Lösungen 4.

Einführung in die Topologie - Sommer 2012
Lösungen 4.
(1) Wir brauchen eine Vorbereitung (vgl. Abs. 2 der Angabe): Sei (xn ) eine Folge in
X. Sei x ein Punkt, dessen Umgebungen unendlich viele Folgenglieder enthalten.
Wir konstruieren eine Teilfolge (xni ) von (xn ), die gegen x konvergiert. Sei
Bx = {Ui }i∈N
eine abzählbare Basis um x. O.B.d.A. sind die Teilmengen Uk ⊂ X offen und
Ui+1 ⊂ Ui ∀ i ∈ N.
Wir wählen Folgenglieder xni ∈ Ui mit ni+1 > ni , was möglich ist, weil jedes Ui
unendlich viele Folgegliedern enthält. Diese Teilfolge (xni ) von (xn ) konvergiert
gegen x, denn für alle Umgebungen U um x gibt es eines N ∈ N mit UN ⊂ U, also
xni≥N ∈ Ui ⊂ UN ⊂ U.
Zusammenfassung der Vorbereitung: Wenn jede offene Umgebung eines Punktes x unendlich viele Folgenglieder enthält, gibt es eine Teilfolge, die gegen x konvergiert. Das is dasselbe wie: Wenn eine Folge keine konvergente Teilfolge hat, hat
jeder Punkt x eine offene Umgebung Vx mit nur endlich viele Folgengliedern.
Wir benutzen diese letzte Aussage, um Übung 1 zu beweisen: Gäbe es eine Folge
ohne konvergente Teilfolge, würden wir eine endliche Überdeckung erhalten:
r
[
X=
Vxs ,
s=1
denn X ist kompakt. Dann wäre
r
[
| {xn } | = {xn } ∩ Vxr < ∞,
s=1
sodass (xn ) eine konvergente Teilfolge haben muss.
Schließlich zeigen wir, dass jeder kompakte metrische Raum vollständig ist. Ein
metrischer Raum X erfüllt das erste Abzählbarkeitsaxiom, sodass er folgenkompakt
ist. Sei nun (xn ) eine Cauchy-Folge in X. Sei (xni ) ⊂ (xn ) eine konvergente
Teilfolge mit Grenzwerte x. Der Punkt x ist der Grenzwert der ursprünglichen
Folge (xn ): Seien N , M ∈ N mit
d(xni >M , x) < /2
1
2
und
d(xn>N , xn0 >N ) < /2.
Setze
N := max {M , N } .
Dann
d(xn>N , x) ≤ d(xn>N , xni >N ) + d(xni >N , x) < (2) Es ist klar, dass jeder kompakte metrische Raum total beschränkt ist. Ausserdem
ist jeder kompakte metrische Raum vollständig (Übung 1). Umgekehrt:
(a) Sei (xn ) eine Folge in X. Wir suchen eine Cauchy-Teilfolge (xni ) von (xn ). Für
jedes k > 0, gibt es endlich viele 1/k-Bälle, die eine 1/k-Überdeckung von X
definieren. Also finden wir einen Ball B1 (y1 ) der unendlich viele Folgenglieder
enthält. Induktiv gibt es Bälle B1/k (yk ), sodass jeder Schnitt
n
\
B1/i (yi )
i=1
unendlich viele Folgenglieder enthält. Wir definieren dann die Teilfolge (xni )
durch die Wahl eines Folgenglieds
xni ∈
n
\
B1/i (yi )
i=1
mit ni > nk , falls k < i. Die Folge (xni ) ist Cauchy, denn xni>k ∈ B1/k (yk ).
(b) Die Teilfolge (xnk ) von Punkt (b) konvergiert, weil X vollständig ist.
(c) Seien xk die Mittelpunkten der Anleitung. Wegen des Punktes (b), finden wir
eine konvergente Teilfolge (xki ). Sei x ∈ U ihr Grenzwert, wobei U eine offene
Menge der Überdeckung U ist. Die Teilmenge U is offen und damit existiert
eines > 0 mit B (x) ⊂ U . Ebenso existiert N ∈ N mit
xnk>N ∈ B (x),
denn (xnk ) konvergiert gegen x. Wenn k groß genug ist, dann gilt:
B1/nk (xnk ) ⊂ B (x) ⊂ U,
was einen Widerspruch zur Wahl der Mittelpunkten xk ist.
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(d) Sei die Lebesguezahl des Punktes (c). Da X total beschränkt ist, kann man
Elemente
x1 , ..., xn ∈ X
finden mit
n
n
[
[
X=
B (xi ) ⊂
Ui
i=1
i=1
(3) (a) Wir zeigen, dass ”∼” eine Äquivalenzrelation ist. Es ist klar, dass ”∼” symmetrisch und reflexiv ist. Gegeben drei Cauchy Folgen (xn ), (yn ) und (zn ),
gilt
lim d(xn , zn ) ≤ lim (d(xn , yn ) + d(yn , zn ))
n→∞
n→∞
≤ lim d(xn , yn ) + lim d(yn , zn )
n→∞
n→∞
= 0,
sodass ”∼” eine Äquivalenzrelation ist.
