GIN1b – Exkurs: Primzahlen

LDS – Exkurs:
Rechnen…
Prof. Dr. Wolfram Conen
Version 1.2
Prof. Dr. W. Conen, FH Gelsenkirchen,
Version 1.2
1
Schauen Sie sich um…

Computer und Netzwerke sind überall!

Sie ermöglichen ein feingesponnenes Geflecht komplexer menschlicher Aktivitäten:
 Erziehung, Geschäftsleben, Unterhaltung, Forschung, Produktion,
Gesundheitsmanagement, menschliche Kommunikation, selbst Kriegsführung

Es gibt zwei wichtige technologische Grundlagen dieser faszinierenden Entwicklung:
 Die offensichtlichere: die atemberaubende Geschwindigkeit, mit der uns
Fortschritte in Mikroelektronik und Chip-Design immer schnellere Hardware
bringen
 Die „verstecktere“ Grundlage: Eine intellektuelle Unternehmung, die einen
wesentliche Treibstoff für die fortschreitende Computer-Revolution bietet:

Die Suche nach effizienten Algorithmen

It‘s a fascinating story. Gather ‚round and listen close.
[Sanjoy Dasgupta, Christos Papadimitriou und Umesh Vazirani in „Algorithms“,
1.ed, McGraw-Hill, 2008]
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2
Schauen Sie sich um…

Die Suche nach effizienten Algorithmen

… wird Thema in ADS…aber auch in LDS werden wir schon (mathematisch
motivierte) Ausflüge dorthin unternehmen…zum Beispiel im folgenden.

Wir werden uns mit Zahlen beschäftigen und rechnen lernen

… und mit Hilfe von Primzahlen unseren Freunden (ziemlich) sichere Emails senden

Und natürlich werden wir das so genau anschauen, dass sie selbst „per Hand“
verschlüsseln können werden!
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3
Algorithmen mit Zahlen

Im folgenden werden zwei sehr alte Probleme eine zentrale Rolle spielen:





Faktorisierung: Gegeben sei eine Zahl N, stelle sie dar als Produkt ihrer
Primfaktoren
Prüfen der Primzahleigenschaft: Gegeben sei eine Zahl N, bestimme, ob sie
eine Primzahl ist
Faktorisierung ist ein „hartes“ Problem: der schnellste bisher bekannte
Algorithmus benötigt einen Zeitaufwand, der exponentiell ist zur Zahl der Bits, die
N kodieren.
Zum Testen der Primzahleigenschaft existiert hingegen ein effizienter Algorithmus
(ausführbar mit einem Zeitaufwand, der sich durch ein Polynom abschätzen läßt)
Aber mehr dazu später.
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4
Algorithmen mit Zahlen

Eine elementare Eigenschaft von Dezimalzahlen:

Die Summe von drei beliebigen einstelligen Zahlen ist höchsten zweistellig.

Prüfen wir das:
 Die größte einstellige Zahl ist 9
 9+9+9 = 27, die Aussage stimmt also offensichtlich

Diese Aussage gilt für Zahlen zu jeder Basis b >= 2

Deshalb können wir beim Addieren zweier Zahlen, egal, wie sie repräsentiert sind,
diese immer rechtsbündig untereinander schreiben und dann von rechts nach links
ziffernweise addieren und einen (immer) EINSTELLIGEN Übertrag (0 ist auch
erlaubt)
mitführen, der beim nächsten Durchgang hinzu addiert wird (und wieder nur zu
einem einstelligen Übertrag beiträgt, s. unsere Aussage oben).
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5
Algorithmen mit Zahlen

Aber was war noch mal eine Basis b?

