Plasmaphysik - Fragen und Antworten

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Plasmaphysik - Fragen und Antworten
Inhalt
GASE.......................................................................................................................................................................................................3
W AS IST EIN LENNARD-JONES-POTENTIAL?.................................................................................................................................. 3
THERMISCHE ZUSTANDSGLEICHUNG............................................................................................................................................... 3
KALORISCHE ZUSTANDSGLEICHUNG............................................................................................................................................... 4
THERMODYNAMISCHES STABILITÄTSKRITERIUM ......................................................................................................................... 4
VIRIALENTWICKLUNG, REALE GASE ............................................................................................................................................... 4
QUANTENSTATISTIKEN / BOSE -EINSTEIN-KONDENSATION / ATOMARER W ASSERSTOFF ...................................................... 5
W AS BESCHREIBT DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNG, WAS DIE EUELER-GELCHUNG?............................................................ 6
PLASMEN..............................................................................................................................................................................................7
W AS IST EIN PLASMA?....................................................................................................................................................................... 7
W AS IST VOLLSTÄNDIGES THERMODYNAMISCHES GLEICHGEWICHT (VTG)? .......................................................................... 7
W AS IST LOKALES THERMODYNAMISCHES GLEICHGEWICHT (LTG)? ........................................................................................ 8
PLASMENKLASSIFIKATION ................................................................................................................................................................ 9
W AS IST DIE QUASINEUTRALITÄTSBEDINGUNG?......................................................................................................................... 10
UNTER WELCHER BEDINGUNG LÄßT SICH EIN PLASMA ALS IDEALES GAS BEHANDELN? ..................................................... 10
W AS SAGT DIE SAHA -EGGERT -GLEICHUNG?............................................................................................................................... 11
DEBYE-HÜCKEL-A BSCHIRMUNG / LANDAU-LÄNGE .................................................................................................................. 14
ENHALPIE, W ÄRMEKAPAZITÄT UND ENERGIE............................................................................................................................. 15
STOßQUERSCHNITT,STOßFREQUENZ , STOßRATE UND FREIE W EGLÄNGE ................................................................................ 18
UNELASTISCHE STÖßE ..................................................................................................................................................................... 23
PLASMAERZEUGUNG / LABORPLASMEN ....................................................................................................................................... 25
A NWENDUNGSGEBIETE DER PLASMATECHNIK?.......................................................................................................................... 28
GASENTLADUNGSLAMPEN (LEUCHTSTOFFRÖHRE , GLIMMLAMPE, HOCHDRUCKLAMPEN).................................................. 29
TRANSPORTVORGÄNGE ................................................................................................................................................................... 30
W ODURCH WIRD DIE STRAHLUNG IM PLASMA VERBREITERT ?................................................................................................. 32
DOPPLERFREIE (SÄTTIGUNGS-)SPEKTROSKOPIE ......................................................................................................................... 34
W AS IST SELBSTUMKEHR?.............................................................................................................................................................. 36
KONTINUUMSSTRAHLUNG .............................................................................................................................................................. 36
STREUUNG VON LASERSTRAHLUNG (PLASMADIAGNOSTIK) ..................................................................................................... 39
KINETISCHE PLASMATHEORIE........................................................................................................................................................ 40
M AGNETOHYDRODYNAMIK (MHD) .............................................................................................................................................. 41
W ELLEN IM PLASMA ........................................................................................................................................................................ 42
PLASMEN IN MAGNETFELDERN...................................................................................................................................................... 43
KERNFUSIONSPLASMEN SIEHE EXTRAZUSAMMENFASSUNG ...................................................................................................... 47
LOSE FRAGEN – QUERBEET.....................................................................................................................................................47
BEISPIEL FÜR PLASMEN IN DER NATUR ........................................................................................................................................ 47
A BGRENZUNG: IONISIERTES GAS VS. PLASMA ............................................................................................................................ 48
M ETHODEN DER PLASMADIAGNOSTIK.......................................................................................................................................... 48
W AS IST EINE ZUSTANDSSUMME? ................................................................................................................................................. 49
W AS IST DIE PLASMAFREQUENZ WELCHE BEDEUTUNG HAT SIE?............................................................................................. 49
GASTEMPERATUR TG........................................................................................................................................................................ 49
Ä QUIPARTITIONSTHEOREM ODER GLEICHVERTEILUNGSSATZ, W ÄRMEKAPAZITÄT ............................................................. 50
KRITERIUM FÜR TEILCHENDICHTE/STOßRATE, AB DER STRAHLUNGSEFFEKTE VERNACHLÄSSIGBAR SIND!? ................... 50
STOßBESTIMMTE PLASMEN: ............................................................................................................................................................ 50
PLASMAPARAMETER G?................................................................................................................................................................... 51
W IE ÄNDERT SICH DIE DICHTE N MIT WACHSENDER TEMPERATUR?........................................................................................ 51
VERGLEICH DICHTE VON LUFT UND PLASMADICHTE................................................................................................................. 51
W ISO BEFINDET SICH DER WEITAUS ÜBERWIEGENDE TEIL DER UNS BEKANNTEN M ATERIE IM WELTALL IM
PLASMAZUSTAND?........................................................................................................................................................................... 51
VERSCHIEDENE BESCHREIBUNGSMETHODEN VON PLASMEN .................................................................................................... 51
RAYLEIGH -TAYLOR-INSTABILITÄT ............................................................................................................................................... 53
1
KIRCHHOFF'SCHE REGEL, KRICHHOFF-PLANCK-FUNKTION ..................................................................................................... 53
STRAHLUNGSGÜRTEL , VAN-A LLEN-GÜRTEL .............................................................................................................................. 53
A BGRENZUNG DER WELLENLÄNGEN-BEREICHSBEZEICHNUNGEN SICHTBAR, UV, RÖNTGEN USW . IN EINHEITEN ......... 55
2
GASE
Was ist ein Lennard-Jones-Potential?
Es ist ein häufig verwendetes Modellpotential für sphärische Teilchen, das auch die van der WaalsAnziehung berücksichtigt.
  r0 12  r0  6 
Φ = 4Φ 0    −   
 r 
 r  

Φ 0 : Referenzenergie (Tiefe des Potentialminimums)
r0 : Referenzlänge (Nulldurchgang von Φ ; "Teilchenradius")
Thermische Zustandsgleichung
Eine Gleichung p=p(V,T) nennt man thermische Zustandsgleichung.
Wesentlich ist nicht das Volumen(extensiv), sondern die Teilchendichte n=N/V(intensiv), daher gibt
man (oft) besser p=p(n,T) an.
ideales Gas:
p=nk BT
enthält das Boyle-Moriottsche Gesetz pV=const. für konstantes N und T und
das Gay-Lussacsche Gesetz: p~T für n=const. als Spezialfälle.
Die Kompressibilität κ=1/K ist gleich dem Kehrwert des Druckes. K=p
α=β=1/T
kinetischer Druck: nk BT = pkin =
1
mn c 2
3
Beim realen Gas und in einerFlüssigkeit unterscheidet sich der meßbare Durck p = pkin + p pot
durch einen nichtverschwindenden Potentialbeitrag. (Herkunft???)
3
Kalorische Zustandsgleichung
Eine Relation der Form innere Energie U=U(V,T) wird als kalorische Zustandsgleichung bezeichnet.
Hängt der Realgasfaktor (siehe Virialentwicklung) nicht von der Temperatur ab, so ist
∂U
∂V
=0
T
d.h. die innere Energie und damit die spezifische Wärmekapazität sind unabhängig von der
Teilchendichte n. Dieser Spezielfall liegt bei einem idealen Gas, aber auch bei einem (dichten)
Modell-Fluid(Fluid: Gase & Flüssigkeiten) aus harten Kugeln vor.
Die innere Energie U kann als Mittelwert der gesamten (nicht mit einer makroskopischen Bewegung
verknüpften) Energie eines N-Teilchensystems ausgedrückt werden.
Thermodynamisches Stabilitätskriterium
Kompressionsmodul K>0
d.h. bei Verkleinerung des Volumens kann der Druck nicht abnehmen.
Materialkoeffizienten
K = −V
Kompressionsmodul:
Volumenausdehnungskoeffizient:
α=
β=
Spannungskoeffizient:
∂p
∂V
1 ∂V
V ∂T
p
1 ∂p
p ∂T
n
T
=−
1 ∂n
n ∂T
p
Es gilt: αK=βp
d.h. nur zwei der drei Materialkoeffizienten α, β, K sind unabhängig voneinander.
Virialentwicklung, reale Gase
Zur Beschreibung der Abhängigkeit des Druckes vom Volumen V hat Kammerlingh Onnes eine
Entwicklung nach Potenzen von 1/V oder der Dichte n vorgeschlagen, die als Virialentwicklung
bezeichnet wird. Der erste Koeffizient ist durch das ideale Gas-Gesetz festgelegt. Die erste
Abweichung devon wird durch den zweiten Virialkoeffizienten B beschrieben.
Virialentwicklung:
(
)
p = nkT ⋅ 1 + Bn + Cn 2 + ...
wobei die Virialkoeffizienten B, C,... Funktionen der Temperatur sind.
Die Summe in der Klammer ist der Kompressibilitätsfaktor Z (auch: Realgasfaktor)
Z=
p
Für z=1 liegt ein ideales Gas vor.
nkT
Die Virialkoeffizienten können statistisch interpretiert und berechnet werden.
4
Speziel für sphärische Teilchen:
Φ
∞
−

B = B∞ = 2π ∫ r 2 1 − e k BT

0


dr


mit Φ =Φ(r) : Zweiteilchen-
Wechselwirkungspotential.
So erhält man für harte Kugel mit Durchmesser d: B=4V Kugel, wobei VKugel das Volumen einer Kugel
ist.
Exestiert zusätzlich eine im Vergleich zu kBT schwache anziehende Wechselwirkung Φ a>0, so erhält


man B = B∞ 1 −
TB 
 . TB ist die Boyle-Temperatur.
T 
Die Inversionstemperatur TI ist durch B=T(dB/dT) festgelegt. Es ist TI>TB.
Für T<TI kann der Joule-Thomson-Effekt genutzt werden, d.h. eine Expansion, zur Abkühlung eines
Gases.
Quantenstatistiken / Bose-Einstein-Kondensation / Atomarer Wasserstoff
Teilchen deren Spin ein ganzzahliges Vielfaches von h ist, nennt man Bosonen, solche mit halbzahligem
Vielfachen heißen Fermionen. Sowohl Bose- als auch Fermis-Statistik berücksichtigen, daß die Teilchen
ununterscheidbar sind.
Die Boltzmann-Statistik, die der Maxwellschen-Geschwindigkeitsverteilung zugrunde liegt, ergibt sich als
klassischer Grenzfall sowohl für Fermionen als auch für Bosonen. Dieser klassische Grenzfall liegt dann vor,
wenn der mittlere Abstand a=n –1/3 zwischen zwei Teilchen sehr groß ist im Vergleich zur deBroglieWellenlänge
λth =
h
mvth
ist. Diese Bedingung ist um so besser erfüllt, je kleiner die Dichte n, je höher die Temperaratur T und je größer
die Masse eines Teilchens ist.
Für praktisch alle Gase sind die Effekte der Quantenstatistik zu vernachlässigen, da diese erst bei
Temperaturen und Dichten bedeutsam werden, wo diese Substanzen flüssig oder gar fest sind. Eine Ausnahme
ist der atomare Wasserstoff.
Als theoretische Konzept finden die Quantengase vielfältige Anwendung zur Beschreibung von
(schwachwechselwirkenden) Vielteilchensystemen, z.B. Leitungselektronen in Metallen(Fermi),
Cooperpaare(Bose), Exzitonen(Bose).
Also nochmal: Unter der Voraussetzung, daß λth <<l (mittlere freie Weglänge) gilt, können Quanteneffekte bei
freien Transaltionsbewegungen vernachlässigt werden. Ist λth auch noch klein im Vergleich zur Reichweite der
molekularen Wechselwirkungen, etwa einem effektiven Teilchendurchmesser d oder der Lennard-Jones-Länge
r0 , so kann auch die Streuung der Teilchen, insbesondere die Berechnung des (differentiellen)
Wirkungsquerschnitts klassisch behandelt werden. Für Argon hat man z.B. λth ≈0,04nm bei T=300K. Diese
Länge ist sowohl sehr klein im Vergleich zur freien Weglänge (l=100nm bei Normaldruck) als auch im
Vergleich zum effektiven Druchmesser (d≈0,34nm). Die klassische Beschreibung ist also durchaus adäquat.
5
Bei leichteren Teilchen und tieferen Temperaturen z.B. He bei T020K sind aber Quanteneffekte bei der
Translationsbewegung und bei der Streuung zu berücksichtigen.
Welches sind die typische Effekte der Quantenstatistik?
Für ein ideales "schwach entartetes Gas" ist die thermische Zustandsgleichung
 π 3/ 2

