t - Universität Rostock

Verteilungen eindimensionaler
stetiger Zufallsvariablen
• Stetige Verteilungen
¾Chi-Quadrat-Verteilung
¾Studentverteilung
¾Fisher-Verteilung
• Typisierung der stetigen
theoretischen Verteilungen
Prof. Kück / S. Winterfeldt
Lehrstuhl Statistik
1
Zufallsvariablen V
Bibliografie:
¾ Prof. Dr. Kück
Universität Rostock
Statistik, Vorlesungsskript, Abschnitt 5.3
¾ Bleymüller / Gehlert
Verlag Vahlen 2003
Statistische Formeln, Tabellen und Programme
¾ Bleymüller / Gehlert / Gülicher
Verlag Vahlen 2004
Statistik für Wirtschaftswissenschaftler
¾ Hartung
Oldenbourg Verlag 2002
Statistik
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Lehrstuhl Statistik
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Zufallsvariablen V
1
Chi-Quadrat-Verteilung
Sind Z1, Z2, ..., Zν unabhängig standardnormalverteilte
Zufallsvariable, d.h. E(Zi)=0 und Var(Zi)=1, so ist die
Quadratsumme U=Z1²+Z2²+...+Zν² Chi-Quadratverteilt (χ²-verteilt) mit ν Freiheitsgraden. Es lässt sich
zeigen, dass E(U)=ν und Var(U)=2ν sind. Für die
Dichte und Verteilungsfunktion ist die GammaFunktion von Bedeutung:
0
für u < 0
⎧
u
⎪
1
FCh (u) = ⎨
e−(ν / 2) ⋅ ν (ν / 2)−1dν für u ≥ 0
ν/2
∫
ν
⎪⎩ 2 ⋅ Γ( 2 ) 0
Bestimmte Werte der Verteilungsfunktion sind in Abhängigkeit von
der Anzahl der Freiheitsgrade ν in Tabellen zu finden.
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Zufallsvariablen V
Chi-Quadrat-Verteilung
f(x)
0,16
fCh(x|5)
0,14
fCh(x|9)
0,12
0,1
fCh(x|13)
0,08
fCh(x|17)
0,06
0,04
0,02
0
0
4
8
12
16
20
24
x
28
Die Dichtefunktion der Chi-Quadrat-Verteilung ist
unsymmetrisch und nähert sich mit wachsendem ν der
Glockenform der Normalverteilung.
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Zufallsvariablen V
2
Chi-Quadrat-Verteilung
Für große ν ist die Zufallsvariable
Z∗ =
U−ν
2⋅ν
näherungsweise standardnormalverteilt.
Die Verteilung von √2·U passt sich noch besser der
Normalverteilung mit µ=√2·ν–1 und σ²=1 an.
Die Zufallsvariable Z∗∗ = 2 ⋅ U − 2 ⋅ ν − 1 ist somit
annähernd standardnormalverteilt. Für ν≥30 liefert diese
näherungsweise Berechnung gute Resultate.
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Zufallsvariablen V
Chi-Quadrat-Verteilung
In der folgenden Tabelle sind für ν=40 einige Quantile
und ihre Approximationen angegeben:
χ²-Quantil
0,05
26,51
0,95
55,76
Approximation durch Z*
25,29
54,71
Approximation durch Z** 26,23
55,47
An der Bildungsvorschrift für U ist schon erkennbar, dass
diese Verteilung für die Charakterisierung der
Stichprobenvarianzen wichtig ist. Wir werden im
Abschnitt 7.1 darauf zurückkommen.
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Zufallsvariablen V
3
Chi-Quadrat-Verteilung
Sind die Xi unabhängig und identisch normalverteilt mit
den Parametern µ und σ², so ist
n
n
∑Z = ∑
2
i
i =1
(X i − µ )2
i =1
σ2
eine χ²-verteilte Zufallsgröße mit ν=n Freiheitsgraden.
