Ausgewählte Kapitel der Physik

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Ausgewählte Kapitel der Physik
Festkörper-Halbleiter
Bändermodell
16.05.2016
Festkörper
Die Eigenschaften der Festkörper werden wesentlich durch die Elektronenstruktur der Atome festgelegt. Eine wichtige
Rolle spielen dabei auch Quanten-Effekte, die sowohl makroskopisch (z.B. supra-flüssig, superleitend, Quanten Halleffekt,..) als auch lokalisiert in Nanogrößenordnung (Störstellen im Atomgitter, Lichtemission,.. ) auftreten.
Die Struktur der Elektronenhülle führt zu verschiedenen chemischen Bindungsarten der Atome und kristallinen
Strukturen und diese wieder sind die Ursache der von uns makroskopisch beobachteten Eigenschaften.
Kristallstrukturen
Chemische Bindungen
Ionenbindung
Atombindung
Metallbindung
Van der Waals Bindung
Kubisch flächenzentriert
Kubisch raumzentriert
Hexagonal dichtest gepackt
rhombisch
Rhomboedrisch
Tetragonal ….
Mit unterschiedlich dicht
gepackten Ebenen und
Richtungen, die durch Vektoren
Nach Miller : z.B. [110], {211}
gekennzeichnet werden
16.05.2016
Festkörpereigenschaften
Dichte
Wärme Leitfähigkeit
Elektrische Leitfähigkeit
Magnetische Eigenschaften
Optische Eigenschaften
Festigkeit und Härte
Schmelzpunkt
Gitter-Umwandlungen
Kristallgitter
Mit den 14 Bravais-Gitter lassen sich
alle Kristalle darstellen.
Daneben gibt es aber auch andere
Klassifizierungen z.B. in 32
Kristallklassen nach Symmetriekriterien
kubisch P (=primitiv)
kubisch I (=raumzentriert) (bcc)
kubisch F (=flächenzentriert) (fcc)
tetragonal P
tetragonal I
orthorhombisch P
orthorhombisch C (=mit Gitterpunkten auf zwei
Flächen)
orthorhombisch I
orthorhombisch F
monoklin P
monoklin C
triklin
hexagonal (hcp)
trigonal (rhomboedrisch)
16.05.2016
Kristallgitter
Das Zinkblende Gitter: AB-Struktur
In einem flächenzentriert-kubischen Gitter ist in
Diagonalpositionen (1/4) eine zweite Atomsorte eingebaut.
Ein Elementar-Würfel hat an den Ecken 8 Nachbarn, an den
Seitenflächen nur einen.
Somit entfallen auf eine Elementarzelle:
(8 x 1/8 + 6 x ½) = 4 Atome von der einen Sorte und
weitere 4 von der anderen.
Viele III-V –Halbleiter wie GaAs kristallisieren in diesem
Gitter, das in das Diamantgitter übergeht, wenn nur eine
einzige Sorte Atome vorliegt zB. C, Si, Ge
Die Strukturen lassen sich in vielen Fällen rein geometrisch
aus den Atomgrößen und Koordinationszahlen vorhersagen.
16.05.2016
Oben: Schichtgitter mit drei s und
einer p-Bindung, (el. leitend,
Schmiermittel, weich)
Darunter die Diamantstruktur mit
vier gleichartigen Bindungen
(Isolator, Schleifmittel, hart)
Kristallgitter
Die Millerschen Indizes, mit denen man die kristallographischen
Ebenen bezeichnet, sind im Grunde die Normal-Vekoren der Gitterebenen.
Es gibt keine Normierung auf Einheitsvektoren, es wird auf Ganzzahligkeit
geachtet, denn das Kristallgitter ist auch eine ganzzahlige Fortsetzung der
Elementarzellen.
Beispiel:
Mit Millerschen Indizes beschreibt
man Netzebenen und Richtungen
im Kristallgitter
16.05.2016
Der Normalvektor n bezeichnet diese Ebene und alle parallelen Ebenen dazu
mit demselben Vektor. Er ergibt sich aus dem Kreuzprodukt zweier nicht
paralleler, in der Ebene liegender Vektoren. Hier sind dies z.B. Vektor (a-c) und
(b-c) .
