1. Einführung. Determinismus im Himmelsmechanik. Keplerische

Vorlesung 1
Determinismus im Himmelsmechanik. Keplerische
Gesetze und Newtonische Himmelsmechanik.
Dreikörperproblem.
Elementen der Katastrophentheorie.
Zustandsvariablen und Systemparameter. Potential
und Diskontinuität. Zeemanische
Katastrophenmaschine. Spitzenkatastrophe.
Strukturelle Stabilität, Bimodalität,
Hysteresis.
Impakten und Einschläge auf der Oberfläche der Erde
1. Das Problem der Entstehung des Mondes ist ebenfalls sehr kompliziert und noch
immer nicht gelöst. In letzter Zeit wird eine Katastrophentheorie den anderen
Hypothesen vorgezogen. Danach soll der Mond aus dem Zusammenstoß der noch
jungen Erde mit einem anderen (marsgroßen) Planetenkörper entstanden sein. Die Reste
dieses Zusammenstoßes aus den Hüllen dieser Körper sind dann in der Erdumlaufbahn
zum Mond kondensiert. Damit lassen sich eine Reihe von Eigenschaften des Mondes
erklären: relativer Eisenmangel und hoher Schmelz- und Siedepunkt des Mondgesteins,
die Neigung der Mondbahn und der große Drehimpuls des Systems Erde - Mond.
2. In den 60er und 70er Jahren
verglichen Paläontologen die Daten
verschiedener Arten aus verschiedenen
Gesteinsschichten und entdeckten
Zeiten mit extrem hoher
Artenauslöschung. Eine kürzliche
Untersuchung mariner Schalentiere
ergab ebenfalls folgendes Bild:
Warum glauben wir nicht in einer
Impaktkatastrophe oder Einschlag aus dem All?
Wir glauben in Determinismus des Himmelsmechaniks!
I. Die Keplerischen Gesetze
1) Die Planeten bewegen sich auf Ellipsen, in deren einem
Brennpunkt die Sonne stehet.
2) Die gedachte Linie SP, die die Sonne mit Planeten verbindet,
überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen.
3)Nimmt man zwei Planeten P (Umlaifzeit T, grosse Halbachse a)
und P‘ (Umlaufzeit T‘, grosse Halbachse a‘), so sind die Verhältnisse
T²/a³ und t‘²/a‘³ gleich.
Kepler, 1605.
Elliptische Bahn eines Planeten P mit der Sonne S in einem
Brennpunkt
Kepler, 1605.
Flächensatz. Die Bahnbögen P1P2 und P‘1P‘2
werden in gleichen Zeit durchlaufen.
Kepler, 1605.
P
a‘/a=2, daher T‘/T=2,8. Die Keplerellipsen haben
denselben Brennpunkt S, aber nicht denselben
Mittelpunkt. Ihre Form, d.h. der Wert von b bzw. b‘, ist
ohne Einfluss auf T‘/T
II. Newtonische Gesetze + Gravitationsgesetz (Newton, 1666)
 G  M1  M 2
F
2
r

