Kein Folientitel

Zeitreihenanalyse
WS 2004/2005
Michael Hauhs / Gunnar Lischeid
• Definition einer Zeitreihe, Eigenschafte Tests und
Trenderkennung bei Zeitreihen
• Beispiele (ACF, Tests), Fouriertransformationen,
Powerspektrum
• Zeitreihenmodellierung der ARMA-Klasse
• Modellierung von Zeitreihen mit langem Gedächtnis
• Nicht-lineare Methoden:
–
–
–
–
Wiederkehrdiagramme
Komplexität und Information von Zeitreihen
Singuläre Systemanalyse (SSA) (?)
Wavelets (?)
Modellklassen in der S-NL Ebene
1/f
Chaos
?
Edge of chaos
Hidden Markov
?
?
?
?
?
NLARMA
?
Stabilitätsanalyse
Schwingungen
?
?
ARMA
Stochastizität
Zeitreihen als Ergebnis von Messungen an
dynamischen Systemen
• Skalare (univariate) Zeitreihe als 1-d Projektion
aus multidimensionaler Dynamik
• Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften
von Trajektorienensembles werden untersucht
(„Anfangsbedingungen sind irrelevant“)
• Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten:
- instabil/explodierend ("runaway solutions")
- Fixpunkt
- periodisches Verhalten
- Grenzzyklus
- Kompakte Mengen: Attraktoren
- (falls nicht kompakt: ergodische Systeme)
Kurze Einführung in dynamische Systeme
• Untersucht wird das typische Langzeitverhalten
(unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen)
• Dynamische Systeme werden im Zustandsraum beschrieben
• Ausgangspunkt sind i.d.R. deterministische Systeme
• Zwei Klassen:
- Kontinuierliche Systeme: DGL 1. Ordnung
- Diskrete Systeme
: Iterationsgleichungen
Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren,
Einbettung
Autonomes dynamisches System im Zustandsraum:
 

xn1  F ( xn )
Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems
(Dimension D)
Takens Theorem (1983):
Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren
d
xn  ( xn( m1) d , xn( m2) d ,..., xn )
liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls
m  2D  1
Stabilität von dynamischen Systemen
Ein n-dimensionales dynamisches System sei gegeben:

   
x  F x , x  x1 , x2 ,..., xn , F  F1 , F2 ,..., Fn 
Eine Menge von stationären Punkten sei gefunden:

 
F x0   0
Wohin führen kleine Abweichungen?
Linearisierung :
n
 
 

Fi
F  x0  x   F  x0   
i 1 x j
d.h.


x  Ax
x j
 
x  x0
Aij
Lineare DGL 1. Ordnung!
Lösung der Stabilitätsgleichung

At 
x t   e x 0
Wohin geht die Reise?
Satz (Lyapunov):
(1) Haben die Eigenwerte
 der Matrix A alle negativen Realteil,
ist das System bei x0 stabil.
(2) Gibt es einen Eigenwert mit positivem Realteil,
ist das System instabil.
(3) Ist der größte Realteil = 0, liegt ein Zentrum vor.
Quantifizierung von Chaos: der
kontinuierliche Fall
  
x  F (x )

B
(x
)
Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0:

Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden
mit Hauptachsen  i .
Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln:


1
i ( x )  lim log  i ( x )
t  t
(Zeitmittel)
(für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig)
Definition des Lyapunov-Exponenten
Mittlere Divergenzrate
   ln f ( x )  ( x )dx
Ergodische Systeme:

Lyapunov-Exponent
hängt nicht vom Ort ab
kontrahierend/expandierend:
 0
 0
Def.: Ein System ist chaotisch
 0
Verallgemeinerung auf k Dimensionen: k Lyapunov-Exponenten
aus den Eigenwerten der Jakobi-Matrix
  f ( x)
Dx f ( x )  i
x j
Falls mindestens einer
0
Chaos!
(A) Segment of the phase space trajectory of the Lorenz system (for standard
parameters r=28, σ=10, b=8/3; Lorenz 1963) by using its three components
and (B) its corresponding recurrence plot. A point of the trajectory at j which
falls into the neighbourhood (gray circle in (A)) of a given point at i is
considered as a recurrence point (black point on the trajectory in (A)). This is
marked with a black point in the RP at the location (i, j). A point outside the
neighbourhood (small circle in (A)) causes a white point in the RP. The radius of
the neighbourhood for the RP is ε=5.
Fraktale und Selbstähnlichkeit
• Kennzeichen eines Fraktals ist immer die nichtganzzahlige Dimension
• Es gibt nicht-selbstähnliche Fraktale
• Nicht jede selbstähnliche Struktur ist ein Fraktal
(Gegenbeispiele: Strecke, Quadrat, Würfel)
• Selbstähnliche Strukturen, bei der die Anzahl der
Teile nicht skaliert wie ihre topologische
(ganzzahlige!) Dimension, sind Fraktale
Die Technik der Wiederkehrdiagramme
• Zeitreihe {x(ti)} der Länge N liegt vor
Konstruktion von Einbettungsvektoren