Dezimalzahlen, z.B. 234, lassen sich wie folgt als Summe von Potenzen zur Basis 10
darstellen:
 234 = 4*100 + 3*101 + 2*102
 Zur Erinnerung:

x0 ist immer 1,

x1 ist immer x, also gilt auch für x=10: 101 = 10

102 = 10*10 = 100

10y = 10…0 = 1 mit genau y Nullen, y >= 0

Die Zahl, die durch 234 im Dezimalsystem repräsentiert wird, lässt sich aber auch
zu anderen Basen darstellen
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6
Algorithmen mit Zahlen


234 im Dezimalsystem ist…
14*161 + 10*160 = EA im Hexadezimalsystem
 Basis 16, klar.
 Dann braucht man aber auch 16 Ziffern…
 …also nimmt man noch A (für 10), B (11), C(12), D(13), E (14), F (15),
hinzu
 Das Hexadezimalsystem wird ihnen noch oft begegnen, weil die
„Wortbreite“ in Computersystemen regelmäßig durch 8 teilbar ist
(früher 8 Bit, später 16, dann 32, heute oft 64) – und in 8 Bit genau
256, also 16*16, Werte passen – genauer: die Zahlen von 0 bis 255,
oder, Hexadezimal, von 00 bis FF (FF = 15*161 + 15 = 255)
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7
Algorithmen mit Zahlen

234 im Dezimalsystem ist…

192 + 40 + 2 = 3*82 + 5*81 + 2*80 = 352 im Oktalsystem

Basis? Klar, 8

Von Dieben im Mittelalter erfunden, weil denen regelmässig beide
Daumen abgehackt wurden (zur Strafe…)

Auch praktisch, wenn die Wortbreite nur bei 3 Bit (bzw. 6) liegt

Denn dann kann man nur die Werte 0..7 kodieren (bei 6-Bit wird man
dann zweistellig 00..77)

Und das sind genau die Ziffern im Oktalsystem
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Algorithmen mit Zahlen






Was meint denn „Wortbreite“?
Rechts ist der Speicher ihres
Computers
Die einzelnen „Speicherzellen“
lassen sich einzeln adressieren
Hier z.B. 0, 1, 2, 3
Und die „Breite“ der Zelle meint
die „Wortbreite“ (des Speichers),
hier wird die Zahl der „Bits“
gezählt, die in eine Zelle passen
Der Prozessor kann intern sogar
eine andere Breite haben, als der
Speicher
0:
0111001100010011
1:
0111001110010011
2:
0111001100010000
3:
0111001100011111
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9
Algorithmen mit Zahlen





Und was sind „Bits“?
Das sind die „kleinsten“
Informationseinheiten im
Rechner, sie sind „an“ oder „aus“,
„wahr“ oder „falsch“, 1 oder 0
Mit Bits kann man unsere Zahl
234 auch darstellen – in der
sogenannten Binärdarstellung
(binär = zweiwertig):
23410 = 111010102
Wie kommt man drauf?
0:
0111001100010011
1:
0111001110010011
2:
0111001100010000
3:
0111001100011111
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Algorithmen mit Zahlen








234
= 128 + 64 + 32 +
8 +
2
= 1*27 + 1*26 + 1*25 + 0*24 + 1*23 + 0*22 + 1*21 + 0*20
= 11101010 binär
Mit 8 Bit kann man also wieviele Zahlen repräsentieren?
Genau: Bei jedem Bit kann man sich zwischen 0 und 1 entscheiden, mit
einem Bit hat man also 2 Wahlmöglichkeiten…
… mit zwei Bits kommen noch mal jeweils zwei Möglichkeiten hinzu, also
insgesamt 2*2 = 4, usw.
… bei 8 Bit sind es dann: 2*2*2*2*2*2*2*2 = 28 = 256
Wieviel sind es bei 16 Bit? Wieviel bei 32? Wieviel bei 64?
65.536, 4.294.967.296, viele… (ca. 1,844674407371 * 1019)
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Algorithmen mit Zahlen


