Lösung VII

Physik I für Chemiker,
WS 2015/16
Lösung VII
Veröffentlicht: 10.12.15
1 Konzeptionelle Fragen
(a) Kann Haftreibung Arbeit verrichten?
Wenn Haftreibung intern ist, ist sie eine verlustfreie Kraft und leistet keine Arbeit am
gewählten System. Als externe Kraft kann Haftreibung allerdings Arbeit verrichten. Dies
erscheint verwunderlich, da Haft prinzipiell keine Bewegung impliziert. Wichtig hierbei
ist, dass hier die Bewegung relativ zur Berührungsfläche gemeint ist. Die Haftreibung
hält ein Kid also auf dem Schlitten, auch wenn sich der Schlitten selber bewegt! Wählt
man als System nur das Kind, verrichtet die Haftreibung des Schlittens positive Arbeit
am Kind. Weiteres Beispiel: Angenommen zwei Blöcke liegen aufeinander und der untere
liegt auf einer reibungsfreien Fläche. Nun wirkt eine Kraft auf den oberen der beiden
Blöcke. Aufgrund von Haftreibung wird sich der untere auch bewegen. Man könnte auch
sagen, dass die Kraft einfach vom oberen auf den unteren Block übertragen wird. Das
wäre dann nicht wirklich verschieden von einem soliden Block und man würde nicht von
verrichteter Arbeit reden. Allerdings kann man wenn man will Übertragung von Kraft
als Arbeit bezeichnen, da es in die Definition von Arbeit passt. Haftreibung kann also
als interne Kraft keine Arbeit verrichten, und wenn sie als externe Kraft wirkt kann sie
Arbeit verrichten.
(b) Zwei Blöcke werden zum gleichen Zeitpunkt mit gleicher Geschwindigkeit auf zwei Bahnen
mit unterschiedlichem Anstieg losgeschossen. Welcher wird die Ziellinie zuerst erreichen?
Angenommen die Blöcke A und B starten an Punkt O und A nimmt den weg mit größerem
Anstieg während B den mit geringerem Anstieg nimmt (sagen wir den Boden). Bei A
verrichtet die Gravitation negative Arbeit auf den Block. Dadurch sinkt seine kinetische
Energie und damit seine Geschwindigkeit. Bei B verrichtet die Gravitation keine Arbeit
(wenn der Weg am Boden verläuft) und somit wird sich seine kinetische Energie und
Geschwindigkeit nicht verändern. Die Zeit bis die Blöcke die Ziellinie erreichen hängt von
der Geschwindigkeit ab. B ist also zuerst da.
2 Arbeit durch konservative Kraft
(a) Ein Ball der Masse 1kg wird mit einem Winkel zum Boden los geworfen und erreicht eine
maximale Höhe von h = 20 m. Prinzipiell kann man die entlang des Weges verrichtete
Arbeit berechnen. Das ist aber kompliziert, da der Winkel zwischen Bewegung und Gravitationskraft entlang der Trajektorie variiert. Man kann das kinetische Energie-Arbeit
Theorem benutzen um die Anfangs- und Endgeschwindigkeit zu berechnen. Man kann
aber auch einfach den Fakt verwenden, dass es sich bei der Gravitationskraft um eine
konservative Kraft handelt und dann die Arbeit schreiben als
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W = W (horizontal) + W (vertical) = 0 − mgh.
Also ist die verrichtete Arbeit W = 196 J.
Abbildung 1: Ein Ball, der unter einem Winkel zum Boden los geworfen wurde und seine Maximalhöhe.
3 Energieerhaltung
(a) Ein Pendel der Länge l, an dem ein Ball der Masse m hängt wird unter einem Winkel θ
im Punkt A aus der Ruhe losgelassen, wie in Abbildung 2 (a) zu sehen ist. Die Gesamte
mechanische Energie ist
EA = KA + UA = 0 + mgl(1 − cos θ),
Da es im System keine Verluste gibt, ist die mechanische Energie erhalten. Die mechanische Energie im Punkt O ist
1
Eo = Ko + Uo = mvo2 + 0,
2
Benutzt man, dass EA = Eo erhält man für die Geschwindigkeit des Balls im Punkt O
vo =
p
2gl(1 − cos θ).
(b) Ein Block rutsch eine reibungsfreie Rampe der Höhe h = 5 m hinunter (bei Punkt A) (vgl.
Abb.2 (b)). Die Anfangsgeschwindigkeit beträgt 2 m/ s. Gravitation ist hier die Einzige
Kraft, die Arbeit am Block verrichtet, die mechanische Energie bleibt also erhalten. Das
bedeutet EA = EB = EC . Offensichtlich ist
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1
2
EA = KA + UA = mvA
+ mgh
2
und
1
2
EB = KB + UB = mvB
+ mg(0).
2
Da EA = EB sieht man, dass vB =
q
2 + 2gh. Und somit v ' 10 m/ s.
vA
B
Das gleiche gilt für EC :
1
h
2
EC = KC + UC = mvC
+ mg
.