sm (t )  ( xt , xt  , , xt ( m 1) )
• Abstandsberechnung


R(i, j )  sm (ti )  sm (t j )
p
(für eine geeignete Norm p)
• Die ( N  (m  1) )  ( N  (m  1) ) Matrix R heisst
Wiederkehrmatrix von {x(ti)}
• Der Punkt (i,j) heisst wiederkehrend, falls
R (i , j )  r
• Parameter: Einbettungsdimension m , Verzögerung , Schwellenwertradius r
• Wiederkehrdiagramme (RPs): farbkodierte Visualisierungen von R
Anzahl der Nachbarn abhängig von
der Dimension
Versuch zur Ermittlung optimaler
Parameter
• Teil 1: Ermittlung des optimalen Schwellenwertes r
• Bestimmung der Wiederkehrpunkte RP
als Funktion des Radius
• Berechnung des Zuwachses dRP / dr
• Maximum beim Überschreiten des „noise floors“
• danach Plateau? Wähle Beginn des Plateaus
• kein Plateau? dann halber Wert des Maximums
• Faustregel: RP ca. 30-50%
Kriterium zur Ermittlung des optimalen
Schwellwert-Radius
Versuch zur Ermittlung optimaler
Parameter II
• Teil 2: Ermittlung des Delays 
• Der Attraktor sollte nicht zu dicht „abgetastet“ werden
• Aufeinanderfolgende Einbettungsvektoren
sollten nicht zu stark autokorreliert sein
• Ermittlung der ersten Nullstelle der Autokorrelation
(linear) oder des ersten Minimums der wechselseitigen
Information (nichtlinear)
• Wahl des Delays dort in der Nähe
Versuch zur Ermittlung optimaler
Parameter III
• Teil 3: Ermittlung der Einbettungsdimension

• Bestimme zu jedem Vektor x  ( x1 , x2 ,..., xn )

seinen nächsten Nachbarn y  ( y1 , y2 ,..., yn )
• Bestimme den Abstand der Werte
zum nächsten Zeitpunkt: Rpred  xn1  yn1
• Bestimme den Abstand im Originaldatensatz:
Rorig  xn1  xn
(„trivialer Prädiktor“)
• Ist Rorig  R pred , zählt

y
als „falscher“ (zufälliger) Nachbar
• Wähle die Einbettungsdimension mit der geringsten
Zahl von falschen Nachbarn
Beispiel für falsche Nachbarn
Wiederkehrdiagramme und ihre
Quantifizierung (RQA)
„Optische Eindrücke objektivieren“
• relative Anzahl der Wiederkehrpunkte (in Fenstern)
• Deterministische Anteile sind an Linien unterschiedlicher Länge
parallel zur Hauptdiagonalen erkennbar:
In
ist
yn1  xn  n

(AR(1)-Modell)
mit der Linienlänge korreliert
• Kurze Linien werden als zufällig angesehen
(Festlegung einer minimalen Linienlänge)
• Verteilung der Linienlängen über Shannon-Entropie quantifiziert
l max
S line    p (i ) log p (i )
i l min
Wiederkehrdiagramme und ihre Quantifizierung
(Fortsetzung)
• Die jeweils längste Linie ist mit
dem höchsten Lyapunov-Exponenten invers korreliert
• Abnahme der Wiederkehrpunkte nach aussen ( Trend )
Verallgemeinerung: Kreuzwiederkehrdiagramme
• zwei unterschiedliche Datenreihen
• auf einheitlichen Wertebereich skalieren (z.B. [0,1])
• Quantifizierung so wie vorher
Typische
Muster in
Wiederkehrdiagrammen:
A: Zufällig
B: Periodisch
C: Trend
D: Unterbrochen
http://www.agnld.uni-potsdam.de/~marwan/rp/index.php?a=glance
http://www.agnld.uni-potsdam.de/~marwan/rp/index.php?a=glance
Vergleich:
lineare Methoden und
Wiederkehrdiagramm
N. Marwan und Kurths (2002)
Vergleich:
lineare Methoden und Wiederkehrdiagramm
N. Marwan und Kurths (2002)
Vergleich mit komplexeren Modell:
AR(1) gekoppelt mit dem Lorenz-System (n=8000) :
yn = 0.86yn-1 + 0.500ξn + κxn2
N. Marwan und Kurths (2002)
Vergleich mit komplexeren Modell:
AR(1) gekoppelt mit dem Lorenz-System (n=8000) :
yn = 0.86yn-1 + 0.500ξn + κxn2
Die lineare Methode (Kreuzkorrelation)
versagt
N. Marwan und Kurths (2002)