einfache Transformationen (Potenzgesetze)
ineinander umgerechnet werden
• Diese Potenzgesetze gewinnt man empirisch aus der
Bestimmung interessierender Eigenschaften bei
unterschiedlichen Auflösungen (Skalen)
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Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
Gründung des
Verbundprojektes
Durch Hinweise aus der Literatur und eigener
Analysen kamen wir zu dem Schluss, dass der
Befund der Langzeitkorrelation weitreichende
Konsequenzen für die Bewertung gängiger
hydrologischer Auswerteverfahren haben
würde.
Es war notwendig, externe Expertise zu
akquirieren
Das BMBF und der Freistaat Bayern konnten
für die Finanzierung des Projektes gewonnen
werden.
21. 10. 2004 München
Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
Langzeitkorrelationen
• Skaleninvariante Prozesse zeigen das Phänomen der
Langzeitkorrelation (Persistenz): Bestimmte statistische
Eigenschaften kehren auf längeren Zeitskalen wieder (bzw.
unterscheiden sich nur durch Faktoren, die man gut
bestimmen kann)
• Es gibt zwei prinzipiell verschiedene Gründe für
Persistenz: Solche, die in der Dynamik der Prozesse
begründet sind und solche, die durch skaleninvariante
Verteilungsfunktionen induziert werden.
• HURST war der Erste, der am Beispiel des Nils zeigte,
dass es Langzeitkorrelationen geben müsse.
• In der Literatur waren diese Befunde heftig umstritten. Ein
wesentlicher Grund für die Missverständnisse war aus
unserer heutigen Sicht die Tatsache, dass man Trends und
Langzeitkorrelationen zur damaligen Zeit nicht trennen
konnte
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Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
Befunde in KLIWA mittels Spektren
(problematisch wg. möglicher Trends)
Periode in Tagen
Die in KLIWA
untersuchten
Zeitreihen
zeigten das typische
Potenzverhalten
skaleninvarianter
Prozesse. Die Intensität
der Langzeitkorrelation
misst der Skalenexponent
ß
21. 10. 2004 München
spektrale Dichte
10000
10
7
10
5
10
10
3
1
1000
100
10
Jahrespeak
10
6
10
4
10
2
10
0
Steigung
 = 0.84
0.1
10
-4
0.2
0.3
10
0.4
-3
0.5
-2
10
10
-1
Frequenz (1/d)
Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
„Trends“ und Langzeitkorrelationen – ein
Beispiel
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Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
Hydrologische Methoden, die durch
Langzeitkorrelationen beeinflußt werden:
 Identifikation von Trends bei gleichzeitigem Vorliegen von
Langzeitkorrelationen
 Extremwertstatistik: Sind Reihen langzeitkorreliert, dann sind es auch
die seltenen Ereignisse – selbst wenn die Korrelationen nur noch
schwach ausgeprägt sind.
 Bez. der Wiederkehrintervalle gelten die einfachen Beziehungen
zwischen der (unbedingten) Eintrittswahrscheinlichkeit und dem
Wiederkehrintervall nicht mehr!
 Simulation langer Reihen mittels ARMA – Prozessen ist
problematisch, da das Langzeitverhalten falsch beschrieben wird
 Besser: Simulation langzeitkorrelierter Reihen mittels spezieller
Generatoren, die das fraktale Verhalten nachbilden.
 Der Skalenexponent erweist sich als Schlüssel – Parameter für den
Einfluss der Langzeitkorrelation
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Typisches Beispiel für Langzeitkorrelationen an der Weser
mit der DFA:
shuffled
shuffled
DFA:
Detrended Fluctuation
Analysis.
Es werden polynomiale
Trends n-ter Ordnung eliminiert
800 800
 i [m /s]
600 600
3
400 400
i
200 200
0
0
-200 -200
0
5
4
4
3
3
3
5
Y j [10 m /s]
5
5
Y j [10 m /s]
0
2
3
2
1
1
0
0
3
10
10
10
600
600
50 50
00
10
3
1
10
1
-1
10
-1
200
200
400400 600 600
i [days]
i [days]
100
100
150 00
150
j [years]
j [years]
5
F 2(s)
10
F 2(s)
5
400
400
i [days]
i [days]
-1 -1
0
0
10
200200
5050
100 100 150 150
j [years]
j [years]
F A FA
D FA 3D FA 3
DFA
1 1
D FA
D FA 4
D FA 4
DFA
2 2
D FA
D FA 5
D FA 5
.7755
) = 00 .
hh((22)
1
10 10
1
2
1010
2
103
10
3
[days]
s s[days]
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4
10 4
10
Mischen: Zerstörung der
zeitlichen Ordnung der
Meßpunkte
0 .5
.5
h ( 2 ) =h ( 2 ) = 0
1
1010 1
2
3
10 10 2 10 10 310
s [days]
s [days]
4
10
4
Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
Stand
• Durch umfangreiche Tests an vielen heimischen und
internationalen Flüssen wurde nachgewiesen, dass wir
in weiten Skalenbereichen skaleninvariantes Verhalten
finden.
• Es konnte nachgewiesen werden, dass die
Durchflussreihen ein multifraktales Verhalten zeigen (ist
im Moment nicht von großer Relevanz, da sich wichtige
Eigenschaften auch ohne dieses spezielle Merkmal
erklären lassen)
• Es konnte gezeigt werden, dass bei Existenz von
Langzeitkorrelationen die Extremwertstastik stark
beeinflusst wird (ist noch in Arbeit)
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Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
Stand
• Es wurden gängige Trend – Tests überprüft (z.B.
PETTITT). Ergebnis: Bei simultanem Vorliegen von
Langzeitkorrelationen sind diese Tests wenig
aussagekräftig
• Die fraktale Signatur ist ein zusätzliches Gütekriterium zur
Bewertung von WH – Modellen (Beispiel ASGII)
• Empirische Verteilungsfunktionen wurden auf Stationarität
überprüft (incl. mögliche räumliche Muster)
• Es wurde die Wirkung von Kurzzeitkorrelationen auf das
Langzeitverhalten untersucht
• Es wurde mittels SSA nach quasizyklischen langwelligen
Komponenten in den Reihen gesucht und deren regionale
Ausprägung erforscht
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Skalenanalyse hydrologischer und hydrometeorologischer Zeitreihen
Ausblick
• Absicherung der statistischen Befunde zur Skaleninvarianz
durch Vergleich mit geeigneten Proxy – Variablen bzw.
Ausdehnung des Skalenbereiches durch geeignete Reihen
• Suche nach operationellen Verfahren für die Bestimmung
von Extremwertverteilungen bei langzeitkorrelierten
Reihen
• Konstruktives Verfahren zur Rekonstruktion von Trends
bei langzeitkorrelierten Reihen
• Stochastische Simulation langer Reihen, die u.a.
Langzeitkorrelationen explizit berücksichtigen
• Untersuchung der höheren Momente von Verteilungen,
weil sie wichtige Prozeßinformationen beinhalten
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