Dekohärenz und das Hervortreten der klassischen

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Dekohärenz und das Hervortreten der klassischen Welt
aus einem Quantenuniversum
Tom Kirchner
6. Januar 1997
Physik beruht auf Erfahrung. Theorien formulieren die Gesetze, die in der
”
Erfahrung gelten. Das Gefüge physikalischer Theorien, die in den letzten Jahrhunderten entstanden sind, strebt einer einheitlichen, umfassenden Theorie zu.
Die nächste Annäherung, die wir heute an eine solche allgemeine Theorie der
Physik kennen, ist die Quantentheorie. Diese Theorie scheint in der gesamten
Natur zu gelten ...“
(C.F.v.Weizsäcker in [Wei85], S. 23)
1
Einleitung
Es ist unmöglich, den Erfolg der Quantentheorie zu bestreiten. In einer Unzahl von Experimenten sind ihre Voraussagen bestätigt worden, und es gibt wohl bis heute kein
Meßergebnis, daß in überzeugender Weise zu einem Konflikt mit ihr geführt hat. Die
Quantentheorie beschreibt nicht nur das Verhalten der Atome, zu welchem Zwecke sie im
ersten Viertel des Jahrhunderts entwickelt wurde, sondern ihre Anwendungen sind nahezu
unüberschaubar geworden, und innerhalb des üblichen, auf Niels Bohr zurückgehenden,
Schemas lassen sich prinzipiell die Struktur und Dynamik der Elementarteilchen genauso
verstehen wie Molekül- oder Festkörpereigenschaften.
In diesem Sinne scheint die Quantentheorie universell gültig zu sein. Es scheint gerechtfertigt zu sein, unserer Welt eine fundamental quantenmechanische Struktur zuzusprechen. Jedoch nehmen wir in dieser Welt klassische Eigenschaften wahr, die frei sind
von den typischen Quantenphänomenen, die die Theorie enthält. Nimmt man die Universalität der Quantentheorie ernst, dann sollten sich die folgenden Fragen in ihrem Rahmen
beantworten lassen:
• Warum erscheint uns die Welt unserer Alltagserfahrung als klassisch?
• Warum gibt es in dieser Welt klassische, lokale Beobachter? Auf welche Weise läßt
eine fundamental nichtlokale Quantentheorie überhaupt Lokalität zu?
• Wie ist diese Welt aus der fundamentalen Quantenstruktur entstanden, bzw. welche fundamentale Quantenstruktur führt auf eine Welt, wie sie unserer Erfahrung
entspricht?
1
Keine dieser drei (nicht voneinader unabhängigen) Fragen kann befriedigend innerhalb
dessen beantwortet werden, was oben als auf Bohr zurückgehendes Schema bezeichnet
worden ist und allgemein unter dem Namen ’Kopenhagener Interpretation’ firmiert. Andererseits existiert auch keine alternative Formulierung oder Deutung der Quantentheorie,
die endgültige Antworten bereitstellt. Aber es gibt mehr als nur Spekulationen zu diesen
Themen: Mit dem Konzept der Dekohärenz lassen sich zumindest Teilantworten innerhalb der Quantentheorie formulieren sowie ein Weg umreißen, wie eine konsistente Lösung
der Fragen und der damit verknüpften Interpretationsproblematik der Quantenmechanik
gefunden werden kann. Dieses Konzept wird in den Kapiteln 3 bis 5 auf verschiedenen
Ebenen vorgestellt. Zuvor aber werden im nächsten Kapitel die Grundaussagen der Quantenmechanik nach der Kopenhagener Deutung zusammengefaßt und im Hinblick auf die
angesprochenen Fragen analysiert.
2
Die ’üblichen’ Axiome der Quantenmechanik und
ihre Schwierigkeiten
Man kann das formale Schema der Quantenmechanik grob in sechs Aussagen zusammenfassen (s. z.B. [Mes91] 8.Kapitel).
• Der Zustand eines physikalischen Systems wird durch einen Vektor |Ψi im Hilbertraum charakterisiert1 .
• Den dynamischen Observablen entsprechen lineare (hermitesche) Operatoren Ô des
Hilbertraumes.
