Looping und Energieerhaltungssatz

Looping und
Energieerhaltungssatz
A
C
Eine Achterbahn enthält einen Looping.
Berechnen Sie
h
1. aus welcher Höhe h man bei A
starten muss, damit man im Punkt C
an der Bahn haftet und nicht
herunterstürzt und
2. wie groß dann die Geschwindigkeit
in den Punkten B und C jeweils ist.
Benutzen Sie folgende Annahmen,
damit die Rechnung nicht zu schwierig wird:
Der Achterbahnwagen sei punktförmig und habe die Masse m.
Von Reibungseffekten sei abzusehen.
Im Punkt B sei die potentielle Energie gleich 0.
2r
B
Zu 1:
Auf Grund des Energieerhaltungssatzes sind die Energieen in den Punkten A, B und C gleich.
Bei A ist nur die potenzielle Energie ungleich 0, bei B nur die kinetische Energie ungleich 0 und bei
C sind sowohl die potenzielle als auch die kinetische Energie ungleich 0:
bei A: W A m g h
1
m v B2
bei B: W B
2
1
2
m vC
bei C: W C m g 2r
2
Im Punkt C muss die Zentripetalkraft FZ, die der Fahrer als Zentrifugalkraft empfindet, größer als
die Gewichtskraft FG sein, weil sonst der Wagen spätestens bei C abstürzt.
Die Grenze liegt also bei FZ = FG .
2
2
m vC
m vC
bei C: F Z
; FG m g ; FZ FG
m g
vC 2 g r
r
r
1
2
m v C Eingesetzt folgt:
wegen WA = WC gilt m g h m g 2r
2
1
5
1
m g r
h 2r
r
h
r
m g h m g 2r
2
2
2
Man sieht, dass die Masse und der Ortsfaktor gar keine Rolle spielen.
Zu 2:
Wegen WA = WB gilt
1
2
m vB
m g h
2
Wegen WA = WC gilt
vB
m g h
vC
m g
5
r
2
2 g
5
r
2
m g
2r
5 g r
vB
1
2
m vC .
2
5
1
2
2
r g 2r
vC
vC 5 g r 4 g r g r
2
2
g r Die Geschwindigkeit ist also im Punkt B
5 mal so groß wie im Punkt C.
Umgeformt folgt daraus:
Also:
2 g h
g
In Wirklichkeit sehen die Werte auf Grund der Reibung und der ausgedehnten bewegten Körper
natürlich anders aus!