Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Werbung
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 1
Bedingte Wahrscheinlichkeiten
Wahrscheinlichkeiten
Bedingte
A)
A)
Definition, Multiplikationssatz
Multiplikationssatz
Definition,
B)
B)
Hilfsmittel für
für systematische
systematische Lösungen:
Lösungen:
Hilfsmittel
Venn-Diagramm, Kontingenztafel,
Kontingenztafel, Entscheidungsbaum
Entscheidungsbaum
Venn-Diagramm,
C)
C)
Unabhängigkeit
Unabhängigkeit
D)
D)
Satz von
von der
der totalen
totalen Wahrscheinlichkeit
Wahrscheinlichkeit
Satz
E)
Satz von Bayes
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 2
Aufgabe: Tupamaros 1 / 2
Im „Tupamaros“ bekommt neuerdings jeder Gast eine Chipkarte. Darauf
wird jede Bestellung und jede Nutzung eines der Spielautomaten vermerkt.
Beim Gehen wird an der Zentralkasse bezahlt.
Das neue System erlaubt es erstmals, die Zielgruppen des Restaurants
näher unter die Lupe zu nehmen. Der Kassenchef bringt jetzt jedes Mal die
neuesten Zahlen, die er aus dem Abrechnungsprogramm gezogen hat, in die
Sitzung der Geschäftsleitung ein.
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 3
Aufgabe: Tupamaros 2 / 2
An einem durchschnittlichen Öffnungstag kommen 928 Gäste ins Tupamaros, die
Beträge auf der Chipkarte aufweisen (das Lokal ist immer voll).
Von diesen Gästen haben 537 gegessen, 698 getrunken, 525 gegessen und getrunken.
Von den Gästen, die gegessen und getrunken haben, waren 320 am Spielautomaten,
von denen die ausschließlich gegessen haben 3.
Die Geschäftsleitung hat heute folgende Fragen:
a)
Welcher Anteil der Gäste, die essen (bzw. nicht essen), nutzt die Spielautomaten?
b)
Welcher Anteil der Gäste, die jeweils den Spielautomaten nutzen, isst nichts und
trinkt nichts?
Helfen Sie dem Kassenchef, die Fragen zu beantworten, die er beantworten kann.
c)
Der Kassenchef findet noch heraus, dass durchschnittlich 663 Gäste den
Spielautomaten nutzen. Wie verändert sich durch diese Information die Antwort
auf a) und b)?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 4
Aufgabe: Tupamaros
Lösungsansatz
An einem durchschnittlichen Öffnungstag kommen 928 Gäste ins Tupamaros, die
Beträge auf der Chipkarte aufweisen (das Lokal ist immer voll).
Von diesen Gästen haben 537 gegessen, 698 getrunken, 525 gegessen und getrunken.
( )
( )
P T = 0,752
P E = 537 = 0,579
928
(
)
P E ∩T = 0,566
Von den Gästen, die gegessen und getrunken haben, waren 320 am Spielautomaten,
von denen die ausschließlich gegessen haben 3.
P (E ∩T ∩ S ) = 0,345
(
)
P E ∩T ∩ S = 0,003
E - "Essen"
T - "Trinken"
S - "Spielautomat"
a)
Welcher Anteil der Gäste, die essen (bzw. nicht essen), nutzt die Spielautomaten
in der Woche (bzw. am Wochenende)?
b)
Welcher Anteil der Gäste, die jeweils den Spielautomaten nutzen, isst nichts und
trinkt nichts?
c)
Der Kassenchef findet noch heraus, dass durchschnittlich 663 Gäste den
Spielautomaten nutzen. Wie verändert sich durch diese Information die Antwort
auf a) und b)?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 7
Bedingte Wahrscheinlichkeiten I
Definition:
P ( A B ) :=
P ( A ∩ B)
P ( B)
heißt die bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung
B und gibt die Wahrscheinlichkeit wieder, dass A eintritt, wenn B
schon eingetroffen ist.
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 8
Beispielaufgabe 1 zu
bedingten Wahrscheinlichkeiten
Ein Spieler würfelt verdeckt (Würfelbecher) mit einem fairen Würfel.
Er schaut sich das Ergebnis an. Um die Spannung zu erhöhen, sagt
er zunächst nur: "Es ist eine gerade Zahl“.