• Der Erwartungswert einer beliebigen Funktion f der physikalischen Größe O ist für
ein System im Zustand |Ψi durch das Skalarprodukt
hf (Ô)i = hΨ|f (Ô)|Ψi
(1)
gegeben. Mit dieser Definition ist die statistische Verteilung der Observablen O
vollständig festgelegt; d.h. es folgt, daß O als Werte genau die Eigenwerte des Operators Ô annehmen kann und daß die dazu gehörenden Wahrscheinlichkeiten durch
das Betragsquadrat des Überlapps von |Ψi mit den entsprechenden Eigenvektoren
|un i gegeben sind
wn = |cn |2 = |hun |Ψi|2 .
(2)
Dieses Axiom ist nichts anderes als eine Formalisierung der Wahrscheinlichkeitsinterpretation von Max Born [Bor26].
• Eine Messung eines bestimmten Eigenwertes der Observablen O reduziert den Zustandsvektor auf seine Komponente parallel zum zugeordneten Eigenvektor. Das ist
der (akausale) Kollaps der Wellenfunktion.
1
Ich werde gelegentlich den Zustandsvektor als Wellenfunktion bezeichnen.
2
• Operatoren des Hilbertraumes vertauschen im allgemeinen nicht. Vielmehr gelten
charakteristische Vertauschungsrelationen, die teilweise aus Analogien zu klassisch
gültigen Ausdrücken (Poisson-Klammern) gewonnen werden können (Korrespondenzprinzip). Insbesondere gilt für Ort und Impuls die Beziehung
[x̂, p̂] ≡ x̂p̂ − p̂x̂ = ih̄,
(3)
aus der unter Hinzunahme des Axioms über Erwartungswerte die Unschärferelation
zwischen Ort und Impuls folgt.
• Die zeitliche Entwicklung eines von äußeren Einflüssen isolierten Systems ist bestimmt durch die unitäre Schrödinger-Gleichung
ih̄
d
|Ψ(t)i = Ĥ(t)|Ψ(t)i.
dt
(4)
Diese Gleichung beschreibt eine vollkommen determinierte Zeitentwicklung der Wellenfunktion und hat wegen ihrer linearen Struktur das Superpositionsprinzip zur Folge, nach dem mit zwei Lösungen Ψ1 und Ψ2 auch die Summe αΨ1 + βΨ2 , α, β ∈ C
eine Lösung ist.
Von diesen sechs Aussagen stehen in unserem Kontext nur zwei zur Diskussion: Die Bornsche Wahrscheinlichkeitsdeutung und vor allem das Meßaxiom, das den Kollaps der Wellenfunktion postuliert. Bevor ich auf ihre Schwierigkeiten eingehe, möchte ich nochmals
hervorheben, daß sich der eingangs erwähnte praktische Erfolg der Quantenmechanik
auf die Anwendung des gesamten Schemas bezieht. Die Kombination von SchrödingerGleichung, Wahrscheinlichkeitsinterpretation und Meßaxiom ist es, die von experimentellen (Labor-) Befunden unwidersprochen ist. In den meisten Situationen werden keine
Einzelereignisse untersucht, sondern Experimente an großen Gesamtheiten durchgeführt.
Die gemessenen Häufigkeiten bei der statistischen Auswertung der Meßresultate entsprechen dann den Wahrscheinlichkeiten, die die Theorie voraussagt.
Was sind nun aber die Schwierigkeiten? Ich möchte drei Punkte herausgreifen2 : Man
betrachte erstens ein isoliertes System bestehend aus einem Quantenteilchen (z.B. einem
Spin 1/2-Teilchen) und einem Meßapparat bzw. Beobachter. Messen heißt, mit dem Meßobjekt wechselwirken, anders ist keine Information über das Objekt zu gewinnen. Das
Gesamtsystem kann man durch eine Schrödinger-Gleichung beschreiben, die die entsprechende Wechselwirkung enthält. Die Lösung der Gleichung liefert eine für alle Zeiten
eindeutig festgelegte korrelierte Wellenfunktion für das Gesamtsystem. Korreliert heißt,
daß sie nicht in ein Produkt aus Wellenfunktionen für die Teilsysteme Quantenteilchen
und Meßapparat zerfällt. Keinem Teilsystem für sich genommen kann ein eindeutiger
Zustand zugeordnet werden. Formal wird die Situation besonders gut dargestellt, wenn
äquivalent zur Wellenfunktion des Gesamtsystems der Dichteoperator ρ̂ = |ΨihΨ| für diesen ’reinen’ Zustand betrachtet wird. Der Dichteoperator hat keine Diagonalgestalt. Das
Vorhandensein von Außerdiagonalelementen ist genau ein Ausdruck der Tatsache, daß
2
Unter anderem die ersten beiden Punkte hat Everett als Kritik an der konventionellen Deutung
angeführt, als er 1957 seinen Vorschlag der ’Viele-Welten-Interpretation’ machte.[Eve57]
3
sich die Teilsysteme nicht in definierten Zuständen befinden, denen Wahrscheinlichkeiten
zugeordnet werden können.