Die Frage nach den Wahlmöglichkeiten als Entscheidungsbaum – aber nur für 3
Bit…
Sie müssen drei Fragen mit „Ja“ oder „Nein“ beantworten, wieviele mögliche
Kombinationen von Antworten gibt es?
Erste Frage: Sind sie reich?
Ja (=1)
Nein (=0)
Innere Knoten
Zweite: Sind sie schlau?
1
0
0
1
Blätter
Dritte: Sind sie schön?
1
0 1
0 1
0 1
0
1
1
1
1 1
1 0
0 1
1 0
0 1
0 1
0 0
1 0
0 1
0
0
0
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8 = 23
12
Algorithmen mit Zahlen




Auf der ersten Ebene (engl. Level) sind 20 Knoten, auf der zweiten doppelt
so viele, also 21, auf der dritten wieder doppelt so viele, also 22, und auf
der vierten Ebene 23 ... auf der n-ten Ebene sind also 2n-1 Knoten.
Das gilt IMMER für vollständige Binärbäume (vollständig meint: jede Ebene
ist vollständig besetzt).
Vorsicht übrigens: oft spricht man auch von einer „Tiefe“ oder „Höhe“
eines Baumes, und die zählt man meist ab 0 (unser Baum hätte dann die
Tiefe 3 gehabt) und der oberste Knoten, die sogenannte Wurzel, wäre auf
Tiefe 0 gewesen.
Wieviele Knoten hat ein vollständiger Binärbaum insgesamt?
 Anzahl Knoten = Anzahl innere Knoten + Anzahl Blätter =
(1 + 2 + 4) + 8 = (23 – 1) + 23 = 24 – 1 = 16 – 1 = 15
 Allgemein für vollständige Binärbäume mit Höhe h also: 2h+1 - 1
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13
Algorithmen mit Zahlen
Wie findet man die binäre Darstellung einer Dezimalzahl?
 Nehmen wir das Beispiel 234.
 Was suchen wir? Wir suchen eine Darstellung der Zahl 234 als SUMME
VON ZWEIERPOTENZEN
 Formal: wir suchen nach Zahlen x0, x1, x2, ... mit
234 = x0* 20 + x1* 21 + x2* 22 + ...



unter den Nebenbedingungen: xi aus {0,1}
Erste Beobachtung: es gibt eine „kleinste“ Zweierpotenz 2k, für die gilt
2k <= 234 < 2k+1
Hier ist das für 27 = 128 (denn 128 = 27 <= 234 < 28 = 256)
Ab k sind also alle weiteren Koeffizienten xk+1, xk+2, ... gleich 0 zu setzen.
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14
Algorithmen mit Zahlen
Wie findet man die binäre Darstellung einer Dezimalzahl?
 Wir haben jetzt also einen Koeffizienten gefunden, nämlich x7 = 1, denn
128 ist EINMAL in 234 enthalten.
 Damit können wir unsere Suche eingrenzen:
wir suchen nach Zahlen x0, x1, x2, x3, x4, x5, x6 mit
234 = x0* 20 + x1* 21 + x2* 22 + x3* 23 + x4* 24 + x5* 25 + x6* 26 + 1 * 27




unter den Nebenbedingungen: xi aus {0,1}
Jetzt wenden wir unsere erste Beobachtung auf 234 – 27= 234 – 128 = 106
an: es gilt 64 = 26 <= 106 < 27 = 128, also ist x6 = 1.
Ebenso ist dann x5 = 1, denn 32 = 25 <= 106 – 64 (= 42) < 64 = 26
x4 ist hingegen 0 (denn 24 = 16 > 10), aber x3 = 1 (mit 23 <= 10 < 24)
x2 ist wieder 0 (denn 22 = 4 > 2), x1= 1 (mit 21 = 2), und x0 dann wieder 0.
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Algorithmen mit Zahlen
Wie findet man die binäre Darstellung einer Dezimalzahl?
 Insgesamt ergibt sich also

234 = 0 * 20 + 1 * 21 + 0* 22 + 1 * 23 + 0* 24 + 1* 25 + 1* 26 + 1 * 27
=
2 +
8 +
32 + 64 + 128
= 128 + 64 + 32 + 8 + 2 = 27 + 26 + 25 + 23 + 21
234 ist in Binärdarstellung also
11101010, das entspricht den Koeffizienten x7 x6 x5 x4 x3 x2 x1 x0

