mmps_9

Modellierung von Mehrkörpersystemen
• In dieser Vorlesung werden einige spezielle
Probleme behandelt, die die Modellierung
komplexer mechanischer Systeme begleiten.
• Es wird erklärt, wie diese Probleme in Dymola
angegangen worden sind.
• Insbesondere wird die Wahl der Zustandsvariablen
und der Konnektoren erläutert.
• Es wird aufgezeigt, wie Matrizenkalkül es
ermöglicht, die Definitionen äusserst kompakt zu
halten.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Übersicht
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17. November, 2004
Mehrkörpersysteme
Wahl der Zustandsvariabeln
Kinematische Schleifen
Mechanische Konnektoren
Mechanische Körper
Mechanische Gelenke
Beispiel
Anfang Präsentation
Was ist ein Mehrkörpersystem?
• Ein Mehrkörpersystem besteht aus einer Kombination
mechanischer Teile, die miteinander verbunden sind und
sich im dreidimensionalen Raum bewegen.
Hmm! Vielleicht noch nicht das allerschnittigste
Modell… aber Abstraktion ist ja schliesslich alles.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Die Wahl der Zustandsvariablen
• Bisher wurden bei den mechanischen Systemen, die wir betrachtet
haben, die Differentialgleichungen immer mit den Massen gekoppelt.
Dies schien sinnvoll zu sein, da das D’Alembert’sche Prinzip ja für die
einzelnen Massen definiert werden muss.
• Eine Masse, die fest mit der Erde (d.h. mit dem Inertialsystem)
verankert ist, führt aber nicht zu Differentialgleichungen.
Differentialgleichungen gibt es erst, wenn sich die Masse relativ zum
Inertialsystem bewegt.
• Somit mag es sinnvoller sein, die Integratoren mit den
Relativbewegungen zwischen Körpern zu identifizieren. Dies wurde
in der Mehrkörpersystembibliothek (MKS Bibliothek) von Dymola
auch so implementiert.
• In der MKS Bibliothek werden die Relativpositionen und
Relativgeschwindigkeiten zwischen miteinander verbundenen Körpern
als Zustandsvariabeln definiert.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Strukturelle Singularitäten I
• Bei der getroffenen Wahl der Zustandsvariablen ergeben
sich keine strukturellen Singularitäten bei Mehrkörpersystemen in Baumstruktur.
• Bei kinematisch geschlossenen Schleifen ergeben sich
strukturelle Singularitäten, da solche Strukturen weniger
Freiheitsgrade aufweisen als Verbindungen zwischen
benachbarten Körpern. Man denke zum Beispiel ans
Scherengitter, welches nur einen Freiheitsgrad aufweist.
y
x
17. November, 2004
Kinematisch geschlossene Schleifen
Anfang Präsentation
Strukturelle Singularitäten II
• Um die strukturellen Singularitäten zu vermeiden,
wird eines der Gelenke bei jeder kinematisch
geschlossenen Schleife als Schneidegelenk (“cut
joint”) definiert.
y
x
Schneidegelenke
• Schneidegelenke definieren keine Integratoren
und vermeiden dadurch die Einführung
struktureller Singularitäten. Dies ist effizienter,
als sich auf den Pantelides Algorithmus zu
verlassen.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Algebraische Schleifen
• Geschlossene kinematische Schleifen führen
unweigerlich auch zu bösen algebraischen Schleifen
in den resultierenden Gleichungssystemen. Diese
sind normalerweise sehr gross, da sie sich über alle
Variablen der kinematischen Schleife erstrecken.
• Das automatische Auffinden geeigneter Schneidevariablen ist teuer und ineffizient.