Wie groß ist danach die Wahrscheinlichkeit, dass er eine 6 gewürfelt
hat?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 9
Beispielaufgabe 1 zu
bedingten Wahrscheinlichkeiten
Derselbe Spieler würfelt nun verdeckt (Würfelbecher) mit einem schiefen
Würfel mit der folgenden Belegung:
PSchief ({1}) =
1
12
1
PSchief ({i}) = für i = 2, 3, 4, 5
6
1
PSchief ({6}) =
4
Er schaut sich das Ergebnis an und sagt wieder zunächst nur: "Es ist eine
gerade Zahl.“
Wie groß ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass er eine 6 gewürfelt hat?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 10
Beispielaufgabe 2 zu
bedingten Wahrscheinlichkeiten
Ein Spieler würfelt mit zwei fairen Würfeln. Er hat mit dem 1. Würfel
eine 2 geworfen.
Wie groß ist danach die Wahrscheinlichkeit, dass er einen Pasch
gewürfelt hat?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 11
Bedingte Wahrscheinlichkeiten II:
Der Multiplikationssatz
Mit Hilfe der Definitionsformel für die bedingte Wahrscheinlichkeit läßt
sich auch umgekehrt die Wahrscheinlichkeit für das gemeinsame
Auftreten von Ereignissen berechnen.
Es gilt der Multiplikationssatz:
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B A ) = P ( B ) ⋅ P ( A B )
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 12
Beispielaufgabe zum Multiplikationssatz
Ein Kartenspieler zieht aus einem Skatblatt zwei Karten (ohne die
Karten zurückzulegen).
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er zwei Asse zieht?
(Überlegen Sie zunächst: was ist ( Ω, A ) ?)
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 13
Beispielaufgabe zum Multiplikationssatz
Ein Spieler würfelt zweimal mit einem fairen Würfel.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, insgesamt eine gerade
Augensumme zu würfeln und im ersten Wurf eine 6 zu würfeln?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 14
Aufgabe zum Multiplikationssatz:
Ziehen mit und ohne Zurücklegen
Es wird dreimal hintereinander eine Karte aus einem Skat-Kartenspiel
gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zuerst ein As, dann ein
König und dann eine Dame gezogen wird, wenn die jeweils gezogene
Karte nicht zurückgelegt wird („Ziehen ohne Zurücklegen“)?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zuerst ein As, dann ein
König und dann eine Dame gezogen wird, wenn nach jedem Ziehen die
gezogene Karte zurückgelegt wird und erneut gemischt wird („Ziehen
mit Zurücklegen“)?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 15
Beispiel - Rauchen und Lungenkrebs
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Hamburger raucht, sei 0,45.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Hamburger im Laufe seines Lebens
Lungenkrebs entwickelt, sei 0,05.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Hamburger raucht und Lungenkrebs
entwickelt, sei 0,045.
Typische Fragen:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Raucher an Lungenkrebs
erkrankt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Nichtraucher an Lungenkrebs
erkrankt?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mensch, der an Lungenkrebs
erkrankt ist, Raucher ist?
Wie groß ist der Anteil der Raucher mit Lungenkrebs in der Bevölkerung?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 16
Beispiel - Rauchen und Lungenkrebs 1 / 4
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Hamburger raucht,
sei 0,45.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Hamburger im Laufe
seines Lebens Lungenkrebs entwickelt, sei 0,05.
Die Wahrscheinlichkeit, dass ein erwachsener Hamburger raucht
und Lungenkrebs entwickelt, sei 0,045.
Wie sieht eine graphische Darstellung der Elementarereignisse aus?
Wie sieht eine tabellarische Darstellung der Elementarereignisse
aus?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Beispiel - Rauchen und Krebs 1 / 4
Darstellung der Elementarereignisse
mit Venn-Diagramm und Tabelle
R
R∩L
Folie I - 9 - 17
L
R∩L
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
R∩ L
R∩ L
L
kein Lungenkrebs
R∩ L
R∩ L
L
Ω
R
R
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Beispiel - Rauchen und Krebs 1 / 4 Folie I - 9 - 18
Darstellung der Elementarereignisse (fortgesetzt)
Venn-Diagramm und Tabelle
L (=0,05)
R (=0,45)
?
0,045
?
?
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
0,045
?
0,050
kein Lungenkrebs
?
?
?
0,45
?