p = nk BT 1 ±
α E 
2g


λ 
mit α E = n th 
 2π 
3
Die Größe g=2D+1 ist die Zahl der magnetischen Unterzustände eines Teilchens mit Spin hS. Das Pluszeichen
gilt für Fermionen (S=1/2, 3/2,...), das Minuszeichen für Bosonen (S=0,1,2,...). Die Fermionen verhalten sich
also als würden sie eine repulsive (abstoßende) Wechselwirkung aufeinander ausüben(Virialkoeffizien B>0),
was den Druck im Vergleich zum idealen Gas erhöht. Die Bosonen verhalten sich hingegen so als würden sie
eine effektive attraktive Wechselwirkung besitzen (B<0). Für eine särkere Entartung erwartet man für das
ideale Bose-Gas, genauer bei Temperaturen T< TBE , das Auftreten der Bose-Einstein-Kondensation, bei der
die Teilchen in den Zustand mit inetischer Energie gleich Null "kondensieren". Die charakteristische
Temperatur TBE ist festgelegt durch:
k BTBE = 3,31
h2
g2 / 3 m
n 2/ 3
Der Bruchteil ν der Teilcen in diem Zustand ist ν=1–(T/TBE )3/2 .
Für T<TBE ist der Druck proportional zu T5/2 und hängt nicht mehr von der Dichte n ab. Die Teilchen im
Zustand mit der Energie Null besitzen keinen Impuls und geben keinen Beitrag zum Druck.
Da für He (hier ist g=1) die Temperatur TBE nur geringfügig höher ist als die Temperatur bei der
Superfluidität auftritt, ist es naheliegend, diesen Phasenübergang mit der Bose-Einstein-Kondensation zu
indentifizieren. Tatsächlich sind die hier erwähnten Ergebnisse der Theorie aber nicht weiteres auf das flüssige
Helium anwendbar, da dort ja zusätzlich die Wechselwirkung der Atome untereinander zu berücksichtigen ist.
Atomarer Wasserstoff benötigt ein weiteres Atom, Molekül oder eine Gefäßwand, um zu H2 -Molekülen zu
reagieren, wobei eine beträchtliche Bindungsenergie frei wird. In interstellaren Wolken ist H stabil. Die
Bindung ist nur im Singulett-Zustand ↑↓ möglich. Im Triplett-Zustand exestiert trotz schwachem Energie
minimum wegen der Nullpunktsenergie kein gebundener Zustand. Dies läßt sich ausnutzen, um Atomaren
Wasserstoff im Labor (für einige Minuten) zu stabilisieren. Dabei wird spinpolarisierter Wasserstoff aus einer
Molekülstrahlapperatur durch ein starkes Magnetfeld in seiner Orientierung festgehalten und in ein Gefäß
"gefüllt" dessen Wände mit flüssigem Helium oder H2 bedeckt sind.
Der Kernspin bewirkt, daß H ein Boson ist. Bei hinreichend niedrigen Temperaturen und hohen Dichten ist
also eine Bose-Einstein-Kondensation zu erwarten. Am stabilsten, d.h. am langsamsten rekombinierend, ist das
doppeltpolarisierte H-Atom, bei dem Kern- und Elektronenspin parallel zueinander stehen.
Das Atomare Deuterium (D), welches ähnlich stabilisiert werden kann, ist dagegen ein Fermion!
Was beschreibt die Navier-Stokes-Gleichung, was die Eueler-Gelchung?
Es ist die Bewegungsgleichung der realen Strömung. Die Kontinuitäts-Gleichung gilt unverändert
fort. Die Euler Gleichung wird zur Navier-Stokes-Gleichung.
Dabei wird der Ableitung des Geschwindigkeitsfeldes die äußere Kraft, Druckkraft und die
Reibungskraft gegenübergestellt.
Die Navier-Stokes-Gleichung ist die Grundlage für die Hydrodynamik viskoser Flüssigkeiten. Bei
Strömungen mit vernachlässigbarer Reibung reduziert sie sich auf die Euler-Gleichung.
Die Euler-Glechung beschreibt also inkompressible, reibungsfreie Strömungen. Die ist Ausdruck des
Newtonschen Kraftgesetzes.
6
PLASMEN
Was ist ein Plasma?
Als Plasma bezeichnet man in der Physik ein makroskopisches Vielteilchensystem, das insgesamt
elektrisch neutral ist, aber so viele freie elektrische Ladungen enthält, daß deren elektromagnetische
Wechselwirkung untereinander oder mit äußeren elektromagnetischen Feldern die Systemeigenschaften wesentlich bestimmt. Diese Definition erfaßt vor allem ionisierte Gase, auf die der
Begriff gewöhnlich angewandt (und häufig beschränkt) wird. Auch im folgenden werden wir uns
überwiegend mit solchen gasförmigen Plasmen befassen. Der Plasmabegriff und Methoden der
Plasmaphysik können jedoch - zumindest für bestimmte Fragestellungen - ebenso auf z. B.
Elektrolytlösungen, metallische Leiter und Halbleiter angewandt werden.
Durch kosmische Strahlung und Radioaktivität entstehen etwa 106 Ion-Elektron-Paare pro m3 und
Sekunde. Die Systemeigenschaften werden von dieser geringen Ionisierung jedoch nicht wesentlich
beeinflußt, weshalb hier der Begriff Plasma i.a. nicht angewandt wird.
Was ist vollständiges thermodynamisches Gleichgewicht (VTG)?
VTG bildet sich in einem abgeschlossenen System. Läßt sich bei Raumtemperatur in guter Näherung
herstellen, ist aber für Plasmen praktisch nicht zu verwirklichen. Diese befinden sich deshalb nicht
im VTG und können höchstens näherungsweise durch Zustandsgrößen beschrieben werden, die aus
der Gleichgweichts-Thermodynamik bekannt sind. Insbesondere die Verwendung des Temperaturbegriffs muß mit Vorsicht geschehen.
• Im VTG kann ein Plasma wie jedes andere Gas durch wenige makroskopische Zustandsgrößen
beschrieben werden. Es gibt eine einheitliche Temperatur T und einen Druck p.
d.h. die Temperatur ist für alle Teilchensorten gleich und unabhängig vom Ort.
• Das Ionisationsgleichgewicht wird durch die →Saha-Eggert-Gleichung beschrieben.
• Die gemäß der Saha-Eggert-Gl. vorhandenen Teilchenarten haben eine Maxwellsche
Geschwindigkeitsverteilung. Alle Teilchen haben dieselbe Temperatur, daher ist die mittlere
kinetische Energie ε = (3 / 2 )k BT der Einzelteilchen unabhängig von ihrer Masse.
• Die Verteilung der Anregungsenergie ist durch die Boltzmann-Verteilung bestimmt.
• Es gilt das Planck-Gesetz der Hohlraumstrahlung, d.h. keine Linien der Atome vorhanden.
Eine Temperatur T ist nur für ein Gleichgewicht angebbar; dies stellt sich ohne äußere Einflüsse bei
elastischen Stößen von selbst ein.
Gleichgewicht besteht, wenn für die
• Temperatur, die Maxwell-Verteilung,
• Anregungen, die Saha-Eggert-Gleichung und
• Ionsiation, die Boltzmann-Verteilung erfüllt ist.
Labor- und auch Astrophysikalische Plasmen mit hoher innerer Energie können sich nicht im VTG
befinden, denn sie grenzen unvermeidlich an kältere Materie (Wände oder Umgebungsgas) oder an
Vakuum. Deshalb stömt Energie aus dem Plasma nach außen. Ein stationärer Plasmazusatnd kann
erreicht werden, wenn dieser Energieverlust durch einen entsprechenden Aufheizprozeß
kompensiertwird, der jedoch nie genau die Energiezustände wieder Besetzt, die durch die
Energieverluste entvölkert werden. Im Plasma stellt sich deshalb nach Maßgabe der ablaufenden
Energietransferprozesse für jeden Energiefreiheitsgrad eine eigene Verteilungsfunktion ein, die vom
Ort abhängt (und bei nichtstationären Plasmen auch von der Zeit).
7
Was ist lokales thermodynamisches Gleichgewicht (LTG)?
Auch wenn sich ein Plasma nicht im VTG befindet, können bei genügend hoher Elekronendichte n e
lokal sowohl die Elektronen als auch die schweren Teilchen in guter Näherung MaxwellGeschwindigkeitsverteilungen der selben Plasmatemperatur besitzen, die auch den Ionisationszustand (durch die Saha-Eggert-Gleichung) und den Anregungszustand (Boltzmann-Verteilung) von
Atomen und Ionen beschreibt. Ein solcher Plasmazustand heißt LTG. Der Temperaturbergiff wird
vielfach im Sinne des LTG benutzt.
Temperatur- und Dichtegradienten dürfen nicht zu groß sein, damit sich in kleinen Volumenelementen des Plasmas noch sehr viele Teilchen mit einem einheitlichen energetischen Zustand befinden.
d.h. relative Änderungen der Temperatur und des Drucks müssen über eine mittlere freie Weglänge
sehr klein sein: λ ∇T << T und λ ∇n << n .
Dem LTG-Zustand liegen Ausgleichsvorgänge überwiegend durch Teilchenstöße zugrunde , nicht
Strahlungsprozesse. Die Strahlung von LTG-Plasmen ist daher nicht die Hohlraumstrahlung des
VTG, wird also nicht durch die Planck-Verteilung beschrieben. Die Temperaturstrahlung eines LTGPlasmas liefert weitaus mehr Informationen über das Plasma und seine Bestandteile als die Planckstrahlung und ermöglicht eine störungsfreie Plasmadiagnostik(Besetzungsdichten, Temperatur,
detaillierte quantenmechanische Struktur). Für astrophysikalische Plasmen die einzige Diagnosemöglichkeit.
partielles LTG (PLTG): Die Anregungstemperatur aller Energieniveaus mit Ausnahme des
Grundzustandes stimmt mit der Elektronentemperatur überein.
8
Plasmenklassifikation
1eV=11604K
9
Was ist die Quasineutralitätsbedingung?
Aufgrund der hohen elektrischen Leitfähigkeit (wegen der freien Ladungsträger) werden im Inneren
eines Plasmas makroskopische Raumladungen, die durch zufällige thermische Schwankungen
entstehen, sehr schnell wieder neutralisiert, denn sie rufen starke elektrische Felder hervor, die sofort
zu Ausgleichsströmen führen. Schon im Mittel über kurze Zeiten ist ein Plasma lokal elektrisch
neutral und erfüllt die Quasineutralitätsbedingung
ne = ni,1 + 2ni, 2 + 3ni, 3 + ... = ∑ zni, z
z
Thermische Schwankungen können nur begrenzt zu einer Ladungstrennung führen.
4πe 2 ne R5
WE =
90ε 0
2
ist die Energie des elektrischen Feldes E, das die getrennten Ladungen auf einer Kugel mit Radius R
erfordern, d.h. die Ionen bleiben am Ort und die Elektronen seien aus einer Kugel mit Radius R
verdrängt.
Um diese Arbeit aufzubringen, steht ohne äußere Felder höchstens die kinetische Energie der
thermischen Elektronenbewegung zur Verfügung. (3/2)kBT pro Elektron, also insgesamt
4
3
Wth = πR 3 ⋅ ne k BT = 2πne R3 ⋅ k BT
3
2
k Tε
WE = Wth ⇒ R = 45 B2 0 ≈ 6,71 ⋅ λD
e ne
d.h. Thermische Schwankungen können daher in einem Plasma zur Abweichung von der
Quasineutralität nur in Raumbereichen führen, deren Linearabmessungen höchstens einige DebyeHückel-Längen betragen.
Als Plasma bezeichnet man ein ionisiertes Gas nur dann, wenn seine Abmessungen sehr viel
größer sind als die Debye-Hückel-Länge, weil dann thermische Abweichungen von der
Quasineutralität nur in kleinen Teilvolumina des Gesamtsystems auftreten können.
Neutralisation von Raumladung erfolgt praktisch allein durch die Elektronen (wegen me<<mi ). Für
das Modell wird der Ladungsausgleich daher in etwa der Zeit τ erfolgen, die ein Elektron benötigt,
um unter dem Einfluß des elektrischen Feldes E(r) von der Kugeloberfläche zum Kugelmittelpunkt
zu gelangen. Bis auf einen Faktor der Größenordnung 1 ergibt sich τ≈1/ωp .
e 2 ne
ne
Plasma(kreis)frequenz: ω p =
=
⋅ 56,4s −1
−3
ε 0 me
m
Genauer: Elektronen-Plasmafrequenz ωpe.
Der Ladungsausgleich erfolgt bei Laborplasmen also im Subnannosekundenbereich; in dichten
Plasmen noch erheblich schneller.
ωp ist eine charakteristische Eigenfrequenz des Plasmas, mit der kollektive Schwingungen der
Elektronen gegen die Ionen erfolgen. Es gilt:
λD ω p =
vth, e
2
=
kBT
me
mit vth,e : thermische Elektronengeschwindigkeit
d.h. ein Plasmateilchen bewegt sich in der Zeit 1/ωp im Mittel größenordungsmäßig um eine Strecke
λD fort.
Diese Plasmaschwingungen beruhen darauf, daß bei jeder Abweichung von der Ladungsneutralität
starke elektrische Kräfte wirken. 1/ωp charaktersisiert die Zeit, in der ein Plasma auf eine Störung
reagiert, d.h. in der eine Störung im wesentlichen abgeschirmt wird.
Unter welcher Bedingung läßt sich ein Plasma als ideales Gas behandeln?
10
Ein Plasma läßt sich näherungsweise als ideales Gas beschreiben (ideales Plasma), wenn
k BT >>
e2
ist. λn =ne-1/3 : mittlerer Elektronenabstand
4πε0λn
d.h. wenn die Coulomb-Wechselwirkung der geladenen Teilchen gegenüber der kinetischen
Teilchenenergie (3/2)kBT vernachlässigbar ist.
Mit der Debye-Hückel-Länge (oft auch Debye-Länge)
λD =
ε 0 k BT
=
e 2ne
T /K
⋅ 69m
ne / m−3
läßt sich die Bedingung auch als λD > λn schreiben.
Gebräuchlich ist auch der sog. Plasmaparameter g =
1
.
3
ne λ D
Für ein ideales Plasma ist g<<1. Abweichungen vom völlig idealen Verhalten (g=0) werden oft
durch Entwicklungen nach Potenzen von g untersucht.
Was sagt die Saha-Eggert-Gleichung?
Die Saha-Eggert-Gleichung beschreibt das Ionisationsgleichgewicht zwischen Elektronen, Atomen
und Ionen also für die Reaktion A ↔ A+ + e (bei einfacher Ionisation):
ne ni
Z (T )  me k BT 
=2 i


na
Z a (T )  2πh 2 
3/2
 E − ∆Ei 

exp  − i
k
T

B

mit
Ei : Ionisationsenergie eines ungestörten Atoms im Vakuum (tabelliert in Handbüchern)
Erniedrigung der Ionisierungsenergie Ei im Plasma: ∆Ei ≈
e2
2
4πε0 λD
durch die Wirkung der freien Ladungsträger, weil diese am Ort der zu ionisierenden
Atoms ein elektrisches Mikrofeld erzeugen. Dadurch ist die Arbeit zum Abtrennen
des Elektrons im Plasma kleiner als im feldfreien Raum. Mit der Debye-HückelTheorie läßt sich der Wert für ∆Ei (T,n) abschätzen. Selbst bei dichten Laborplasmen
nur einige Zehntel eV.
Zustandssummen Z (T ) =
∑g
m
m
 E 
exp  − m 
 k BT 
g m : statistisches Gewichte (Entartungsgrad) gm=2J m+1 (außer bei zufälliger
Entartung des H)
Die Herabsetzung der Ionisationsenergie ist auch bei der Berechnung der
Zustandssummen zu berücksichtigen, weil hochangeregte Zustaände mit Energien
knapp unter der Ionisationsgrenze für Vakuum im Plasma nicht mehr gebunden sind
und nicht in die Zustandssummen eingehen (die dadurch erst überhaupt
konvergieren).
Die ist analog zum Massenwirkungsgesetz, das das Reaktionsgleichgewicht zwischen den Partnern
beschreibt.
Um die drei unbekannten Dichten ne , ni und na zu bestimmen, müssen noch zwei weitere
Gleichungen herangezogen werden, nämlich die Zustandsgleichung für Gemische idealer Gase, das
Dalton-Gesetz:
p = (na + ni + ne )k BT
Die Verwendung setzt ein ideales Plasma voraus, das in guter Näherung als ideales Gas
behandelt werden kann. Die durch die Coulomb-Wechselwirkung der Ladungsträger nötige
Druckkorrektur ist auch bei hohen Elektronendichten gering.
11
und die Quasineutralitätsbedingung:
ni = ne
ne = ni,1 + 2ni, 2 + 3ni, 3 + ... = ∑ zni, z (für Mehrfachionisation)
z
Die angegebene Saha-Eggert-Gleichung bezieht sich auf die Ionisation von Neutralatomen. Für
höhere Ionisationsstufen ist
na durch ni,z und
ni durch ni,z+1
zu ersetzen und es sind die entsprechenden Zustandssummen und Ionisationsenergien zu verwenden.
Natürlich müssen die Dichten dieser Ionen dann auch im Dalton-Gesetz und in der
Quasineutralitätsbedingung berücksichtigt werden, außerdem bei der Berechnung der Debye-HückelLänge.
Das Ionisationsgleichgewicht wird wesentlich durch die Größe der Ionisationsenergie bestimmt, die
in die Saha-Eggert-Gleichung eingeht. Für Plasmen, die Atome mit niedriger Ionisationsenergie
enthalten (Metalle), werden schon bei niedrigen Temperaturen hohe Elektronendichten erreicht,
während dies bei Edelgasplasmen wegen der hohen Ionisationsenergien erst bei viel höheren
Temperaturen der Fall ist. Vergleiche dazu Abb. 2.5.
Die Abnahme der Gesamtdichte bei konstantem Druck folgt: n =
12
p
k BT
⇔
pV = N k BT
Erst bestimmte Laborplasmen gestatten es, tatsächlich ein durch Boltzmann-Verteilung und SahaEggert-Gleichung bestimmtes Anregungs- und Ionisationsgleichgewicht entsprechend der
Elektronentemperatur einzustellen:
Für Laborplasmen ist die Annahme, das Plasma sei für Strahlung aller Frequenzen optisch dünn,
häufig falsch. Die Resonanzlinienstrahlung kann in engen Spektralbereichen die Werte der
Hohlraumstrahlung erreichen und trägt dann erheblich zur Einstellung des Gleichgewichts bei.
Es gibt mehrere, ungefähr übereinstimmende Abschätzungen für die Mindestanzahldichte der
Elektronen, die für ein thermodynamisch durch die Elektronentemperatur bestimmtes Anregungsund Ionisationsgleichgewicht erreicht sein muß. Danach ist für optisch dünne Plasmen zu fordern:
Te  E m − En 
18
−3

 ⋅ 10 m
K  eV 
3
ne ≥
Em – En ist die größte Energielücke im Termschema des betrachteten Atoms, für Wasserstoff rund
10eV. Für Te=10.000K muß deshalb ne ≥ 10 23 m −3 sein. Das ist die maximale Elektronendichte, die
unter Atmosphärendruck im Temperaturbereich kurz vor der Vollionisation erreichbar ist. Spezielle
Laborplasmen gestatten es also, tatsächlich ein durch Boltzmann-Verteilung und Saha-EggertGleichung bestimmtes Anregungs- und Ionisationsgleichgewicht entsprechend der
Elektronentemperatur einzustellen.
13
Debye-Hückel-Abschirmung / Landau-Länge
Nicht nur makroskopische Raumladungen, auch die einzelnen geladenen Teilchen im Plasma üben
Kräfte auf die anderen Ladungsträger in ihrer Umgebung aus. Ein positiv geladenes Ion zieht
Elektronen an, während es andere Ionen abstößt, und ist im Mittel von einer negativen
Raumladungswolke umgeben, die seine Ladung nach außen hin abschirmt. Ein Teilchen der Ladung
q erzeugt deshalb im Plasma nicht das Coulomb-Potential VC(r)=q/(4πε 0 r) wie im Vakuum, sondern
das Debye-Potential VD (r), das mit wachsendem r schneller abfällt als VC.
Debye-Potential: VD (r ) =

q
r 

exp  −

4πε0 r
λ
/
2

D

Im Plasma ist die 1/r-Abhängigkeit des Coulomb-Potentials also eine exponentielle Abhängigkeit
überlagert, die die Reichweite des mikroskopischen elektrischen Feldes einzelner Ladungsträger im
wesentlichen auf r < λD beschränkt. Diese Abschirmung ist insbesondere bei der mikroskopischen
Wechselwirkung der Ladungsträger zu beachten.
Auf nichtideale Plasmen niedriger Temperatur und hoher Elektronendichte kann das Modell der
Debye-Hückel-Theorie nicht angewandt werden, da bei der Herleitung wir die abschirmenden
Ladungen näherungsweise durch eine kontinuierliche Ladungsdichte beschrieben haben, was nur
möglich ist, wenn sich viele Ladungsträger in der Debye-Kugel (Radius λD ) befinden, also nλD 3 >>1
ist.
Bei der Verwendung des Debye-Potentials ist ferner zu beachten, daß es für eine ruhende Ladung
berechnert wurde, an deren Abschirmung Plasmaionen und -elektronen gleiche Anteile haben, so daß
sich die Abschirmlänge
λD
=
2
ε 0 k BT
e (ni + ne )
2
ergibt. Häufig wird deshalb auch diese Länge als Debye-Hückel-Länge bezeichnet.
14
Für Ladungen, die sich bewegen ergibt sich im Rahmen der kinetischen Plasmatheorie eine
schwächere Abschirmung.
Größen wie Stoßquerschnitte für geladene Plasmateilchen, bei denen die Abschirmung
berücksichtigt werden muß, hängen im allgemeinen nur so schwach (logarithmisch) von der
Abschirmlänge ab, daß gewöhnlich kein großer Fehler entsteht, wenn dafür die einfache DebyeHückel-Länge verwendet wird:
λD =
ε 0 k BT
e 2ne
Die Debye-Abschirmung, die eine Konsequenz der Coulomb-Wechselwirkung der Plasmateilchen
ist, hat zur Folge, daß in einem quasineutralen Plasma Raumladungen, die aus thermischen
Schwankungen entstehen, sich für längere Zeit nicht wesentlich über die Debye-Länge erstrecken
können. Über größere Distanzen wird die Abschirmung rasch wirksam.
Landau-Länge: λL =
Es gilt:
e2
k BT
λD
3
= 4πne λD = 3N D
λL
3ND ist hier die Zahl der Teilchen (Elektronen) in der Debye-Kugel (Radius λD )
Ist ND <1, so die Coulomb-Wechselwirkung der Plasmateilchen untereinander stark im Vergleich zur
thermischen Energie. Innerhalb einer Debye-Kugel kann dann nicht mehr von einer kontinuierlichen
Dichteverteilung ausgegangen werden.
Enhalpie, Wärmekapazität und Energie
Da stationäre Laborplasmen gewöhnlich unter konstantem Druck p betrieben werden, beschreibt man
ihren Energieinhalt zweckmäßig mit Hilfe der spezifischen Enhalpie h und der
spezifischen Wärmeenergie cp .
h = u + pv
cp =
δq
dT
∂h
∂T
=
p
p
mit
u : spezifische innere Energie
v : spezifisches Volumen (=Kehrwert der Massendichte ρ)
δq : zugeführte spezifische Wärmemenge, die eine Temperaturerhöhung dT verursacht.
In einem idealen Gas gilt:
u=
3 k BT
2 m
pv =
k BT
m
15
h=
5 k BT
2 m
cp =
5 kB
2 m
Wird dagegen ein Molekülgas auf hohe Temperatur erhitzt, so werden die Moleküle angeregt
(Rotations-, Vibrations- und Elektronenanregung) und dissoziiert. Bei noch höheren Temperaturen
werden die durch Dissoziation entstandenen Atome angeregt und ionisiert. Jede der entstehenden
Teilchensorten liefert einen Beitrag zur spezifischen Enthalpie h:
1 5
∂ ln Z m 
 k BT + k BT 2

