Optimierung einer nachhaltigen Binnenfischerei
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OTTO-VON-GUERICKE-UNIVERSITÄT MAGDEBURG Fakultät für Informatik Institut für Simulation und Graphik Optimierung einer nachhaltigen Binnenfischerei R. Hohmann 1 Einleitung In einem Binnensee wird eine einzige Fischpopulation befischt - Vereinbarkeit von Ökonomie und Ökologie, • Gesucht ist Investitionsrate in neue Boote zur Gewinnmaximierung – Optimierungsaufgabe, • Optimum hängt ab von finanziellen und ökologischen Bedingungen (Fischpreis, Bootskosten, Fischertrag), • Nachhaltigkeit als stationärer Zustand, • Polyoptimierung wichtet Profit und Fangmenge, • Moderne Ortungstechnik mit höherem Gewinn, System-Zusammenbruch ohne Boots-Restriktionen. Workshop Kölpinsee 2011 2 Dichteabhängiger Fang • Modell von Bossel 2004 angegeben (Vensim), Suboptima durch Parameterstudien gewonnen. Eigene Implementierung in ACSL und Stella. • • • • Modellspezifika: logistisches Wachstum der Fischpopulation, jährliche Abschreibungen der Boote, Investitionsanteil des Nettogewinns in neue Boote, Fangmengen proportional zur Fischdichte: Fangmenge := Fangpotential∙Fischdichte. Workshop Kölpinsee 2011 Kausalitäten im Fischerei-Modell (System Dynamics) Workshop Kölpinsee 2011 Dichteabhängiger Fang 2.1 Modellsystem • Parameter AR = 100 [km2] Fanggebiet, C = 100 [t Fisch/km2] spez. Fischkapazität, K = C∙AR [t Fisch] max. Fischkapazität, A = 1 [1/Jahr] max. Fischzuwachsrate, F = 100 [t Fisch/(Boot∙Jahr)] max. spez. Fangmenge, O = 50.000 [€/(Boot∙Jahr)] spez. Unterhaltskosten, Q = 100.000 [€/Boot] Bootsneukosten, 1/D = 15 [Jahr] Bootslebensdauer, D = 1/15 [1/Jahr] Abschreibung, P = 1.000 [€/t Fisch] Fischpreis, I [1 ] Investitionsanteil Boote - Optimierungsparameter. Workshop Kölpinsee 2011 Dichteabhängiger Fang • Algebraische Zwischengrößen h z1 / K [1] Fischdichte, r A z1 1 h [t Fisch/Jahr] Fischzuwachs, b F z2 [t Fisch/Jahr] Fangpotential, m b h [t Fisch/Jahr] Fangmenge, v P m [€/Jahr] Fangerlös, u O z2 [€/Jahr] Bootsunterhalt, n v u [€/Jahr] Nettoeinkommen, g I n [€/Jahr] Investitionsmittel Boote, w g / Q [Boote/Jahr] Neuerwerb Boote, s D z2 [Boote/Jahr] Stilllegung Boote, p n g [€/Jahr] Profit – zu maximieren! Workshop Kölpinsee 2011 Dichteabhängiger Fang • Zustandsgleichungen dz1 / dt r m [t Fisch/Jahr] d(Fischbestand)/dt dz2 / dt w s [Boote/Jahr] d(Boote)/dt • Anfangsbedingungen z1(0) = 5.000 [t Fisch], z2(0) = 25 [Boote], tm = 50 [Jahre] • mit J PI /Q und E OI /Q D strukturelles Räuber-Beute-System erkennbar: z1 Az1 1 z1 / K F/K z1 z2 z2 JF/K z1 z2 Ez2 Workshop Kölpinsee 2011 3 Optimierung Maximierung des Profits/Gütefunktionals. • Angenommen wird eine unimodale Funktion f, zum Maximum monoton ansteigend und abfallend, zulässig auch monotoner Anstieg im Intervall. • Unbestimmtheitsintervall (Toleranz) des optimalen Investitionsanteils wird schrittweise reduziert. Numerisches Verfahren: • Methode Goldener Schnitt. Workshop Kölpinsee 2011 3.1 Methode Goldener Schnitt Zwischenpunkte teilen Intervall in festen Verhältnissen, 1/q = q+1 goldener Schnitt. x a p(b a) y a q(b a) q ( 5 1) / 2 0,618 p wird q 2 gesetzt. Falls f ( x) f ( y) neues Suchintervall zwischen a und y, x nun als “y - Punkt”, zu berechnen ein neuer “x - Punkt”. Workshop Kölpinsee 2011 Methode Goldener Schnitt • Sie benötigt nur einzelnen neuen Lauf für jeden Vergleich, mit zwei Läufen zu Beginn. • Die Anzahl der Auswertungen (Läufe) m beträgt: lg L / T Toleranz T m 2 Start-Intervall L (b a) lg q 1 Größerer Integer Wert durch “ceiling function“ . • T 10 3 L führt zu m 17 Läufen, 4 • T 10 L erfordert m 22 Läufe. Prozess ermittelt das Maximum mit