1
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Beispiel - Rauchen und Krebs 1 / 4 Folie I - 9 - 19
Darstellung der Elementarereignisse (fortgesetzt)
Venn-Diagramm und Tabelle
L (=0,05)
R (=0,45)
0,405
0,045
0,005
0,545
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
0,045
0,005
0,050
kein Lungenkrebs
0,405
0,545
0,950
0,45
0,55
1
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 20
Beispiel - Rauchen und Krebs 2 / 4
Prospektive Betrachtung I / IV
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
0,045
0,005
0,050
kein Lungenkrebs
0,405
0,545
0,950
L (=0,05)
R (=0,45)
0,405
0,45
0,55
1
0,045
0,005
0,545
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Raucher an
Lungenkrebs erkrankt?
P ( L R) =
P ( L ∩ R)
P ( R)
0, 045
=
= 0,1
0, 45
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 21
Beispiel - Rauchen und Krebs 2 / 4
Prospektive Betrachtung II / IV
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
0,045
0,005
0,050
kein Lungenkrebs
0,405
0,545
0,950
L (=0,05)
R (=0,45)
0,405
0,45
0,55
1
0,005
0,045
0,545
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Raucher nicht an
Lungenkrebs erkrankt?
P ( L R) =
P ( L ∩ R)
P ( R)
=
0, 405
= 0, 9
0, 45
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 22
Beispiel - Rauchen und Krebs 2 / 4
Prospektive Betrachtung III / IV
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
0,045
0,005
0,050
kein Lungenkrebs
0,405
0,545
0,950
L (=0,05)
R (=0,45)
0,405
0,45
0,55
1
0,045
0,005
0,545
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Nichtraucher an
Lungenkrebs erkrankt?
(
P LR
)
=
P ( L ∩ R)
P ( R)
0, 005
=
= 0, 00909 ≈ 0, 01
0, 55
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 23
Beispiel - Rauchen und Krebs 2 / 4
Prospektive Betrachtung IV / IV
Lungenkrebs
0,045
0,005
0,050
Raucher
Nichtraucher
kein Lungenkrebs
0,405
0,545
0,950
L (=0,05)
R (=0,45)
0,405
0,45
0,55
1
0,045
0,005
0,545
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Nichtraucher nicht
an Lungenkrebs erkrankt?
(
P LR
)
=
P ( L ∩ R)
P ( R)
0, 545
=
= 0, 9909 ≈ 0, 99
0, 55
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 24
Beispiel - Rauchen und Krebs 3 / 4
Retrospektive Betrachtung I / II
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
0,045
0,005
0,050
kein Lungenkrebs
0,405
0,545
0,950
L (=0,05)
R (=0,45)
0,405
0,45
0,55
1
0,045
0,005
0,545
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mensch, der an
Lungenkrebs erkrankt ist, Raucher ist?
P ( R L) =
0, 045
= 0, 9
0, 05
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 25
Beispiel - Rauchen und Krebs 3 / 4
Retrospektive Betrachtung II / II
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
0,045
0,005
0,050
kein Lungenkrebs
0,405
0,545
0,950
L (=0,05)
R (=0,45)
0,405
0,45
0,55
1
0,045
0,005
0,545
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Mensch, der nicht
an Lungenkrebs erkrankt ist, Raucher ist?
P ( R L) =
0, 405
= 0, 426
0, 95
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 26
Beispiel - Rauchen und Krebs 4 / 4
Anwendung des Multiplikationssatzes I / III
Gegeben:
Anteil der Raucher: P(R) = 45%
Wahrscheinlichkeit eines Rauchers,
Lungenkrebs zu bekommen: P(L|R) = 10%
Wie groß ist der Anteil der Raucher mit Lungenkrebs in der
Bevölkerung?