Kristallite
Feldionenmikroskopische Abbildung einer Drahtspitze aus Tantal,
Kubisch flächenzentrierte Struktur, die zentrale Facette ist eine (110-Ebene). Im linken Bild ist links oben eine
Korngrenze erkennbar. Jeder Ring bedeutet eine Stufe in Höhe von einigen zehntel Nanometern. Die hellen
Punkte markieren einzelne Atome.
Eine Weiterentwicklung dieser Mikroskoptechnik führte 30 Jahre später zum Physik-Nobelpreis für Binning und
Rohrer, (Rastertunnelmikroskop). Diese Ehrung blieb dem mittlerweile verstorbenen Wissenschaftler und
Erfinder E.W. Müller zu Lebzeiten (aus politischen Gründen?) versagt.
16.05.2016
Halbleiter
Periodensystem der Elemente
16.05.2016
Halbleiter
Potenzialtrichter des einzelnen Atoms mit diskreten
Energieniveaus. Anziehungskraft F = 1/4pe0* q²/r²
Epot(r) ~ 1/r
Die Null-Linie wird liegt dort, wo sich Kern und Elektron
nicht mehr anziehen, also im Unendlichen.( Epot =
Integral über der Coulomb-Kraft)
Gebundene Elektronen haben negatives Potential. Die
Elektronen füllen den Potenzialtrichter von unten her an.
Kein Zustand darf zweimal auftreten. Über den besetzten
Niveaus gibt es noch viele diskrete, die bei Anregung
eingenommen werden können.
Die Energie, die notwendig ist, das oberste Elektron des
Grundzustands
herauszunehmen,
nennt
man
Ionisierungsarbeit.
16.05.2016
Durch die gegenseitige Nähe der ionisierten Atomrümpfe
werden die Potentialbarrieren zwischen den Atomen
abgesenkt, die Elektronen gelangen in den Einflussbereich
der anderen Ionenrümpfe. Die Elektronen werden über den
ganzen Festkörper verbreitet und sind nicht mehr einzeln
lokalisierbar.
Die Energieniveaus müssen sich aufspalten (Pauli-Prinzip).
Aus den einzelnen Niveaus entstehen Bänder, die
verbotenen Bereiche dazwischen werden schmäler und
können sogar verschwinden.
In einem vollen Band können sich die Elektronen nicht
bewegen, halb- oder weniger gefüllte Bänder bewirken
dagegen gute Leitfähigkeiten.
Halbleiter
Das oberste volle Band wird Valenzband genannt, die energetisch darüber liegenden Bänder, nur teilweise besetzt
oder überhaupt leer, heißen Leitungsbänder.
Bei Metallen, die etwa ein Elektron pro Metallatom
zum gemeinsamen „Topf“ der Elektronen beisteuern ,
pflegt man die Vorstellung eines Elektronensees.
Dessen oberstes gefülltes Energieniveau (FermiNiveau) liegt bei „ruhiger See“, d.h. bei tiefsten
Temperaturen um WA = Austrittsarbeit tiefer als der
Außenbereich. Bei höheren Temperaturen wird die
Oberfläche „unruhiger“, gibt es zahlreiche Elektronen,
die sich auch in höheren erlaubten Bereichen
aufhalten. Das sind Energiezustände, die ohne
weiteres Hindernis in kleinsten Schritten von 10-23 eV
erreicht werden können.
Aus einem Niveau des Atoms werden
6*1023 Niveaus pro mol beim Festkörper
Bei anderen Festkörpern, bei denen zwischen dem letzten vollen Band und dem darüber liegenden erlaubten, aber nicht
besetzten Energieband ein größerer Abstand vorliegt, können die Elektronen den leitenden Zustand erst nach Zufuhr
eines größeren Energiebetrags erreichen. Sie müssen den Abstand zwischen den Bändern, das „gap“ überspringen.
Dieses beträgt je nach Festkörper zwischen einigen 1/100 eV und 10 eV.