• Die Schneidegelenke von Dymola enthalten Anweisungen, die es dem Schneidealgorithmus ermöglichen, schnell geeignete Schneidevariablen zu
ermitteln.
constrain(q, qd, qdd)
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Wahl der Potential- und Flussgrössen
• Die MKS Bibliothek stellt sich auf den Standpunkt, dass
die Position eines Körpers (und damit auch dessen
Geschwindigkeit und Beschleunigung) ein Potential
darstellt, während die Kräfte, die auf den Körper
einwirken, als Flussgrössen angesehen werden.
• Das Inertialsystem definiert somit die Potentialgrössen
und setzt sie zu null (entsprechend dem elektrischen
Potential beim elektrischen Erdknoten).
z
q=
y
x
17. November, 2004
x
y
z




q=0
qd = der(q) = 0
qdd = der(qd) = 0
Anfang Präsentation
Mechanische Konnektoren
connector Frame
Position r0[3]
"Abstand des Frames vom Inertialsystem";
Real S[3, 3]
"Transformationsmatrix des Frames zum Inertialsystem";
Velocity v[3]
"Absolute Geschwindigkeit des Frames";
AngularVelocity w[3]
"Absolute Winkelgeschwindigkeit des Frames";
Acceleration a[3]
"Absolute Beschleunigung des Frames";
AngularAcceleration z[3] "Absolute Winkelbeschleunigung des Frames";
flow Force f[3]
"Am Frame angreifende Kraft";
flow Torque t[3]"Am Frame angreifendes Drehmoment";
end Frame;
Wegen der Vorzeichenkonventionen muss immer ein ungefülltes
Ausgangsframe ( ) zu einem gefüllten Eingangsframe ( ) verbunden werden.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Mechanische Körper I
• Mechanische Körper definieren das D’Alembert Prinzip
für die angreifenden Kräfte und Drehmomente.
rCM
Frame
Schwerpunkt
model BodyBase "Inertia and mass properties of a rigid body";
extends Frame a;
Mass m;
Position rCM[3] "Distance from frame to center of gravity";
Inertia I[3, 3];
equation
f = m*(a + cross(z, rCM) + cross(w, cross(w, rCM)));
t = I*z + cross(w, I*w) + cross(rCM, f);
end BodyBase;
Die Koordinaten des Frames werden zunächst auf den Schwerpunkt umgerechnet.
Das D’Alembert’sche Prinzip wird sodann für den Schwerpunkt formuliert.
Die resultierenden Kräfte f und Drehmomente t werden schliesslich mittels Relativbewegung unter
Einführung der dazugehörigen Zentripetal- und Corioliskräfte auf den Frame zurücktransformiert.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Mechanische Körper II
model Body
"Rigid body with one cut";
extends Frame_a;
parameter Position rCM[3]={0,0,0}
"Vector from frame_a to center of mass, resolved in frame_a;
parameter Mass m=0
"Mass of body [kg]";
parameter Inertia I11=0
"(1,1) element of inertia tensor";
parameter Inertia I22=0
"(2,2) element of inertia tensor";
parameter Inertia I33=0
"(3,3) element of inertia tensor";
parameter Inertia I21=0
"(2,1) element of inertia tensor";
parameter Inertia I31=0
"(3,1) element of inertia tensor";
parameter Inertia I32=0
"(3,2) element of inertia tensor";
BodyBase body;
equation
connect (frame_a, body.frame_a);
body.m = m;
body.rCM = rCM;
body.I = [I11, I21, I31; I21, I22, I32; I31, I32, I33];
end Body
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Mechanische Körper III
model Body
"Rigid body with one cut";
extends Frame_a;
parameter Position rCM[3]={0,0,0}
"Vector from frame_a to center of mass, resolved in frame_a;
parameter Mass m=0
"Mass of body [kg]";
parameter Inertia I11=0
"(1,1) element of inertia tensor";
parameter Inertia I22=0
"(2,2) element of inertia tensor";
parameter Inertia I33=0
"(3,3) element of inertia tensor";
parameter Inertia I21=0
"(2,1) element of inertia tensor";
parameter Inertia I31=0
"(3,1) element of inertia tensor";
parameter Inertia I32=0
"(3,2) element of inertia tensor";
BodyBase body;
equation
connect (frame_a, body.frame_a);
body.m = m;
body.rCM = rCM;
body.I = [I11, I21, I31; I21, I22, I32; I31, I32, I33];
end Body
Information
übernommen von
Typendeklaration
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Mechanische Körper IV

Koordinatentransformation
Frame a  Frame b
Körper berechnet
relativ zu Frame a
Körper mit mehr als zwei Gelenken müssen mit zusätzlichen „Frame Translationen“
selbst gebaut werden. Solche Elemente sind in der MKS Bibliothek nicht als
Festbausteine vorhanden.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Mechanische Körper V

Geometrie für
die Animation.