P ( L ∩ R ) = P ( R ) ⋅ P ( L | R ) = 0, 45 ⋅ 0,1 = 0, 045
P(L|R) = 0,1
P(R) = 0,45
L
R
L
Ω
L
R
L
P ( L ∩ R ) = 0, 45 ⋅ 0,1 = 0, 045
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Beispiel - Rauchen und Krebs 4 / 4 Folie I - 9 - 27
Anwendung des Multiplikationssatzes
mit Ereignisbaum und Tabelle II / III
Raucher
Nichtraucher
Lungenkrebs
R∩ L
R∩ L
L
P ( R)
R
Ω
P ( R)
R
kein Lungenkrebs
R∩ L
R∩ L
L
P ( L | R)
L
P ( L ∩ R)
P ( L | R)
L
P ( L | R)
P ( L ∩ R)
L
P ( L ∩ R)
P ( L | R)
L
P ( L ∩ R)
Ω
R
R
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Beispiel - Rauchen und Krebs 4 / 4 Folie I - 9 - 28
Anwendung des Multiplikationssatzes
Ereignisbaum und Tabelle III / III
Raucher
Nichtraucher
0,45
Lungenkrebs
0,045
0,005
0,050
0,45
0,55
1
0,1
L
P ( L ∩ R ) = 0,045
0,9
L
P ( L ∩ R ) = 0,405
0,009
L
P ( L ∩ R ) = 0,005
0,991
L P ( L ∩ R ) = 0,545
R
Ω
0,55
kein Lungenkrebs
0,405
0,545
0,950
R
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 29
Aufgabe zu den Darstellungsformen für elementare
Wahrscheinlichkeiten
Wie lassen sich die Darstellungsformen Venn-Diagramm,
Kontingenztafel und Entscheidungsbaum auf drei oder mehr
Merkmale verallgemeinern?
Wie lassen sich die Darstellungsformen Venn-Diagramm,
Kontingenztafel und Entscheidungsbaum auf Merkmale mit mehr als
zwei Ausprägungen verallgemeinern?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 30
Bedingte Wahrscheinlichkeiten III
Stochastische Unabhängigkeit
Definition:
Zwei Ereignisse, A und B heißen voneinander (stochastisch)
unabhängig, wenn gilt:
P ( A B ) = P ( A)
oder P ( B A ) = P ( B )
oder P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 31
Beispielaufgabe 1 zu
bedingten Wahrscheinlichkeiten
Ein Spieler würfelt verdeckt (Würfelbecher) mit einem fairen Würfel.
Er schaut sich das Ergebnis an. Um die Spannung zu erhöhen, sagt
er zunächst nur: "Es ist eine gerade Zahl“.
Sind die Ereignisse „6 “ und „Gerade Zahl“ stochastisch unabhängig?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 32
Beispielaufgabe 2 zu
bedingten Wahrscheinlichkeiten
Ein Spieler würfelt mit zwei Würfeln. Er hat mit dem 1. Würfel eine „2“
geworfen.
Sind die Ereignisse „Pasch“ und mit „2 im ersten Wurf“ stochastisch
unabhängig?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Bedingte Wahrscheinlichkeiten IV Folie I - 9 - 33
Mögliche Wahrscheinlichkeitsbeziehungen zwischen
zwei Ereignissen 1 / 2
A=B
B
A=B
P ( A) = P ( B )
„A gleich B“
A⊂ B
B
B⊂ A
A
A
P ( A) ⊂ P ( B )
„Aus B folgt A“
B
P ( A) ⊃ P ( B )
„Aus A folgt B“
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Bedingte Wahrscheinlichkeiten IV Folie I - 9 - 34
Mögliche Wahrscheinlichkeitsbeziehungen zwischen
zwei Ereignissen 2 / 2
P ( A ∩ B ) > P ( A) ⋅ P ( B )
B
P ( A ∩ B ) = P ( A) ⋅ P ( B )
B
A
„A und B fördern
einander“
P ( A ∩ B ) < P ( A) ⋅ P ( B )
A
B
„A und B sind
unabhängig“
A
„A und B behindern
sich“
A∩ B = ∅
B
A
P ( A ∩ B ) = P (∅ ) = 0
„A und B schließen sich aus (sind disjunkt)“
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 35
Bedingte Wahrscheinlichkeiten V
Definition:
Drei Ereignisse, A, B und C heißen (stochastisch) unabhängig,
wenn gilt:
P ( A ∩ B ∩ C ) = P ( A) ⋅ P ( B ) ⋅ P ( C )
und
Je zwei Ereignisse aus A, B und C
sind unabhängig
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 36
Bedingte Wahrscheinlichkeiten VI
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit 1 / 2
Gegeben seien eine endliche Anzahl von Ereignissen Bi , i = 1,...,k
(„Bedingungen“), die sich paarweise ausschließen, d.h. für i ≠ j ist
Bi ∩ B j = ∅ ,
und die vereinigt die gesamte Ergebnismenge ergeben, d. h.
k
∪B
i
= Ω.