2
3
Mit EB = EC sieht man, dass vC =
q
2 − 2/3gh. Und somit v ' 8.2 m/ s.
vB
c
Achtung: Wirkt eine nicht konservative Kraft (z.B Reibung), ist die mechanische Energie
nicht erhalten. Die Arbeit durch die nicht konservative Kraft verändert die mechanische
Energie nach ∆E = Wnon−conservative .
Abbildung 2: Ein Pendel der Länge l. (b) Ein Block rutsch eine reibungsfreie Rampe der Höhe
h hinunter.
4 Energieverlust durch Reibung
Ein 2kg Block startet auf einer Höhe von 2 m auf einer reibungsfreien Rampe mit Steigungswinkel 30° aus der Ruhe, wie in Abbildung 3 (a) dargestellt ist. Auf der horizontalen Fläche
befindet sich ein 0.5 m langes raues Stück mit einem Gleitreibungskoeffizienten von 0,2. Nach
dem rauen Stück ist die Fläche wieder reibungsfrei und am Ende befindet sich eine Feder mit
Federkonstante 500 N/ m.
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Um die Distanz um welche die Feder eingedrückt wird auszurechnen brauch man die kinetische
Energie des Blocks kurz bevor er auf die Feder trifft und die mechanische Energie, die durch
die Reibung verloren geht. Am Anfang hat der Block folgende mechanische Energie
E0 = K0 + U0 = mgl sin θ.
Das ist die gesamte mechanische Energie bevor de Block über das raue Stück rutscht. Nach
der Fläche mit Reibung ist ein Teil der mechanischen Energie verloren. Benutzt an, dass ∆E
= Wfriction , erhält man für die Veränderung der mechanischen Arbeit aufgrund von Reibung
Ef − E0 = Wfriction = −fk d,
wobei fk = −µN d = −µmgd. Dann ist die mechanische Energie am Ende
Ef = E0 − µmgd,
Also Ef = mg(l sin θ − µd). Das ist die gesamte mechanische Arbeit vor dem Aufprall auf die
Feder. Jetzt benutzt man wieder, dass die mechanische Arbeit erhalten bleibt:
1
Ef = κx2 .
2
dabei ist x die Distanz um welche die Feder zusammengedrückt wird. Auflösen nach x:
r
x=
2mg(l sin θ − µd)
κ
Einsetzen der Werte ergibt x = 0.27 m.
Abbildung 3: ((a) Ein Block startet aus der Ruhe auf einer schiefen Ebene und trifft dann
auf ein raues Stück Strecke und eine Feder. (b) Ein Ball wird gegen eine Feder
gedrückt und dann losgelassen. Er bewegt sich dann auf einem reibungsfreiem
Looping mit Radius r
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5 Feder-Ball Looping
Ein kleiner Ball der Masse m wird gegen eine Feder mit Federkonstante κ gedrückt und dort
gehalten. Die Feder wird dabei um eine unbekannte Distanz x eingedrückt (vgl. Abb. 3 (b)).
Wenn der Ball losgelassen wird rutscht er einen reibungsfreien Looping mit Radius r entlang.
Wenn der Ball den höchsten Punkt im Looping erreicht, ist die Kraft vom Looping auf dem
Ball (die Normalkraft) zwei mal so groß wie die Gravitationskraft, die auf die Masse wirkt.
(a) Die anfangs kinetische Energie ist K0 = 0 und die anfangs potentielle Energie ist U0 =
1/2 κx2 . Also ist die gesamte mechanische Energie
1
E0 = K0 + U0 = κx2 ,
2
2
Im höchsten Punkt des Loopings ist die kinetische Energie des Blocks Kf = 1/2mvtop
und sein potentielle Energie ist Uf = mg(2r). Somit ist die mechanische Energie am Ende
1
2
Ef = Kf + Uf = 2mgr + mvtop
,
2
diese ist gleich der mechanischen Energie am Anfang (d.h. E0 = Ef ). Daraus erhält man
die kinetische Energie um höchsten Punkt
1
1
2
= κx2 − 2mgr.
Kf = mvtop
2
2
(b) Am obersten Punkt im Looping wirkt die Gravitationskraft (mg) nach unten und die
Normalkraft (N = 2mg) nach unten. Newtons II Axiom liefert:
2
mvtop
N + mg =
r
beziehungsweise
3mg =
2
mvtop
.
r
2 = 3/2mgr.
Mit dieser Gleichung kann man die kinetische Energie schreiben als 1/2mvtop
somit ist die Geschwindigkeit
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vtop =
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p
3mgr.
(c) Aus Teilaufgabe (a) findet man
1
Kf = κx2 − 2mgr,
2
und aus Teilaufgabe (b) ist bekannt, dass
3
1
2
= mgr,
Kf = mvtop
2
2
Nun setzt man Kf in die Gleichung ein und erhält
1
3
mgr = κx2 − 2mgr,
2
2
Auflösen nach x ergibt die Distanz um die die Feder eingedrückt wurde
r
x=
6/6
7mgr
.
κ