(Achtung, wir betrachten nur positive Zahlen!)
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Algorithmen mit Zahlen
Wie findet man die binäre Darstellung einer Dezimalzahl?
 Etwas sehr Ähnliches als Algorithmus („Holzhammer-Methode“):
INPUT: Gegeben eine natürliche Zahl n ein Dezimaldarstellung
OUTPUT: Die Zahl n in Binärdarstellung
1. Suche die „kleinste“ Zweierpotenz 2k, für die gilt 2k <= n < 2k+1
2. Halte dieses k fest. Merke dir: xk = 1. Setze n‘ = n - 2k
3. Laufe von i = k-1 bis i = 0.
1. Prüfe, ob n‘ < 2i.
Falls JA, setze xi = 0, sonst setze xi = 1 und n‘ = n‘-2i
4. Gib xk xk-1 xk-2 ... x0 aus.
 Für 234 würden wir also zuerst 2i und damit k=7 finden und dann alle
kleineren Zweierpotenzen „von groß nach klein“ prüfen, ob sie im Rest
enthalten sind (und gegebenenfalls den Rest verkleinern)
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Einige Zweierpotenzen

Wenden Sie den Algo bitte für 888 an (Hinweis: idealerweise
können sie die folgende Tabelle auswendig)
20
21
22
23
24
25
26
27
1
2
4
8
16
32
64
128
28
29
210
211
212
213
214
215
256
512
1024
2048
4096
8192
16384
32768
216
217
218
219
220
221
222
223
65536
131072
262144
524288
1048576 2097152 4194304 8388608
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18
Algorithmen mit Zahlen





Eingabe: n = 888
Schritt 1: 2k = 29 = 512
Schritt 2: k = 9, x9 = 1, n‘ = 888 – 512 = 376
Schritt 3 (Schleife), siehe rechts:
Schritt 4, Ausgabe:
1101111000
i
2i
xi
n‘ neu
8
256
1
120
7
128
0
-
6
64
1
56
5
32
1
24
4
16
1
8
3
8
1
0
2
4
0
-
1
2
0
-
0
1
0
-
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19
Algorithmen mit Zahlen




Im Algorithmus fand sich die folgende Zeile:
1. Suche die „kleinste“ Zweierpotenz 2k, für die gilt 2k <= n < 2k+1
Das könnte man auch in der Schleife wiederholt ausführen (für neue n‘) –
und die xi zwischen den gefundenen ks 0 setzen.
Dann hätte man eine Variante des Algorithmus, die genauer unserer
ursprünglichen Beschreibung entspricht (aber etwas komplizierter
aufzuschreiben wäre)
Uns interessiert aber jetzt: wie finden wir den diese Zweierpotenz?
 z.B. durch SUCHE (dazu werden wir noch einiges hören)
 ...oder durch Anwenden des Zweierlogarithmus: log2 x ist die Zahl mit
der man 2 potenzieren muss, um x zu erhalten. Wenn wir von dieser
Zahl die Nachkommastellen abschneiden, haben wir unser k.
 Beispiel: log2 888 = 9,7944158663501, Nachkomma abschneiden: 9
 Aber: auch das muss man erstmal berechnen!!
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20
Algorithmen mit Zahlen












Eine weitere Option ist es, die Zahl fortgesetzt durch 2 zu teilen, bis man die größte
Zweierpotenz gefunden hat und so das k zu bestimmen.
Machen wir das einmal für 234:
234 / 2 = 117
117 / 2 = 58 Rest 1
58 / 2 = 29
29 / 2 = 14 Rest 1
14 / 2 = 7
7 / 2 = 3 Rest 1
3 / 2 = 1 Rest 1
1 / 2 = 0 Rest 1
Wir können also 234 7mal erfolgreich durch 2 teilen und behalten ab und an einen
Rest zurück – d.h. 27 ist in 234 enthalten, aber nicht 28.
Und weiter? Jetzt könnten wir 27 von 234 abziehen und wieder fortgesetzt durch 2
teilen…usw., wie im (modifizierten) Algorithmus vorgeschlagen.
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21
Algorithmen mit Zahlen

Aber ... das ist gar nicht nötig, denn wir haben einen weiteren Algorithmus
„entdeckt“, mit dem wir die Binärrepräsentation bestimmen können.