i =1
Dann gilt für ein beliebiges Ereignis A ∈ A
k
k
i =1
i =1
P ( A) = ∑ P ( A ∩ Bi ) = ∑ P ( A | Bi ) ⋅ P ( Bi )
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 37
Bedingte Wahrscheinlichkeiten VI
Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit 2 / 2
k
k
i =1
i =1
P ( A) = ∑ P ( A ∩ Bi ) = ∑ P ( A | Bi ) ⋅ P ( Bi )
B1
A
Ω
B1
B2
B3
B2
B3
A ∩ B1
A ∩ B1
A ∩ B2
A ∩ B2
A ∩ B3
A ∩ B3
Man spricht in diesem Zusammenhang auch von der totalen
Wahrscheinlichkeit als der Wahrscheinlichkeit, A auf einem „Pfade“ Bi zu
erreichen. Die Formel wird angewendet, wenn man zwar die
Wahrscheinlichkeit sämtlicher Bedingungen, die zu A führen können, und die
jeweiligen bedingten Wahrscheinlichkeiten von A kennt, P(A) selbst aber
nicht.
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 38
Beispielaufgabe zur totalen Wahrscheinlichkeit:
Infektiöse Gelbsucht
Drei klassische Ursachen für infektiöse Gelbsucht sind
- Infektion durch Spritze oder Bluttransfusion
- Infektion durch Nahrungsaufnahme
- enger persönlicher Kontakt mit einem bereits Erkrankten.
In einem Land mögen diese Ursachen in einem Jahr bei 15% / 20% / 2% der
Bevölkerung auftreten; nie mehr als eine Ursache auf einmal. Andere
Ursachen mögen ausgeschlossen sein.
Die Wahrscheinlichkeit, Gelbsucht zu bekommen, sei bei Vorliegen je einer
der Ursachen 0,10 / 0,05 / 0,40.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für einen beliebigen Bürger in einem Jahr
Gelbsucht zu bekommen ?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 39
Bedingte Wahrscheinlichkeiten VII
Der Satz von Bayes
In diesem Zusammenhang tritt häufig die folgende Frage auf:
Wenn A eintrifft, wie wahrscheinlich ist es, dass gleichzeitig Bj eintrifft,
d.h. A auf dem „Pfade“Bj erreicht wird?
Diese Frage wird durch den Satz von Bayes beantwortet:
P ( B j ∩ A)
P ( A | Bj ) ⋅ P ( Bj )
P ( B j | A) =
= k
P ( A)
∑ P ( A | Bi ) ⋅ P ( Bi )
i =1
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 40
Beispielaufgabe zum Satz von Bayes:
Der AIDS-Test
Endlich ist er da: der „99% sichere“ AIDS-Test. Genauer: dieser Test hat eine
Sensitivität von 99% (d.h. die Wahrscheinlichkeit eines AIDS-Infizierten,
dass der Test positiv ausfällt, ist 99%).
Des weiteren hat der Test eine Spezifität von 95% (d.h. die
Wahrscheinlichkeit, eines Nicht-AIDS-Infizierten, dass der Test negativ
ausfällt, ist 95%).
Die "Liga zur Verbesserung der Volksgesundheit" fordert daraufhin "von der
Politik", endlich den Zwangstest für alle einzuführen.
Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Test-positiver tatsächlich
infiziert ist, (die "positive Korrektheit" oder den "positiven prädiktiven Wert"
des Tests) wenn die AIDS-Prävalenz (der Anteil der AIDS-Infizierten) 0,05%
ist.
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 41
Aufgabe: Ölexploration
Eine Ölgesellschaft baut 3 Bohrtürme in der
Nordsee auf.
Die Wahrscheinlichkeit, innerhalb eines Jahres
fündig zu werden, ist bei jedem Bohrturm 1/4.
Die Bohrtürme stehen so weit auseinander, dass
sie sich gegenseitig nicht beeinflussen.
Wie groß ist die Chance der Gesellschaft, im ersten Jahr Öl zu
finden?
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 42
Lösung zur Aufgabe: Ölexploration 1 / 4
In der Terminologie der Wahrscheinlichkeitsrechnung lautet die Aufgabe:
Sei A das Ereignis „fündig bei 1. Bohrung“,
B das Ereignis „fündig bei 2. Bohrung“,
C das Ereignis „fündig bei 3. Bohrung“.
