Institut für Informatik - Martin-Luther-Universität Halle

Institut für Informatik
D–06120 Halle (Saale)
Martin-Luther-Universität Halle-Wittenberg
Von-Seckendorff-Platz 1
Prof. Dr. P. Molitor
Dr. R. Winter
Tel. 0345/55 24710
Tel. 0345/55 24738
2. Übung zum Modul Automaten und Berechenbarkeit“
”
Sommersemester 2014
15.4.2014
Abgabe: am Dienstag, dem 29.4.2014 vor der Vorlesung
Aufgabe 2.1:
(3+3 Punkte)
(a) Geben Sie einen echten NEA (also keinen DEA) an, der alle natürlichen Zahlen (im Dezimalsystem) ohne führende Nullen erkennt, die durch 3 oder durch 5 teilbar sind.
(b) Konstruieren Sie mittels Potenzmengenkonstruktion aus diesem NEA einen äquivalenten
DEA.
Aufgabe 2.2:
(3+4 Punkte)
Gegeben seien die Automaten
δ1
z0
z1
A = ({a, b}, {z0 , z1 , z2 , z3 }, z0 , δ1 , {z3 }) mit Überführungstabelle a
z2 z1 , z3
b z0 , z1
z2
δ2 z0
z1 z2
B = ({a, b}, {z0 , z1 , z2 , z3 }, z0 , δ2 , {z3 }) mit Überführungstabelle a z2 z0 , z3
b z1
z1 z2
δ3 z0 z1 z2
C = ({a, b}, {z0 , z1 , z2 }, z0 , δ3 , {z2 }) mit Überführungstabelle a z1 z1 z2 und
b z2 z1 z2
δ4 s0 s1
D = ({a, b}, {s0 , s1 }, s0 , δ4 , {s1 }) mit Überführungstabelle a s1 s1 .
b s1 s0
z2 z3
z2 z3 ,
z3
z3
,
z1
Konstruieren Sie (gemäß Beweis von Satz 1.2.2) einen
(a) endlichen Automaten A∪ mit genau einem Finalzustand, der LA ∪ LB akzeptiert.
(b) endlichen Automaten A∩ , der LC ∩ LD akzeptiert.
Geben Sie die Automaten grafisch an. Kennzeichnen Sie die gegenüber A, B, C, D neu entstandenen Zustände und Transitionen farbig.
Bitte wenden!
Aufgabe 2.3:
(5 Punkte)
Es sei A = (X, Z, z0 , δ, Zf ) ein beliebiger nichtdeterministischer endlicher Automat, welcher
die Sprache L ⊆ X ∗ akzeptiert. Konstruieren Sie mithilfe von A einen nichtdeterministischen
endlichen Automaten A∗ , der die Sprache L∗ akzeptiert. Zeigen Sie, dass Ihr Automat A∗ die
Sprache L∗ akzeptiert.
Zusatz-Aufgabe 2.4:
(1 + 4 Punkte)
Gegeben sei die Sprache Ln aller Wörter über {a, b} mit Mindestlänge n, deren n-tes Zeichen
von rechts ein a ist.
(a) Finden Sie einen NEA mit n + 1 Zuständen, der Ln akzeptiert.
(b) Beweisen Sie, dass es keinen DEA mit weniger als 2n Zuständen gibt, der Ln akzeptieren
kann.
Hinweis:
Aus der Annahme, es gebe einen DEA mit weniger als 2n Zuständen, der Ln akzeptiert, folgt
die Existenz von zwei Wörtern der Länge n, nach deren Lesen der Automat im selben Zustand
landet.
Selbsttestaufgaben - unbewertet
Selbsttest-Aufgabe 2.5:
(0 Punkte)
Gegeben sei das Alphabet X = {a, b}. Konstruieren Sie zu 3 verschiedenen echten nichtdeterministischen endlichen Automaten über X mit genau 2 Zuständen äquivalente deterministische
endliche Automaten mittels Potenzmengenkonstruktion.
Selbsttest-Aufgabe 2.6:
(0 Punkte)
Gegeben seien die endlichen Automaten aus Aufgabe 2.2. Konstruieren Sie einen endlichen
Automaten, der LA · LB akzeptiert.
Übungsblätter und weitere Informationen zur Vorlesung bzw. Übung finden Sie unter:
http://nirvana.informatik.uni-halle.de/~theo/THEOlehre/THEOaktuell.html
Email: {molitor, winter}@informatik.uni-halle.de