Es lässt sich sogar zeigen, dass
(X − X) = (n − 1) ⋅ S
U=∑
n
2
i
i =1
σ2
σ2
χ²-verteilt ist mit ν=n–1 Freiheitsgraden.
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Zufallsvariablen V
Chi-Quadrat-Verteilung
Grafische Darstellungen:
Verteilungsfunktion
(Ny=5 Freiheitsgrade)
Dichtefunktion
(Ny=5 Freiheitsgrade)
f(x)
F(x) 1
0,16
0,14
0,12
0,1
0,08
0,06
0,04
0,02
0
0,8
0,6
0,4
0,2
0
0
2
4
6
8
10
x
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0
2
4
6
8
10
x
8
Zufallsvariablen V
4
Chi-Quadrat-Verteilung
Beispiel:
Aus einer normalverteilten Grundgesamtheit mit
unbekannten Parametern µ und σ² wird eine Stichprobe
im Umfang von n=40 gezogen. Daraus wird eine
Stichprobenvarianz von s²=100 ermittelt.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit überschreitet die
Varianz der Grundgesamtheit die der Stichprobe um
mehr als 20 Prozent?
b) Wo liegen die Grenzen eines Intervalls, das mit einer
Wahrscheinlichkeit von 0,9 die Varianz der Grundgesamtheit überdeckt? (Man halbiere die Restwahrscheinlichkeit am unteren und oberen Intervallende.)
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Zufallsvariablen V
Chi-Quadrat-Verteilung
Lösung:
Es ist U = (n–1)·S²/σ².
a) W(σ²>1,2·S²) = W((n–1)/1,2>(n–1)·S²/σ²) = W(32,5>U)
U ist χ²-verteilt mit ν=n–1=39 Freiheitsgraden.
Tabelliert: FChi(32,737|39)=0,25
⇒ FChi(32,5|39) = W(32,5>U) ≈ 0,25
Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,25 überschreitet die
Varianz der Grundgesamtheit die Varianz der Stichprobe
um mehr als 20 Prozent.
Anmerkung: Eine um 20 % höhere Varianz σ² entspricht einer um
9,5% höheren Standardabweichung σ:
σ²>1,200·S² => σ²>1,095²·S² => σ>1,095·S
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Zufallsvariablen V
5
Chi-Quadrat-Verteilung
Lösung (Fortsetzung):
b) Zunächst bestimmen wir das 0,05- und das 0,95-Quantil
der Chi-Quadrat-Verteilung mit 39 Freiheitsgraden:
W(U<u1)=0,05 => U1=25,695
und
W(U<u2)=0,95 => U2=54,572
0,05=W(U<u1)=W((n–1)·S²/σ²<u1)=W((n–1)·S²/u1<σ²)
⇒ (n–1)·S²/u1= 39·100/25,695 ≈ 151,8
0,95=W(U<u2)=W((n–1)·S²/σ²<u2)=W((n–1)·S²/u2<σ²)
⇒ (n–1)·S²/u2= 39·100/54,572 ≈ 71,5
Das gesuchte Intervall ist [71,5; 151,8].
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Zufallsvariablen V
Student-Verteilung
Die Student- oder t-Verteilung wurde 1908 vom
englischen Statistiker W.S. Gosset, der unter dem
Pseudonym „Student“ publizierte, im Zusammenhang
mit Untersuchungen zur Verteilungsfunktion des
arithmetischen Mittelwertes im Falle kleiner Stichproben
(n<30) und unbekannter Varianz einer normalverteilten
Grundgesamtheit abgeleitet.
Bei bekannter Varianz der normalverteilten
Grundgesamtheit mit E(X)=µ und Var(X)=σ² gilt,
dass die Zufallsgröße X normalverteilt ist mit E(X)=µ.
