Schott
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Bildrekonstruktion als Studentenprojekt DIETER SCHOTT Bremen, Oktober 2005 1 TRADITION Gottlob Frege *1848 Wismar Logiker Mathematiker Professor in Jena Begründer der modernen Logik Aristoteles II. †1925 Bad Kleinen Bremen, Oktober 2005 2 Mathematiklehre - Dilemma • • • • • • Wissensexplosion – Stofffülle Innovation – neue Hilfsmittel große Streuung der Eingangskenntnisse begrenzter Stundenumfang begrenztes Lehrpersonal Geldmangel - Imageproblem Bremen, Oktober 2005 3 Mathematiklehre - Anspruch • modern (Kenntnisstand, Hilfsmittel, Methoden) • wissenschaftlich (Theorie, Hochschule) • anwendungsorientiert (Praxis, Wirtschaft) • motivierend (Anwendungen, Interesse, Spannung) • international (Globalisierung, Austausch, Kooperation) Bremen, Oktober 2005 4 Mathematiklehre - Struktur Eingangsprüfung Grundlagen allg. Prinzipien und Denkweisen Zusatzangebote Praxisprobleme Projekte Kerncurriculum interdisziplinär kooperativ angewandt kleine Auswahl aktueller Gebiete Modellieren Selbststudium Problemlösen Bremen, Oktober 2005 LiteraturQuellen Internetkurse Fachliteratur Kritikfähigkeit Werkzeuge Hilfsmittel Computer Software 5 Praxis-Problem Modell Modellkorrekturen Mathematisches Modell Algebra Numerische Analysis Methoden INFORMATIK Anwendung in der Praxis Expertensystem • Fehler-Analyse Computer Software Grafik Verifikation mathematische Lösung Lösung • Fallstudien • Experimente • Wechsel der Verfahren Verifikation Bremen, Oktober 2005 • Interpretation 6 Interdisziplinäre Vernetzung • • • • • • Mathematik – Lösungsmethoden Physik – naturwissenschaftliche Modelle Informatik – Software, Grafik Technik – Apparate, Geräte Design – Gestaltung, Aussehen, Funktion Wirtschaft – Ökonomie, Vermarktung Bremen, Oktober 2005 7 Projekte - Funktionen • • • • • • • Praxisrelevanz Interdisziplinarität Modellierung Kooperation, Kreativität, Konkurrenz Computer, Software, Programmierung Präsentation (Text, Vortrag, Verteidigung) Selbststudium (Quellen) Bremen, Oktober 2005 8 Projekte - Beispiele • • • • • Bildrekonstruktion (CT) Schwingungen (Pendel) Ökologische Modelle (Räuber-Beute) Strategische Spiele Graphenalgorithmen (Kürzeste Wege, Rundreisen) • Fraktale Geometrie Bremen, Oktober 2005 9 Computermathematik • • • • Computeralgebra, Numerik, Grafik Softwarekenntnisse (MATLAB) Standardfunktionen (Expertensystem) Programmierung (Funktionen, Oberflächen) • grafische Schnittstelle (Nutzerinteraktion) • Experimente, Simulationen (Strategie) • anspruchsvolle Beispiele aus der Praxis Bremen, Oktober 2005 10 Computertomographie - Modell • Strahl geometrisch (Geraden, Streifen, Zylinder, Kegel) • Strahlenergie (monoenergetisch, Spektrum) • Objektstruktur – Schwächungsverteilung – Funktion • Objekt 3D – parallele Objektschnitte 2D Bremen, Oktober 2005 11 Computertomographie - Modell I I 0 exp( f l ) I I 0 exp( f ( x, y ) dl ) L Schwächung L: Gerade Objektschnitt mit Strahl L I0 : Objekt Q Q: Quadrat f: Dichte L Gesetz f(x,y) I: Intensität Physikalisches I0 f ( x, y ) dl ln : g ( L) I Mathematisches I Modell RADON - Integralgleichung Bremen, Oktober 2005 12 Calculating projections P( ,s) f (x, y) dl L s perpendicular distance from origin to line L(, s) angle of the normal of the line L(, s) Bremen, Oktober 2005 13 Calculating projections Rotate the x-y axis by angle P( , s) s cos t sin sin x cos y x cos y sin sin s cos t f ( x, y) dl f (s cos t sin , s sin t cos ) dt [0, ) Bremen, Oktober 2005 14 Bildrekonstruktion ein interdisziplinäres Problem • Wissenschaftstheorie (Abstraktion, Modell, Simulation) • Physik (Röntgen-Strahlung und ihre Schwächung) • Mathematik (Radonsche Integralgleichung) – Analysis, Numerik, Wissenschaftliches Rechnen • Informatik (Implementierung der