24.6. Zelluläre Automaten (Einf. Hydro)
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Modellbildung in der Geoökologie (G5, 103) SS 2004
-
29.4. Einführung, Modelle, Modellklassen
6.5. Zustandsmodelle, Rekursion
13.5. Beispiel Phyllotaxis, Definition von Ökosystemen
27.5. Definition von Ökosystemen
3.6. Populations- und Individuenbasierte Modelle (FK)
17.6. Individuenbasierte Modelle
24.6. Modelle der Hydrologie, zelluläre Automaten
1.7. Fallbeispiel Gårdsjön: Parameteridentifikation
8.7. Modelle zur Gewässerversauerung
15.7. Flussnetzwerke, Modelle in der Geomorphologie
22.7. Besprechung der Übungsaufgaben (FK)
- 1-2 weitere Termine: Besprechung der Übungsaufgaben
(FK)
Modellierung
(nach Robert Rosen)
DECODING
4
Formal
System
Naturgesetze
2
ENCODING
Newton: Dynamik
Simulation
3
INFERENCE
CAUSALITY
1
Natural
System
Zustandsysteme
• Kontinuierliche Zustandssysteme (Dynamische Systeme)
- z.B. logistisches oder exp. (kont.) Wachstum
• Diskrete Zustände (Diskrete dynamische Systeme), z.B.:
- z.B. logistisches diskretes Wachstum (Chaos)
- Endliche Automaten (Zeit und Zustände sind diskret)
- Zelluläre Automaten ( “ ) heute: Einführung einer räumlichen
Abhängigkeit der Dynamik
Kurze Einführung in dynamische Systeme
• Untersucht wird das typische Langzeitverhalten
(unabhängig von den Details der Anfangsbedingungen)
• Nicht einzelne Trajektorien, sondern topologische Eigenschaften
von Trajektorienensembles werden untersucht
• Stabilitätsanalyse liefert mögliches Verhalten:
- instabil/explodierend ("runaway solutions")
- Fixpunkt
- periodisches Verhalten
- Grenzzyklus
- Kompakte Mengen: Attraktoren
Zustände eines dynamischen Systems
Was ist ein Zustand (eines dynamischen Systems)?
Der Zustand eines dynamischen Systems zu einem
Zeitpunkt wird durch Angabe einer Menge
von Zustandsgrößen als Vektor beschrieben:
z1 t
z 2 t
.
z t
.
.
z t
n
Die Menge der Zustandsgrößen sind genau
die, deren Werte man alle kennen muss,
um das Verhalten des Systems in der
nahen Zukunft vorhersagen zu können. (?)
Zustandsvektoren sind nicht eindeutig.
Die Zustandsvektoren spannen den
Zustandsraum auf; die Dimension n des
Zustandsraums zu finden ist i.a.
sehr schwierig. (Ist n z.B. unendlich?)
Wdh.: Kontinuierliche dynamische Systeme
Def.: Ein dynamisches System ist ein Paar (f , X), wobei
f eine n-dimensionale Abbildung, X eine n-dimensionale Menge ist.
Es gilt
x
Hängt
x f ( x)
(Bewegungsgleichung)
ist der Zustand des Systems, X der Zustandsraum,
xX
f (x )
nicht explizit von der Zeit ab, heisst das System autonom:
durch Vorgabe eines Anfangswertes liegt die Entwicklung fest
Diskrete dynamische Systeme, Attraktoren, Einbettung
Autonomes dynamisches System im Zustandsraum:
xn1 F ( xn )
Die Menge der asymptotischen Trajektorien ist der Attraktor des Systems
(Dimension D)
Takens Theorem:
Beobachtung einer Zustandsvariablen und Bildung von Einbettungsvektoren
d
xn ( xn( m1) d , xn( m2) d ,..., xn )
liefert eine treue Abbildung des Attraktors, falls
m 2D 1
Phasenraumverhalten des
Lotka-Volterra-Systems
Invariante:
H u v ln u v
Beispiel: der Lorenz-Attraktor
Quantifizierung von Chaos: der
kontinuierliche Fall
x F (x )
B
(x
)
Man betrachtet -Kugeln um einen Punkt zum Zeitpunkt 0:
Die Kugeln verformen sich zu späteren Zeiten zu Ellipsoiden
mit Hauptachsen i .