mm  2
∂T 
1 5
1
∂ ln Z a 
Atome:
ha =
 k BT + Ed + k BT 2

ma  2
2
∂T 
∂ ln Zi ,1 
1 5
1
Ionen der Ladungszahl 1: hi,1 =
 kBT + Ed + Ei,1 + k BT 2

mi,1  2
2
∂T 
Moleküle:
hm =
zweifach gel. Ionen:
hi , 2 =
Elektronen:
he =
∂ ln Z i, 2 
1 5
1
 k BT + Ed + Ei,1 + Ei , 2 + k BT 2

mi, 2  2
2
∂T 
1 5
k BT (nur Translationsneergie)
me 2
mit
Z : Zustandssumme (Bereücksichtigt die Elektronenanregung)
Ed : Dissoziationsenergie
Ei,1 : Ionisationsenergie (ganz auf die Ionen übernommen, Elektronen nur Translation)
Zur gesamten spezifischen Entahlpie tragen diese Anteile mit den selben Gewichten bei, mit denen
die betreffenden Teilchensorten zurMassendichte ρ beitragen:
ρ = nm mm + na m a + ni ,1m i,1 + ni, 2 mi, 2 + ...
h=
1
(nm mm hm + na ma ha + ni,1mi,1hi ,1 + ni ,2mi ,2hi,2 + ...)
ρ
Beim idealen Gas ist die spezifische Enthalpie unabhängig vom Druck; auch im Plasma ist die
Druckabhängigkeit nur schwach.
16
Trotz der großen spezifischen Wärmekapazität ist die tatsächlich im Plasma gespeicherte Energie
nicht wesentlich größer beim idealen Gas(Abb 2.10), denn bei hohen Temperaturen ist die
Massendichte ρ wegen des hohen Elektronenanteils an der Anzahldichte gering (vergleiche dazu
Abb 2.9).
17
Stoßquerschnitt,Stoßfrequenz, Stoßrate und freie Weglänge
Für die makroskopische Beschreibung von Plasmen im VTG ist es nicht erforderlich, die mikroskopischen Stoßwechselwirkungen zwischen den verschiedenen Plasmateilchen genauer zu kennen,
weil jeder einzelne Stoßprozeß mit dem Umkehrprozeß (z. B. Photoionisation und Photorekombination) im Gleichgewicht stehen muß (detailliertes Gleichgewicht). Will man aber die
Transporteigenschaften von Plasmen wie Wärme - oder elektrische Leitfähigkeit und allgemein den
Zustand von Nichtgleichgewichtsplasmen verstehen, so muß man die Häufigkeit der einzelnen
Stoßprozesse untersuchen, wie man dies für Neutralgase in der kinetischen Gastheorie tut. In
Neutralgasen treten wegen der geringen thermischen Teilchenenergien der Größenordnung 0,1eV
praktisch nur Stöße zwischen Neutralteilchen im Grundzustand auf. In Plasmen dagegen, bei
thermischen Teilchenenergien oberhalb etwa 1eV, finden auch Stöße statt, an denen angeregte
Neutralteilchen und vor allem geladene Teilchen sowie Photonen beteiligt sind. Dementsprechend
gibt es eine Vielzahl von Stoßprozessen in Plasmen. Vielfach sind die grundlegenden Daten dafür
nur mit beträchtlichen Unsicherheiten experimentell oder theoretisch bestimmt oder können lediglich
durch Extrapolation abgeschätzt werden.
Wir unterscheiden grundsätzlich:
elastische Stöße : nur Translationsenergie wird ausgetauscht, die inneren Energien der Stoßpartner
bleiben unverändert; insbesondere werden auch keine Teilchen erzeugt oder vernichtet
unelastische Stöße : bei denen Translations- in innere Energie umgewandelt wird (z. B.
Stoßanregung von Atomen) oder umgekehrt (sog. superelastische Stöße) und auch Teilchen erzeugt
oder vernichtet werden können (z. B. Stoßionisation bzw. Dreierstoßrekombination).
Zweierstoß-Näherung: vorausgesetzt ist eine nicht zu hohe Dichte nB, damit eine gleichzeitige
Wechselwirkung von zwei oder mehr Teilchen B mit Teilchen A sehr selten vorkommt und
vernachlässigbar ist. Alle Stöße sind zeitlich wohlgetrennt.
Im Ruhesystem des Teilchens A fällt ein homogener Strom monoenergetischer Teilchen mit der
Teilchenstromdichte nBvBA auf das Target A.
Die Stoßfrequenz ist proportional zur einfallenden Teilchenstromdichte. Der Proportionalitätsfaktor
? (v )
heißt Wirkungs- oder Stoßquerschnitt: s BA (v BA ) = BA BA =
n B v BA
mit vBA : Relativgeschwindigkeit der Teilchen A und B
νBA : Stoßfrequenz
18
Anzahlder Wechselwirkungen
s
Anzahlder einfallenden Teilchen
s⋅m 2
Einheit in der Atom- und Kernphysik: Barn b (1b=10–28 m2 )
Stoßquerschnitte kann man für ganz verschiedene Stoßprozesse betrachten:
totaler Streuquerschnitt σ t : jegliche Ablenkung (Streuung) eines Teilchens von seiner
ursprünglichen gradlinigen Bahn, d.h. es wird nur gefragt ob ein Teilchen abgelenkt wird.
Für die Berechnung von Transporteigenschaften ist jedoch eine unterschiedliche Bewertung
starker und schwacher Ablenkungen erforderlich.
differentieller Streuquerschnitt dσ/dΩ: für die Streuung in ein Raumwinkelelement dΩ um eine
bestimmte Streurichtung; aus diesem ergibt sich der totale Streuquerschnitt durch Integration über
den gesamten Raumwinkel.
doppelt differentieller Streuquerschnitt d2σ/(dΩdE) : Streuung von Teilchen einer bestimmten
Energie und in einen bestimmten Raumbereich
Anregungs- bzw. Ionisationsquerschnitt : Querschnitt für Anregung bzw. Ionisation
Transportquerschnitt : am häufigsten gemeint ist der Querschnitt für den Impulsübertrag. Für
diesen wird jeder Stoß mit einem Gewicht bewertet, das durch den Bruchteil des Ursprünglichen
Impulses gegeben ist, der dem Teilchen B beim Stoß in Einfallsrichtung verloren geht. Bei Ablenkung um einen Streuwinkel ϑ ist dieser Bruchteil 1 – cos ϑ. Bei einer Ablenkung um 90° ist
der Faktor also 1, bei Rückwärtsstreuung ist er 2. Der Transportquerschnitt unterscheidet sich
deshalb nur dann stark vom Streuquerschnitt, wenn ausgeprägte Vorwärts- oder Rückwärtsstreuung vorherrscht, wie z.B. bei der Coulomb-Streuung. Für Stöße zwischen starren elastischen
Kugeln sind die beiden Querschnitte gleich.
In einem Plasma wirken aus allen möglichen Richtungen gleichzeitig viele solcher Teilchenstrahlen
mit infinitesimalen Teilchenstrahldichten, deren unterschiedliche Geschwindigkeiten entsprechend
der Geschwindigkeitsdichte fBA (vBA ) für die Relativgeschwindigkeit vBA verteilt sind, die sich aus
fA (vA ) und fB(vB) ergibt, den Geschwindigkeitsverteilungen für die Teilchen A und B.
Solange die Zweierstoß-Näherung gültig bleibt addieren sich die Stoßfrequenzen der Einzelstrahlen
zur mittleren Stoßfrequenz: ν BA = ν BA ( v BA ) = nB v BAσ BA (v BA ) = nB v BA σ BA .
Effektiver Stoßquerschnitt: σ BA =
v BAσ BA ( v BA )
v BA
Außer bei geschwindigkeitsunabhängigem Stoßquerschnitt ist der Mittelwert des Produkts i.A.
verschieden vom Produkt der Mittelwerte.
Der Effektive Stoßquerschnitt ist keine mikroskopische Größe mehr, sondern hängt von der
Geschwindigkeitsverteilung fBA (vBA ) ab, beim Vorliegen einer Maxwell-Verteilung also von der
Temperatur.
Relaxationszeit : τ BA =
1
: mittlere Zeit zwischen zwei aufeinander folgenden Stößen
ν BA
während dieser Zeit legt ein Teilchen die
mittlere freie Weglänge zurück:
λBA = v Aτ BA =
vA
v
1
= A
ν BA v BA nB σ BA
Gilt mA <<mB , wie beim Stoß von Elektronen A mit Atomen/Ionen B, so ist gewöhnlich v A >> v B
und damit v BA ≈ v A . Dann vereinfacht sich die Gleichung zu:
λBA =
1
nB σ BA
Das Produkt im Nenner wird als makroskopischer Stoßquerschnitt bezeichnet (keine Fläche!) und
gibt an, wieviele Stöße mit schweren Teilchen das leichte Teilchen A beim Durchlaufen der
Längeneinheit erfährt.
Bei mehreren Teilchenarten B, C, D,... gilt: ν A = ν BA + ν CA + ...
19
Stoßrate ZAB: Anzahl der Stöße zwischen A und B, die im Plasma je Volumen und Zeit stattfinden
Z AB = v BAσ BA (v BA ) nA nB = v BA σ BA n An B
[m–3 s–1 ] für verschiedenartige Teilchen A & B
n2A
n2
= v AA σ AA A Faktor 1/2, damit Stöße nicht doppelt gezählt werden.
2
2
Ratenkoeffizient: v BAσ BA (v BA ) = v BA σ BA
[m3 s–1 ]
Z AA = v AAσ AA (v AA )
Die Stoßraten bestimmen die Energietransferprozesse im Plasma. In einem Gleichgewichtsplasma
muß sich z.B. der Ionisationsgrad so einstellen, daß die Stoßrate für die Ionisation gleich der für
Rekombination ist.
Elastische Stöße
gaskinetischer Stoßquerschnitt : effektiver totaler Streuquerschnitt zwischen Neutralatomen und molekülen im Grundzustand.
Für Atome im Grundzustand sind die "Radien" von der Größenordung des Bohrradius a0 =52,9pm,
deshalb werden atomare Stoßquerschnitte häufig als Vielfache von πa0 2 =8,80⋅10–21 m2 angegeben.
Die Transportquerschnitte unterscheiden sich nicht wesentlich von den Streuquerschnitten!
Die Querschnitte nehmen mit wachsender Temperatur ab. Sie sind für Plasmaeigenschaften von
untergeordneter Bedeutung. In Grafik 2.13 lediglich zum Vergleich.
Ramsauer-Querschnitt: Streuquerschnitt der elastischen Elektronenstreuung an Neutralatomen für
Elektronenenergien im eV-Bereich.
Wären die Atome undurchdringliche Kugeln, müßten die Streuquerschnitte etwa den gaskinetischen Querschnitten entsprechen und unabhängig von der Elektronengeschwindigkeit sein.
Tatsächlich findet man jedoch eine ausgeprägte Energieabhängigkeit (Ramsauer-Effekt).
Anschaulich läßt sich die Tatsache der starken Variation (siehe Abb. 2.13) der RamsauerQuerschnitte bei kleinen Elektronenenergien dadurch erklären, daß für diese Energien die
quantenmechanische De-Broglie-Wellenlänge der Elektronen von der Größenordung der
Atomdurchmesser ist und deshalb bei der Streuung ausgeprägte Beugungseffekte auftreten. Bei
diesen Elektronenenergien unterscheiden sich Streu- und Transportquerschnitte nicht wesentlich.
Bei höheren Elektronenenergien, wo Vorwärtsstreuung (schwache Ablenkung) überwiegt, sind
die Transportquerschnitte kleiner als die Streuquerschnitte.
Die Querschnitte für angeregte Atome sind wesentlich größer als für Atome im Grundzustand.
In schwach ionisierten Plasmen mit hoher Neutralteilchendichte ist die Rate für ElektronAtom-Stöße größer als die übrigen Stoßraten der Elektronen und bestimmt die mittlere freie Weglänge und damit beispielsweise die Driftgeschwindigkeit der Elektronen in einem äußeren
elektrischen Feld, d. h. die elektrische Leitfähigkeit des Plasmas. In einem äußeren elektrischen
Feld kann sich auch der Abfall der Streuquerschnitte oberhalb etwa 20eV durch das Auftreten
hochenergetischer "Runaway-Elektronen" bemerkbar machen, die, wenn sie einmal diese
Energie erreicht haben, immer weniger Stöße erleiden, je mehr Energie sie zwischen zwei Stößen
im elektrischen Feld gewinnen.
20
Coulomb-Stöße : Stöße zwischen geladenen Teilchen.
Bestimmt durch Coulomb-Kraft, die mit 1/r2 viel langsamer abnimmt asl z.B. die van-der-WaalsKraft zwischen Neutralatomen, die zu 1/r7 proportional ist.
Die Zweistoß-Näherung und damit der Begriff des Stoßquerschnittes ist strenggenommen nicht
anwendbar, denn ein geladenes Teilchen steht ständig mit vielen anderen Ladungsträgern in
Wechselwirkung und seine Bahnkurve kann nicht als Folge von Geradenstücken zwischen je
zwei Stößen beschrieben werden.
Daran änder auch die Debye-Hückel-Abschirmung nichts, die zwar die Wechselwirkung für r>λD
abschneidet, aber dafür viele Ladungsträger mit r<λD fordert, deren Felder praktisch nicht
abgeschirmt sind.
Die Wechselwirkung geladener Plasmateilchen muß daher im Rahmen einer kinetischen Theorie
behandelt werden, die auch kollektive Effekte erfaßt, deren Auftreten das Plasma qualitativ vom
Neutralgas unterscheidt. (Eine Näherung, die nur kollektive Effekte erfaßt (d.h. stoßfreies Plasma,
keine Wechselwirkung zwischen Einzelteilchen berücksichtigt) ist die Vlasov-Theorie.)
Für viele Effekte, wie die elektrische Leitfähigkeit oder der Energietransfer können
näherungsweise mit Hilfe von Stoßquerschnitten beschrieben werden, als ob es sich um
Zweierstöße handelt.
Denn Ablenkungen um 90° sind selten und können als Zweierstoß betrachtet werden. Die
schwächeren Ablenkungen kann man als Zweierstöße behandeln, wenn man dabei das Coulombdurch das Debye-Feld ersetzt oder einfach die Coulomb-Wirkung für b>λD abschneidet.
Ansonsten würde im übrigen der totale Streu- bzw. Transportquerschnit unendlich. Die so
gewonnenen Stoßquerschnitte sind dann über die Dabye-Hückel-Länge von der Plasmadichte und
-temperatur abhängig.
Effektiver Stoßparameter für die 90°-Ablenkung: b0 =
e2
0,48nm
=
12πε0k BTe k BTe / eV
Ergebnis nach Gvosdover für den effektiven Transportquerschnitt von Elektronen mit einfach
geladenen Ionen:
ln n
  e
 ~  1
σ ei
 T 2
 e
λD
12π
Coulomb-Logartihmus: ln Λ = ln
= ln
b0
g
 λ
1 3π
= 3πb  ln D + ln
2
 b0 2
2
0
In einem idealen Plasma ist g<<1 und damit Λ>>1. Der Coulomb-Logarthmus variiert nur wenig.
Typische Werte für Labor-Plasmen liegen im Bereich von 5 bis 20.
Damit überwiegt in der Anteil der vielen schwachen Stöße den der starken (Ablenkung um
90° oder mehr) bei weitem.
21
Für einfach geladene Ionen mit Ti =Te sind die effektiven Transportquerschnitte für ElektronElektron- und Ion-Ion-Stöße von der selben Größenordnung wie für die Elektron-Ion-Stöße:
σ ee ≈ σ ii ≈ σ ei
Für die mittleren Stoßfrequenzen (und Stoßraten) gilt jedoch wegen der unterschiedlichen
thermischen Relativgeschwindigkeiten:
ν ee ≈ ν ei >> ν ii
Bei geladenen Teilchen ist der Transportquerschnitt und die Stoßfrequenzen erheblich höher
als die gaskinetischen und Ramsauer-Querschnitte.
Während bei Stößen zwischen Teilche gleicher Masse (Elektron-Elektron, Ion-Ion) mit starkem
Impultranfer immer auch starker Energietransfer einhergeht, ist der Energietransfer bei elastischen
Stößen zwischen Tielchen mit sehr unterschiedlicher Masse sehr gering: Es wird nur der Bruchteil
2Me/mi der Translationsenergie übertragen. Die innere Energie der schweren Teilchen ist mithin viel
stärker an die Elektronenenergie gekoppelt als ihre Translationsenergie.
Die Relaxationszeit für den Transfer von Translationsenergie zwischen Elektronen und schweren
Teilchen ist um einen Faktor der Größenordnung mi /me länger als die für den Energietransfer der
Elektronen untereinander. Die Relaxationszeit für die Ionen untereinander ist um den Faktor
(mi /me)1/2 über der Elektronenrelaxationszeit, also zwischen Elektron-Elektron und Elektron-IonRelaxationszeit.
--Aus den Querschnitten lassen sich die Querschnitte der Umkehrprozesse berechnen, wenn man
von der Invarianz der mikroskopischen Bewegungsgleichungen für die einzelnen Stoße gegenüber
Zeitumkehr Gebrauch macht. Für eine Maxwellverteilung der Elektronengeschwindigkeiten wie im
VTG kann man sogar aus den Ratenkoeffizienten für Anregungen und Ionisation direkt die
Ratenkoeffizienten für die Umkehrprozesse gewinne, weil im VTG detailliertes Gleichgewicht
zwischen jedem Prozeß und seinem Umkehrprozeß besteht und damit eine Beziehung zwischen den
Ratenkoeffizienten.
dni
= ∑ bevölkernd e Raten − ∑ entvölkern de Raten
dt
Für ein stationäres, homogenes Plasma ist dni /dt=0
Aus dem System der Ratengleichungen für alle Energieniveaus i läßt sich der Anregungszustand des
Plasmas in Abhängigkeit von Elektronendichte und -temperatur bestimmen. Wegen der Vielzahl von
Termen, die die Ratengleichungen für realistische Stoß-Strahlungs-Modelle enthalten, ist ihre
(numerische) Lösung aufwendig, besonders für Plasmen aus Atomen mit vielen Elektronen, die
22
gleichzeitig in vielen Ionisationsstufen vorliegen können. Strenggenommen müssen die
Ratengleichungen überdies mit der Strahlungstransportgleichung gekoppelt werden, wenn nicht
induzierte Emission, Photoanregung und -ionisation vernachlässigt werden können (optisch dünnes
Plasma).
Zusätzlicher Hinweis:
dσ  Z Projektil ⋅ Z Target
Rutherford-Streuformel:
~
dΩ 
EProjektil
2