Damit ist eigentlich die Diskussion im Rahmen des konventionellen Schemas beendet.
Es gibt keinen Kollaps der Gesamtwellenfunktion, weil das Gesamtsystem nicht beobachtet wird (es ist isoliert). Genau der Kollaps der Wellenfunktion aber geht damit einher,
daß die Außerdiagonalelemente des Dichteoperators verschwinden. Ohne äußere Messung
sind den Anteilen der Wellenfunktion demnach keine Wahrscheinlichkeiten zugeordnet,
sondern nur komplexe Koeffizienten.
Die Situation entspricht genau dem vielstrapazierten burlesken“Gedankenexperiment
”
von Schrödinger [Sch35], wenn man statt Meßapparat das Wort Katze einsetzt. Die paradoxe Situation besteht darin, daß der Katze für sich genommen kein eindeutiger Zustand
(lebendig oder tot) zugeordnet werden kann, solange keine Messung am Gesamtsystem
vorgenommen wird.
Bohr suchte den Ausweg aus dieser Situation in der strikten Trennung zwischen Quantenwelt und klassischer Welt. Ohne klassischen Bereich, in dem die Meßresultate aufgezeichnet werden, ergibt die Quantenmechanik im Kopenhagener Bild keinen Sinn. Letztlich läuft diese Ansicht darauf hinaus, daß der ’ultimative’ Meßapparat, durch den Information über ein physikalisches System gewonnen wird, nicht in das Schema der Quantenmechanik einbezogen werden kann. Das bedeutet aber, daß eine klassische Welt (als eine
Welt außerhalb der Quantenmechanik) als präexistent angenommen werden muß.
Hier liegt die zweite Schwierigkeit der Kopenhagener Sichtweise, die direkt zu den eingangs gestellten Fragen führt. Wie soll die Quantentheorie auf das Universum als Ganzes
angewendet werden, da es hierfür - zumindest innerhalb der Physik - keinen äußeren,
klassischen Beobachter gibt, der einen Kollaps der Wellenfunktion des Universums verursachen könnte? Wie kann ohne Präexistenz einer klassischen Welt die Superposition von
Wellenfunktionen aufgehoben werden? Heisenberg machte dazu die nebulöse Bemerkung
([Hei58] S.44):
... Wenn man das ganze Universum in das System einbezöge - dann ist aber
”
die Physik verschwunden und nur ein mathematisches Schema geblieben. “
Ist das eine befriedigende Antwort?
Die dritte Schwierigkeit betrifft die erste Frage aus der Einleitung - warum erscheint
uns die Welt unserer Alltagserfahrung als klassisch - und ist vielleicht diejenige, die man
sich als pragmatisch arbeitender Physiker am wenigsten bewußt macht. In wohl jedem
Lehrbuch der Quantenmechanik kann man nämlich nachlesen, daß die Quantenmechanik die klassische Mechanik als Grenzfall enthalte. Als Begründung dient häufig (s. z.B.
[Mes91], Kapitel 6) eine Variation über das folgende Argument: Gegeben sei zu einem Anfangszeitpunkt t0 ein minimales Wellenpaket (d.h. ein in Ort und Impuls so lokalisierter
Zustand, wie es die Unschärferelation als Grenze zuläßt). Die Zeitentwicklung des durch
das Wellenpaket dargestellten Teilchens wird für t > t0 durch die Schrödinger-Gleichung
festgelegt. Das Teilchen verhält sich klassisch, falls man zeigen kann, daß
• die Erwartungswerte für Ort und Impuls die klassischen Bewegungsgleichungen befriedigen,
4
• die Dimensionen des Wellenpaketes während der Zeitentwicklung klein bleiben, so
daß Ort und Impuls des Teilchens mit den Erwartungswerten identifiziert werden
können.