  M1 

M1  r   3  r
r
Die Himmelsmechanik: Der Planet T unterliegt nicht nur der
Anziehungskraft der Sonne S, sondern auch der grossen Planeten J. Die
Bahn von T weist daher eine Abweichung von der Keplerischen
Bezugsbahn auf.
Newton Pricipia (London, 1687)
• Man darf für die natürlichen Dinge nur so viele
Ursache zulassen, wie die Wahrheit entsprechen
und zugleich zur Erklärung der Phänomene
hinreichend sind. Die Natur ist einfach und
verschwendet keine überflüssigen Ursachen!
• Deshalb sind Ursachen von natürlichen
Wirkungen derselben Art dieselben.
Klassische Determinismus
Dreikörperproblem (Poincaré):
• Die Relation zwischen dem Zeitpunkt und
Positionen im Dreikörperproblem gerade nicht mit
Hilfe der elementaren Funktionen ausdrücken lässt.
Die Lösungen sind die Zeitreihen.
• Die Reihen divergent sind, d.h., daß man sie daher
nicht verwenden kann, um die Lösung zu
definieren und zu berechnen: die Reihen nicht
geeignet sind, eine unbegrenzte Näherung zu
liefern.
Poincarés, 1892. Drei- und Mehrkörper-Wechselwirkungen im
Himmelsmechanik.
 N G  M i  M j  
M i  ri     3  (rj  ri )
j 1
ri  rj
j i
Die Situation in der Umgebung einer periodischen Bahn T.
Ebene p, die mit T an einem Punkt zusammentrifft, den bezeichnet man als O.
T‘ ist eine benachbarte Bahn, so trifft sie mit p in den zu O benachbarten Punkten A0, A1, A2 ....
zusammen. Diese Punkte bilden eine unendliche Folge, es sei denn, die Bahn T‘ ist selbst auch
periodisch. Der Gedanke ist, die Bahn T‘ zu ersetzen durch die Folge der Punkte, an denen sie
auf Ebene p auftritt.
Hénon, 1969.
X n1  X n  cos   (Yn  X n2 )  sin 
Yn1  X n  sin   (Yn  X n2 )  cos 
=76,11°
Sattelpunkte Ci gehören
zu einer periodischen Umlaufbahn.
Diese Figur zeigt eine Computerberechnung auf der Grundlage der
Henonschen Formeln. Sie scheint eine saubere Aufteilung zu geben in
einen Innenbereich, in dem Regelmäßigkeit herrscht, und einen äußeren
Bereich, in dem die Bahnen zufällig erscheinen. Das ist jedoch nur
scheinbar so, wie die folgende Abbildung zeigt.
Vergrösserung der
Umgebung des Punktes
C2 von letzter
Abbildung. Die
dargestellten Punkte
gehören zu einer
einzigen Bahn. Man
erkennt das
Hervortreten einer
Feinstruktur, die aus
Inseln der Ordnung in
einem Meer des
Chaotischen besteht.
Beobachtung der Durchgänge des
Kometen C durch die Ebene P der
gemeinsamen Bahn E1 und E2.
Frage: Wie viele Jahre zwischen
zwei aufeinanderfolgenden
Erscheinungen des Kometen auf
der Ebene P verstreichen werden ?
Die stark durchgezogene Linie stellt die
Bahn des von der Anfangsposition O
ausgegangenen Bezugssystems dar.
Eine leichte Störung des Systems kann
genügen, um diese Bahn völlig zu
verändern (gestrichelte Linie).
Gleichwohl gibt es eine Bahn des
gestörtes Systems, die in der Umgebung
der Bezugsbahn des ungestörten
Systems bleibt (schwach durchgezogene
Linie): aber diese Bahn ist von einer
anderen Anfangsposition ausgegangen
(Punkt O‘ anstelle von O).
Einleitung in der
Katastrophentheorie
René THOM „Stabilite´structurelle et morphogenèse“ (1972)
Es gibt viele Systeme, die sich nicht in allen Fällen stetig verhalten. Da
aber die Standard verfahren der Mathematik, die Integral- und
Differenzialrechnungen nur auf stetige Funktionen anwendbar sind,
müssen hier neue Methoden entwickelt werden. Die
Katastrophentheorie ist kein physikalisches Prinzip, sondern eine
mathematische Theorie und hier eng mit der Behandlung von
Singularitäten verknüpft.
Da die katastrophentheorie die Probleme sehr allgemein behandelt,
sollte sie nicht nur auf die Himmelsmechanik beschrankt sein, sondern
auch auf anderen gebieten wir z. B. in der Biologie oder Paläoontologie
anwendbar sein. Katastrophentheorie ist eine qualitative Theorie.
Sattelkpunkt (Falte):
F(x)= x3 + u*x
Ein System kann
vollständig durch die
Angabe von n Variablen
(x1, x2, ....xn), den
sogenannten
Zustandsvariablen
beschrieben werden. Diese
Zustandsvariablen werden
von m Kontrollvariablen
bestimmt (u1, u2, u2...um).
ui sind äußere Parameter.
Kuspe (cusp): F(x)= x4-u*x2+v*x
Die folgende Abbildungen macht
deutlich, warum es auch bei
einem glatten Potential, das
stetig von einer
Kontrollvariablen (v) abhängt zu
unstetigen Verhalten kommen
kann.
Falte und wie man sie überquert
Katastrophenoberfläche
Raum der Kontrollparameter
Schlußbemerkungen
• Die Katastrophentheorie ist ein Werkzeug um den
Einfluß von äußeren Parametern
(Kontrollparametern) auf dissipativen Systeme zu
beschreiben.
• Von Evolution der dissipativen Systeme ist nichts
zurückzubehalten als ihren Gleichgewichtszustände.
• Im Himmelsmechanik schließt in sich Gegenwart
explizit alle Vergangenheit und alle Zukunft. In ein
geschlossenes Universum mündet eine universale
Gegenwart ein Universum ohne Überraschungen.