1

(differentieller Wirkungsquerschnitt)
 sin 4 (θ / 2)

die Mott-Streuformel berücksichtigt den Einfluß des Spins der wechselwirkenden Teilchen und
liefert die relativitsische Korrektur zum Rutherford-Streuquerschnitt.
Unelastische Stöße
Stoßen Elektronen genügend hoher Energie auf Atome, die sich im Grundzustand oder bereits in
einem angeregten Zustand m befinden, so können sie diese in einen höheren Energiezustand n
anregen.
Solange die ELektronenenergie kleiner als die erforderliche Anregungsenergie ist, kann keine
Anregung erfolgen und der Anregungsquerschnitt verschwindet. Nach überschreiten dieser Schwelle
steigt der Querschnitt mit wachsender Elektronenenergie steil auf einen Maximalwert und fällt
danach wieder ab (siehe Abb. 2.16).
Vergleicht man die Anregungsquerschnitte mit den Ramsauer-Querschnitten für die elatische
Streuung langsamer Elektronen an Atomen, so liegen letztere etwa zwei Größenordnungen höher.
Nur etwa einer von hundert Elektronenstößen führt daher zur Anregung.
Das scharfe Einsetzen der Anregung beim Überschreiten der Schwellenenergie ∆E wird nur mit
einem monoenergetischen Elektronenstrahl beobachtet. Bei einer Maxwell-Verteilung gibt es für den
effektiven Anregungsquerschnitt σ als Funktion von der thermischen Energie kBTe keinen
scharfen Schwellenwert, der überschritten werden muß. Bereits bei kBTe=0,5⋅∆E haben 26% aller
Elektronen ausreichend Energie für eine Anregung.
Ionisation durch Stöße
Übersteigt die Translationsenergie der stoßenden Teilchen die Ionisationsenergie Ei der Atome (bei
Wasserstoff Ei =13,6eV), so treten Ionisationsprozesse auf. Bezüglich des Schwellenwertes der
Elektronenenergie gilt für den effektiven Ionisationsquerschnitt bei Maxwell-Verteilung der
Elektronengeschwindigkeiten dasselbe wie für die Anregungsquerschnitte. Daraus erklärt sich, daß
23
im thermischen Gleichgewicht praktisch vollständige Ionisation eines Plasmas schon beobachtet
wird, wenn kBT erst einen Bruchteil der Ionisationsenergie Ei ausmacht.
Stufenweise Ionisation: Die Ionisationsquerschnitte für angeregte Atome sind größer als für Atome
im Grundzustand, außerdem ist natürlich die Ionisationsenergie niedriger.
Die Querschnitte für Ionisation durch Ionenstöße sind für die selbe Relativgeschwindigkeit angenähert gleich denen für die Ionisation durch Elektronenstöße, sofern der Ladungstransfer vernachlässigbar ist. Die kinetische Energie der Ionen ist dann jedoch viel größer als die der Elektronen.
Wenn bei Elektronen 100eV benötigt werden, braucht ein Proton 200keV und ein α-Teilchen etwa
800keV. In thermischen Plasmen mit Teilchenenergien von einigen eV spielt die Ionisation durch
Ionenstöße deshalb keine Rolle.
Die Ionisationsrate wird nicht nur durch die Ionisationsquerschnitte bestimmt sondern auch durch die
Stoßrate, die von der Teilchengeschwindigkeit abhängt. Demnach wird der Beitrag schwerer
Teilchen praktisch immer gegenüber dem der Elektronen vernachlässigbar sein. So ist auch die
mögliche Atom-Atom-Ionisation praktisch unbedeutend.
24
Stöße mit Ladungstransfer
Beim Stoß eines Atoms mit einem Ion kann nach dem Schema
A+ + B → A + B +
der Austausch eines Elektrons zwischen den Stoßpartnern stattfinden.
(fast) Resonanter Ladungstransfer: Summe der Energien vor und nach dem Stoß ist (fast) gleich.
Dieser ist ohne Geschwindigkeitsänderung möglich und hat keine (oder sehr kleine)
Schwellenenergie. Die Querschnitte für diesen resonanten Ladungstransfer sind bei kleinen
Translationsenergien groß, etwa 100πa02 bei 1eV, und nehmen zu höheren Translationsenergien
hin zunächst nur schwach ab. Ein steiler Abfall setzt ein, wenn die Ionengeschwindigkeit etwa
den Wert αc≈c/137 erreicht, d.h. die Geschwindigkeit der im Atom gebundenen Elektronen.
(Feinstrukturkonstante α: Verhältnis der Umlaufgeschwindigkeit der ersten Bohrschen Bahn zur
Lichtgeschwindigkeit)
Damit liegt sie um eine bis zwei Größenordnungen über den Ionisationsquerschnitten für
Elektronenstoß und führen trotz der niedrigen Relativgeschwindigkeiten der schweren Teilchen
zu hohen Ratenkoeffizienten.
Der Ladungstransfer führt zwar nicht zu erhöhter Ionsiation, bewirkt aber einen sehr effektiven
Austausch von Translationsenergie zwischen Ionen und Atomen, vor allem derselben Teilchensorte.
Er ist besonders in solchen Fällen wichtig wo z.B. nur die Ionen in einem äußeren Feld Energie
aufnehmen oder Ionen und Atome mit sehr unterschiedlichen Geschwindigkeiten aufeinandertreffen,
beispielsweise bei der Heizung der Ionen in einem Plasma durch den Einschuß von Neutralatomen
mit hoher Energie.
Stößt ein energiereiches Elektron auf ein Atom A im Grundzustand, so kann durch Stoßanregung ein
angeregtes Atom A* und ein energiearmes Elektron entstehen.
Superelastischer Stoß: Umgekehrt kann ein langsames Elektron auf ein angeregtes Atom A* treffen
und in einem superelastischen Stoß (Stoß 2. Art) dessen Anregungsenergie übernehmen. Auf diese
Weise wird zwischen Elektron und Atom jeweils die Anregungsenergie Em ausgetauscht. Beide
besitzen eigene Stoßraten
Plasmaerzeugung / Laborplasmen
Im Labor gibt es verschiedene Möglichkeiten der Plasmaerzeugung
• Gasentladungen
In einer Gasentladung fließt elektrischer Strom durch ein Gas, das meist zwischen zwei
Elektroden in einem Gefäß eingeschlossen ist. Die Abhängigkeit der elektrischen Feldstärke E in
der Entladung von der Stromstärke I wird als Entladungscharakteristik bezeichnet. Die
Eigenschaften hängen stark von Teilchendichte bzw. Druck ab.
25
Bei Niederdruckentladungen, bei Drücken unter 104 Pa, besteht lein LTG, und es ist schwierig
die Plasmaeigenschaften in Abhängiggkeit von den Entladungsparametern theoretisch
vorherzusagen, etwa durch Lösung kinetischer Gleichungen.
In Hochdruckentladungen mit einem Druck über etwa 105 Pa(Atmosphärendruck) kann jedoch
in den entstehenden Bogenplasma in guter Näherung LTG herrschen, so daß eine
thermodynamische Beschreibung (abgesehen von der Strahlung) möglich ist.
Sie können stabil & stationär betrieben werden, was Messungen erleichtert. Meist sind es
wandstabilisierte Bogenplasmen, die in besonderen Plasmabrennern durch klate Wände
eingeschlossen sind. Sie bilden sich zylindersymmetrisch in einem Kanal lächs der Brennerachse
aus, in den das auzuheizende Gas gegeben wird. Da die Wandtemperatur (Kupfer) nur einige
100K beträgt, bestehen im Bogenkanal starke Temperaturgradienten in radialer Richtung.
Für spektroskopische Messungen im UV, wo Fenster undurchlässig sind, werden differentielle
Pumpsysteme eingesetzt, die den hohen Bogendruck in mehreren Stufen, die durch kleine
Beobachtungsblenden verbunden sind, auf den erforderlichen Wert absenken.
Durch Variation von Druck und Bogenstrom lassen sich auf der Achse Temperaturen von
7000-30.000K und Elektronendichten von 1021 m-3 bis 1024 m-3 erreichen.
Elektrodenlose Entladungen lassen sich mit hochfrequenten Wechselfeldern realisieren. Mit
Mikrowellen können in Niederdruckgasen Nichtgleichgewichtsplasmen mit hohen
Elektronenenergien von vielen keV bei niedriger Gastemperatur erzeugt werden, besonders bei
Resonanz mit der Zyklotronfrequenz der Elektronen in einem zusätzlichen äußeren Magnetfeld.
Auch Laserstrahlung, die in einem Gas fokussiert wird, erzeugt bei genügend hoher
Bestrahlungsstärke im Fokus ein Plasma ("Luftdurchschlag"). Solche optischen Entladungen
sind am einfachsten mit gepulsten Lasern zu erreichen und sind in anderem Zusammenhang oft
störend.
Kurzzeitplasma hoher Temperatur und Dichte entsteht, wenn gepulste Laserstrahlung auf eine
Festkörperoberfläche, das Target, fokussiert wird. Das Plasma emittiert Kontinuumstrahlung und
die Spektrallinien mehrfach ionisierter Atome im Bereich des VUV und der weichen
Röntgenstrahlung. Solche Plasmen stellen nahezu punktförmige, gut reproduzierbare Quellen
kurzwelliger Strahlung dar.
26
Weil das Verhältnis der Einstein-Koeffizienten für induzierte Emmision Bn m und spontane Anm
Emission wegen
Bnm
~ λ3 mit abnehmender Wellenlänge immer ungünstiger wird, ist es eine
Anm
Besonderheit, daß man kürzlich (vor 1992) auch erstmals die Laserverstärkung sehr kurzwelliger
Strahlung mit Wellenlängen um 20nm und darunter geschafft hat. Bedeutung für Röntgenlaser!
•
Plasmaerzeugung durch Kompression
LTG-Plasmen mit ähnlichen Parametern wie in Bogenplasmen lassen sich kurzzeitig auch mit
mechanischen Stoßwellenrohren erzeugen.
Stoßwellengeschwindigkeit ca. 1000m/s=3600km/h
schnelle Kompression, Temperaturen kurzfristig bis 50000K
Vorteil: homogene Plasmaverteilung.
Stoßewllenaufheizung erreicht man noch effektiver in elektromagnetischen Stoßwellenrohren,
worin bei niedrigem Druck eine Kurzzeitentladung gezündet wird (einige 100ns, bei 100kA).
Der Plötzliche Druckanstieg und die Magnetfelder von Entladungsstrom beschleunigen das
Entladungsplasma in Richtung auf den Seitenarm.
Geschwindigkeit bis zu 3*105 m/s, Temperaturen bis 106 K.
Auf adiabatischer Kompression des Niederdruckgases beruht die ballistische Kompression, bei
der durch den hohen Druck ein Kolben von mehreren kg beschleunigt wird, der Hoch- und
Niederdruckteil voneinander trennt.
Auf der Kompression von Plasmen durch magnetische Druck beruhen Pinchentladungen.
Pinch-Effekt: Kompression von geladenenen Flüssigkeiten oder Gasen im Magnetfeld, die beim
Durchgang eines hohen Stromes oder eines Magnetfeldes, anhängig von der Geometrie, durch
die Flüssigkeit oder das Gas entsteht. z-Pinch: Pinch, bei dem der Strom axial durch die
27
Plasmasäule fließt. Durch eine Entladung zwischen zwei Elektroden fließt ein Strom längs der
Pinchachse und erzeugt ein azimutales Magnetfeld BΘ, in dem die Ladungsträger eine radial
r
r
r
nach innen gerichtete Kraftdichte erfahren: f = J z × BΘ
Die nach innen gerichtete Kraft ist gerade die Lorentz-Kraft der Elektrodynamik. Bei einer
genügend großen Stromdichte übertrifft die Kraftdichte den Plasmadruck und komprimiert die
Plasmasäule, die sich dabei von den Gefäßwänden löst.
θ-Pinch: Pinch, bei dem durch äußere Spulen ein zeitlich ansteigendes axiales Magnetfeld
erzeugt wird, das in der Plasmasäule einen azimutalen Strom induziert, der analog zu einer nach
innen gerichteten Kraftdichte führt.
Anwendungsgebiete der Plasmatechnik?
•
Energieumformer (Plasmaofen)
•
Schmelzen, Schweißen, Bohren (thermische Plasmaenergie)
Lichtbögenöfen, Schweißbögen, Plasmajets
Lichterzeugung
Niederdrucklampen, wie Leuchtstoffröhren
Hochdrucklampen (Xe--, Hg-, Na- und Halogen-Metalldampflampen
Laser, wie He-Ne- und Argonionenlaser, die durch Gasentladungen gepumpt werden.
Plasmabeschleuniger, die vor allem die magnetische Kraftwirkung auf Plasmen ausnutzen,
erzeugen mechanische Energie.
chemische Prozesse werden unter Durchlaufen des Plasmazustandes durchgeführt.
Prinzipiell ist mit Plasmen auch eine effektive direkte Umwandlung von thermischer in
elektrische Energie möglich.
Thermoionische Diode:
Der Emitter wird aufgeheizt, so daß Elektronen die Austrittsarbeit eVk aufbringen. Der
Kollektor wird gekühlt, so daß die Elektronen dort "kondensieren". Seine Austrittsarbeit ist
geringer als die des Emitters, so daß maximal die Elektronenenergie e(V E –VK ) bzw. die
Spannung (VE –VK ) verbleibt, um die Elektronen durch den Lastwiderstand R zu treiben.
Abb. (b)
•
•
•
28
Kurve a : Diode im Vakuum nur kleine Ströme
Kurve b : Bei großen Stromdichten tritt zw. den Elektroden eine Raumladung auf und damit
der Potentialberg, der den Stromtransport behindert.
Kurve c : Man füllt den Raum mit leicht ionisierbarem Cäsiumdampf, dessen Atomrümpfe
die Raumladung der Elektronen kompensieren. Stromdichte bis 10kA/cm3 , Wirkungsgrad
30% wird für erreichbar gehalten.
Magnetohydrodynamischer Generator (MHD)
Zahlenbeispiel: für vgas=1000m/s, B=1T und d=0,1m
ist E=1kV/m, ULeerlauf=100V, Kurzschlußstromdichte J=1-10kA/m2 . Wirkungsgrad ist
bestenfals der einer Carnotmaschine. Wegen der hohen Temperaturen ist er theoretisch zwar
höher als bei Tampfturbinen (bis 1000K), die technischen Schwierigkeiten wegen der hohen
thermischen Belastung haben eine breite Anwendung bislang verhindert.
Umgekehrt betrieben, läßt sich bei Einspeisung von Strom ein Plasma beschleunigen.
•
Kernfusionsreaktoren
Unerwünschte Plasmaeffekte:
• Schaltelichtbögen, beim Schalten von Hochspannung
• Koronaentladungen an Hochspannungsleitungen
• Bildung von (lichabsorbierenden) Plasmen über der Materialfläche beim Laserschweißen.
Gasentladungslampen (Leuchtstoffröhre, Glimmlampe, Hochdrucklampen)
Die wichtigste Gasentladungslampe, die Leuchtstoffröhre, wird merkwürdigerweise immer noch
vielfach Neonröhre genannt, obwohl Neon rot leuchtet und höchstens für Reklamezwecke brauchbar
29
ist. In der Leuchtstoffröhre wird nicht Neon, sondern Quecksilber von geringem Druck (einige µbar,
entsprechend dem Dampfdruck des Quecksilbers bei der Betriebstemperatur) durch Elektronenstoß
zum Leuchten angeregt. Die Hg-Atome senden dabei überwiegend UV-Licht aus (254nm, entsprechend dem 4,9eV-Übergang der Elektronen, der auch beim Franck-Hertz-Versuch ausgenutzt
wird, Abschnitt 12.2.5). Dies Licht ist natürlich unsichtbar, würde das Auge wenigen Minuten zerstören, tötet Bakterien ab (Sterilisationslampe), bräunt und brennt die Haut (Höhensonne). Alle diese
Wirkungen beruhen darauf, daß seine Energie ausreicht, um die Peptidbindung zwischen Aminosäuren in Proteinen aufzusprengen und auch in den Nukleinsäure, dem genetischen Material,
ähnliche photochemische Reaktionen auszulösen. Außer der UV-Linie werden noch eine violett eine
blaue und eine grüne Hg-Linie emittiert. Wenn die Leuchtstoffschicht auf der Innenwand defekt ist
(bei alten Röhren nahe den Elektroden), sieht man das direke Hg-Licht fahlbläulich durchschimmern
(Vorsicht!).
Die Leuchtstoffschicht aus Sulfiden, Silikaten, Wolframaten von Zink, Cadmium usw. wandelt
das UV-Licht des Hg in sichtbares Licht um, dessen spektrale Zusammensetzung sich in weiten
Grenzen dem Verwendungszweck anpassen läßt (i.B. Licht mit hohem photosynthetisch wirksamen
Rotanteil um 670nm für Gewächshauslampen). Diese Frequenzabnahme in der Leuchtstoffschicht,
z.B. von 254 auf 500nm, bedeutet nach E=hν etwa eine Halbierung der Energie E des Photons
(Fluoreszenz; Stokes-Verschiebung/Stokessche Regel: Das emittierte Licht ist höchstens so kurzwellig, wie das absorbierte). Die andere Hälfte der Photonenenergie bleibt im Leuchtstoff und erwärmt ihn. Dies ist aber auch fast der einzige Energieverlust in diesen Lampen. Die Leuchtstoffröhre
wandelt fast die Hälfte der elektrischen Energie in sichtbares Licht um, verglichen mit etwa 10% der
Leistung, die bei der üblichen Glühlampe nach der Planck-Kurve in den sichtbaren Bereich Fallen.
Daher wird die Leuchtstoffröhre, abgesehen von den Elektroden, im Betrieb kaum warm.
Ohne Leuchtstoff-Auskleidung gibt die Entladungsröhre das Linienspektrum des Füllgases ab, also
kräftig gefärbtes Licht (rot bei Neon, blau bei Hg).
In der Glimmlampe sind die Elektroden mit einem Metall geringer Austrittsarbeit, oft Barium,
überzogen. Bei Fülung mit Neon zündet die Lampe schon um 90V. Die Elektroden sind so nahe beieinander, daß sich keine positive Säule ausbildet, sondern nur das negative Glimmlicht, das die
Kathode rötlich umgibt. (Phasenprüfer für die Steckdose (funktioniert auch mit Gleichstrom)). Wenn
die Glimmlampe einmal brennt, kann man die Spannung bis erheblich unter die Zündspannung, bis
zur Löschspannung, senken. Die Elektronen werden von der Kathode weg beschleunigt und erzeugen
im Abstand einer freien Weglänge das negative Glimmlicht.
In Hochdrucklampen kommt eine Glimmentladung wegen des dichten Gases nicht zustande. Man
muß dafür sorgen, daß die Elektroden genügend heiß für eine Bogenentladung werden. Eine andere
Folge des hohen Drucks ist die Verbreiterung der Sprektrallinien, die bis zum Kontinuum verschmelzen können. Die Hg-Dampflampe leuchtet daher weiß. Glühemmission spielt die wesentliche
Rolle bei der Elektronenauslösung. Bei sehr großen Entladungsströmen erzeugt die positive
Raumladung (Stau der positive Ionen vor der Kathode) ein so hohes Feld, daß Feldemission von
Elektronen aus der Kathode möglich wird.
Funken sind ihrem Wesen nach rasch erlöschende Bogenentladungen. Luftdurchschlagsfeldstärke bei
ca. 106 V/m.
Typisch für selbständige Entladungen ist die fallende Widerstandskennlinie oder sogar der negative
differentielle Widerstand dU/dI. Die Entladung würde "durchgehen". Um die Fallende U(I)Abhängigkeit auszugleichen, legt man einen Widerstand oder bei Wechselstrom eine Drosselspule
vor die Entladungsröhre.