Algorithmen) – Komplexität, Algorithmen, Datenstrukturen, Programme • Ingenieurwissenschaften (Computertomograph) • Medizin (Diagnostik, Bilddarstellung, Strahlenbelastung) • Wirtschaft (Aufwand und Nutzen) Bremen, Oktober 2005 15 Diskretisierung der Integralgleichung Strahlennetz m = p q Geraden Li mit Daten gi := g(Li) Pixelraster Q Wert - Farbe f1 Quadrat Q mit Q1 n = k2 Pixeln Qj Wert - Farbe fj Qj Funktion f konstant über Qj: Li f | Qj=: fj aij Schnittlänge von Li in Qj, oft aij=0 Bremen, Oktober 2005 16 Numerisches Modell: Lineares Gleichungssystem f ( x, y) dl g ( L) L Diskretisierung, Approximation n a i 1 ij bzw. f j gi (i 1,..., m) A f g Bremen, Oktober 2005 17 Lineares Gleichungssystem (LGS) Pseudoinverse Regularisierung Fehler!!! Defekt- Min. Kleinste-Quadrate-Lösungen mod. LGS eine Lösung Verfahren Größe LGS Lösungen viele Lösungen allgemeine Lösung (Struktur, Parameter) Geometrische Bedeutung spezielle Lösung (Zusatzbedingungen) Bremen, Oktober 2005 keine Lösung Computer- Lösung Verfälschung von Werten und Struktur 18 Lösungskonzept • A f = g LGS mit A = ( aij ) vom Format (m,n) – m Messdaten, n Pixel – m < n : LGS unterbestimmt (mehr Pixel) – m > n : LGS überbestimmt (weniger Pixel) • A f = g schwach besetzt und i. Allg. nicht lösbar – spezielle Speichertechniken – verallgemeinerte Lösungen (KQL, Pseudoinverse) • Vor-Bedingung: f >= 0 (koordinatenweise) • Regularisierung: (AT A + E) f = AT g (Parameter > 0 klein) Bremen, Oktober 2005 19 Lösungsverfahren: spezielle Iteration Projektion auf Hyperebenen (KACZMARZ 1937) H1 Spezialfall m=n=2 H2 Auswahlstrategie der Hyperebenen: zyklisch, größter Abstand,... Bremen, Oktober 2005 20 Lösungsverfahren: Modifikationen Algebraic reconstruction technique (ART): HERMAN 1970 UnterRelaxation KonvergenzBeschleunigung KleinsteQuadrateLösungen H Regularisierung ÜberRelaxation ParameterOptimierung A-priori-Information: Null-Setzen der negativen Koordinaten Bremen, Oktober 2005 21 Methodologie Rekonstruktionsproblem Fehler Physikalische Gesetze math. Modell Messdaten Radonsche Integralgleichung Approximation Diskretisierung Lineares Gleichungssystem Untersuchungen Experimente Kleinste Quadrate Regularisierung Lösungskonzept Lösungsverfahren Interpretation Verifikation Implementierung Gauss, Konj. Grad., ART Computer Berechnung einer Lösung Bremen, Oktober 2005 Software Programmierung 22 Teilprogramme Messgeometrie PhantomModell Messdaten Funktion Skelett Matrixgenerator Datengenerator Matrix Vektor 2D Lineares Gleichungssystem Lösungsverfahren Vektor Grafik 3D Interpolation Skelett Funktion Bremen, Oktober 2005 23 Bedienoberfläche - Wand Bremen, Oktober 2005 24 Bedienoberfläche - Dose Cylindric rise 2 ( y b)2 r 2 1 for ( x a ) f ( x, y) 0 elsewhere Bremen, Oktober 2005 25 Bedienoberfläche - Maus Bremen, Oktober 2005 26 Objekt Kopfschnitt Bremen, Oktober 2005 27 Objekt Autobild Bremen, Oktober 2005 28 Untersuchungen - Experimente • • • • • • • • • • Strahlen L - Strahlenmodell, Strahlennetz Approximation von f - Raum für Lösungen Strahlennetz - Lösungsbasis (Relation) Bestimmung von A (Effizienz, Fehler) Berechnung von g (Pseudo-Messdaten) Lösungsverfahren A f = g (PSH, BART, Opt.) Q-Erweiterung von f, Grafik, Effekte Gütemaß Original – Rekonstruktion Bedienoberfläche Objekte 2D - 3D (Funktion, Bild, stetig-diskret) Bremen, Oktober 2005 29 Strahlennetze Parallel beams Fan beams Bremen, Oktober 2005 30 Strahlen als Streifen Bremen, Oktober 2005 31 Struktur von Strahlennetzen p = 32 q= 32 m = 1024 Bremen, Oktober 2005 32 Besetztheit von B = A‘A Bremen, Oktober 2005 33 Dieter Schott Mit diesem Buch meistern Sie die Herausforderungen! Auf Ihre Zukunft! I S S N Bremen, Oktober 2005 ISBN 3-446-22043-7 34 Doppelspitze Rekonstruktion Bremen, Oktober 2005 35 Wellen mit Spitze Rekonstruktion Bremen, Oktober 2005 36