Dann lassen sich die Lyapunov-Exponenten des Systems so ermitteln:
1
i ( x ) lim log i ( x )
t t
(Zeitmittel)
(für ergodische Systeme nicht vom Ort abhängig)
Schritte der Modellbildung
Wahl eines Ausschnittes
der Wirklichkeit,
Zielsetzung
Belebte Systeme, Ökosysteme
?
Mathematischer Ansatz:
diskret, kontinuierlich;
Erzeugen oder beschreiben?
Automaten? Berechenbar?
Idealisierungen,
Abstraktionen,
physikalische Annahmen
Zustandssysteme?
deterministisch?
Zelluläre Automaten
• Die Zustände sind Zellen zugeordnet mit einer
räumlichen (Nachbarschafts)-Beziehung
• Die Verarbeitung der Zustandübergänge erfolgt:
– Parallel: gleichzeitig für alle Zellen (für den aktuellen
Zustand)
– Lokal: als Eingabe wird der aktuelle Zustand der jeweiligen
Zelle und die ihrer unmittelbaren Nachbarn verwendet
– Homogen: Die Zellen werden alle nach denselben Regeln
behandelt (analog zu einem physikalischen Gesetz)
Der einfachste Fall: eindimensionale
Zelluläre Automaten
1
tn
0
0
1
0
1
•
Binäres Alphabet {0,1}
•
3-er Nachbarschaften (Zelle und Nachbarn)
werden für die Zustands-Aktualisierung
verwendet:
-
23 = 8
mögliche Worte
-
28 = 256 mögliche Regelsätze
-
(256 1-d zelluläre Automaten mit binärem
Alphabet und 3-er Nachbarschaft)
Nummerierung der Regeln
1
tn
0
0
1
0
1
?
tn+1
111 110 101 100 011 010 001 000
0
1
1
0
0
1
0
0
Nummerierung der Regeln
z.B. die Regel 110
tn
tn+1
Faktor:
111 110 101 100 011 010 001 000
0
1
1
0
0
1
0
0
27
26
25
24
23
22
21
20
64 + 32
+ 4
= 110
Zweidimensionale zelluläre Automaten
• 1-Bit Regeln (binäres Alphabet)
• 9-er Nachbarschaft
– 29 =516 Möglichkeiten
– 2516 Regelsätze
• Totalistische und semi-totalistische Regeln
(Summe über Nachbarschaft)
• Beispiele:
– Vote (nur 210 = 1024 verschiedene Möglichkeiten)
– Life
Majority:
Totalistic Code 1111100000b = 992d
NineSum
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
NewState
0
0
0
0
0
1
1
1
1
1
Vote:
Totalistic Code 1111010000b = 976d
NineSum
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
NewState
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
Totalistic Vote Table
Vote:
Totalistic Code 1111010000b = 976d
NineSum
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
NewState
0
0
0
0
1
0
1
1
1
1
Semitotalistic Vote Table
EightSum
CellState 0 1 2 3 4 5 6 7 8
0
0 0 0 0 1 0 1 1 1
1
0 0 0 1 0 1 1 1 1
Semitotalistic Life Table
EightSum
CellState 0 1 2 3 4 5 6 7 8
1.
2.
3.
4.
0
0 0 0 1 0 0 0 0 0
1
0 0 1 1 0 0 0 0 0
Form the EightSum of each cell's eight neighbors.
If a cell is 0 and its EightSum is 3, the cell's new state is 1.
If a cell is 1 and its EightSum is 2 or 3, the new state is 1.
In all other cases the cell's new state is 0.
Übungsaufgabe:
• Wie lauten die Regeln im zwei-dimensionalen
zellulären Automaten „Game of Life“ ? (möglichst
knappe Formulierung)
• Ändern Sie die Regel (2-3 mal) und beurteilen Sie das
Ergebnis
• In welcher Hinsicht finden sie diese Simulationen
interessant oder uninteressant ?
- Zur Lösung: siehe Kommentare zu dieser Folie
