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Endliche Automaten
Einführung in den Themenbereich
Karin Haenelt
18.04.2010
1
Inhalt



Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?
 Abstrakte Automaten
 Endliche abstrakte Automaten
 Beispiele
 T ypen endlicher Automaten
 Akzeptoren, Transduktoren
 deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch
Definitionen
 Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen
 Endliche abstrakte Automaten
Einordnung endlicher Automaten
 Automatentheorie: Art des Speichers
 Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität
© Karin Haenelt,
Endliche Automaten, Einführung,
V 4.1, 18.04.2010
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Informelle Einführung
Abstrakter Automat
 ein abstrakter Automat ist ein mathematisches Modell für
einfache Maschinen/Programme, die bestimmte Probleme lösen
 beschreibt nicht einen bestimmten Automaten, sondern
gemeinsame Grundprinzipien einer Klasse von Automaten
 Grundlegende Komponenten
 Zustände
 Eingabesymbole
 Zustandsübergänge: reagiert auf Eingaben durch Übergang
in einen anderen Zustand
Zustände
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des
Eingabe
Ausgabe
Automaten
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Informelle Einführung
Endlicher abstrakter Automat
 Ein abstrakter Automat ist ein „endlicher Automat“, wenn die
Anzahl der Zustände, der Eingaben u. der Ausgaben endlich ist
 Komponenten der Modelle
 endliche Menge von Zuständen (Q)
 interne Konfigurationen, in denen sich ein System
befinden kann
 zeitliche Ordnung (δ)
 definiert die möglichen Sequenzen von Zuständen
 endliche Menge von Eingaben (Σ)
 endliche Menge von Ausgaben (Reaktionen) (Δ)
 System zeigt abhängig vom aktuellen Zustand eine bestimmte
Reaktion und geht in einen Folgezustand über
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Endliche Automaten: Beispiele
Kippschalter und Lexikon
drücken
aus an
an aus
drücken
Schalter
Start
aus
an
drücken
Lexikon
0
d
1
e
2
m
n
r
s
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3
4
s
5
e
6
n
7
0
1
2
3f
4f
5
6
7f
d e m n r s
1
2
3 3 3 4
5
6
7
5
Typen endlicher Automaten





i
p
 q
Akzeptoren
 Automaten ohne Ausgabe
Transduktoren
 Automaten mit Ausgabe
deterministisch
 jedem Paar [p,i] ist ein Paar [o,q]
eindeutig zugeordnet
nicht-deterministisch
 einem Paar [p,i] können mehrere
mögliche Paare [o,q] zugeordnet sein
stochastisch
 jedem Paar [p,i] ist für ein Paar [o,q]
ein Wahrscheinlichkeitsmaß zugeordnet
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i:o
p 
 q
p
o
i
p
o1
i
o2
i
p
q
q1
q2
o1/w1
q1
i
o2/w2
q2
i
6
Typen endlicher Automaten
Beispiele
Akzeptor
d
0
0
S 1
t q
2
S 1
t
2
S
t
7
6
a 3
t
deterministisch
4 t 5
6
t
7
Transduktor
0 S 1 t
[t]
[ʃ]
q
2
a 3  4
[a]
[t]
nicht-deterministisch
a 3 d 4 t
d 4 t
5

[t]
0 S 1 t q
2 a 3
[t]
[a]
[ʃ]
a 8 t 9 t 10
t 6 t

[t]
dt
tt
5
7
stochastisch
d/.65 4 t/1 5
d/.65 4 t/1 5

[t]
0 S/1 1 t/1 q
0 S/1 1 t/1 q
2 a/1 3
2 a/1 3
[t]
[a]
[ʃ]
t/.35 6 t/1 7
t/.35 6 t/1 7
[t]