(b) Wir beweisen, dass d wohldefiniert ist. Wir zeigen zuerst, dass (d(xn , yn ))n∈N
eine Cauchy-Folge in R ist:
d(xn , yn ) − d(xm , ym ) ≤ d(xn , xm ) + d(xm , ym )
+ d(ym , yn ) − d(xm , ym )
= d(xn , xm ) + d(ym , yn )
< ,
falls m und n groß genug sind. (Wir benutzen hier, dass (xn ) und (yn ) CauchyFolgen sind). Da R vollständig ist, existiert der Grenzwert
lim d(xn , yn )
n→∞
Wir zeigen nun, dass d wohldefiniert bzgl. ”∼” ist:
lim d(xn , yn ) ≤ lim (d(xn , x0n ) + d(x0n , yn ))
n→∞
n→∞
= lim d(xn , x0n ) + lim d(x0n , yn )
n→∞
n→∞
= lim d(x0n , yn ) ,
n→∞
falls
(xn ) ∼ (x0n ).
Analog
lim d(x0n , yn ) ≤ lim d(xn , yn ),
n→∞
n→∞
4
demnach
lim d(x0n , yn ) = lim d(xn , yn ),
n→∞
n→∞
falls
(xn ) ∼ (x0n ).
(c) Wir zeigen, dass d eine Metrik ist. Es ist klar, dass d symmetrisch ist und
d([x] , [y]) = 0 ⇔ [x] = [y] .
Gegeben drei Cauchy Folgen (xn ), (yn ) und (zn ), gilt
d([xn ] , [zn ]) = lim d(xn , zn )
n→∞
≤ lim (d(xn , yn ) + d(yn , zn ))
n→∞
≤ lim d(xn , yn ) + lim d(yn , zn )
n→∞
n→∞
= d([xn ] , [yn ]) + d([yn ] , [zn ]) ,
sodass d eine Metrik ist.
(d) Wir zeigen, dass (Y, d) vollständig ist. Sei (xk ) eine Cauchy-Folge in Y . Wir
konstruieren eine Cauchy-Folge in X, deren Äquivalenzklasse in Y der Grenzwert von (xk ) ist. Gegeben k ∈ N, wählen wir eine Cauchy Folge
(x(k,n) )n∈N
in X mit
(x(k,n) )n∈N = xk .
Sei Nk eine natürliche Zahl mit
d(x(k,i≥Nk ) , x(k,j≥Nk ) ) < 1/k.
Wir beweisen dass, die Folge
(x(k,Nk ) )k∈N ⊂ X
Cauchy ist und dass ihre Äquivalenzklasse in Y der Grenzwert von (xk ) ist.
(i) Sei Mk ∈ N mit
d(xi>Mk , xj>Mk ) = lim d(x(i,n) , x(j,n) ) < 1/k.
n→∞
Wir wählen feste i, j > Mk mit 1/i < 1/k und 1/j < 1/k. Es gibt auch
K ∈ N mit K > Ni , K > Nj und
d(x(i,n≥K) , x(j,n≥K) ) < 1/k.
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Deswegen
d(x(i,Ni ) , x(j,Nj ) ) ≤ d(x(i,Ni ) , x(i,K) ) + d(x(i,K) , x(j,K) )+
+ d(x(j,K) , x(j,Nj ) )
< 3/k ,
was bedeutet, dass
(x(k,Nk ) )k∈N ⊂ X
Cauchy ist.
(ii) Aufgrund von (i), finden wir Lk mit
d(x(i,Ni ) , x(j,Nj ) ) < 1/k,
falls i, j ≥ Lk . Wir wählen ein festes i0 > Lk mit 1/i0 < 1/k, dann
d(x(i0 ,n) , x(n,Nn ) ) ≤ d(x(i0 ,n) , x(i0 ,Ni0 ) ) + d(x(i0 ,Ni0 ) , x(n,Nn ) )
< 2/k ,
falls n groß genug ist. Das heißt, dass wir für jedes k eine i0 mit
d(xi>i0 , (x(k,Nk ) )) < 1/k
finden. Anders gesagt
lim xi = (x(n,Nn ) ).
i→∞
(e) Die Abbildung φ ist eine isometrische Einbettung:
d(φ(x), φ(y)) = lim d(φ(x)n , φ(y)n )
n→∞
= lim d(x, y)
n→∞
= d(x, y) .
(f) Zuletzt zeigen wir, dass φ(X) = Y . Gemäss der Anleitung rechnen wir aus:
d(φ(xn ), x) = lim d(xn , xk ) < ,
k→∞
falls n groß genug ist, weil x eine Cauchy Folge ist. Folglich: Für jedes x ∈ Y
gibt es eine Folge (φ(xn ))n∈N in φ(X), deren Grenzwert x ist. Anders gesagt:
φ(X) = Y .