Beide Forderungen können im allgemeinen nicht erfüllt werden (Stichworte: Ehrenfests
Theorem und das Zerfließen von Wellenpaketen), doch sieht man darüber meist hinweg.
Der kritische Punkt aber ist ein anderer - nämlich die gewählte Anfangsbedingung. Diese ist im Hinblick auf alle möglichen Zustände ein Spezialfall, der rein statistisch gar
nicht auftreten dürfte [Joo90]. Viel vernünftiger und signifikanter ist es, ein System in
einem Energieeigenzustand (z.B. dem Grundzustand) vorzufinden. Solche Zustände sind
bezüglich Orts- und Impulsvariablen im allgemeinen aber nicht ’minimal’.
Als pragmatischer Physiker wird man hierauf erwidern, daß man durch eine geeignete
Messung einen klassischen Zustand (ein minimales Wellenpaket) produzieren kann. Das
aber heißt, daß an dem System schon eine Messung gemacht worden ist.
Dann müßte man sich z.B. sehr wundern, wenn ein Stern oder eine Fliege,
”
die man zum ersten Mal sieht, so etwas wie quasi-lokalisiert erscheinen.“
(Einstein an Born zitiert nach [Joo90])
Dieser Punkt führt direkt zum Konzept der Dekohärenz: wer oder was ist es, der/das
ein Objekt ’zum ersten Mal’ sieht?
3
Dekohärenz I: Warum erscheinen bestimmte Objekte lokal?
Dieses Kapitel bezieht sich also auf die erste eingangs gestellte Frage. Diese Frage wird
durch das Konzept der Dekohärenz ebenso geklärt wie das im letzten Kapitel aufgeführte
Beispiel eines Gesamtsystems aus Quantenteilchen und Meßinstrument (oder Katze). Der
entscheidende Punkt ist fast trivial und ist an sich völlig unbestritten. Allerdings wurde
ihm lange Zeit keine Bedeutung beigemessen:
Physikalische Systeme sind niemals isoliert, sondern koppeln in realistischen
Situationen stets an die Freiheitsgrade der Umgebung an. Für makroskopische
Systeme ist diese Kopplung keinesfalls vernachlässigbar.
Zunächst soll untersucht werden, was das für das Beispiel des Systems aus Quantenteilchen und Meßinstrument (oder Katze) bedeutet. Bezieht man die Umgebung in den
Formalismus mit ein, heißt das, daß man eine korrelierte Gesamtwellenfunktion für Teilchen, Meßapparat und Umgebung zu betrachten hat. Insbesondere nimmt nun auch die
Umgebung für sich allein keinen definierten Zustand ein. Das Problem scheint zunächst
verkompliziert, man ist einen Schritt weiter gegangen in der von Neumannschen Kette.
Die Lösung besteht nun darin, daß man an dem genauen Zustand des Gesamtsystems
gar nicht interessiert ist, bzw. diesen gar nicht erfassen kann, weil er zu viele Freiheitsgrade
enthält (nach der Terminologie von Gell-Mann und Hartle zu feinkörnig “ist. [Gel90]),
”
um von uns oder einem Meßgerät diskriminiert werden zu können. Für die separierte
5
(’lokale’) Beschreibung des Subystems aus Quantenteilchen und Meßgerät muß über die
Freiheitsgrade der Umgebung summiert werden. (Die Zeitentwicklung des Subsystems
ist eine grobkörnige Geschichte“[Gel90].) Dieser Prozeß führt idealerweise dazu, daß im
”
lokalen Dichteoperator, der nur das Subsystem beschreibt, die Außerdiagonalelemente
verschwinden3 . Mit anderen Worten sorgt die Korrelation mit der Umgebung dafür, daß
Superpositionen am Subsystem selbst nicht mehr beobachtbar sind. Mit der Superposition
einhergehende Phasenbeziehungen in der Wellenfunktion sind in die Freiheitsgrade der
Umgebung abgewandert“[Kie96]. The interference terms still exist, but they are not
”
”
there.“[Joo85]
Um es explizit zu sagen: Es gibt kein Katzen-Paradoxon, weil das System aus Quantenteilchen und Katze nicht als isoliert betrachtet werden kann. Die Katze als makroskopisches System wechselwirkt zum Beispiel durch ihr Atmen mit der Außenwelt, und auch
die tote Katze wechselwirkt noch mit der sie umgebenden Luft. Die Zustände ’lebende
Katze’ und ’tote Katze’ dekohärieren. Beiden Alternativen sind also zu jedem Zeitpunkt
Wahrscheinlichkeiten zugeordnet.