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Zufallsvariablen V
6
Student-Verteilung
Die Varianz von X ist abhängig von der
Stichprobenentnahmetechnik:
σ2
Var( X) =
n
Ziehen mit Zurücklegen:
σ2 N − n
Var( X) =
⋅
n N −1
Ziehen ohne Zurücklegen:
Das Bilden einer standardnormalverteilten
Zufallsvariablen ist somit beim Ziehen mit Zurücklegen
leicht möglich:
Z =
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X −µ
σ
n
13
Zufallsvariablen V
Student-Verteilung
Ist hingegen die Varianz der Grundgesamtheit unbekannt, so kann
dafür die Stichprobenvarianz als Schätzwert benutzt werden. Die
Qualität der Schätzung hängt vom Stichprobenumfang ab und führt
zur Berücksichtigung von Freiheitsgraden. Die Verteilung der
Stichprobenvarianz steht in enger Beziehung zur χ²-Verteilung.
Es sei Z eine standardnormalverteilte und U eine χ²-verteilte
Zufallsvariable mit ν Freiheitsgraden (Z und U seien voneinander
unabhängig). Dann gehorcht die Zufallsgröße T
T =
Z
U
ν
einer Studentverteilung mit ν Freiheitsgraden.
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Zufallsvariablen V
7
Student-Verteilung
In der Dichte- und der Verteilungsfunktion der
Studentverteilung taucht wieder die Gammafunktion auf:
⎛ ν +1⎞
Γ⎜
⎟
1
2 ⎠
⎝
⋅
fS (t ) =
(ν +1 ) / 2
2
⎛ν⎞
νπ ⋅ Γ⎜ ⎟ ⎛⎜ 1 + t ⎞⎟
⎝ 2 ⎠ ⎜⎝
ν ⎟⎠
mit : −∞ < t < ∞
t
FS (t ) = ∫ f S (ν )dν
−∞
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Zufallsvariablen V
Student-Verteilung
Aufgrund der symmetrischen Form der Dichtefunktion
gilt:
FS(-t) = 1–FS(t)
Erwartungswert und Varianz:
E(T) = 0 und Var(T) =
ν
für ν > 2
ν−2
Für ν=1 existiert kein Erwartungswert und für ν≤2 keine
Varianz.
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Zufallsvariablen V
8
Student-Verteilung
f(x)
0,4
0,35
fS(x|10)
0,3
fS(x|5)
0,25
fS(x|3)
0,2
fN(x|0|1)
0,15
0,1
0,05
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
Die Dichtefunktion ist symmetrisch und glockenförmig (flacher als die
Gaußkurve). Mit wachsendem ν (genaugenommen für ν→∞) geht die tVerteilung in die Standardnormalverteilung über. In der Praxis wird für
ν≥30 bereits mit der Standardnormalverteilung gerechnet.
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Zufallsvariablen V
Student-Verteilung
Wir betrachten jetzt Zufallsvariablen X1, ..., Xn, die unabhängig und
identisch normalverteilt sind mit den Parametern µ und σ². Dann ist
die Zufallsgröße
Z=
U
∗
X−µ
σ n
(
n − 1) ⋅ S 2
=
σ2
standardnormalverteilt und
ist χ²-verteilt mit ν=n–1 Freiheitsgraden,
so dass die nach obiger Vorschrift gebildete Zufallsvariable
T=
X−µ
S n
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t-verteilt ist mit ν=n–1 Freiheitsgraden.
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Zufallsvariablen V
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Student-Verteilung
Grafische Darstellungen:
Dichtefunktion
(Ny=10 Freiheitsgrade)
f(x)
Verteilungsfunktion
(Ny=10 Freiheitsgrade)
0,5
1,2
0,4
F(x) 1
0,8
0,3
0,6
0,2
0,4
0,1
0,2
0
0
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
x
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x
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Zufallsvariablen V
Student-Verteilung
Beispiel:
Das Gewicht von Kaffeepäckchen wird als normalverteilt bei
unbekannter Varianz σ² angesehen. Der Grundgesamtheit werden
zufällig 30 Kaffeepakete entnommen. Als mittleres Gewicht werden
495 g bestimmt. Die mittlere quadratische Abweichung vom
Stichprobenmittelwert ergibt die Stichprobenvarianz von 121 g².