234 / 2 = 117

117 / 2 = 58 Rest 1

58 / 2 = 29

29 / 2 = 14 Rest 1

234 lässt sich glatt durch 2 teilen, also ist 20 = 1
nicht als Faktor in der Binärrepräsentation von 234
enthalten. 21 = 2 ist 117mal in 234 enthalten.
117 lässt sich nicht glatt durch 2 teilen (also lässt
sich 234 nicht glatt durch 4 teilen), also ist 21 = 2
als Faktor enthalten.
58 lässt sich glatt durch 2 teilen (also lässt sich 232 glatt
durch 8 teilen), also ist 22 nicht als Faktor enthalten.
29 lässt sich nicht glatt durch 2 teilen (also lässt sich
232 nicht glatt durch 16 teilen), also ist 23 = 8 als
Faktor enthalten.
s. nächste Folie
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22
Algorithmen mit Zahlen






14 / 2 = 7
14 lässt sich glatt durch 2 teilen (also lässt sich
224 glatt durch 32 teilen), also ist 24 = 16 nicht
enthalten.
7 / 2 = 3 Rest 17 lässt sich nicht glatt teilen (also lässt sich 224
nicht glatt durch 64 teilen), also ist 25 = 32
enthalten.
3 / 2 = 1 Rest 13 lässt sich nicht glatt teilen (also lässt sich 192
nicht glatt duch 128 teilen), also ist 26 = 64
enthalten.
1 / 2 = 0 Rest 11 lässt sich nicht glatt teilen (also lässt sich 128
nicht glatt durch 256 teilen), also ist 27 = 128
enthalten.
Fertig! Wir haben die Repräsentation gefunden: 11101010

das sind genau die Reste, die wir beim Teilen durch 2 gefunden haben, der
oberste Rest steht ganz rechts usw.
Auch das ergibt wieder einen Algorithmus (ohne Suche und Logarithmen, nur
elementares Teilen durch 2!).
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23
Algorithmen mit Zahlen





Hier noch eine Erklärung für den Algorithmus des fortgesetzten Teilens, den wir
gerade kennengelernt haben.
Wenn wir 11101010 fortgesetzt jeweils eine Stelle nach rechts schieben (shiften)
würden, würden rechts genau die Reste herausfallen, die wir gerade bestimmt
hatten (auch in der gleichen Reihenfolge).
Das ist aber auch keine Überraschung: Das Anhängen einer 0 an eine Binärzahl
(Links-Shift) entspricht dem Multiplizieren mit 2, das Shiften nach rechts entspricht
dem Teilen durch 2 (und die herausfallende Zahl bringt den Rest) – eben das, was
wir gerade gemacht haben.
Noch ein kleiner Hinweis: in fast allen Programmiersprachen gibt es die
Shiftoperation, die man dort auch auf ganze Zahlen anwenden kann, z.B. auf 234.
So kann man auch die Binärrepräsentation von 234 erzeugen (kleines Problem:
wann Aufhören mit dem Shiften? Wortbreite! Und wie die gleich herausfallende
Stelle herausfinden – oft wird nur das Shiftergebnis zurückgeliefert, nicht die
herausgeschobene Stelle? Prüfen, ob rechtes Bit gesetzt ist, z.B. durch Ver-Unden
mit einer 1)
Der Rechner teilt übrigens nicht durch 2, sondern shiftet einfach die interne
Binärrepräsentation der Zahl, die er ja ohnehin „vorhält“.
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24
Algorithmen mit Zahlen