Geometrie für die Berechnung von Masse und Trägheitsmomenten
(nicht graphisch dargestellt, da mittels Gleichungen erfasst).
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Mechanische Körper VI
model BoxBody "Rigid body with box shape (also used for animation)"
extends MultiBody.Interfaces.TwoTreeFrames;
parameter SIunits.Position r[3]={0.1,0,0} "Vector from frame_a to frame_b, resolved in frame_a";
parameter SIunits.Position r0[3]={0,0,0} "Vector from frame_a to left box plane, resolved in frame_a";
parameter SIunits.Position LengthDirection[3]=r - r0 "Vector in length direction, resolved in frame_a";
parameter SIunits.Position WidthDirection[3]={0,1,0} "Vector in width direction, resolved in frame_a";
parameter SIunits.Length Length=(sqrt((r - r0)*(r - r0))) "Length of box";
parameter SIunits.Length Width=0.1 "Width of box";
parameter SIunits.Length Height=0.1 "Height of box";
parameter SIunits.Length InnerWidth=0 "Width of inner box surface";
parameter SIunits.Length InnerHeight=0 "Height of inner box surface";
parameter Real rho=7.7 "Density of box material [g/cm^3]";
parameter Real Material[4]={1,0,0,0.5} "Color and specular coefficient";
SIunits.Mass mo, mi;
Real Sbox[3, 3];
SIunits.Length l, w, h, wi, hi;
FrameTranslation frameTranslation(r=r);
MultiBody.Interfaces.BodyBase body;
VisualShape box (Shape="box", r0=r0, LengthDirection=LengthDirection,
WidthDirection=WidthDirection, Length=Length, Width=Width,
Height=Height, Material=Material);
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Mechanische Körper VII
equation
connect (body.frame_a, frame_a);
connect (frame_a, frameTranslation.frame_a);
connect (frameTranslation.frame_b, frame_b);
box.S = Sa;
box.r = r0a;
box.Sshape = Sbox;
l = Length;
w = Width;
h = Height;
wi = InnerWidth;
hi = InnerHeight;
/*Mass properties of box*/
mo = 1000*rho*l*w*h;
mi = 1000*rho*l*wi*hi;
body.m = mo - mi;
body.rCM = r0 + l/2*box.nLength;
body.I = Sbox*diagonal({mo*(w*w + h*h) - mi*(wi*wi + hi*hi),mo*(l*l + h*h)
- mi*(l*l + hi*hi),mo*(l*l + w*w) - mi*(l*l + wi*wi)}/12)*transpose(Sbox);
end BoxBody
17. November, 2004
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Mechanische Gelenke I
Anschlüsse
für Dämpfer
Frame a
Frame b
model Prismatic "Prismatic joint (1 degree-of-freedom, used in spanning tree)"
extends MultiBody.Interfaces.TreeJoint;
parameter Real n[3]={1,0,0}
"Axis of translation resolved in frame_a (= same as in frame_b)";
parameter SIunits.Position q0=0 "Relative distance offset(see info)";
parameter Boolean startValueFixed=false
"true, if start values of q, qd are fixed";
SIunits.Position q(final fixed=startValueFixed);
SIunits.Velocity qd(final fixed=startValueFixed);
SIunits.Acceleration qdd;
SIunits.Position qq;
Real nn[3];
SIunits.Velocity vaux[3];
Modelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange_a axis;
Modelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange_b bearing;
connector Modelica.Mechanics.Translational.Interfaces.Flange_b
SIunits.Position s "absolute position of flange";
flow SIunits.Force f "cut force directed into flange";
