6-Langreiter_Newton

Die Newtonschen Axiome
Johann Langreiter
Didaktik der Physik
24-01-2006
Was sind Axiome?
Axiome sind nicht beweisbare grundlegende
Lehrsätze, die zusammen mit anderen, die Grundlage
zur Beschreibung komplizierter Zusammenhänge bilden.
Achtung:
Ergebnisse müssen nicht mit der „realen“ Welt
übereinstimmen.
Es darf nur keine logischen Widersprüche oder
Unbeständigkeiten geben.
Axiomensystem soll minimal sein.
Parallele zur Mathematik
Axiome der Geometrie (Euklid)
Axiome der Mechanik (Newton)
Mathematik (Vorteil):
Euklids 3-D-Welt existiert nur in unseren Köpfen.
Physik:
Axiome müssen auch in der „realen“ Welt gelten, sonst
sind sie unbrauchbar.
Newton und seine Arbeit
Sir Isaac NEWTON
Physiker, Mathematiker, Astronom
(1643 – 1727)
Newton 1: Trägheitsprinzip
Ein Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit
konstanter Geschwindigkeit weiter, wenn keine
resultierende äußere Kraft auf ihn einwirkt
(die resultierende Kraft ist die Vektorsumme
aller Kräfte, die an einem Körper angreifen):
F = Σ Fi = 0
i
Newton 2: Aktionsprinzip
Die Beschleunigung eines Körpers ist
umgekehrt proportional zu seiner Masse und
direkt proportional zur resultierenden Kraft, die
auf ihn wirkt:
F
__
a=
oder F = ma
m
Newton 3: Reaktionsprinzip
Kräfte treten immer paarweise auf. Wenn Körper
A eine Kraft auf Körper B ausübt, so wirkt eine
gleich große, aber entgegengesetzt gerichtete
Kraft von Körper B auf Körper A.
Axiome in der „realen“ Welt
Newton 1:
Körper bleibt ewig in Ruhe oder bewegt sich mit
konstanter Geschwindigkeit.  nicht prüfbar!
Newton 2:
Die Begriffe Masse und Kraft werden im Axiom nicht
erklärt.
Man kann nur die Nettokraft berechnen, keine einzelnen
Kräfte!
Gelten die Axiome in der „realen“
Welt überhaupt?
Ein interessierter Schüler behauptet:
„Früher als unsere Mutter mich und meinen Bruder mit
dem Schlitten gezogen hat, war ihre Geschwindigkeit
auch annähernd konstant und trotzdem brauchte sie
ständig Kraft um den Schlitten in Bewegung zu halten.“
Gelten daher die Newtonschen Axiome nicht?
Beispiel: Kräfte am Schlitten
Zwei Kinder werden auf einem Schlitten gezogen:
Winkel zur Horizontalen
α = 40°
Masse Kinder, Schlitten
mK = 45 kg
mS = 5 kg
Haft-, Gleitreibung
μH = 0,2
Was passiert bei einer Zugkraft von 100 N?
μG = 0,15
Lösung: Kräfte am Schlitten
1. Zerlegung der Zugkraft:
Vertikal:
Zy = Z*sin40° = 100 N *0,643 = 64,3 N
Horizontal: Zx = Z*cos40° = 100 N *0,766 = 76,6 N
2. Bestimmung der Normalkraft:
FN + Zy –mg = 0  FN = mg – Fy =
50 kg * 9,81 m s-2 – 64,3 N = 426 N
3. Bestimmung der Haftreibungskraft:
FH,max = μH*FN = 0,2 * 426 N = 85,2 N
Schlitten bleibt in Ruhe, da FH,max größer als Zx.
Die Axiome gelten!
Wir sehen:
Obwohl jemand eine Kraft auf den Schlitten ausübt,
heißt das noch lange nicht, dass sich der Schlitten
bewegt.
Der Schüler hatte vergessen, dass auch andere Kräfte
wirksam sind, außer der Zugkraft.
Die Alltags-Erfahrung lehrt uns, dass man anfangs
tatsächlich eine Kraft braucht, um den Schlitten
überhaupt in Bewegung zu setzen.
Ist Newton 1 ein
Spezialfall von Newton 2?
dv
__
a=
= 0  v ist konstant.
dt
Wozu brauchen wir dann Newton 1?
Das erste Newtonsche Axiom definiert das Inertialsystem.
Es erklärt somit, wo die Newtonschen Axiome gelten!
Inertialsystem = Impuls eines MP ohne Ww bleibt erhalten.
Nicht-Inertialsysteme
Ein Nicht-Inertialsystem ist ein beschleunigtes
Bezugssystem.
Beispiel:
Man stößt einen Holzklotz auf einer rotierenden Scheibe
reibungsfrei an. Die Bahn, die dieser Klotz beschreibt,
wird mit Sicherheit in Bezug auf die Scheibe keine
geradlinige sein.
=> kein Inertialsystem
Newton 1 und 2
Die ersten beiden Axiome beschäftigen sich mit einem
Körper.
Was sagen sie aus?
Die ersten beiden Axiome erklären, wie sich ein Körper
verhält, wenn eine Nettokraft wirkt. Diese Nettokraft
kann auch null sein.
Nettokraft
Als Nettokraft bezeichnet man die Vektorsumme aller
wirkenden Kräfte.