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das mittlere Gewicht der
Grundgesamtheit unter 490 g?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt das mittlere Gewicht über
510 g?
c) Geben Sie ein symmetrisch zum Stichprobenmittelwert gelegenes
Intervall an, in dem der Mittelwert der Grundgesamtheit mit einer
Wahrscheinlichkeit von 90 % liegt.
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Zufallsvariablen V
10
Student-Verteilung
Lösung:
⎛ 495 − µ 495 − 490 ⎞
a) W(µ<490) = W(-µ>-490) = W ⎜⎜ 121 30 > 121 30 ⎟⎟
⎝
⎠
= W(T>2,49) = 1–W(T≤2,49)
= 1–FS(2,49) ≈ 1–0,99 = 0,01
[W(T≤2,462)=0,99 für ν=n-1=29]
⎛ 495 − µ
495 − 510 ⎞⎟
⎟
⎠
b) W(µ>510) = W(-µ<-510) = W⎜⎜ 121 30 < 121 30
⎝
= W(T<-7,47) = FS(-7,47)
= 1–FS(7,47) ≈ 1–1 = 0
[W(T≤3,396)=0,999 für ν=n-1=29]
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Zufallsvariablen V
Student-Verteilung
Lösung (Fortsetzung):
c) W(495-x<µ<495+x) = W(-x<µ-495<x) =W(-x<495-µ<x) = 0,9
⎞
−x
495 − µ
x
⎟
<
<
⎟
121
30
121
30
121
/
30
⎠
⎝
⎛
= W⎜⎜
⎛
⎞
−x
x
⎟
<T<
⎟
121
30
121
30
⎝
⎠
= W ⎜⎜
= 0,9
⇒ W(T>x·(121/30)-0,5) = W(T<-x·(121/30)-0,5) = 0,05
⇒ W(T< x·(121/30)-0,5) = FS(x·(121/30)-0,5) = 0,95
⇒ x·(121/30)-0,5 = 1,699 [für ν=n-1=29 Freiheitsgrade]
⇒ x = 1,699·2,008 = 3,41
495–3,41 = 491,59
495+3,41 = 498,41
Die gesuchten Intervallgrenzen sind 491,59 (untere) und 498,41
(obere). Daraus folgt, dass sich das vom Kunden erhoffte mittlere
Gewicht von mindestens 500 g nicht im berechneten Intervall
befindet.
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Zufallsvariablen V
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Fisher-Verteilung
Die nach dem Amerikaner R.A. Fisher benannte Verteilung spielt
eine Rolle, wenn der Quotient von Varianzen untersucht werden
soll. Ausgehend von der Tatsache, dass die für eine normalverteilte
Grundgesamtheit mit der Varianz σ² gebildete Zufallsvariable
U=
(n − 1) ⋅ S 2
σ2
einer χ²-Verteilung mit ν=n-1 Freiheitsgraden
gehorcht, sollen nun zwei normalverteilte Grundgesamtheiten mit
den Varianzen σ1² und σ2² betrachtet werden.
Die χ²-verteilten Zufallsvariablen
U1 =
(n1 − 1) ⋅ S12
σ12
und
U2 =
(n 2 − 1) ⋅ S 22
σ 22
mit den Freiheitsgraden ν1=n1–1 bzw. ν2=n2–1 sollen unabhängig
voneinander sein.
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Zufallsvariablen V
Fisher-Verteilung
U1
Dann ist der Quotient
F=
U2
ν1
ν2
=
S1
2
S2
2
σ1
2
σ2
2
eine F-verteilte Zufallsgröße mit den Freiheitsgraden
ν1=n1–1 für den Zähler und ν2=n2–1 für den Nenner.