Gesucht: P(A ∪B ∪C)
Lösung mit den Rechenregeln der Wahrscheinlichkeitsrechnung:
Zunächst für die ersten beiden Bohrungen:
P( A ∪ B) = P( A) + P( B) − P( A ∩ B) =
(P( A ∩ B) = P( A) ⋅ P( B) =
1 1 1
7
+ − =
4 4 16 16
1 1 1
⋅ =
da A und B unabhängig sind)
4 4 16
Dann für alle drei Bohrungen:
P( A ∪ B ∪ C ) = P(( A ∪ B) ∪ C ) = P( A ∪ B) + P(C ) − P(( A ∪ B) ∩ C )
7 1 7 1 37
= + − ⋅ =
16 4 16 4 64
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 43
Lösung zur Aufgabe: Ölexploration 2 / 4
Sei A das Ereignis „fündig bei 1. Bohrung“,
B das Ereignis „fündig bei 2. Bohrung“,
C das Ereignis „fündig bei 3. Bohrung“.
Gesucht: P(A∪
∪B ∪C)
Pfiffiger ist:
Unabh.
P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A ∩ B ∩ C ) = 1 − P( A) ⋅ P( B ) ⋅ P(C )
3
27 37
3
= 1−   = 1−
=
64 64
4
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 44
Lösung zur Aufgabe: Ölexploration 3 / 4
Sei A das Ereignis „fündig bei 1. Bohrung“,
B das Ereignis „fündig bei 2. Bohrung“,
C das Ereignis „fündig bei 3. Bohrung“.
Gesucht: P(A∪
∪B ∪C)
Systematische Lösung mit dem Venn-Diagramm:
A
B
9/64
3/64
9/64
oder:
1/64
3/64
27/64
9
9
9
3
3
3
1 37
+
+
+
+
+
+
=
64 64 64 64 64 64 64 64
3/64
1−
9/64
C
27 37
=
64 64
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 45
Lösung zur Aufgabe: Ölexploration 4 / 4
Sei A das Ereignis „fündig bei 1. Bohrung“,
B das Ereignis „fündig bei 2. Bohrung“,
C das Ereignis „fündig bei 3. Bohrung“.
Gesucht: P(A∪
∪B ∪C)
Systematische Lösung mit dem Entscheidungsbaum:
P ( A) =
1
4
Aiii
3
4
A
Biii
Ω
P ( A) =
(
C
)
P B A = P ( B) =
3
4
B
(
)
P C B A = P (C ) =
3
 3  37
P( A ∪ B ∪ C ) = 1 − P( A ∩ B ∩ C ) = 1 −   =
 4  64
3
4
C
Universität Hamburg - Institut für Statistik und Ökonometrie - Dr. S. Kindermann - Methodenlehre der Statistik I - Sitzung 9
Folie I - 9 - 46
Aufgabe: Erträumte Musterlösungen
In der Nacht vor der Statistik-I-Klausur erscheint dem sich im Bett wälzenden
Erstsemester im Traum ein Geist. “Ich habe Erbarmen mit dir“ , spricht der Geist, “ ich
will dir eine Chance geben, dich von allen Klausur-Ängsten befreien.
Siehst du die drei Türen dort? Sie führen direkt in den Klausursaal. Hinter einer Tür
liegt die Musterlösung. Du darfst dir die Tür aussuchen, durch die du morgen früh
gehst. Wähle gut!“
„Kannst du mir nicht noch ein wenig helfen?“, bettelt der Student, „Schließlich ist
doch meine Chance sonst nur 33,3%.“ „Bravo!“,antwortet der Geist, „dafür, dass du
das gewusst hast, will ich dir zur Belohnung tatsächlich noch eine zweite Chance
einräumen. Doch wähle erst!“
Zitternd zeigt der Student auf eine der drei Türen. Der Geist öffnet darauf eine der
beiden anderen Türen, hinter der allerdings weit und breit keine Musterlösung zu
sehen ist. „Nun wähle ein zweites Mal“, spricht der Geist und löst sich unter
wieherndem Gelächter in Rauch auf.
Kann der Student durch erneute Wahl seine Chancen verbessern? Welches ist die
optimale Strategie, und wie groß ist nach dieser Strategie die Wahrscheinlichkeit,
dass er die Musterlösung findet (natürlich nur im Traum)?
Herunterladen
Random flashcards
Medizin

5 Karten Sophia Gunkel

Laser

2 Karten anel1973

Literaturepochen

2 Karten oauth2_google_55780ed8-d9a3-433e-81ef-5cfc413e35b4

Erstellen Lernkarten