Aus der thermischen Energie des Kristallgitters kann ein Elektron eine Energie von etwa Eth = kB*T übernehmen.
Eth = 8,617*10-5eV / K *293 K ~ 0,025 eV
Aber nicht jedes Elektron besitzt diese thermische Energie, sie ist vielmehr nach einer Wahrscheinlichkeitsfunktion, der
sog. Fermifunktion, höher oder niedriger.
fe ( E ) 
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1
E  EF
1 exp(
)
k BT
Halbleiter
Metall:
Potenzialtopf, Ferminiveau, Austrittsarbeit
Energieverteilung der Elektronen im Metall.
Elektronen folgen einer Fermiverteilung, d.h. die oberen Niveaus sind zahlreicher als die unteren, sie nehmen mit n² zu. Bei
tiefer Temperatur, genauer bei 0 K sind alle Niveaus bis zur Obergrenze, dem Ferminiveau besetzt, darüber sind leere Niveaus.
Nur Elektronen, die eine größere Energie als die Austrittsarbeit WB besitzen, können den Topf verlassen.
16.05.2016
Halbleiter
Metall:
Potenzialtopf, Ferminiveau, Austrittsarbeit
16.05.2016
Halbleiter
Die elektrische Leitfähigkeit ist die wichtigste
Größe zur Klassifizierung der Stoffe in der
Elektrotechnik.
Bei einem Metall sind die Elektronen zwar an
den Festkörper gebunden, jedoch als stehende
Welle über das gesamte Gitter verteilt. Kommt
ein Elektron hinein, so kann mit dieser Energie
wieder eines auf der anderen Seite austreten.
Eine genaue Abgrenzung von Nichtleitern und
Halbleitern (Eg = ca. 3 eV) hat keine
besondere physikalische Bedeutung, sondern
ist mehr eine praxisbezogene
Unterscheidungsgröße.
Wenn ein Halbleiter zusätzliche Fremdatome
eingebaut hat, so können sich daraus
Energieniveaus in der verbotenen Zone
ergeben. Gerade die sind es, die die wichtigen
Bauteileigenschaften der Halbleiter erzeugen.
16.05.2016
Bändermodell
Donatoren, Akzeptoren, Kontaktpotenzial
16.05.2016
Halbleiter
Halbleiter
Bändermodell, direkter und indirekter Übergang
Das Potenzialtopfmodell ist eine sehr grobe
Vereinfachung, kann jedoch viel zum
Verständnis der elektronischen Vorgänge
beitragen.
Die Feinheiten kommen erst heraus, wenn man
die „elektronische Feinstruktur“ der Bänder
zusammen mit der Lage, Größe und den
speziellen Eigenschaften der Atome und
Störstellen im Gitter betrachtet.
Das Gitter ist nicht isotrop, sondern besitzt
ausgezeichnete Richtungen und die
Elektronenwellen verlaufen mit
unterschiedlichen Energien in unterschiedliche
Richtungen ( Impulsvektor k ) im Kristallgitter.
Bei einem Übergang vom Leitungsband zum
Valenzband muss neben der Energie
(=Wellenlänge der ev. abgegebenen Strahlung)
auch der Impuls angepasst werden, was den
Vorgang deutlich verlangsamt.
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Bändermodell,
direkter und indirekter Übergang
16.05.2016
Halbleiter
Halbleiter
Bändermodell, pn-Übergang mit Spannung
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Halbleiter
Diode als Bauelement, Kennlinien
16.05.2016
Halbleiter
Transistor als Bauelement, Kennlinien
Siehe Simulationsprogramm
16.05.2016
Halbleiter
Die elektrische Leitfähigkeit hängt von der Zahl
der Ladungsträger ab, wie viele negative
Elektronen im Leitungsband sind und wie viele
Löcher oder Defektelektronen im Valenzband zur
Verfügung stehen. Auch deren Beweglichkeit in
den Bändern ist von Bedeutung.