Transportvorgänge
In inhomogenen Plasmen finden Transportvorgänge statt:
Transport von Materie (Diffusion):
r
Φ = − D ∇n Teilchenstromdichte; D : Diffusionskeffizient, n : Anzahldichte der Teilchen
Transport von Energie (Wärmeleitung):
30
r
q = −κ ∇ T Wärmestromdichte; κ : Wärmeleitfähigkeit; T : Temperatur
Transport von Impuls (Viskosizität):
dv
P = −η z Impulsstromdichte; η : Viskosizität; vz(x) : Strömungsgeschwindigkeit
dx
Transport von Ladung (elektrische Leitung):
r
r
j = γE
elektrische Stromdichte; γ : elektrische Leitfähigkeit; E : elektrische Feldstärke
Die Transportkoeffizienten werden mikroskopisch durch die mittleren freien Weglängen der
Plasmateilchen bestimmt, letztlich also durch die geeigneten Transportquerschnitte.
Da ein Magnetfeld die Bewegung senkrecht zu den Magnetfeldlinien behindert haben die
Transportkoeffizienten in einem Plasma unterschiedliche Werte für den Transport senkrecht und
parallel zum Magnetfeld.
Die elektrische Leitfähigkeit und die Wärmeleitfähigkeit sind für die Energiebilanz von Plasmen
entscheident, die durch Stromdurchgang aufgeheizt werden und vorwiegend durch Wärmeleitung
r r
Energie verlieren. Die ohmsche Heizung führt die Leistungsdichte j ⋅ E = γE 2 zu ("Joulesche
Wärme"), und durch die Wärmeleitung wird bezogen auf die Fläche die Leistung κ ∇ T abgeführt.
Elektrische Leitfähigkeit
Der elektrische Strom im Plasma wird praktisch von den Elektronen allein getragen, da sie
vor allem Energie im E-Feld aufnehmen (Querschnitt).
Bei vollionisierten Plasma: el. Leitfähigkeit γ~T3/2 .
praktisch unabhängig von der Elekronendichte, da micht wachsender Elekronendichte auch
die Stroßfrequenz zunimmt
Zahlenbeispiel:
Wasserstoff T=20000K => γ=104 S/m
Kupfer hat bei Raumtemperatur die sehr viel höhere Leitfähigkeit von 107 S/m, diese wird
jedoch von Plasmen unter Fusionsbedingungen mit ca. 7*108 S/m nochmals um eine
Größenordnung übertroffen. Wegen der starken Zunahme der elektrischenLeitfähigkeit
mit der Plasmatemperatur wird die ohmsche Heizung heißer Plasmen sehr ineffektiv.
Wärmeleitung, ambipolare Diffusion
r
Fourier-Gesetz: q = −κ ∇ T
In einem Atomgas, in dem die Translationsenergie transportiert wird, liefern gaskinetische
Überlegungen für die Translationswärmeleitfähigkeit
κ tr ~
T
σ aa
dies gilt für jeden Anteil im Plasma (Atom, Ion, Elekron)
mit σ aa : gaskinetischer Querschnitt, welcher mit steigender Temperatur abnimmt.
Außer in schwach ionisieten Plasmen liefern die Elektronen wegen ihrer hohen
thermischen Geschwindigkeit den Hauptbeitrag zur Translations-Wärmeleitfähigkeit.
Im Plasma werden neben der Translationsenergie noch andere Energieformen transportiert:
Molekülschwingungs- und -rotationsenergie, sowie Atomdissoziations-, Ionisations- und
Anregungsenergie. Im Plasmabereichen hoher Temperatur ist der Ionisationsgrad groß und
Elektronen- und Ionendichte sind hoch. Elektronen und Ionen diffundieren aus diesem
Bereich in Bereiche niedrigerer Temperatur, wo der Ionistionsgrad und damit Elektronenund Ionendichte niedriger sind, und rekombinieren dort, wobei die die Ionisationsenergie
abgeben. Umgekejrt diffundieren Neutralatome in umgekehrter Richtung und entziehen dort
31
ihrer Umgebung Energie, wenn sie ionisiert werden; d.h. der Transport von Materie durch
Diffusion muß bei der Wärmeleitfähigkeit mitberücksichtigt werden.
ambipolare Diffusion
Bei der Diffusion der Elektronen und Ionen tritt auf Grund der elektrischen Wechselwirkung
zwischen diesen Teilchen eine Besonderheit auf. Ohne diese Wechselwirkung würden die
Elektronen wegen ihrer kleinen Masse viel schneller diffundieren als die Ionen. Dadurch
würden aber Raumladungen im Plasma entstehen, deren elektrisches Feld die Elektronen
bremst und die Ionen beschleunigt. Deshalb müssen beide Teilchenarten mit derselben
Diffusionsgeschwindigke it gemeinsam diffundieren, um die Quasineutralität des Plasmas
aufrechtzuerhalten. Diese Erscheinung heißt ambipolare Diffusion (mit dem Diffusionskoeffizienten Damb ). Für die Ionisations-Wärmeleitfähigkeit, die auf der Diffusion von
Elektronen und Ionen beruht, ergibt sich
κ i = Damb Ei
dne
dT
Insgesamt setzt sich die Wärmeleitfähigkeit eines Plasmas also aus fünf Anteilen zusammen,
κ = κ atr + κ itr + κ etr + κ d + κ i
κd : Dissoziations-Wärmeleitfähigkeit
die in verschiedenen Temperaturbereichen unterschiedliche Beiträge liefern. Abb. 2.34 zeigt
die Temperaturabhängigkeit von Wärmeleitfähigkeiten, die an stationären Bogenplasmen
(H2, N2) gemessen sind. Beide Kurven haben einen prinzipiell ähnlichen Verlauf. Beim
Wasserstoff entsteht das scharfe Maximum bei 3700 K durch den Beitrag von κd . Im anschließenden
Minimum ist K im wesentlichen durch κad
Dissoziation praktisch vollständig ist.
bestimmt, weil in diesem Temperatubereich die
Das zweite Maximum bei 14000K wir durch κi hervorgerufen. Ab ca. 20000K ist das Plasma
vollionisiert und κ≈κetr. Da die mittlere freie Weglänge und die Geschwindigkeit der
Elektronen mit der Temperatur zunehmen, wächst auch κ.
Neben der hier diskutierten Wärmeleitungsprozessen trägt der Strahlungstransport zum
Energietransport im Plasma bei.
Wodurch wird die Strahlung im Plasma verbreitert?
Die natürliche Linienbreite(Starhlungsdämpfung) kann vernachlässigt werden. Bei Bahlmer-Linie
des Wasserstoff ist die Doppler-Verbreiterung(thermische Bewegung) ca. 1000-fach größer als die
natürliche Linienbreite (bei 10000K).
32
1 / m
mit m : Teilchenmasse
 T
Dopperbreite ∆ω 1D/ 2 ~ 
Die Doppler-Verbreiterung wird reduziert, wenn die Geschwindigkeit der emittierenden Teilchen
häufig durch Stöße verändert werden, weil sie sich dann im Mittel langsamer von einem Anfangsort
entfernen. Dieses Dicke narrowing macht sich aber erst dann bemerkbar, wenn die mittlere freie
Weglänge von der Größenordung der Wellenlänge oder kleiner ist.
Druckverbreiterung im Plasma (Stark-Effekt-Verbreiterung)
Im Plasma wird die Lebensdauer atomarer Energieniveaus nicht durch die Strahlungsdämpfung
(natürliche Linienbreite), sondern durch die Stoßwechselwirkung mit anderen Teilchen begrenzt. Die
Hauptrolle spielen dabei nicht Stöße mit deutlicher Anregungsänderung oder Ionisation des
emittierenden Atoms, die jeweils zum Abbruch der Emission in der betrachteten Spektrallinie führen,
sondern elastische Stöße, bei denen während des Stoßes eine geringe Verschiebung der atomaren
Energieniveaus zu einer verübergehenden "Verstimmung" ∆ω0 , der ungestörten Emissionskreisfrequenz ω0 führt. Nach dem Stoß erfolgt die Emission zwar wieder mit ω0 aber mit einer gewissen
Phasenverschiebung gegen die Emission vor dem Stoß.
Für die verschiedenen im Plasma vorkommenden Wechselwirkungen kann die Frequenzverstimmung, die ein Störteilchen im Abstand r hervorruft, näherungsweise durch ein Potenzgesetz
beschrieben werden:
∆ω 0 (r ) = Ck r − k
Ck : (Stark-)Effekt-Konstanten
k Benennung
2 linearer Stark-Effekt
Wassertsoffatom und geladenes Störteilchen
3 Resonanzwechselwirkung
zwei Atome derselben Art, Eigendruckverbreiterung
4 quadratischer Stark-Effekt
Atom (nicht Wasserstoff) und geladenes Störteilchen
6 Van der Waalszwei verschiedene Atome, Fremddruckverbreiterung
Wechselwirkung
Stark-Effekt nennt man die Aufspaltung der Spektrallinien unter dem Einfluß eines elektrischen
Feldes. Hier dem Mikrofeld benachbarter Ionen oder anderer geladener Teilchen.
Die Verbreiterung von Wasserstofflinien durch den linearen Stark-Effekt läßt sich nicht mit der
einfachen Stoßdämpfungstheorie beschreiben.
Resonanz- und Van der Waals-Verbreiterung sind typisch für Neutralsgase unter hohem Druck,
müssen aber auch im Plasmen mit hoher Neutralteilchendichte(geringem Ionisationsgrad)
berücksichtigt werden.
Bei höherem Ionisationsgrad überwiegt die Stark-Verbreiterung, die für isolierte Linien durch den
quadratischen Stark-Effekt im mikroskopischen Feld der Plasmaionen und -elektronen hervorgerufen
wird und ein typischer Plasmaeffekt ist.
Für den quadratischen Stark-Effekt (k=4) gilt:
Die doppelte Stoßfrequenz der "starken Stöße", bei denen der Stoßparameter unter den WeißkopfRadius bW fällt
1 /3
C 
b ≤ bW ≈  4 
 vth 
ergibt näherungsweise die volle Halbwertsbreite ∆ω1/2 :
1/ 6
∆ ω1 / 2
T 
~ ne  
µ 
mit µ : reduzierte Masse des Emitter-Störteilchenpaares.
Als Störteilchen wirken im Plasma Ionen und Elektronen, die jeweiligen Halbwertsbreiten addieren
sich. Wegen der höhren thermischen Geschwindigkeit verursachen die Elektronen den größeren
Anteil der Verbreiterung, während die Ionen (je nach ihrer Masse) etwa 10-20% beitragen.
33
Lineare Stark-Verbreiterung der Wasserstofflinien ist von besonderem Interesse, da Wasserstoff
das bei weitestem häufigste Element in Sternatmospären ist und ein beträchtlicher Teil des
Strahlungstransportes findet in seinen Resonanzlinien statt. Zum anderen weisen die Wasserstofflinien (und in sehr heißen Plasmen auch die Linien wasserstoffähnlicher Ionen, die alle Elektronen
bis auf eines verloren haben) wegen der Erscheinung des linearen Stark-Effektes besonders große
Halbwertsbreiten auf und werden deshalb in der spektroskopischen Plasmadiagnostik bevorzugt zur
Messung der Elektronendichte herangezogen, da dafür keine besonders hohe spektroskopische
Auflösung erforderlich ist.
Dopplerfreie (Sättigungs-)Spektroskopie
Eine schon vor der Erfindung des Lasers verwendete Metode ist die Kollimation eines
Molekülstrahls, dessen Emission senkrecht zur Flugrichtung aufgenommen wird. Die Intensität ist
vergleichsweise gering.
gesättigte Absorbtion mit Hilfe eines Farbstofflaser Kap. 22.3 im Haken-Wolf
Spektrallinien eines Gases sind durch den Doppöereffekt verbreitert. Da die Dopplerverbreiterung
i.a. weit größer als etwa die natürliche Linienbreite ist, stellt die Dopplerverbreiterung ein
wesentliches Hindernis bei der Messung scharfer Spektrallinien dar. Mit Hilfe des Lasers ist es
gelungen die Dopplerverbreiterung auszuschalten.
Aufgrund der Lasertätigkeit wird die Zahl der ursprünglich invertierten Atome erniedrigt. Wir stellen
uns nun vor, daß wir die einzelnen Atome in einem Gaslaser nach ihren Geschwindigkeiten in axialer
Flugrichtung unterscheiden. Die einzelnen Atomsorten mit der Geschwindigkeit v haben dann jede
für sich eine bestimmte Besetzungszahl N1,v bzw. N2,v im unteren bzw. oberen Zustand.
Multiplizieren wir die Besetzungszahl N2,v , die für alle Atomsorten v gleich groß sein soll, mit der
Maxwell-Geschwindigkeitsverteilung, so erhalten wir ein Profil, wie in Abb 22.4.
Stellen wir uns nun vor, daß das Laserlicht mit einer bestimmten Frequenz ω erzeugt wird, so wird
das Laserlicht nur mit derjenigen Atomsorte v wechselwirken können, die gemäß der Dopplerverschiebung |ω–ω0 +ω0 v/c|<γ gilt, wobei γ der Größenordnung nach die natürliche Linienbreite der
Atome ist. ω0 ist die Übergangsfrequenz des ruhenden Atoms. Aufgrund dieser Wechselwirkung
wird die Zahl dieser speziellen Atomsorte v erniedrigt, d.h. die Zahl der Atome im oberen Niveau
wird abgebaut. Auf diese Weise wird in die ursprünglich ungestörte Besetzungsdichte ein sog. Loch
(vgl. Abb 22.5) gebrannt.
34
Wegen des Laserresonators haben wir es mit einer stehenden Welle zu tun.
Diese denken wir uns in zwei laufende Wellen zerlegt. Die in der einen Richtung laufende Welle ist
dann mit Atomen der Geschwindigkeit v = c (1 – ω/ω0 ), die andere mit Atomen der Geschwindigkeit
v = –c (1 – ω/ω0 ) in Resonanz, wobei v die Geschwindigkeit längs der Laserachse ist. Es werden also
zwei Löcher in die Inversionsverteilung gebrannt. Stimmt die Laserfrequenz ω genau mit der
Frequenz ω0 , des atomaren Übergangs überein, so fallen die beiden Löcher zusammen und es
entsteht ein besonders tiefer Einschnitt. Dies gilt offensichtlich für diejenigen Atome, deren
Geschwindigkeitskomponente v in der Laserrichtung verschwindet, oder, genauer gesagt, für die
|ω0 v/c| < γ ist. Die ausgestrahlte Intensität des Laserlichts hängt natürlich von der Inversion ab. Die
Intensität erfährt somit ein Minimum, wenn das Laserlicht sich genau in Resonanz mit der
Übergangsfrequenz des einzelnen Atoms mit v≈0 befindet. Dieser Effekt wird als "Lamb dip"
bezeichnet. Er wurde übrigens unabhängig und gleichzeitig von Haken und Sauermann theoretisch
vorausgesagt. Mit Hilfe des Lamb dips kann ersichtlich die Lage einer Spektrallinie viel genauer
festgelegt werden, nämlich in der Größenordnung der natürlichen Linienbreite. Allerdings ist diese
Methodik auf Medien beschränkt, die selbst laseraktiv sind. Zudem ist bei dem Lamb dip noch eine
zusätzliche Verbreiterung, die sogenannte Leistungsverbreiterung ("power broadening") im Spiel,
die wir hier jedoch nicht näher diskutieren wollen. Ein entscheidender Fortschritt wurde von
Lethokov vorgeschlagen. Hierbei bringt man zwischen einen der Spiegel und das laseraktive Material
die eigentlich zu untersuchende Substanz in Gasform. Werden die Gasatome, die sich wieder nach
der Maxwellverteilung bewegen, von einem intensiven Laserlichtstrahl getroffen, so absorbieren die
Atome, die gerade die richtige Geschwindigkeit haben, so daß die Bedingung |ω–ω0 +ω0 v/c| < γ
erfüllt ist, das Laserlicht sehr stark. Dadurch geht eine erhebliche Anzahl der Atome in den
angeregten Zustand über, wobei der Grundzustand entleert und damit die Absorption erniedrigt wird.
Wir haben somit ein Loch in die Absorptionslinie gebrannt. Stellen wir uns nun vor, daß das
Laserlicht und die Zentralfrequenz für den atomaren Übergang in Resonanz sind, so ergibt sich das
in Abb. 22.6 dargestellte und erläuterte Bild.
Es entsteht also über der Doppler-verbreiterten Linie eine sehr schmale Linie, deren Breite von der
Größenordnung der natürlichen Linienbreite des zu untersuchenden Materials ist. Im allgemeinen
werden die Frequenzen von Laserlicht und absorbierendem Material nicht exakt übereinstimmen.
Aber auch hier ist dann oberhalb der Doppler-verbreiterten Linie eine scharfe Linie verstärkter
Gesamtemission zu beobachten.
35
Das Schema einer experimentellen Anordnung zeigt Abb. 22.7. Mit Hilfe derartiger Methoden ist es
gelungen, z.B. die (in Abschn. 12.11 erwähnte) Lamb-Verschiebung optisch nachzuweisen. Wir
verweisen diesbezüglich auf das in Abb. 12.24 wiedergegebene Spektrum. Von der besprochenen
Methode gibt es noch eine Reihe von Varianten. Wir müssen jedoch den Leser diesbezüglich auf die
Spezialliteratur verweisen (vgl. Literaturverzeichnis zu diesem Kapitel am Ende des Buches).
Was ist Selbstumkehr?
Wenn sich die Temperatur längs der Beobachtungsrichtung ändert, beispielsweie, wenn ein
zylindersymmetrisches Plasma nicht längs der Achse sondern von der Seite beobachtet wird, oder
das Plasma von einer kalten Randschicht begrenzt wird, wo das Linienprofil schmaler ist als im
Plasmainneren und hohe Teilchendichten zur Absorbtion führen, dann kann es in der Linienmitte zu
einem Einbruch der Spektrallinie kommen, der nichts mit dem Linienprofil im Plasmainneren zu tun
hat.
Kontinuumsstrahlung
Im Plasma werden die Elektronen bei der Streuung an Ionen durch deren Elektrisches Feld
beschleunigt und emittieren und absorbieren Bremsstrahlung. Im Termschema handelt es sich um
Strahlungsübergänge im (quasi)kontinuierlichen Energiebereich oberhalb der
Ionisationsenergie(ff : "frei-frei-Übergänge"). Außerdem rekombinieren freie Elektronen mit
Ionen(fg : "frei-gebunden-Übergänge") und erzeugen dabei kontinuierliche
36
Rekombinationsstrahlung, während der Umkehrprozeß der Photoionisation mit
Strahlungsabsorbtion einhergeht.
Der Emissionskoeffizient der Kontinuumsstrahlung des Plasmas setzt sich deshalb aus den beiden
Anteilen ff und fg zusammen:
ε v (ν ) = ενff (ν ) + ενfg (ν )
Endsprechendes gilt für den Konstinuumsabsorbtionskoeffizienten. Er ergibt sich auch aus dem
Kirchhoffsatz: ε v = LνH a'
mit LνH : spektrale Strahldichte der Hohlraumstrahlung
Die spektrale Strahldichte eines beliebigen Körpers mit der Temperatur T bei der Wellenlänge λ ist
gleich dem Produkt aus Absorbtionsvermögen A bei dieser Temperatur und Wellenlänge und der
schwarz
spektralen Strahldichte Le ,ν
= LνH des schwarzen Körpers bei der selben Temperatur und
Wellenlänge. Der Kirchhoffsche Satz führt also die spektrale Strahldichte auf die eines schwarzen
(
)
Körpers zurück. Le ,ν = A(λ , T ) ⋅ Le,ν
schwarz
Absorbtionsvermögen A(λ , T ) =
absorbiert e Strahlungs leistung
[Bereich: 0..1]
einfallend e Strahlungs leistung
Die wahre Absorbtion alleine würde zu einem Absorbtionskoeffizienten Awahr>Agemessen≡A führen.
Die Berücksichtigung der induzierten Emission ergibt jedoch im LTG den kleineren effektiven
Absorbtionskoeffizienten:

 hν  
  ⋅ Awahr (ν , T )
A(ν , T ) = 1 − exp  −
k
T

B


dL ( x )
Strahlungstransportgleichung : ν
= εν ( x ) − A( x )Lν ( x )
dx
Diese gilt in dieser Form für LTG-Plasmen aus ebenen Schichten jeweils konstanter
Temperatur T(x).
Redistribution: Korrelation zwischen den Frequenzen absorbierter und denen anschließend
emittierter Photonen. Dann würde Lν(ν) mit der spektralen Stahldichte bei anderen Frequenzen ν'
koppeln, was in der Strahlungstransportgleichung nicht vorgesehen ist. Die Berücksichtigung der
Redistribution beim Strahlungsstransport stellt ein Hauptproblem in der Physik der
Sternenatmosphären dar. In LTG-Plasmen mit ihren hohen Stoßraten spielt sie jedoch keine Rolle.
Optische Dicke A⋅d : mit Ausdehnung des Plasmas d
A⋅d << 1 : optisch dünnes Plasma: Kirchhoff-Satz: Lν (ν ; d , T ) = A(ν , T ) d LνH (ν , T ) = εν (ν , T ) d
Dieser Fall liegt vor, wenn Plasma geometrisch geringe Ausdehnung d hat und in einem
Spektralgebiet mit schwacher Absorbtion A beobachtet wird. Die Stoßraten übertreffen hier die
Raten der spontanen Strahlungsemission. Induzierte Emission, Photoanregung und -ionisation
können vernachlässigt werden.
A⋅d >> 1 : optisch dickes Plasma: Lν (ν ; d , T ) = LνH (ν ; T )
Das Plasma emittiert also Hohlraumstrahlung.
(siehe auch am Ende von "Was sagt die Saha-Eggert-Gleichung? " welches auf Seite 11 beginnt)
Bremsstrahlung
nach der Kramers-Formel (auch für Absorbtion von Röntgenstrahlung in Materie) ergibt sich bei
Maxwell-Verteilung der Elektronen für den Emissionskoeffizienten:
ενff ~ z 2
 hν
ne ni
exp  −
k BT
 k BT



mit z : Ladungszahl der Ionen, die in Plasmen mit mehrfacher Ionisation die Größenordung der
Bremsstrahlung bestimmt.
Intensiv ist die Bremsstrahlung in Spektralgebieten mit hν<kBT.
Leistungsdichte
37
Bogenplasmen
Hochenergieplasmen
ca. 150MW/m3
T≈104 K also ca. λ>1µm im Infraroten
3
7
T≈10 K also ca. λ>1nm im Röntgengebiet ca. 1kW/m
Rekombinationsstrahlung
Bei frei-gebunden-Übergängen gibt es zu jedem gebundenen Energieniveau ein
Rekombinationskontinuum, das zu kürzeren Wellenlängen hin an die entsprechende Serie anschließt
(seriengrenzkontinuum). Die Grenzwellenlänge λn =hc/( Ei –En) ist durch die Ionisationsenergie Ei –En
des gebundenen Zustands bestimmt. Zu kürzeren Wellenlängen hin fällt die Intensität in den
Seriengrenzkontinua stark ab.
Die genaue Berechnung der Rekombination kann nur quantenmechanisch erfolgen. Näherungsweise
kann man sich jedoch zu nutze machen, daß sich die Energieniveaus unter der Ionisationsgrnze
häufen und ihre Seriengrenzkontinua überlappen. Außerdem sind die Energieniveaus durch die
Wechselwirkung im Plasma verbreitert, so daß unter der Ionisationsgrenze ein
"quasikontinuierleicher" Bereich entsteht, dessen Ausdehnung zwischen 1-3eV beträgt.
εν ~ Z
fg
2
ne ni 
 − hν  
 
1 − exp 
k BT 
 k BT  
Gesamtkontinuum:
Summe der beiden Kontinuum-Emissionsarten ergibt:
εν ~ Z 2
ne ni
k BT
Elektronendichte zuvor mit Saha-Eggert-Gleichung bestimmen.
Die starke Abhängigkeit des Kontinuum-Emissionskoeffizienten von der Elektronendichte (im
Bereich einfacher Ionisation ~ne2 ) wird zur Messung der Elektronendichte im Plasma ausgenutzt.
Diese Abhängigkeit hat außerdem Bedeutung für die Lichtquellenfertigung. Es werden oft
(Allgemeinbeleuchtung mit Hg- oder Xe-Hochdrucklampen oder Kontinuumslampen für
Sonderzwecke) möglichst große Emissionskoeffizienten des Kontinuums angestrebt:
• möglichst niedrige Temperaturen
• hohe Elektronendichte
Dies erreichbar ist bei:
• hohem Druck
• kleiner Ionisationsenergie der Füllgase (Metalldämpfe, schwere Edelgase)
38
Streuung von Laserstrahlung (Plasmadiagnostik)
Bei heißen Laborplasmen muß die Streustrahlung gegen den Hintergrund der intensiven thermischen
Plasmastrahlung beobachtet werden. Für dichte Plasmen, die langwellige Strahlung reflektieren ist
dies erst möglich, seit mit Lasern intensive, spekektral schmalbandige Lichtquellen zur Verfügung
stehen.
In einer linear polarisierten, ebenen elektromagnetischen Welle der Kreisfrequenz ω0 schwingt ein
ursprünglich ruhendes Elektron in Richtung der elektrischen Feldstärke mit derselben Frequenz wie
die Welle und bildet einen schwingenden Dipol. Das Elektron emittiert elektromagnetische Strahlung
mit wo entsprechend der Dipol-Strahlungscharakteristik auch in andere Richtungen e s, als die
Einfallsrichtung e0 der Welle: Die einfallende Welle wird gestreut. Solange relativistische und
Quanteneffekte vernachlässigbar sind, spricht man von Thomson-Streuung. Der Thomson-Streuquerschnitt (Verhältnis der gestreuten Strahlungsleistung zur einfallenden Energie stromdichte) ist
sehr klein:
σ Th =
8π 2
re = 6,65 ⋅ 10− 29 m 2
3
(re = e2 /(4πε0 mec2 ) = 2.82 * 10–15 m ist der klassische Elektronenradius).
Wird die Streustrahlung einer großen Zahl Ne von Elektronen gemessen, die im beobachteten
Streuvolumen V ganz zufällig (unkorreliert) verteilt sind, so besteht auch keine Korrelation zwischen
den Phasen, mit denen die einzelnen Streuwellen auf einem entfernten Detektor auftreffen, und die
gemessene Strahlungsleistung ist proportional zu Ne = V ne. Damit ist die Bestimmung der
Elektronendichte ne im Streuvolumen V (Ortsauflösung!) möglich.
Bei der Thomson-Streuung von Laserstrahlung an Plasmaelektronen müssen noch die unterschiedlichen Doppler-Verschiebungen von einfallender und gestreuter Strahlung bei einer thermischen
Elektronengeschwindigkeit v beachtet werden. Solange v<<c ist, ergibt sich für die Verschiebung
der Kreisfrequenz ωs , der Streustrahlung gegen die Kreisfrequenz ω0 der einfallenden Welle:
r
r r v
ω s − ω 0 = ω 0 (es − e0 ) ⋅
c
(siehe Abb. 2.51).
Es ergibt sich bei Maxwell-Verteilung der Elektronengeschwindigkeiten für die Streustrahlung ein
Doppler-Gauß-Profil, jedoch mit einer Halbwertbreite, die vom Streuwinkel ϑ abhängt. (Dies ist
zugleich ein Beispiel für die Redistribution von Strahlung sowohl in der Frequenz als auch in der
Richtung.) Durch Messung der Streustrahlung läßt sich also nicht nur die Elektronendichte
bestimmen (gesamte Streustrahlung in eine Richtung), sondern auch die Elektronentemperatur
bzw. die Plasmatemperatur im LTG (Spektrum der Streustrahlung).
Die Thomson-Streuung an Plasmaionen ist wegen der großen Ionenmassen und entsprechend
geringen Ionenbeschleunigungen vernachlässigbar.
Eine Fehlerquelle bei solchen Messungen kann aber die Streuung an gebunden Elektronen in
Atomen (und Ionen) darstellen. Wenn die eingestahlten Photonen eine Energie hω0 haben, die groß
gegenüber der Ionisationsenergie der Atome ist erfolgt die Streuung praktisch wie an freien
39
Elektronen. Ist ω0 erheblich kleiner als die Kreisfrequenz starker Resonanzlinien und auch von jeder
sonstigen Übergangsfrequenzen ωmn deutlich entfernt, liegt Rayleigh-Streuung vor, die außer bei
sehr niedrigem Ionisationsgrad für Laborplasmen gewöhnlich vernachlässigt werden kann, weil ihr
Streuquerschnitt noch kleiner ist als der der Thomson-Streuung.
Für den Fall der Resonanzfluoreszenz jedoch, wenn - zufällig oder beabsichtigt - die Frequenz der
Laserstrhlung nahezu mit einer der eines atomaren Übergangs übereinstimmt, ω0 ≈ ωmn , kann der
Streuquerschnitt um viele Größenordungen über dem Thomson-Streuquerschnitt liegen, so daß schon
bei geringer Dichte der entsprechenden Atome die Thomson-Streuung überdeckt wird. Andererseits
bietet die Beobachtung der Resonanzfluoreszenz eine Möglichkeit zum Nachweis geringer Dichten
von Atomen (etwa Verunreinigungen im Plasma), wenn Laserstrahlung auf eine Übergangsfrequenz
abgestimmt werden kann (Farbstofflaser).
Kinetische Plasmatheorie
Beschreibt kollektive Effekte in Plasmen auf Grund der langen Reichweite der CoulombWechselwirkung der geladenen Teilchen. z.B. Debye-Hückel-Abschirmung. Diese Effekte sind vor
allem für Plasmen in äußeren Magnetfeldern außerordentlich vielfältig und unterscheiden Plasmen
qualitativ von Neutralgasen.
Man betrachte vollionisiertes Plasma, in denen die Teilchen als klassische Punkte betrachtet werden
können, die keine Atome bilden. Der Plasmazustand wird detailiert durch zwei
Verteilungsfunktionen Fk (r,v,t) mit k=e,i beschrieben, die die Informationen zusammenfassen die
sonst durch die Anzahldichten nk und der Geschwindigkeitsverteilung fk beschrieben werden.
Die Kontinuitätsgleichung im Phasenraum (r,v) für Teilchen ohne Wechselwirkung
r ∂ qk r
r r ∂ ∂ r r
v ∂rr + m E A + v × B ∂vr + ∂t  Fk (r , v , t ) = 0

k

(
)
sagt im wesentlichen, daß bei der Bewegung keine Teilchen verlorengehen oder erzeugt werden.
Jede im Plasam auftretende zusätzliche Änderung der Fk muß durch die Wechselwirkung der
Teilchen untereinander zustandekommen:
Die kinetische Geichung
r ∂ qk r
r r ∂ ∂ r r
v ∂rr + m E A + v × B ∂vr + ∂t  Fk (r , v , t ) = 0

k

(
)
enthält auf der rechten Seite zusätzlich den Wechselwirkungs (Stoß-)Term.
Diesen direkt durch Fk auszudrücken ist die grundlegende Schwierigkeit der kinetischen
Plasmatheorie. Während für Neutralgase von Zweierstößen ausgegangen werden kann (BoltzmannGleichung), ist das für Plasmen nicht möglich.
Für den Wechselwirkungsterm werden verschiedene Näherungen mit unterschiedlichen
Gültigkeitsbereichen benutzt, die unterschiedliche kinetische Gleichungen ergeben:
• verallgemeinerte Boltzmann-Gleichung
• Landau-Gleichung
• Balescu-Lenard-Guernsey-Gleichung
• Fokker-Planck-Gleichung
• Krook-Gleichung
• Vlasov-Gleichung
Die Vlasov-Gleichung berücksichtigt nur kollektive Effekte. Es werden nur die mittleren
elektrischen und magnetischen Felder erfaßt, was zu zusätzlichen Feldanteilen in der KontinuitätsGleichung führt.
40
r
r
 r ∂ qk r
r r
∂ ∂ r r
v
+
E
+
E
+
v
×
B
+
B
F (r , v , t ) = 0 (Vlasov-Gleichung)
r
r+
 ∂r m
A
WW
A
WW
∂v ∂t  k

k
(
oder auch
(
(
))
)
∂F r
q r r r ∂F
+ v ⋅ ∇F +
E+v×B ⋅ r =0
∂t
m
∂v
Da die Vlasov-Gleichung ein stoßfreies Plasma in dem Sinne beschreibt, daß eine Wechselwirkung
zwischen Einzelteilchen berücksichtigt ist, kann sie nicht die Relaxation ins Gleichgewicht
beschreiben; in der Tat ist sie reversibel.
Wenn man einen Fokker-Planck-Term auf der rechten Seite der Vlasov-Gleichung einführt, erhält
man eine noch genauere Beschreibung. Diese Gleichung beschreibt dann auch die Stöße in einem
Plasma und kann daher für sehr viele Plasmen angewendet werden. Allerdings ist die Gleichung
dann analytisch wesentlich schwieriger zu behandeln.
Magnetohydrodynamik (MHD)
Aus kinetischen Gleichungen erhält man makroskopische Bewegungsgleichungen, in dem man mit
den Phasenraumdichten Fk geeignete Mittelwerte bildet und deren zeitliche Änderung berechnet. Da
für charakteristische Werte kleiner Volumenelemente hohe Stoßraten notwendig sind, geht man i.a.
von LTG aus. Auf diese Weise gelangt man für ein Plasma zur Magnetohydrodynami (MHD) einer
Hydrodynamik für elektrisch leitende Fluide. Einfach als auf die Beschriebende Weise lassen sich
die Gleichungen der MHD vielfach auch aus denen der Hydrodynamik und Elektrodynamik
zusammenstellen.
Man erhält die Gleichungen der MHD:
• Kontinuitätsgleichung
• Bewegungsgleichung
• verallgemeinertes Ohmsches Gesetz
• Maxwell-Gleichungen
r
Was fehlt, ist das Poisson-Gesetz ε 0∇ ⋅ E = e(ni − ne ) , weil es die einzige Gleichung ist, in der die
Ladungsdichte noch auftritt, die überall sonst vernachlässigt werden kann. Im Rahmen der MHD
kann das Poisson-Gesetz als Definition der sonst nicht benötigten Ladungsdichte aufgefaßt werden.
Das Plasma wird als Mischung einer "Ionenflüssigkeit" und "Elektronenflüssigkeit" betrachtet.
Hydrodynamik-Gleichungen, wie Kontinuitätsgleichung (Massentransport) und
Bewegungsgleichung (Impulstransport können übernommen werden.
Aus der Elekrodynamik wird z.B. die Lorentz-Kraftdichte qk nk (E+v k ×B) übernommen.
∂ρ
r
+ ∇ ⋅ ρv = 0
∂t
mit Massendichte des Plasmas: ρ = ρ i + ρ e
r
r
r ρi vi + ρe ve
und Stömungsgeschwindigkeit: v =
ρ
r
r r
∂v
Bewegungsgleichung der MHD: ρ
= −∇p + j × B
∂t
Kontinuitätsgleichung der MHD:
Da man jedoch j jetzt nicht mehr druch ρ und v ausdrücken kann wie für Elektronen- und
Ionenkomponente allein, braucht man eine zusätzliche Gleichung für j:
Das verallgemeinerte Ohmsche Gesetz der MHD:
r
r
 r r r
me ∂j 
1 r r
1
j =γ E +v×B −
j×B+
∇p − 2
en
2en
e n ∂t 