Probleme:
Aus den ersten beiden Newtonschen Axiomen erhalten
wir lediglich die Nettokraft. Wir wissen nicht woher die
Kräfte kommen und auch nicht wie viele separate Kräfte
wirken.
Selbst wenn die Nettokraft gleich null ist, können wir
nicht behaupten, dass keine Kraft wirkt. Wir wissen
lediglich, dass sich die Kräfte kompensieren.
Newton 3
Das dritte Axiom ist ein Zwei-Körper Axiom:
Wichtigste Konsequenz:
Kräfte treten in einem abgeschlossen System immer
paarweise auf.
Es ermöglicht:
Übergang vom einzelnen Massenpunkt zu einem
System von Massenpunkten
Häufige Fehlinterpretation
Richtig:
Kräfte treten in einem abgeschlossen System
immer als Kraft-Gegenkraft-Paar auf.
Falsche Folgerung:
Kraft und Gegenkraft sind bekanntlich
betragsmäßig gleich und entgegengesetzt
gerichtet, daher heben sie sich immer auf!
Was ist am Gedanken falsch?
Richtigstellung:
Kraft und Gegenkraft können sich niemals
aufheben, weil sie auf verschiedene Körper
wirken!
Kräfte am Tisch
Block spürt nach unten wirkende Kraft FG. (Erde)
Körper übt die Kraft FG‘ = -FG auf die Erde aus.
Einzigen Kräfte  Block nach unten, Erde nach
oben beschleunigt
Zusätzlich wirkt aber FN, diese gleicht die
Gewichtskraft der Blockes aus (nicht FG‘!)
FN‘ wirkt vom Körper auf den Tisch.
Kräftegleichgewicht (Beispiel)
FG = 8 N
Welche Zugkraft ist größer FS,1 oder FS,2?
Kräftegleichgewicht (Lösung)
FS,1 + FS,2 + FG = 0
Fx = FS,1 cos 30° - FS,2 cos 60°+ 0 = 0
Fy = FS,1 sin 30° + FS,2 sin 60°+ FG = 0
cos 30°
FS,2 = FS,1 *
= FS,1 * √3
cos 60°
FS,1 sin 30° + (FS,1* √3) sin 60°+ FG = 0
FS,1 = ½ FG = 4 N
FS,2 = Fs,1 * √3 = 6,93 N
Der Begriff „Kraft“
Eine Kraft kann als Stoß oder Zug definiert werden. Sie
ist das Ergebnis einer Wechselwirkung zwischen zwei
unterschiedlichen Körpern.
Eine Kraft kann wirksam sein :
durch direkten Kontakt
jemand zieht einen Schlitten.
ohne direkten Kontakt
zwei Magnete ziehen sich an.
WICHTIG: Kräfte treten immer als Paare auf!
Sieht man, dass Kräfte wirken?
Einem Körper auf den Kräfte wirken, kann eines oder
mehrere folgender Dinge widerfahren:
1. Er ändert seine Form.
2. Er beginnt sich zu bewegen.
3. Er beschleunigt.
v ↑↑ a
4. Er wird abgebremst oder bleibt stehen.
v ↓↑ a
5. Er ändert die Richtung, in die er sich bewegt.
≮ (v,a)
ODER
6. Es passiert nichts, weil sich die Kräfte ausgleichen!
Kurzdefinition
Als physikalischer Fachbegriff bezeichnet Kraft
die Fähigkeit die Bewegung eines Körpers zu
ändern (Richtungsänderung oder
Beschleunigung) oder einen Körper zu
verformen.
Diese Definition vereinigt alle Punkte der vorigen Folie.
Die Einheit der Kraft
Die Einheit der Kraft ist 1 N (Newton).
1 N ist jene Kraft, die man benötigt um einen
Körper mit der Masse von 1 kg, eine
Beschleunigung von 1 m s-2 zu verleihen.
1 N = 1 kg * ms-2
Masse
Die Masse (genauer: die träge Masse) ist die
jedem Körper innewohnende Eigenschaft, sich
einer Beschleunigung zu widersetzen.
F = m0a0 = m1a1  m1 = a0
m0
a1
Das Gravitationsgesetz
Tycho Brahe
Johannes Kepler
Isaac Newton
(1546 – 1601)
(1571 – 1630)
(1643 – 1727)
Messungen
Auswertung
Gravitationsgesetz
Gravitation: Newton 4?
Nein!:
Das Gravitationsgesetz ist eine Formel zur Berechnung
des Zahlenwertes einer speziellen Kraft.
Newton berechnete die Abweichung der Mondbahn von
einer geradlinigen Bewegung pro Sekunde (1,3 mm).
Axiome können keine solchen Ergebnisse liefern.
Außerdem gelten die Axiome nur im Inertialsystem!
Das Minuszeichen
Das Minuszeichen im Gravitationsgesetz soll darauf
hinweisen, dass die Kraft anziehend ist.
Zwei-Körper-Problem:
Gm1m2
F1 = –
r2
Herleitung aus Epot:
F1 + F2 = 0
Gm1m2
F2 = +
r2
Epot
Gm1m2
=–
r
?
Empfehlung:
Gm1m2
Betrag: |F1| =
r2
Gm1m2 r12
Vektor: F12 = –
r122 r12
ENDE
Ich danke für Ihre
Aufmerksamkeit!