Nehmen wir an, das Quantenereignis, das über das Schicksal der Katze
”
befindet, habe bereits stattgefunden, aber wir wüßten das Ergebnis erst dann,
wenn wir den Kasten mit der Katze öffneten. Da die beiden Ereignisse dekohärent sind, unterscheidet sich diese Situation nicht von einer klassischen,
wenn wir eine Katzenbox öffnen und das arme Tier, das eine lange Flugreise
hinter sich hat, entweder tot oder lebend vorfinden, wobei jeder Zustand eine
bestimme Wahrscheinlichkeit besitzt.“
(M. Gell-Mann in [Gel94] S. 229)
Offen bleibt natürlich die Frage, welche der Alternativen tatsächlich realisiert wird.
Im Sinne der Everettschen ’Vielen-Welten’ [Eve57] könnte man sagen, beide Möglichkeiten werden realisiert - in verschiedenen Zweigen. Tatsächlich werden diese Zweige durch
den Mechanismus der Dekohärenz erst klar definiert, weil die verschiedenen Möglichkeiten dynamisch entkoppelt sind, wenn im Dichteoperator die Außerdiagonalelemente verschwinden [Zur91]. Erst durch die Dekohärenz wird aus einer Überlagerung ein Satz von
wohldefinierten Alternativen. 4 Everetts ursprüngliche Formulierung der Viele-WeltenTheorie ist bisweilen kritisiert worden, weil die Verzweigung korrespondierend zu einer
bestimmten Komponentenzerlegung der Wellenfunktion erfolgt, die nicht durch den Formalismus festgelegt, sondern stillschweigend“aus den (i.a. unendlich) vielen Möglichkei”
ten gleichwertiger Darstellungen ausgewählt wird, damit das Denkmodell der mensch”
lichen Erfahrung entspricht.“[Bel72] Auf den Zusammenhang zwischen Dekohärenz und
’Viele-Welten’-Interpretation komme ich im nächsten Kapitel zurück.
3
Für das Beispiel des Spin 1/2 Teilchens und eines Meßgerätes findet man den entsprechenden Formalismus in [Zur91].
4
Meines Erachtens macht es sich David Deutsch [Deu96] für seine Erklärung des Doppelspaltexperiments und seine Vision von in parallelen Universen arbeitenden Quantencomputern zunutze, daß ohne Dekohärenz die Everettschen Zweige nicht entkoppelt sind, sondern miteinander wechselwirken. Das
eröffnet nach Deutsch die Möglichkeit, Information über Berechnungen in parallelen Universen zusammenzufassen, d.h. eine komplexe Berechnung auf mehrere Universen zu verteilen.
6
Die quantitativen Aspekte der Dekohärenz haben Joos und Zeh [Joo85] ausgearbeitet.
Sie haben beispielsweise explizit untersucht, welche Konsequenzen Wechselwirkungen mit
streuenden Photonen oder Luftmolekülen für die Lokalisierbarkeit makroskopischer Objekte haben. Diese Photonen und Moleküle sind es, die durch Streuprozesse den Ort eines
makroskopischen Teilchens ununterbrochen und insbesondere ’zum ersten Mal’ messen.
Das Resultat der Untersuchung von Joos und Zeh lautet, daß trotz des bereits angesprochenen inhärent quantenmechanischen Prozesses des Zerfließens von Wellenpaketen
in realistischen Situationen das Makroobjekt stets lokalisiert bleibt:
Alle ’makroskopischen’ Objekte sind immer bis auf ihre thermische de Broglie”
Wellenlänge lokalisiert.“[Joo90]
Diese ist außerordentlich klein, insbesondere ist sie proportional zu √M asse∗T1emperatur .