Addition, s. oben:
 Deshalb können wir beim Addieren zweier Zahlen, egal, wie sie repräsentiert
sind, diese immer rechtsbündig untereinander schreiben und dann von rechts
nach links ziffernweise addieren und einen (immer) EINSTELLIGEN Übertrag (0
ist auch erlaubt)
mitführen, der beim nächsten Durchgang hinzu addiert wird…
10101010
+
11010111
Ü 1111111- ---------------------= 110000001

0 0 0 0 1 1 1 1 (Additionsregeln)
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 0 1 0 1 0 1
-------------------------------00 01 01 10 01 10 10 11
Die 8 binären Rechenregeln für Addition.
Die erste Stelle wird in die Übertragszeile
eingetragen, die zweite in die Ergebniszeile.
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25
Multiplikation


1 1 0 1 (=13 dezimal)
* 1 0 1 1 (=11 dezimal)
---------------------1101
(1101 mal 1, kein Shift)
1101
(1101 mal 1, 1 Links-Shift)
0000
(1101 mal 0, 2 Links-Shift)
1101
(1101 mal 1, 3 Links-Shift)
---------------------1 0 0 0 1 1 1 1 (=143 dezimal)
Ungefähre Kosten: Wenn beide Zahlen n Bits lang sind, dann entstehen n
Zwischenreihen mit einer Länge bis zu 2n Bits. Wenn wir jetzt zwei Zeilen
addieren und dann das Zwischenergebnis zur nächsten Zeile addieren,
dann haben wir „ungefähr“ n-1 mal O(n) Bits zu addieren, in Summe O(n2).
Zum O-Kalkül: siehe 2. Semester, theoretische Informatik / ADS.
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26
Multiplikation einmal anders


Eine Methode, die bereits Al Kwarizmi (der
Namensgeber für den Begriff „Algorithmus“) im
9. Jahrhundert nach Christi kannte und in einem
Buch veröffentlichte:
Um zwei Dezimalzahlen x und y zu multiplizieren,
schreibe sie zunächst direkt nebeneinander.
Wiederhole dann das folgende:
 Teile die erste Zahl durch 2, runde das
Ergebnis ab (abschneiden der
Nachkommastelle ,5) und verdopple die
zweite Zahl fortlaufend.
 Tue dies, bis die erste Zahl zur 1 wurde.
 Streiche dann alle Zeilen, in denen die erste
Zahl gerade (=even) war und addiere die
übrigen Zeilen auf.
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
11 * 13
5
26
2
52
1
104
---------143
27
Multiplikation einmal anders


1011 * 1101
=
11 * 13 | 1
5
26 | 1
2
52 | 0
1 104 | 1
------------143

1101
1101
0000
1101
---------------------10001111
(=13)
(=26)
(=104)
(=143)
Hier simulieren wir also die „normale“ Multiplikation,
allerdings, ohne die Binärrepräsentation der 11 zu
kennen (die erzeugen wir aber nebenbei „von rechts
nach links“)
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Version 1.2
28
Multiplikation einmal anders


y
x
11 * 13
5
26
2
52
1 104
---------143


Multiplikationsregel für zwei ganze Zahlen x und y, y
>=0:
2(x * xy/2y), falls y gerade
x*y = {x + 2(x * xy/2y), falls y ungerade
0
, falls y = 0
Hier schneidet xy/2y die Nachkommastelle von y/2 ab

Man nennt das die floor-Funktion; ceiling gibt es
auch, es rundet nach oben auf die nächstgrößere
ganze Zahl auf, allerdings nicht, wenn die
Ausgangszahl schon ganzzahlig ist.
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29
Multiplikation als Pseudo-Code

function multiply(x,y)
 Input: Zwei ganze n-Bit Zahlen x,y mit y >= 0
Output: Das Produkt der Eingabezahlen
 if y=0: return 0
 z = multiply(x, xy/2y)




if y is even (gerade):
 return 2z
else:
 return x + 2z
Beispielausführung s. Übung
Aufwand ist übrigens wieder O(n2)
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Version 1.2
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Division