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Inhalt

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
Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?
 Abstrakte Automaten
 Endliche abstrakte Automaten
 Beispiele
 T ypen endlicher Automaten
 Akzeptoren, Transduktoren
 deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch
Definitionen
 Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen
 Endliche abstrakte Automaten
Einordnung endlicher Automaten
 Automatentheorie: Art des Speichers
 Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität
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Definitionen Abstrakte Automaten als
mathematische Strukturen: Historie
 David A. Huffman (1954), George H. Mealy (1955) und Edward
F. Moore (1956)
 untersuchten Schaltkreise
 beschrieben voneinander unabhängig den konventionellen
deterministischen Automaten in ähnlichen Varianten
 Huffman entwickelte den Begriff des abstrakten Automaten
 Mealy und Moore führten abstrakte Automaten als
mathematische Strukturen ein.
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Definitionen
Mathematische Struktur
 Eine Struktur  ist eine Zusammenfassung einer Menge und
ausgewählter interessanter Eigenschaften dieser Menge
 Relationen, Funktionen und/oder
 ausgezeichnete Elemente
 die Eigenschaften definieren eine Struktur auf der Menge
 Darstellung als Tupel  = (Menge,
Relation1, …, Relationo,
ausgezeichnetes Element1, .., Ep)
 Beispiel (ℕ, +,×, 0,1)
 Name dieser Beispielstruktur in der abstrakten Algebra: Semiring
 Semiringe spielen in der Theorie endlicher Automaten eine
grundlegende Rolle
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Definitionen
Determinierter abstrakter Automat
Mengentheoretische Definition (Version: Starke 1.1)
determinierter abstrakter Automat (Starke 1969: 22)
A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter abstrakter Automat, falls
a) X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, und
b) γ eine auf Z  X definierte Funktion ist, deren Werte in Y 
Z liegen. ■
Interpretation
X Menge der Eingabesymbole
Y Menge der Ausgabesymbole
Z Menge der Zustände
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Z×X
0
a
b
Y×Z
Y×Z
A
B
1
1
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Definitionen
Determinierter abstrakter Automat
Mengentheoretische Definition
(Version: Starke 1.2 = Version Mealy 1955)
determinierter Mealy-Automat (Starke 1969: 22)
Ein determinierter Automat A = (X, Y, Z, γ) heißt determinierter
Mealy-Automat, falls für alle x X, zZ,
γ(z,x) = [λ(z,x),δ(z,x)] ist,
wobei λ die Ergebnis und δ die Überführungsfunktion von A
ist. ■
Interpretation
X Menge der Eingabesymbole
Y Menge der Ausgabesymbole
Z Menge der Zustände
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λ(z,x )
δ(z,x )
a
b
a
b
0 A
B
0 1
1
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Defintionen
Nichtdeterministischer und stochastischer Automat
Mengentheoretische Definition
nichtdeterministischer Automat (Starke 1969: 121)
B = (X, Y, Z, h) heißt nicht-deterministischer Automat, falls
a) X, Y, Z nichtleere Mengen sind, und
b) h eine eindeutige Abbildung von Z  X in *(Z  Y) ist. ■
(Starke 1969: 121)
stochastischer Automat (Starke 1969: 211)
C = (X, Y, Z, H) heißt stochastischer Automat, wenn
a) X, Y, Z beliebige nichtleere Mengen sind, und
b) H eine auf Z  X definierte Funktion ist, die diskrete
Wahrscheinlichkeitsmaße über Y  Z als Werte H(z,x) hat
■
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Definitionen
Endlicher Automat
Mengentheoretische Definition
endlicher determinierter Automat (Starke 1969: 25)
Ein determinierter Automat A = [X,Y,Z,δ,λ] heißt X-endlich, Yendlich bzw. Z-endlich bzw. (X,Y)-endlich usw., wenn die
jeweils angegebenen Mengen endlich sind. (X,Y,Z)-endliche
Automaten bezeichnen wir schlechthin als endlich ■
(X,Y,Z)-endliche nichtdeterministische Automaten …endlich.
(X,Y,Z)-endliche stochastische Automaten … endlich.
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Definitionen
Mengentheoretische Notation endlicher Automaten
– eine Standardnotation
EA = (Q,q0,F,Σ,Δ,,δ,σ,ρ)
p,q  Q
q0  Q
FQ
i Σ
o Δ
w 
δ(p,i) = q
Zustände
Startzustand
Endzustände
Gewicht
Ausgabesymbol
w/ o
p
q
Eingabesymbole
i
Ausgabesymbole Zustand
Folgezustand
Eingabesymbol
Gewichte
Zustandsübergangsfunktion
σ(p,i,q) = o Ausgabefunktion
ρ(p,i,o,q) = w Gewichtungsfunktion
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Inhalt



Informelle Einführung: Was sind endliche Automaten?
 Abstrakte Automaten
 Endliche abstrakte Automaten
 Beispiele
 T ypen endlicher Automaten
 Akzeptoren, Transduktoren
 deterministisch, nicht-deterministisch, stochastisch
Definitionen
 Abstrakte Automaten als mathematische Strukturen
 Endliche abstrakte Automaten
Einordnung endlicher Automaten
 Automatentheorie: Art des Speichers
 Theorie formaler Sprachen: Strukturelle Komplexität
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Einordnung endlicher Automaten
Automatentheorie
Klassifikation von Algorithmen nach der Art des Speichers
• klassifiziert Algorithmen nach der Art des Speichers, der für die
Implementierung zum Merken von Zwischergebnissen
gebraucht wird
Automat
Speziali- Turingmaschine
sierungen linear beschränkter Automat
Kellerautomat (Push Down
Automaton)
endlicher Automat
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Speicher
unendlich großer Speicher
endlich großer Speicher
Kellerspeicher (Stack)
kein zusätzlicher Speicher
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Einordnung endlicher Automaten
Automatentheorie
Endliche Automaten haben kein Gedächtnis