Nimmt man an, dass von allen Elektronen, die ins
Leitungsband gelangen, je ein Loch im
Valenzband zurückbleibt, so kommt man zum
Ausdruck für die Anzahl ni der intrinsischen (ohne
Dotierung, eigenleitenden) Ladungsträger:
ni  N c * NV *exp(
Eg
k BT
)
Somit steigt die Leitfähigkeit mit zunehmender
Temperatur, weil der Exponent gegen Null und somit
die Exponenzialfunktion gegen 1 geht.
Da die Leitfähigkeit bzw. der Widerstand leicht
gemessen werden kann erhält man:
G (J )  G (J0 ) *exp( 
Eg
k BT
)
Diese Messwerte G(J) werden halblogarithmisch über
1/T aufgetragen und man berechnet aus der Steigung
den Bandabstand oder die Energieniveaus der
Störstellen im Gap im Falle eines dotierten Halbleiters.
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Nc
/cm³
Nv
/cm³
ni
/cm³
Si
2,73*1019
1,08*1019
6,71*109
Ge
1,04*1019
5,42*1018
2,14*1013
GaP
3,33*1019
9,96*1018
1,892*100
GaAs
4,25*1017
9,96*1018
2,25*106
InSb
3,98*1016
1,17*1019
2,10*1016
Ladungsträgerkonzentration bei 300K für verschiedene HL,
Nc, Nv sind die Zustandsdichten im Leitungsband und Valenzband
Halbleiter- Bauelemente
Temperatursensoren
Hallsensor
Diode
Bipolar-Transistor
Feldeffekttransistor
Thyristor
R(J )  R(J N ) *exp[ B *( T1  T1N )]
R(J )( R(JN ) *[1   (J  JN )   (J  JN ) 2 ]
16.05.2016
Halbleiter
Hall-Effekt:
Ein elektrischer Strom fließt von links nach rechts durch das
gezeigte Leiterstück.
Die Ladungsträger seien hier Löcher. Diese bewegen sich von links
nach rechts in Stromrichtung I.
Von vorne nach hinten liegt ein Magnetfeld mit der Flussdichte B.
Die pos.Ladungsträger erhalten eine nach oben gerichtete Kraft,
die Lorentzkraft F :
(qe ...Elementarladung, v ... Driftgeschwindigkeit, E …el. Feld)
F  qe *( E  v  B)
Das führt dazu, dass sich an der oberen Fläche positive Ladungsträger ansammeln und unten negative. Die Ladungen
werden so lang zur Seite abgelenkt, bis das durch sie entstehende senkrechte Feld so groß ist, dass es die Wirkung des
Magnetfelds gerade aufhebt und der Strom gerade durchgeht. Damit ist F=0 und E = v .B
Setzt man ein für E = UH / a und für v = l / t und I = Q/t = (qe*P) / t = (qe*p*V ) / t = (qe*p)*A*l / t = (qe*p)*(a*b)*v
(V…Volumen, P …Anzahl der Ladungen, p = P/V … pos. Ladungsträgerdichte. Q… Ladung, t … Zeit , V=b*d*l … Volumen),
erhält man schließlich die messbare Hallspannung UH
UH 
16.05.2016
1 I .B
I .B
*
 RH *
qe p b
b
Halbleiter
Rh ist die Hallkonstante.
RH=1/(qep) für Löcher,
RH = -1/(qen) für Elektronen.
Aus der Messung von UH, I und B
lassen sich somit die Anzahl der
Ladungsträger pro cm³
bestimmen.
Der durch R = UH/ I definierte
„Hallwiderstand“ R = B/(b*n.qe)
kann zur Messung der
Flussdichte verwendet werden.
Klaus von Klitzing bekam 1985
den Nobelpreis für die
Entdeckung, dass in einer
zweidimensionalen Struktur bei
tiefen Temperaturen und hohen
Feldern der Hallwiderstand nicht
kontinuierlich mit B anwächst,
sondern in Stufen von h/qe² . Der
quantisierte-Hall-Effekt liefert
somit ein Widerstandsnormal von
25813 Ohm, das nur von
Naturkonstanten abhängt.
16.05.2016
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