Was bedeutet es, eine nicht-negative ganze Zahl x durch eine positive
ganze Zahl y, y  0, zu dividieren?
Gesucht ist ein Quotient q und ein Rest r, so dass:
 x = y*q + r
 Nebenbedingung: 0 <= r < y
Beispiel:
 17 / 5 = 2*5 + 7? Falsch: r > y
 17 / 5 = 3*5 + 2? Korrekt.
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Division als Pseudo-Code

function divide(x,y)
 Input: Zwei ganze n-Bit Zahlen x,y mit y >= 1
Output: Quotient q und Rest r von x / y
 if x=0: return (q,r) = (0,0)
 (q,r) = divide(xx/2y,y)





q = 2*q, r = 2*r
if x is odd (ungerade): r = r + 1
if r >= y: r = r-y, q = q+1
return (q,r)
Aufwand ist übrigens wieder O(n2)
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Modulare Arithmetik


Wenn man wiederholt addiert oder multipliziert, können große Zahlen
entstehen - manchmal umgeht man das, in dem man die Zahl auf 0
zurücksetzt:
 Beim Zählen der Stunden setzen wir 24 und 0 gleich und beginnen
erneut usw.
Wir definieren:
 x modulo N sei der Rest, der bleibt, wenn x durch N geteilt wird, d.h.
falls x = q*N+r mit 0<=r<N, dann gilt:
x modulo N = r
 Mit Bezug zu modulo N kann man jetzt sagen: zwei Zahlen x,y sind
äquivalent, wenn sie den gleichen Rest beim Teilen durch N erzeugen,
also wenn
x modulo N = y modulo N, oder, gleichwertig:
N teilt (x-y) glatt, also ohne Rest
 Genau dann schreiben wir auch: x ´ y (mod N)
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Modulare Arithmetik

Beispiel:
 253 ´ 13 (mod 60), denn
 253 = 4*60 + 13, also Rest 13
 13 = 0*60 + 13, wieder Rest 13
 also 253 mod 60 = 13 mod 60
 Oder anders: 253 – 13 = 240, 240 = 4*6 + 0, also läßt sich (253-13)
glatt durch 60 teilen.
 Das gilt natürlich auch für (13-253) = -240
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Modulare Arithmetik


Modulare Arithmetik (z.B. modulo N) limitiert den Wertebereich für die Ergebnisse
der arithmetischen Operation, im Beispiel auf [0,..,N-1]. Sobald man an die
Grenzen stößt, beginnt man wieder auf der anderen Seite.
Man kann aber auch sagen, dass modulare Arithmetik mit allen ganzen Zahlen
umgeht, diese allerdings in N sogenannte Äquivalenzklassen unterteilt.




Für jede Klasse gilt: {i + kN: k 2 Z} mit 0 <= i < N.
Wenn N=3 gilt (also wir „modulo 3“ rechnen), dann gibt es 3 Äquivalenzklassen

… -9 -6 -3 0 3 6 9 … (Rest 0)

… -8 -5 -2 1 4 7 10 … (Rest 1)

… -7 -4 -1 2 5 8 11 … (Rest 2)
Für jedes Zahlenpaar x,x‘ in einer der Klassen gilt:
x ´ x‘ (mod N)
Aus Sicht der „modulo N“-Operation sind die Zahlen x und x‘ nicht
unterscheidbar.
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Modulare Arithmetik