Mengen der Zustände, der Eingabesignale, der Ausgabesignale sind
endlich
kein Gedächtnis zur Speicherung durchlaufener Zustände:
 Übergang von Zustand zur Zeit t in Zustand zur Zeit t+1 nur
abhängig von
 Zustand zur Zeit t und
 Eingabe im Zustand zur Zeit t
 Vorhergehende Zustände nur dadurch wirksam, dass
 sie über eine bestimmte Eingabe in den aktuellen Zustand
geführt haben, und
 dieser aktuelle Zustand ein bestimmtes Ergebnis repräsentiert.
Start
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B
B
u
Bu
c
Buc
h Buch
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Einordnung endlicher Automaten
Theorie formaler Sprachen
mit endlichen Automaten ist die Klasse der regulären
Sprachen erkennbar und generierbar
Sprachklassen nach struktureller Komplexität (Chomsky-Hierarchie)
Sprachklasse
rekursiv
aufzählbare
Sprachen
kontextsensitive
Sprachen
kontextfreie
Sprachen
reguläre
Sprachen
Hierarchie Grammatik
Regelformat

Typ 0
allgemeine
Regelgrammatik   
Automat
TuringMaschine
Typ 1
kontextsensitive  1 A 2   1 2
Grammatik
 
Typ 2
kontextfreie
Grammatik
reguläre
Grammatik
Typ 3
A 
A  wB

Aw 
Endlicher
rechtsline ar Automat
A  Bw 

Aw 
linkslinea r
A, B nonterminale Symbole
 Ketten aus Terminalen und Non  Terminalen
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linear
beschränkter
Automat
Kellerautomat
w terminale Ketten
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Äquivalenzen: Endliche Automaten, reguläre
Sprachen, reguläre Ausdrücke
Reguläre Ausdrücke
de([mnrs]|“ssen“)
sind äquivalent
spezifizieren
Reguläre Sprachen
Endliche Automaten
0
d
1
e
2
m
3
n
r
s
e
s
n
5
7
4
6
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akzeptieren
{dem, den, der, des, dessen}
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Literatur


Hopcroft, John E. Rajeev Motwani und Jeffrey D. Ullman (2001). Einführung in die
Automatentheorie, Formale Sprachen und Komplexität. Pearson Studium
engl. Original: Introduction to Automata Theory, Languages and Computation. AddisonWesley.
Hopcroft, John E. und Jeffrey D. Ullman (1988). Einführung in die Automatentheorie,
formale Sprachen und Komplexitätstheorie. Bonn u. a.: Addison-Wesley, 1988 (engl.
Original Introduction to automata theory, languages and computation). [Anm.: Diese
Fassung enthält die Beweise]

Huffman, D. A. (1954). The synthesis of sequential switching circuits. J. Franklin
Inst. 257: 3-4, S. 161-190 und 275-303

Lawson, Mark V. (2005). Finite automata. In: Hritsu-Varsakelis, D. und W.S.Levine (Hg).:
Handbook of networked and embedded Control Systems.
Lawson, Mark V. (2004). Finite Automata. In: D. Hristu-Varsakelis and W. S. Levine (eds.):
Handbook of networked and embedded control systems


Mealy, George H. (1955). A method for synthesizing sequential circuits. Bell
System Technical Journal 34:5, 1045-1079

Moore, Edward F. (1956). Gedanken experiments on sequential machines. In: Automata
Studies, S. 129-153, Princeton: Princeton University Press
Starke, Peter H. (1969). Abstrakte Automaten. VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften:
Berlin (ältere, aber sehr gute mathematische Darstellung)

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
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


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Bibliographic data. Karin Haenelt (2010). Endliche Automaten. Einführung in den
Themenbereich. Kursfolien 18.4.2010
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Versionen






v 4.1- 18.04.2010, v 4.0 – 30.03.2009
V03.01 – 16.04.2008
V03.00 – 12.04.2008
V02.03 - 14.04.2007
V02.02 - 11.04.2007
V02.01 - 15.04.2006
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