Formale Sprachen und Automatentheorie

Hertrampf/Wächter/Walter/Weiÿ
Sommersemester 2015
Formale Sprachen und Automatentheorie
Aufgabenblatt 3
Abgabe: bis Donnerstag, den 21.05. um 12:30 bei den Abgabekästen im 1. Stock
Bearbeiten Sie drei der Aufgaben schriftlich. Sie können auch mehr Aufgaben zur Korrektur
abgeben, müssen in diesem Fall aber deutlich kennzeichnen, welche der Aufgaben bewertet
werden sollen.
(6
1. Pumping-Lemma und endliche Automaten
Punkte )
Entscheiden Sie für jede der folgenden Sprachen, ob sie regulär ist oder nicht. Geben Sie endliche Automaten für die regulären Sprachen an und beweisen Sie für die restlichen Sprachen
mit Hilfe des Pumping Lemmas, dass sie nicht regulär sind.
a)
L1 = {ak bm an | k, m, n ∈ N, k = m
oder
m = n}
∗
b)
L2 = {www | w ∈ {a, b} }
c)
L3 = {w ∈ {0, 1, . . . , 9}∗ | w
ist die Dezimaldarstellung einer durch
d)
L4 = {w ∈ {0, 1, . . . , 9}∗ | w
ist Präx des Nachkommateils der Dezimaldarstellung von
3
teilbaren Zahl
(6
2. Pumping-Lemma II
}
Punkte )
a) Entscheiden Sie für jede der folgenden Sprachen, ob sie regulär ist oder nicht. Geben Sie
endliche Automaten für die regulären Sprachen an und beweisen Sie für die restlichen
Sprachen mit Hilfe des Pumping Lemmas, dass sie nicht regulär sind.
(i)
L1 = {a3n | n ∈ N}
(ii)
L2 = {an | n ∈ N}
(iii)
b) Sei
3
L3 = {abn
3/2 c
f :N→N
| n ∈ N}
eine Funktion, sodass
L = {af (n) | n ∈ N}
lim
n→∞
f (n)
n
=∞
gilt. Zeigen Sie, dass die Sprache
nicht regulär ist.
(6
3. Schnitt von regulären Sprachen
M1 = (Z1 , Σ, δ1 , z1 , E1 ) und M2 = (Z2 , Σ, δ2 , z2 , E2 )
maten M = (Z1 × Z2 , Σ, δ, (z1 , z2 ), E) mit
Seien
Punkte )
zwei DFAs. Deniere den Auto-
δ((p, q), a) = (δ1 (p, a), δ2 (q, a)).
a) Bestimmen Sie die Endzustandsmenge
E
von
M
so, dass
T (M ) = T (M1 ) ∩ T (M2 )
gilt
und beweisen Sie Ihre Antwort.
n und m minimale deterministische M1 und
M1 genau n Zustände hat, M2 genau m Zustände hat und der minimale
T (M1 ) ∩ T (M2 ) genau n · m Zustände hat.
b) Geben Sie für beliebige natürliche Zahlen
M2
so an, dass
DFA von
n und m minimale deterministische AuM1 genau n Zustände hat, M2 genau m Zustände hat
T (M1 ) ∪ T (M2 ) genau n · m Zustände hat? Beweisen oder
c) Gibt es auch für beliebige natürliche Zahlen
tomaten
M1
und
M2 ,
sodass
und der minimale DFA von
widerlegen Sie Ihre Antwort.
√
2}
(6
4. Minimalautomat und der Satz von Myhill-Nerode
Punkte )
a) Konstruieren Sie für die folgenden Sprachen jeweils einen minimalen deterministischen
endlichen Automaten. Geben Sie zu jeder der Myhill-Nerode-Äquivalenzklassen der
verschiedenen Sprachen einen regulären Ausdruck an, der die Äquivalenzklasse erzeugt.
(i)
(ii)
L1 = {am ban | m + n ≡ 0 mod 4} ∪ {am ban | m + n ≡ 2 mod 4}.
L2 = {uabv | u, v ∈ {a, b}∗
und
|v| ≡ 1 mod 2}.
b) Minimieren Sie den folgenden endlichen Automaten über dem Alphabet
{a, b} mit Hilfe
des Algorithmus aus der Vorlesung. Bestimmen Sie damit die Äquivalenzklassen der
Myhill-Nerode Relation.
a
a
q2
q3
a
q4
a
b
q0
b
b
a
q1
q5
q
q6
b
b
Hinweis: Ist von einem Zustand
a
b
b
kein Zustandsübergang mit einem Buchstaben
u ∈ {a, b}
gezeichnet, so gibt es einen impliziten Übergang in einen extra Fangzustand, der keine
Übergänge zu anderen Zuständen hat.
(6
5. Blow-Up bei deterministischen Automaten
Wir denieren zu jeder natürlichen Zahl
(mindestens) zwei
a's
mit Abstand
k
k≥1
die Sprache der Wörter über
Punkte )
{a, b},
welche
enthalten:
Lk = {αaβaγ | α, γ ∈ {a, b}∗ , β ∈ {a, b}k }
a) Zeigen Sie, dass
Lk
von einem nichtdeterministischen endlichen Automat mit
k+3
Zuständen erkannt wird.
b) Beweisen Sie, dass jeder deterministische endliche Automat, der
2k+1 Zustände besitzt.
Lk
erkennt, mindestens
(8
6. Syntaktisches Monoid
Punkte )
a) Bestimmen Sie jeweils das syntaktische Monoid der Sprachen
(i)
(ii)
L1 = {w ∈ {a, b}∗ | |w| ≡ 1 mod 3},
L2 = {a, ab}
über dem Alphabet
{a, b}.
Geben Sie die dazugehörigen Verknüpfungstafeln an.
b) Geben Sie weitere Sprachen
L01
und
L02
an mit
Synt(Li ) = Synt(L0i )
c) Zeigen Sie: Ist das syntaktische Monoid einer nicht-leeren Sprache
ist
L
nicht endlich.
für
i = 1, 2.
L eine Gruppe, dann