(
)
mit γ : elektr. Leitfähigkeit
Der erste Term rechts entspricht dem üblichen Ohmschen Gesetz für bewegte Leiter; die übrigen
Terme werden in einfachster Näherung häufig vernachlässigt. Der j×B-Term ergibt einen Hall41
Strom. Der Druckgradient treibt einen Diffusionsstrom. Der letzte Term beruht auf
Trägheitseffekten.
Schließlich noch die Verbindung zum Druck:
p = const ⋅ ρ κ mit κ=cp /c V, Division der beiden spezifischen Wärmekapazitäten
κ=5/3 für ein ideales vollinonisiertes Plasma.
Wellen im Plasma
Durch das Zusammenwirken von Trägheitskräften, Druckgradienten und elektro-magnetischen
Kräften kann sich im Plasma eine Vielzahl von Wellen ausbilden. Durch ein äußeres Magnetfeld
wird ein Plasma zu einem anisotropen Medium, bei dem die Wellenausbreitung senkrecht zum
Magnetfeld alnders erfolgt als parallel dazu. Es treten auch sog. Hybridwellen auf, die weder rein
longitudinal noch rein transversal sind.
Wellen als typisch kollektive Erscheinung können näherungsweise mit Hilfe der Vlasov-Gleichung
oder der Magnetohdrodynamik untersucht werden.
Elektronenplasmaschwingungen
Für longitudinale Wellen mit E||k ist
e 2ne
Plasmafrequenz: ω p =
ε 0 me
Wenn ωp von der entsprechenden Ionenfrequenz mit mi und ni unterschieden werden muß, spricht
man genauer von Elektronen-Plasmafrequenz ωpe.
Longitudinale Wellen sind danach mit ω=ωp für jeden Wellenvektor k möglich. Ihre
Gruppengeschwindigkeit ist vgr=dω/dk=0. Das zeigt, daß es sich nicht eigentlich um Wellen handelt,
die sich ausbreiten, sondern um stationäre Schwingungen.
(Eine Dämpfung tritt bei der verwendeten einfachen Nherung nicht auf, ergibt sich aber bei endlicher
Leitfähigkeit γ. Eine nichtverschwindende Gruppengeschwindigkeit hätten wir bei Berücksichtigung
der Druckkraft im Ohmschen Gesetz erhalten.
Diese Plasmaschwingungen beruhen darauf, daß bei jeder Abweichung von der Ladungsneutralität
starke elektrische Kräfte wirken. 1/ωp charaktersisiert die Zeit, in der ein Plasma auf eine Störung
reagiert, d.h. in der eine Störung im wesentlichen abgeschirmt wird.
Elektromagnetische Wellen
Für transversale Wellen ist E⋅k=0, so daß sich die Dispersionsrelation c2 k2 =ω2 –ωp 2 ergibt. Es handelt
sich um elektromagnetische Wellen.
Im Plasma kann sich eine elektromagnetische Welle nur ausbreiten, wenn ω>ωp ist. Für ω<ωp
wird k imaginär und die Welle ist räumlich exponentiell gedämpft. In diesem Fall sind die
Elektronen in der Lage, das niederfrequente elektrische Feld der Welle abzuschirmen, während sie
immer höherfrequenten Feldern immer schlechter folgen können. Trifft eine Welle mit ω<ωp von
außen auf ein Plasma, so wird sie reflektiert. Dies bietet eine Möglichkeit zur Elektronendichtebestimmung.
Die Phasengeschwindigkeit der elekromagnetischen Wellen im Plasma ist
v ph =
ω
c
=
> c (!!!)
2
k
1 − (ω p / ω )
Damit ist die Brechzahl des Plasmas
2
ω 
c
n=
= 1 −  p  < 1
v ph
ω 
(!!!).
42
Die Gruppengeschwindigkeit
v gr = dω / dk ist immer kleiner als c, wie es sein muß, denn es gilt
v phvgr = c 2 .
e 2 ne
ne
Erinnerung: ω p =
=
⋅ 56,4s −1
ε 0 me
m −3
Die Abhängigkeit der Brechzahl von der Plasmafrequenz und damit von der Elektronendichte ermöglicht die
Messung der Elektronendichte mit Strahlung der Kreisfrequenz ω>ωp :
Faraday-Rotation
Wir haben bisher ein magnetfeldfreies Plasma zugrundegelegt. In einem homogenen Magnetfeld B
hat ein Plasma nicht nur unterschiedliche Brechzahlen für elektromagnetische Wellen, die sich
parallel bzw. senkrecht zum Magnetfeld ausbreiten. Auch für Wellen in Richtung des Magnetfelds
gibt es unterschiedliche Brechzahlen für die beiden zirkularen Polarisationen, das Plasma ist
doppelbrechend. Dieser Unterschied rührt daher, daß die Elektronen eine Kreisbewegung um die
Magnetfeldlinien vollführen und bei linkszirkularer (L) Polarisation das elektrische Feld in derselben
Richtung umläuft wie die Elektronen, bei rechtszirkularer (R) Pola risation entgegengesetzt. (Dies ist
die übliche Benennung der Polarisationen in der Optik. In der Plasmaphysik ist auch die umgekehrte
Benennung weitverbreitet.)
In den Brechzahlen tritt jetzt neben der Plasmafrequenz ωp die Gyrationsfrequenz ωc=eB/me der
Elektronen auf:
n R, L = 1 −
ω 2p / ω 2
1 ± ωc / ω
Wird ein Plasma längs eines Magnetfeldes mit einer linear polarisierten Welle durchstrahlt, so tritt
wegen der unterschiedlichen Phasengeschwindigkeit eine Phasenverschiebung zwischen R- und LKomponente auf, die zu einer Drehung der linearen Polarisierung um einen Winkel α führt.
α=
ω 2pω c d
2cω 2
=
e 3 ne Bd
2ε 0cme2 ω 2
Magnetfeld bekannt
Elektronendichte bekannt
=> Messung der Elektronendichte
=> Messung des Magnetfelds.
Plasmen in Magnetfeldern
Zum Verständnis der vielfältigen Eigenschaften in äußeren Magnetfeldern können zwei
Modellvorstellungen dienen:
43
Magnetohydrodynamik
Einzelteilchenmodell
große Anzahldichten entsprechend
hohe Stoßraten =>
Beschreibung als elektrisch leitende
Flüssigkeit.
niedrige Dichten und entsprechend niedrige
Stoßraten =>
Verhalten läßt sich weitgehend aus
Betrachtung der Bahnkurven einzelner
Teilchen im Feld verstehen.
Einzelteilchenmodell:
Gyration im homogenen Magnetfeld
Gyrations-Radius: rc =
mv⊥
qB
Gyrations- (auch: Zyklotron-) Frequenz: ω c =
q
B d.h. unabh. von der Geschwindigkeit!
m
Für Elektronen hängt der Umlaufsinn mit der "Rechte-Hand-Regel" mit dem Magnetfeld zusammen.
Sowohl für Ionen wie auch für Elektronen erzeugt der Kreisstrom der Gyration ein Magnetfeld, das
dem äußeren Magnetfeld B entgegengerichtet ist: Plasmen sind diamagnetisch.
In einem homogenen statischen Magnetfeld ist die Bewegung der geladenen Teilchen an die
Magnetfeldlinien gebunden. Nur Stöße führen zu einem Teilchentransport senkrecht zu den
Feldlinien.
Driftbewegungen
E×B-Drift: Beim Zusammenwirken homogener statischer elektrischer und magnetischer Felder kann
man die Bewegungsgleichung
r
r r r
dv
m
= q E +v×B
dt
(
)
für ein Teilchen lösen, indem man in ein Bezugssstem übergeht, das sich mit der konstanten
Geschwindigkeit
r r
E×B
vdr =
B2
gegen das usrsprüngliche Bezugssystem bewegt.
44
Für die Geschwindigkeit u=v–v dr ist die Bewegungsgleichung:
r r
r
du
E⋅B r
r r
m
= q 2 B + qu × B
dt
B
r
r
In der Ebene senkrecht zu B bewirkt die Kraft q u × B die bereits diskutierte Gyrationsbewegung.
Die Driftgeschwindigkeit ist von der Teilchenladung, -masse und -geschwindigkeit undabhängig. Sie
führt desahlb nicht zu einer Ladungsrennung oder zu einem elektrische Strom. Das ist anders, wenn
statt der elektrischen Kraft qE eine andere Kraft F wirkt, etwa die Schwerkraft mg, die nicht zur
r r
F ×B
Teilchenladung proportional ist. Dann ist die Driftgeschwindigkeit allgemeiner vdr =
.
qB 2
Adiabatische Invarianz des magnetischen Moments
Der KReisstrom, den ein im Magnetfeld gyrierendes geladenes Teilchen darstellt, hat die
Stromstärke
I=
qωc
2π
und umfaßt die Fläche
A = π rc2 .
1 2
mv⊥ W
Sein magnetisches Moment ist: µ m = IA = 2
= ⊥
B
B
wobei W⊥ die kinetische Energie der Gyration bezeichnet.
Es gilt auch bei langsamen Driftbewegungen:
dµ m
=0
dt
d.h. das magnetische Moment ist eine adiabatische Invariante, solange B nicht sehr klein wird
(dann werden rc und τc sehr groß). Diese Tatsache läßt sich beim magnetischen Einschluß ausnutzen.
Plasmaeinschluß durch magnetische Felder
Wir betrachten
• magnetischer Spiegel (Einzelteilchenmodell)
In einem inhomogenen Magnetfeld, dessen Gradient parallel zur Magnetfeldachse steht, findet
eine Umwandlung longitudinaler Bewegungsenergie in Rotationsenergie statt.
Die Invarianz des magnetischen Moments ber Gyrationsbewegung hat – zusammen mit der
Erhaltung der kinetischen Energie bei Bewegung in einem Magnetfeld – die Konsequenz, daß
ein geladenes Teilchen auch längs der Magnetfeldlinien aus einem Bereich schwächeren
Magnetfelds B0 nicht in Bereiche beliebig starken Magnetfelds Bmax vordringen kann. Einserseits
ist bei der Bewegung die kinetische Energie W=W|| + W⊥ konstant
(W|| : kinetische Energie der Bewegung (des Führungszentrums) längs der Feldlinie;
W⊥ : kinetische Energie der Gyrationsbewegung)
andererseits auch µm=W⊥ /B.
Mit zunehmendem B muß auch W⊥ auf Kosten von W||.
Wenn µm(B max–B0 ) > W||,0 ist, so ist W|| schon vor Erreichen von B max "verbraucht", und das
Teilchen läuft längs der Feldlinie zurück in den Bereich schwächeren Magnetfeldes, wo es jetzt
beschleunigt wird.
45
Ein magnetischer Spiegel reflektiert allerdings nicht perfekt:
Alle Teilchen ohne Geschwindigkeitskomponente senkrecht zum B-Feld (µm=0) können einfach
hindurchtreten.
Ebenso gilt dies für Teilchen auf der Achse, deren Geschwindigkeitsvektoren innerhalb des
Verlustkegels mit dem halben Öffnungswinkel α = arcsin B0 / Bmax um die Achse liegen.
Es kommt also nicht auf den absolutbetrag des Impulses oder magnetischen Momentes an,
sonder auf den Winkel zwischen Magnetfeldrichtung und Teilchenimpuls, den sog. Pitchwinkel.
Bmax/B0 bezeichnet das Spiegelverhältnis . Wird es größer, so wird der Durchlaßwinkel kleiner,
es wird mehr reflektiert.
Durch den Spiegeleffekt können Ionen in einem zylindrischen, inhomogenen Magnetfeld
eingeschlossen werden.
•
magnetischer Druck (Magnetohydrostatik)
Magnetostatik: alle Zeitableitungen und Geschwindigkeiten gleich Null.
dann gilt insbesondere:
r r
∇p = j × B
Die magnetische Lorentzkraft hält dem Druckgradienten das Gleichgewicht. Wo immer ein
Druckgradient ist muß auch ein Magnetfeld vorhanden sein. Im Gleichgewicht liegen die
Stromlinien und Magnetfeldlinien auf Isobaren (Flächen konstanten Drucks).
Weil die Größe B2 /(2µ0 ) ebenso wirkt wie der hydrostatische Druck, heißt sie magnetischer
Druck. Als Spezeialfall gilt für gerade, parallete Feldlinien, wo sich das Magnetfeld nur
B2
senkrecht zu B ändern kann: p +
= const .
2µ0
Das kann (theoretisch) zur Begrenzung des Plasmas durch ein Magnetfeld genutzt werden. Am
einfachsten in der Konfiguration der folgenden Abbildung 2.57:
An der Grenzfläche x=0 hält der magnetische Druck dem Teilchendruck das Gleichgewicht.
Dazu muß in der Grenzfläche ein homogener Oberflächenstrom senkrecht zum Magnetfeld
46
fließen, das das Plasmainnere gegen das äußere Magnetfeld abschirmt. Es ist die magnetische
Lorentz-Kraft auf diese stromführende Grenzschicht, die zum Gleichgewicht führt.
Pinchgleichgewicht, Bennett-Gleichung
Realistischer als die Konfiguration in Abb 2.57, sind konfigurationen mit Zylindersymmetrie um
die z-Achse.
Dabei soll in der Plasmasäule der Teilchendruck p=p(r) herrschen und parallel zur Achse ein
Strom mit der Gesamtstromstärke I0 und der Stromdichte j=jz(r) fließen (z-Pinch), der ein rein
azimutales Magnetfeld Bϑ(r) erzeugt. Dieses von ihr selbst erzeugte Magnetfeld kann die
Plasmasäule zusammenhalten, ohne daß äußere Magnetfelder wirken.
Die sog. Bennett-Gleichung gibt an, welcher Gesamtstrom I0 ein Plasma vorgegebener
Temperatur und Länge zusammenhalten kann. I0 ~ T.
Ist der Plasmastrom größer als I0 nach der Bennett-Gleichung, so komprimiert der zu große
magnetische Druck das Plasma (Pincheffekt).
Einleuchtend ist natürlich ein Ringstrom praktisch zu realisieren.
Kernfusionsplasmen siehe Extrazusammenfassung
Lose Fragen – Querbeet
Beispiel für Plasmen in der Natur
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Neonröhre
Blitz
Raketenabgase
van Allen Strahlungsgürtel
Nordlichter
Sonnenwind
Sonnen Corona
Sonne / Sterne
Interstellares Gas
47
Abgrenzung: Ionisiertes Gas vs. Plasma
A Plasma is a quasineutral gas of charged and neutral particals which exhibits collective behaviour.
(Chen)
d.h. wenn die Ladung der Träger die Eigenschaften wesentlich beeinflußt spricht man von Plasma.
Methoden der Plasmadiagnostik
passive Diagnoseverfahren:
1. Älteste Plasma-Spektroskopie: Sonnenspektren (Fraunhofer-Linien, d.h. Absorbtion an den
Elementlinien ⇒ Vorhersage der Elemente in den äußeren Sonnenschichten)
2. Kontinuumstrahlung
Die starke Abhängigkeit des Kontinuum-Emissionskoeffizienten von der Elektronendichte (im
Bereich einfacher Ionisation ~ne2 ) wird zur Messung der Elektronendichte verwendet.
Der Emissionskoeffizient des Gesamtkontinuums ist frequenzunabhängig:
ενKont. = C ⋅ Z 2
ne ni
(Kramers-Formel)
k BT
nichtpassive Diagnoseverfahren:
1. Streuung oder Durchgang von Laserstrahlung
• Thomson-Streuung
Streuung an freien Elektronen im Plasma.
(Bergmann-Schäfer Vielteilchensysteme Seite 174)
In einer linear polarisierten, ebenen elektromagnetischen Welle der Kreisfrequenz ω0
schwingt ein ursprünglich ruhendes Elektron in Richtung der elektrischen Feldstärke mit
derselben Frequenz wie die Welle und bildet einen schwingenden Dipol. Das Elektron
emittiert elektromagnetische Strahlung mit wo entsprechend der DipolStrahlungscharakteristik auch in andere Richtungen e s , als die Einfallsrichtung e 0 der Welle:
Die einfallende Welle wird gestreut. Solange relativistische und Quanteneffekte
vernachlässigbar sind, spricht man von Thomson-Streuung. Der Thomson-Streuquerschnitt
(Verhältnis der gestreuten Strahlungsleistung zur einfallenden Energie stromdichte) ist sehr
klein:
σ Th =
8π 2
re = 6,65 ⋅ 10− 29 m 2
3
(re = e2 /(4πε0 mec2 ) = 2.82 * 10–15 m ist der klassische Elektronenradius).
Die gemessene Strahlungsleistung ist proportional zu V⋅ne. Damit ist die Bestimmung der
Elektronendichte ne im Streuvolumen V (Ortsauflösung) möglich.
Wird noch die Doppler-Verschiebung von einfallender und gestreuter Strahlung bei einer
thermischen Elektronengeschwindigkeit v betrachtet, kann man auch die
Elektronentemperatur bestimmen. Solange v<<c ist, ergibt die Verschiebung der
Kreisfrequenz ωS der Streustrahlung gegen die Kreisfrequenz der einfallenden Welle ω0 :
r
r r v
ω S − ω 0 = ω 0 (eS − e0 ) ⋅
c
r r
Wegen eS − e0 = 2 sin (ϑ / 2 ) ergibt sich bei Maxwell-Verteilung der
Elektronengeschwindigkeiten für die Streustarhlung in Dopler-Gauß-Profil mit einer
Halbwertsbreite die vom Streuwinkel ϑ und von der Elekrtonentemperatur abhängt.
∆ω1/ 2 = 4ω 0 sin (ϑ / 2)
2k BT ln 2
me c 2
48
•
•
•
=>Elektronendichte mit Ortsauflösung + Elektronentemperatur bzw. die Plasmatemperatur
im LTG (Spektrum der Streustrahlung). Solche Messungen werden vor allem an
Kernfusionsplamen heute routinemäßig mit Rubinlasern durchgeführt.
Die Thomson-Streuung an Plasmaionen ist wegen der großen Ionenmassen vernachlässigbar.
Beobachtung der Resonanzfluoreszenz
Für den Fall der Resonanzfluoreszenz, wenn die Frequenz der Laserstrahlung nahezu mit der
eines atomaren Überganges übereinstimmt kann der Streuquerschnitt um viele
Größenordungen über dem Thomson-Streuquerschnitt liegen, so daß schon bei geringer
Dichte der entsprechenden atome die Thomson-Streuung überdeckt wird. Dies bietet eine
Möglichkeit zum Nachweis geringer Dichten von Atomen (etwa Verunreinigungen im
Plasma), wenn Laserstrahlung auf eine Übergangsfrequenz abgestimmt werden kann
(Farbstoff-Laser).
Reflexion von el.-mag. Wellen an der Grenze der Plasmafrequenz ωp
=> Elektronendichte
Die spektroskopische Plasmadiagnostik nutzt die Temperaturabhängigkeit der
Emissionskoeffizienten zur Temperaturmessung an LTG-Plasmen. Dazu wird die
Plasmaoberfläche (Bergmann S. 158)
Was ist eine Zustandssumme?
 E 
Z (T ) = ∑ g m exp  − m 
m
 k BT 
genaueres siehe unter "Was sagt die Saha-Eggert-Gleichung? " Seite 11
Was ist die Plasmafrequenz welche Bedeutung hat sie?
siehe auch "Was ist die Quasineutralitätsbedingung? " Seite 10 und
"Wellen im Plasma" Seite 42.
Unvermeidlich sind in hohen Magnetfeldern auch Verluste durch die Zyklotronstrahlung vor allem
der Elektronen bei ihrer (beschleunigten!) Gyrationskreisbewegung um die Magnetfeldlinien. Diese
Strahlung wird allerdings weitgehend wieder im Plasma absorbiert, wenn die Plasmadichte so hoch
ist, daß die Plasmafrequenz über der Gyrationsfrequenz liegt.
Gastemperatur T g
Temperatur von Ionen und Atomen, die wegen der praktisch gleich großen Masse und des hohen
Austausch-Querschnitts untereinander näherungsweise eine Temperatur Tg haben. Diese
Gastemperatur liegt i.a. unter der Elektronentemperatur Te. Damit Te nur geringfügig über Tg liegt,
dürfen die Elektronen im elektrischen Feld E der Entladung (Aufheizprozeß in einer Gasentladung)
49
ihre mittlere kinetische Energie 3/2k BT zwischen zwei Stößen nur geringfügig steigern, d.h.
eEλe<<kBTe; mit λe : mittlere freie Weglänge der Elekronen
Te − Tg
Te
m
~ i
me
 Eλe 