Man kann immer noch rechnen (Ersetzungsregel)
 Falls x ´ x‘ (mod N) und y ´ y‘ (mod N), dann
 x + y ´ x‘ + y‘ (mod N)
 x * y ´ x‘ * y‘ (mod N)
Praktische Anwendung: sie wollen alle Folgen einer Staffel ihrer
Lieblingsserie direkt hintereinander schauen (z.B. House), und sie wollen
um Mitternacht damit beginnen. Um wieviel Uhr sind sie fertig? (den Tag
ignorieren wir mal ;)
 Es gibt 25 Episoden, jede dauert 3 Stunden (oops), also sind sie um (25
* 3) mod 24 Uhr fertig.
 Nun ist 25 ´ 1 (mod 24), also gilt mit der Regel oben 1 * 3 = 3 mod 24,
also um 3 Uhr am morgen.
 mit 25 *3 = 75 = 3*24 + 3 wären sie natürlich zum gleichen Ergebnis
gekommen – sie mußten aber nie die vergleichsweise großen Zahlen 75
und 72 bestimmen.
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Modulare Arithmetik





Die üblichen Gesetze gelten auch „modulo“:
 x + (y + z) ´ (x + y) + z (mod N)
 x * y ´ y * x (mod N)
 x (y + z) ´ x * y + x * z (mod N)
Die erste ist die Assoziativitätsregel, die zweite die Kommutativitätsregel,
die dritte die Distributivitätsregel.
Gemeinsam mit der Ersetzungsregel von der letzten Folie ermöglicht das,
dass jedes Zwischenresultat bei „modulo“-Rechungen durch die
Restbildung (also eine „modulo“-Operation) vereinfacht werden kann.
Das werden wir noch nutzen (auch in der Klausur!)
Rechnen sie bitte: (278 * 35 * 17 * 78) modulo 13
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Asymmetrische Verschlüsselung






Wir brauchen SCHLÜSSELPAARE, z.B. s und s‘
s‘ kann entschlüsseln, was s verschlüsselt …
… und umgekehrt.
Wie geht so etwas?
Nehmen wir einen sehr einfachen Schlüssel, um das Alphabet A,..,Z zu
verschlüsseln:
 Jedem Buchstaben ist eine Zahl zwischen 0 und 25 zugeordnet, wir
nehmen eine sehr einfache Zuordnung:
 A/0, B/1, C/2, D/3, E/4, …, Z/25
 Unsere Schlüssel s und s‘ rechnen auf dieser Repräsentation als Zahl:
 s(x) = (x + 3) modulo 26
 s‘(x) = (x – 3) modulo 26
Test: F ! 5: s(5) = 8, s‘(8) = 5
Z ! 25: s(25) = 2, s‘(2) = 25
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Asymmetrische Verschlüsselung

Die Schlüssel:
 s(x) = (x + 3) modulo 26
 s‘(x) = (x – 3) modulo 26

s(GELSENKIRCHEN) = JHOVHQNLUFKHQ
s‘(JHOVHQNLUFKHQ) = GELSENKIRCHEN


s‘(GELSENKIRCHEN) = DBIPBKHFOZEBK
s(DBIPBKHFOZEBK) = GELSENKIRCHEN

Verschlüsseln sie: INFORMATIK mit s und s‘

X Y Z|A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z|A B C


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Asymmetrische Verschlüsselung

Die Idee ist klar:
 Was der eine Schlüssel tut, nimmt der andere zurück…
 Er „invertiert“ jeweils, was der andere Schlüssel tat
 Wir suchen also ein Paar aus Operation und hierzu inverser Operation
 … und natürlich können die nicht so einfach sein, wie unser Schlüsselpaar
gerade
 Es wird noch ein wenig anderes funktionieren:

Wir legen Operationen fest und suchen nach Zahlen (nach 3, um genau zu
sein), die dann in den Operationen verwendet werden und deren Effekte
sich jeweils invers zu einander verhalten

Genau das haben wir eben auch gemacht:

Die Operation war Addition. s addierte 3 und s‘ das Inverse von 3 bzgl. der
Addition, also -3.

Genauso gut hätten wir multiplizieren können (z.B. mit 5 und 1/5,
allerdings dann ohne etwa abzuschneiden ;)

Wir werden zwei Zahlen nutzen, die beim Potenzieren unter modulo
bezüglich einer dritten Zahl die Eigenschaft haben, invers zueinander zu
sein.
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