end Flange_b;
17. November, 2004
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Mechanische Gelenke II
equation
axis.s = q;
bearing.s = 0;
// define states
qd = der(q);
qdd = der(qd);
/*normalize axis vector*/
nn = n/sqrt(n*n);
/*kinematic quantities*/
S_rel = identity(3);
qq = q - q0;
r_rela = nn*qq;
v_rela = nn*qd;
a_rela = nn*qdd;
w_rela = zeros(3);
z_rela = zeros(3);
17. November, 2004
/* Transform the kinematic quantities from frame_a to frame_b
and the force and torque acting at frame_b to frame_a
(= general equations of a "TreeJoint" specialized to this class). */
Sb = Sa;
r0b = r0a + Sa*r_rela;
vaux = cross(wa, r_rela);
vb = va + v_rela + vaux;
wb = wa;
ab = aa + a_rela + cross(za, r_rela) + cross(wa, vaux + 2*v_rela);
zb = za;
fa = fb;
ta = tb + cross(r_rela, fa);
// d'Alemberts principle
axis.f = nn*fb;
end Prismatic
Anfang Präsentation
Kausalitäten I
• Die Kausalität der Gleichungen hängt ab vom
gestellten Problem.
• Beim direkten Problem (dem Simulationsproblem)
sind die Kräfte und Drehmomente gegeben,
während die Bewegung gesucht wird.
• Beim inversen Problem (dem Planungsproblem)
sind die gewünschten Bewegungen vorbestimmt,
während die Kräfte und Drehmomente, die
eingesetzt werden müssen, um die gewünschten
Bewegungen zu erzielen, gesucht sind.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Kausalitäten II
• Die Effizienz des erzeugten Codes hängt sehr stark
von der Formulierung der Gleichungen ab. Kleine
Änderungen der Formulierung können die
Effizienz so verändern, dass die Anzahl
resultierender Gleichungen am Ende entweder
linear mit der Anzahl Körper steigt oder mit deren
vierter Potenz.
• Aus diesem Grund verlässt sich die MKS
Bibliothek
nicht
auf
die
automatische
Umwandlung der Gleichungen unter Verwendung
des Pantelides Algorithmus und der Heuristiken
zur Ermittlung kleiner Sätze von Schnittvariablen.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Kausalitäten III
• Die Matrizenschreibweise, die bisher verwendet
wurde, ist zwar sehr elegant und kompakt und
darum gut geeignet für den Unterhalt der MBS
Bibliothek, sie eignet sich aber nicht für das
automatische Umformen der Gleichungen.
• Aus diesem Grund werden in Modelica alle
Matrizengleichungen vor der Ermittlung der
Kausalität symbolisch expandiert.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Ein Beispiel I
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Ein Beispiel II
17. November, 2004
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Ein Beispiel III
Schneidegelenk
Kinematische
Schleife
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Ein Beispiel IV
Gleichungen nach Explosion der
Matrizenausdrücke
Elimination von Trivialgleichungen
der Art: a = b
Gleichungen, die nach der Umformung
übrig bleiben.
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Ein Beispiel V
17. November, 2004
Anfang Präsentation
Referenzen
•
Otter, M., H. Elmqvist, and F.E. Cellier (1996),
“Modeling of Multibody Systems with the ObjectOriented Modeling Language Dymola,” J. Nonlinear
Dynamics, 9(1), pp.91-112.
17. November, 2004
Anfang Präsentation