 Te 
2
In Hochdruckentladungen kann Te um einige Prozent größer sein als Tg .
Äquipartitionstheorem oder Gleichverteilungssatz, Wärmekapazität
Das Äquipartitionstheorem schreibt den Freiheitsgraden eines Systems gleiche Bedeutung bei der
Energieaufnahme zu.
So wird die Wärmeenergie statistisch gleichwertig auf die Freiheitsgrade verteilt. Jeder Freiheitsgrad
besitzt im Mittel die gleiche Energie.
In klassischer Näherung ist, gemäß dem Äquipartitionstheorem, die mittlere Energie pro Teilchen
1
k BT pro "angeregtem" Freiheitsgrad.
2
cp
2
Das Verhältnis κ =
= 1+
wird mit mehr Freiheitsgraden immer kleiner.
cV
f
gleich
Die Schallgeschwindigkeit cs eine Fluids ist c s = κ
mit κ =
K
mn
cp
, Kompressionsmodul K=K(T), beim idealen Gas: K=–nkBT.
cV
c p − cV =
T 2
T p2 β 2
α K=
>0
mn
mn K
Für ein ideales Gas ist wegen K=p=nkBT, α=β=1/T:
c p − cV =
kB
m
Kriterium für Teilchendichte/Stoßrate, ab der Strahlungseffekte vernachlässigbar sind!?
siehe Schlagwort optisch dünn
am Ende von "Was sagt die Saha-Eggert-Gleichung? " was auf Seite 11 beginnt
und "Kontinuumsstrahlung" was auf Seite 36 beginnt.
Stoßratenkriterium fehlt noch.
stoßbestimmte Plasmen:
Stoßraten übertreffen die Raten der spontanen Strahlungsemission um wenigstens einen Faktor 10.
Wegen der fehlenden Photoanregung wird dann die Gleichgewichtsbesetzung der angeregten
Niveaus nur durch Stöße erzwungen. Unter dem Einfluß der Strahlungemission allein würden alle
Ionen und Elektronen schnell zu Neutralatomen rekombinieren und alle Atome in den Grundzustand
übergehen. siehe auch "Kriterium für Teilchendichte/Stoßrate, ab der Strahlungseffekte
vernachlässigbar sind!?" (oben)
50
Plasmaparameter g?
g=
1
3
ne λ D
Für ein ideales Plasma ist g<<1
Wie ändert sich die Dichte n mit wachsender Temperatur?
siehe Grafik und Text in "Was sagt die Saha-Eggert-Gleichung? " Seite 11
Vergleich Dichte von Luft und Plasmadichte
nLuft =2,4⋅1025 m–3
kBTLuft =2,5⋅10–2 eV
1eV=11604K
Der zu erwartende Ionisierungsgrad nach der Saha-Gleichung ist bei T=300K extrem klein:
n Ionen
n
≈ Ionen ≈ 10−122
nIonen + n Luft nLuft
Wenn die Temperatur erhöht wird, bleibt der Ionisationsgrad gering bis Ui (=14,5eV für Stickstoff)
nur noch einige male größer als kBT ist.
Für die Einordnung der Luftdichte siehe die Grafik unter "Plasmenklassifikation" Seite 9.
Wiso befindet sich der weitaus überwiegende Teil der uns bekannten Materie im Weltall im
Plasmazustand?
In den Sternen sind Plasmen, ebenso in der Corona. Aber auch das interstellare Gas liegt in
Plasmaform vor, denn es hat eine sehr geringe Dichte ni (ca. 1 Teilchen je cm3 ) und daher eine sehr
geringe Rekombinationsrate. Ist ein Atom erst einmal ionisiert, bleibt es geladen bis es mit einem
Elektron rekombinieren kann. Die Rekombinationsrate hängt von der Dichte der Elektronen ab. Die
Gleichgewichtsionendichte sollte also mit ni fallen.
Verschiedene Beschreibungsmethoden von Plasmen
Ein-Teilchen-Bewegung
Es wird die Bewegung von geladenen Teilchen in Magnetfeldern, in elektrischen Feldern und im
Gravitationsfeld betrachtet. Sowohl natürlich als auch im Labor erzeugte Plasmen befinden sich
häufig in starken äußeren Magnetfeldern. Das liegt daran, daß diese Felder die Bewegung geladener
Teilchen (und auch von Plasmen) zumindest in der Richtung senkrecht zum Magnetfeld begrenzen.
Magnetische und elektrische Felder werden auch durch Ströme und Ladungshäufungen innerhalb
von Plasmen erzeugt. Also muß man die Dynamik der Bewegung geladener Teilchen in solchen
Feldern verstehen, um die Dynamik von Plasmen zu begreifen.
Plasmen als Flüssigkeit
Eine andere Möglichkeit zur Beschreibung der Bewegung geladener Teilchen in elektrischen und
magnetischen Feldern bietet das Modell der leitfähigen Flüssigkeit. Bereits mit Anfängerkenntnissen
der Hydrodynamik können wir die Kontinuitätsgleichung und die Impulsbilanzgleichung aufstellen.
Um sie auf ein Plasma zu übertragen, müssen wir sie an eine elektrisch geladene und stromführende
Flüssigkeit anpassen. Wir müssen dabei elektrische und magnetische Kräfte berücksichtigen. Das
führt uns zu den Gleichungen der Magnetohydrodynamik. Die Flüssigkeitsbeschreibung ist
51
hinreichend genau, um die meisten makroskopischen (d.h. großskaligen) Plasmaphänomene, die
normalerweise auftreten zu beschreiben; z.B. die meisten Instabilitäten- und Wellenphänomene. Man
geht von Maxwell-Verteilung der Geschwindigkeiten f(n,T) aus, da in einer Flüssigkeit Stöße häufig
genug sind, daß sich diese einstellt. => MHD
Kinetische Theorie
Die Weiterentwicklung der Betrachtung von Plasmen als Flüssigkeiten berücksichtigt zusätzlich die
Geschwindigkeitsverteilungsfunktionen für die unterschiedlichen Teilchensorten. Dadurch werden
insbesondere Eigenschaften beschreibbar, die Plasmen mit geringer Stoßfrequenz auftreten. =>
Vlasov-Gleichung.
Stöße zwischen den Teilchen sind in Plasmen bei hoher Temperatur so selten, daß man sich fragen
kann, weshalb man nicht zur Beschreibung aller Eigenschaften dieser Plasmen auf die kinetische
Theorie zurückgreifen muß. Warum funktioniert das Flüssigkeitsmodell überhaupt? Der Grund dafür
ist, daß ein starkes Magnetfeld die Rolle der Stöße bei der Einstellung einer Maxwell-Verteilung
übernehmen kann und den für eine Beschreibung als Flüssigkeit nötigen Trend zur Lokalisation
herbeiführt.
52
Rayleigh-Taylor-Instabilität
Siehe
Auch wenn es ein magnetohydrodynamisches Gleichgewicht gibt, d.h. Druckgradienten werden
durch die magnetischen j×B-Kräfte ausgeglichen, kann eine Instabilität zu einer spontanen
Erzeugung von E-Feldern und damit zu einer Ströungsgeschwindigkeit u führen. Selbst wenn das
Plasma nur schwach gestört wird, kann diese Bewegung das Magnetfeld deformieren und dadurch
Kräfte hervorrufen, die die ursprüngliche Störung verstärken. Dieses Phänomen wird als
magnetohydrodynamische(MHD)-Instabilität bezeichnet.
Die wichtigste MHD-Instabilität ist wohl die Rayleigh-Taylor- (oder Gravitations-) Instabilität. In
der normalen Hydrodynamik kommt es zu einer Raylaeigh-Taylor-Instabilität, wenn eine Schicht mit
größerer Dichte über einer Schicht mit geringerer Dichte liegt. Die Grenzfläche wird zuerst wellig
und dann kann die dichtere durch die weniger dichte Flüssigkeit nach unten "fallen". Da die
Gravitation in der Plasmaphysik nur von geringer Bedeutung ist, scheint diese Art von Instabilität
zunächst nicht besonders wichtig zu sein. In einem gekrümmten Magnetfeld entsteht jedoch wegen
der Bewegung der Teilchen längs der Feldlinien eine Zentrifugalkraft, die wie eine Gravitationskraft
wirkt. Daher ist die Rayleigh-Taylor-Instabilität in solchen Magnetfeldern von Bedeutung.
Weiteres siehe Goldston Kapitel 19 Seite 250.
Kirchhoff'sche Regel, Krichhoff-Planck-Funktion
Emissionsv ermögen eines Körpers
= Kirchhoff - Plank - Funktion = f (ν )
Absorbtion svermögen eines Körpers
Diese hängt nur von ν ab, aber nicht von der Materie
Strahlungsgürtel, Van-Allen-Gürtel
torusförmige Zone um einen Planeten, in der elektrisch geladene Teilchen durch das Erdmagnetfeld
eingefangen sind und zw. dem magnet. N- und S-Pol hin- und herpendeln. Die Flugdauer der
Teilchen von Pol zu Pol beträgt dabei etwa 0,1–3 s. Der erste Strahlungsgürtel wurde 1958 von J. A.
van Allen aus Messungen des amerikan. Erdsatelliten Explorer 1 entdeckt. Er besteht aus zwei
Bereichen, die sich rund 1000–6000km bzw. 15000–25000km über dem Erdäquator befinden. Zu
den geomagnet. Polen hin verringert sich die Höhe der Strahlungsgürtel; auf der sonnenzugewandten
Seite ist sie etwas geringer als auf der sonnenabgewandten. Weitere Veränderungen ergeben sich aus
der Sonnenaktivität. Die elektrisch geladenen Teilchen, meist Protonen und Elektronen, stammen aus
dem Sonnenwind und der kosmischen Strahlung oder deren Sekundärprodukten. In den dichtesten
Teilen des irdischen Strahlungsgürtel bewegen sich durch eine Fläche von 1cm2 etwa 50000
Teilchen. Künstliche, vorübergehende Strahlungsgürtel um die Erde wurden 1958-62 durch
Atombombenexplosionen erzeugt. V.a. die im August/September 1958 und am 9.7.1962
53
stattgefundenen Explosionen führten zu einem Gürtel, der mehrere Jahre bestand. Danach wurden
Atombombenexplosionen in der Atmosphäre durch ein internat. Abkommen verboten.
Der Strahlungsgürtel ist Plasma.
Energiereiche Teilchen pendeln zwischen den Bereichen mit großer Feldstärke an Nord- und Südpol
hin und her. Dabei präzedieren sie langsam um die Erde und gelangt, trotz der Sonnenwindverzerrung des Magnetfeldes, wieder auf ca. der gleichen Höhe an seinen Startpunkt zurück. Ohne die
Hilfe beispielsweise einer Störung mit geringer räumlicher oder zeitlicher Ausdehnung kann das
Teilchen den Van Allen-Gürtel nicht verlassen. Das erklärt die Stabilität dieser Strahlungsgürtel.
Ionosphäre : Teil der Atmosphäre, in dem Elektronen und Ionen in solchen Mengen vorkommen,
daß die Ausbreitung von Radiowellen beeinflußt wird. Die Ionosphäre reicht von etwa 60km
Höhe bis an die Grenze der Erdatmosphäre. (Auch andere Planeten, wie Mars und Venus,
besitzen Ionosphäre.
Sie entsteht durch extraterristrische Strahlung. Wichtigste Quelle ist das Sonnenlicht im UV- und
Röntgenbereich.
Tagsüber bildet sich ein Gleichgewicht zwischen Produktion und Verlust aus, nachts entfällt die
Ionisation durch Sonnenstrahlung.
Entsprechend ihrem versch. Verhalten wird die Ionosphäre in Gebiete oder Schichten eingeteilt.
Die D-Schicht reflektiert bei Tag und Nacht Lang- und Längstwellen und dämpft tagsüber
Mittelwellen und Kurzwellen. Die E-Schicht reflektiert nachts die Mittelwellen und tags die
längeren Kurzwellen. Zeitweise tritt die "sporadische" oder Es-Schicht auf, die gelegentlich
Kurzwellen bis herunter zu 10m Wellenlänge reflektiert. Die F-Schicht ist für die
Kurzwellenausbreitung am wichtigsten. Alle Schichten zeigen als Folge der kurzwelligen
Sonnenstrahlung regelmäßige Veränderungen mit der geograph. Position, der Tages- und
Jahreszeit und dem elfjährigen Zyklus der Sonnenaktivität. – Die Ionosphäre besitzt große Bedeutung für den Funkverkehr, da durch Refle xion der sich gradlinig ausbreitenden Radiowellen
an der Ionosphäre auf der kugelförmigen Erde Verbindungen über große Entfernungen möglich
sind.
Schicht Höhe / km
Tageszeit
n e,max
D
60–85
tagsüber
unter 104
E
85–140
ganztägig
105
F1
140–200
tagsüber
3⋅105
F2
über 200
ganztägig
5⋅105
Störungen der Ionosphäre, die sich u. U. stark auf den Funkverkehr auswirken, entstehen z. T.
durch Zunahme der kurzwelligen solaren Strahlung bei Sonneneruptionen, wie der MögelDellinger-Ef fekt, der wenige Minuten bis eine Stunde andauert. Dabei nimmt die Elektronendichte in der D und E-Schicht durch verstärkte UV- und Röntgenstrahlung und damit die
Absorption der Kurzwellen erheblich zu. Bei den Protonenstürmen dringen schnelle solare
Protonen (bis zu 1/3 Lichtgeschwindigkeit) in die Polarkappen, in seltenen Fällen auch in
mittleren Breiten bis zu Höhen von 30 km ein und erhöhen die Elektronendichte und Absorption
der Kurzwellen. Bei L-Stürmen dringen langsame solare Partikel auf noch unbekannten Wegen in
die Polarlichtzonen ein und bewirken bei Nacht sichtbares Polarlicht, starke, fluktuierende
elektrische Ströme, die erdmagnet. Störungen zur Folge haben. Ferner erhöhen sie lokal die
Elektronendichte der E-Schicht ("Nordlicht-E") und treiben die Elektronen der F-Schicht in die
Höhe. Dadurch treten erhebliche, meist ungünstige Beeinflussungen des Funkverkehrs auf, die
sich bes. in mittle ren und höheren Breiten bemerkbar machen.
Die Ionosphärenforschung ist ein Teil der Geophysik. Die Ionosphäre der Erde wurde 1924 von
E. V. Appleten entdeckt. Er bestimmte die Höhe der reflektierenden Schicht zu 100 km und fand
später eine weitere Schicht in 200-300 km. Die erstere bezeichnete er mit E-Schicht, die letztere
mit F-Schicht.
Chromosphäre : die athmosphärische Schicht der Sonn, die bei totalen Sonnenfinsternissen kurz vor
oder nach der Bedeckung im Licht von Emissionslinien, besonders des Wasserstoffs, rötlich
aufleuchtet
54
Photosphäre : gasförmige Schicht der Sonne, von der der überwiegende Teil ihrer Ausstrahlung
herrührt.
Unterschied interstellarer und interplanetarer Raum
Abgrenzung der Wellenlängen-Bereichsbezeichnungen sichtbar, UV, Röntgen usw. in
Einheiten
Bezeichnung
γ-Strahlung
Röntgen
UV
Vakuum-UV
kurzes UV
mittleres UV
langes UV
sichtbares Licht
IR
Mikrowellen
UKW
KW
MW
LW
Wellenlänge
< 1pm
< 1nm
1 .. 400nm
<200nm
200–280nm
280–315nm
315–380nm
380 .. 780nm
1µm .. 10µm
100µm .. 0,3m
~1m
~10m
~100m
~1000m
Wirkung
Ozonisierung
bakterizide Wirkung
Erythembildung (Hautrötung)
Sofortpigmentierung
55
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