ν2
Für ν2>2 ist der Erwartungswert:
E(F ) =
ν2 − 2
Für ν2≤2 existiert kein Erwartungswert. E(F) hängt also
nur von ν2 ab und nähert sich mit wachsendem ν2 dem
Wert 1.
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Zufallsvariablen V
12
Fisher-Verteilung
Für ν2>4 ist die Varianz:
2 ⋅ ν 2 ⋅ (ν 1 + ν 2 − 2)
2
Var(F ) =
ν 1 ⋅ (ν 2 − 2) ⋅ (ν 2 − 4)
2
Für ν2≤4 existiert keine Varianz. Die Varianz nimmt mit
wachsenden ν1 und ν2 ab.
Die Argumente der Verteilungsfunktionen der F-Verteilung sind in
der Formelsammlung für die kritischen Werte (Quantile) FC=0,95
und FC=0,99 zu ausgewählten Freiheitsgraden ν1 und ν2 tabelliert
(Bleymüller/Gehlert, Formelsammlung).
Wegen Fα;ν1;ν2 = 1/F1-α;ν2;ν1 erhöht sich die Anzahl der
Werte, die aus den Tabellen gewonnen werden können.
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Zufallsvariablen V
Fisher-Verteilung
Grafische Darstellungen:
Dichtefunktion
(ν1=20 und ν2=20)
f(x)
Verteilungsfunktion
(ν1=20 und ν2=20)
1
F(x) 1
0,8
0,8
0,6
0,6
0,4
0,4
0,2
0,2
0
0
0
1
2
3
x
4
0
1
2
3
4
x
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Zufallsvariablen V
13
Typisierung der stetigen theoretischen
Verteilungen
Verteilung
Parameter
Erwartungswert Grundmodell
[Varianz]
Gleichverteilung
-∞<a<b<∞
(a+b)/2
[(b–a)²/12]
Jeder Wert aus dem endlichen
Intervall von a bis b ist
gleichmöglich.
Exponentialverteilung
λ>0
1/λ
[ λ–2]
Exponentiell abklingende
Dichtefunktion für Werte aus
dem Intervall von o bis +∞.
Normalverteilung
-∞<µ<∞
σ>0
µ
[σ²]
Glockenförmige symmetrische
Dichtefunktion mit Maximum
bei µ und Wendepunkten bei
µ±σ.
Chi-QuadratVerteilung
ν = 1, 2, ...
ν
[2· ν]
Verteilung für Quadratsummen
von ν standardnormalverteilten
Variablen, SP-Verteilung für
Aussagen über Varianz der GG,
unsymmetrische Dichte.
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Zufallsvariablen V
Typisierung der stetigen theoretischen
Verteilungen
Verteilung
Parameter
Erwartungswert
[Varianz]
Grundmodell
Studentverteilung
ν = 1, 2, ...
0 für ν > 1
[ν/(ν-2) für ν>2]
Verteilung für Quotienten aus
standardnormal- und χ²verteilten Größen, SPVerteilung für Aussagen über
das arithmetische Mittel,
symmetrische Dichte.
Fisherverteilung
ν1= 1, 2, ...
ν2= 1, 2, ...
ν2/(ν2-2)
für ν2>2
Verteilung für Quotienten aus
χ²-verteilten Größen mit ν1
bzw. ν2 Freiheitsgraden im
Zähler bzw. Nenner,
unsymmetrische Dichte.
⎡ 2ν 22 (ν 1 + ν 2 − 2) ⎤
⎢
⎥
⎣ ν 1 (ν 2 − 2)(ν 2 − 4) ⎦
für ν2>4
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Zufallsvariablen V
14
Sommerpause!!!
Optimale
Prüfungsvorbereitung
Freudiges Ergebnis
Fort von der Uni
Mit Fahrrad
…Bahn
… Auto
Ab in die Sonne!
…Schiff
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Zufallsvariablen V
15