O(log( L / T )). Workshop Kölpinsee 2011 Methode Goldener Schnitt • Sequenz von Läufen wird organisiert durch Block-IF und Integer Variable in der TERMINAL–Sektion von ACSL. • Profitoptimierung p = 469.642 [€/Jahr], m = 1.688 [t Fisch/Jahr], z2 = 22 (21.5) Boote. • Optimale Investitionsrate I = 0.233 vom Nettogewinn, bei dichteabhängigem Fang. Intervallgrenzen a 0.1, b 0.5 der Investitionsrate I. Workshop Kölpinsee 2011 Methode Goldener Schnitt Schritt a I1 = x I2 = y b p1 = f (x) p2 = f (y) 0 0.10000 0.25279 0.34721 0.50000 465.571.30 386.333.59 1 0.10000 0.19443 0.25279 0.34721 448.239.88 465.571.30 2 0.19443 0.25279 0.28885 0.34721 465.571.30 442.286.25 … … 14 0.23327 0.23345 0.23357 0.23375 469.641.77 469.641.58 15 0.23327 0.23338 0.23345 0.23357 469.641.74 469.641.77 … … … … … Optimierungsprozess für angestrebte 10-3 –Genauigkeit. Erforderlich sind 15 Reduktionsschritte mit 17 Simulationsläufen, jeweils ein Wertepaar x, f x oder y, f y erscheint wieder im Folgeschritt des Verfahrens, Toleranz T 0.0004 . Workshop Kölpinsee 2011 3.2 Extremwertaufgabe • Stationärer Zustand erst nach t mit z1 z2 0 : z1 KDQ IO/ PIF, z2 AK z1 / F . • Optimierung ersetzt durch Extremwertaufgabe des Profits p pI von unabhängiger Variablen I. Optimaler Investitionsanteil Iopt für einen maximalen Gewinn analytisch: I opt 2DQ / DQ PF O Aktuell hiermit Iopt = 0.235 für z1 = 7.833 [t Fisch] und z2 = 22 (21.67) [Boote]. Workshop Kölpinsee 2011 3.3 Polyoptimierung Mehrkriteriale Kompromisslösung zwischen • Wirtschaftlichkeits-Optimierung und einer • Fangmengen-Optimierung durch Polyoptimierung. Definitionsgleichungen: r m m / K [1] relative Fangmenge, r p p / P K [1] relative Profitrate, G 100 MW rm PW r p / MW PW [1] Güteindex / Gütefunktional • Mengen- und Profitwichtungen MW und PW. Workshop Kölpinsee 2011 Polyoptimierung Unterschiedliche Wichtung der Optimierungsziele Fall MW PW Invest I Profit p a 1 5 0.277 b 4 2 c 5 1 Fang m Boote z2 Fische z1 450.175 1.933 26 (26.2) 7.377 0.705 113.170 2.411 41 (40.5) 5.946 1.000 0 43 (43.3) 5.667 2.456 • Im Falle (a) etwas höherer Investitionsanteil und Bootszahl, wenig verringerter Gewinn. • Steht Fangmenge im Vordergrund (Fälle b, c), hoher Investitionsanteil in neue Boote – Subventionen! Workshop Kölpinsee 2011 4 Dichte-unabhängiger Fang Ortungstechnik - Fang hängt nur davon ab, wie Fangpotential ausgeschöpft wird (Chance ch = 0.8): Fangmenge := Fangpotential∙Fangchance • Modifikationen: m b ch Fangmenge w g / Q für z2 z2 m , sonst w 0 Neuerwerb Boote • Begrenzung der Bootszahl auf z2m = 30, 31, 32, 33 und 34 Boote – Stabilisierung des Systems! • konstanter Investitionsanteil I = 0.3 Workshop Kölpinsee 2011 Dichte-unabhängiger Fang • maximale Zuwachsrate der Fischpopulation: rmax AK / 4 bei halber Fischkapazität z1 K / 2 , mit Modellparametern: rmax = 2.500 [t Fisch/Jahr], für z1 = 5.000 [t Fisch]. • Profit für z2 = 31 Boote: p = 650.983 [€/Jahr], m = 2.480 [t Fisch/Jahr], z1 = 5.465 [t Fisch]. max. Bootszahl z2m = 30, 31, 32, 33, 34. Stabilität mit 30 und 31 Booten. Workshop Kölpinsee 2011 5 Schlussbetrachtung • • • • Mehrere Aspekte für die Ausbildung interessant: Ökologische Ressourcennutzung, stationärer nachhaltiger Zustand profit-maximiert, Intervallsuchverfahren “Goldener Schnitt” konvergiert beim dichteabhängigen Fang mit OlogL / T , • System hat Struktur eines Räuber-Beute-Systems, • dichte-unabhängiger Fang erfolgreicher an der Stabilitätsgrenze der Boote – jedoch störungsanfällig! • exemplarisch für öffentliche natürliche Ressourcen – Politik hat Grenzen (hier Bootszahl) zu setzen! Workshop Kölpinsee 2011 Danke für Ihre Aufmerksamkeit! Workshop Kölpinsee 2011