Für ein Staubkorn bei Zimmertemperatur beträgt sie etwa 10−14 cm [Joo90]. Es ist beeindruckend, wie stark dieser Effekt der räumlichen Lokalisierung durch Streuprozesse
ist. Für ein größeres Staubkorn reicht allein die kosmische Hintergrundstrahlung aus, um
Interferenzeffekte unbeobachtbar zu machen [Joo85].
Die Situation ist dennoch nicht frei von Schwierigkeiten. Lokalisierung heißt nicht,
daß zum Beispiel dem Staubkorn nun genau ein Ort (bis auf seine thermische deBroglieWellenlänge) zugeordnet werden kann, sondern gezeigt worden ist lediglich, daß Interferenzen zwischen verschiedenen Positionen, d.h. zwischen verschiedenen möglichen Zuständen,
nicht auftreten. Für die Betrachtung einer kontinuierlichen Variablen ergibt sich die
Schwierigkeit, daß die verschiedenen möglichen Zustände selbst im allgemeinen nicht gut
lokalisiert sind, sich also gar nicht eignen, um lokalisierte Teilchen darzustellen.
Ein möglicher Ausweg besteht darin, daß sich alle Messungen letztlich auf diskrete
Alternativen reduzieren. Kontinuierliche Variablen werden stets von diskreten Zeigern gemessen (z.B. von diskreten Zuständen der Nervenzellen im Gehirn). Dies reduziert die
Breite der Eigenzustände des Dichteoperators - die Alternativen der Messung - auf lokalisierte Intervalle [Joo85]. Wie im Falle diskreter Alternativen sind damit die Everettschen
Zweige klar definiert und dynamisch vollkommen unabhängig.
Ein weiterer Punkt ist bemerkenswert: Physikalische Wechselwirkungen, insbesondere Streuprozesse, sind räumlich lokal. Das führt zu einer Auszeichnung der Größe ’Ort’
gegenüber der Größe ’Impuls’.
Joos und Zeh betonen außerdem die Irreversibilität der Wechselwirkungen mit der
Umgebung. In realistischen Situationen sind einzelne Kopplungen am die Umgebung
zu ’schwach’, um die Außerdiagonalelemente des Dichteoperators des Systems zum Verschwinden zu bringen. Erst die Wechselwirkung mit beispielsweise sehr vielen Photonen
oder Molekülen führt zur Dekohärenz. Die Korrelationen in der Gesamtwellenfunktion
werden dann nicht mehr verschwinden, weil zu viele Freiheitsgrade der Umgebung involviert sind.
Fassen wir zusammen: Die allgegenwärtigen Wechselwirkungen mit der Umgebung
führen zur Dekohärenz. Insbesondere ’messen’ Photonen oder Moleküle durch Streuprozesse den Ort von makroskopischen Objekten, so daß diese stets bis auf ihre thermische
deBroglie-Wellenlänge lokalisiert sind. Klassizität - insbesondere Lokalität - ist keine Eigenschaft, die einem Objekt an sich zukommt, sondern die entscheidend durch die Kopplung an die Umgebung hervorgerufen wird.
7
Dieser Vorgang liefert die Antwort auf eine Frage, die mir Enrico Fermi
”
zu Beginn der fünfziger Jahre, als wir Kollegen an der Universität Chicago
waren, immer wieder gestellt hat: ’Wenn die Quantenmechanik zutrifft, wieso
ist dann der Planet Mars nicht über seine ganze Umlaufbahn verteilt ?’“
(M. Gell-Mann in [Gel94] S. 223)
Was ist nun gelöst? Abgesehen von Fermis Frage und Schrödingers Katzenparadoxon
liefert das Konzept der Dekohärenz, wie es Joos und Zeh entwickelt haben, die Antwort auf
die erste Frage aus der Einleitung. Vom Standpunkt der Physik aus liegt die Attraktivität
des Zugangs sicherlich darin, daß er überhaupt keine Interpretation, keine Metaphysik,
enthält, sondern lediglich die Konsequenz einer trivialen physikalischen Aussage ist: Es
gibt keine isolierten Systeme.
Jedoch stehen auf dieser Ebene die Antworten auf die anderen beiden gestellten Fragen aus: Warum gibt es in einer nichtlokalen Quantenwelt überhaupt lokale Beobach”
ter?“[Joo90]. Und noch zugespitzter: Wie hat sich dieses Universum aus einem angenommenen Quantengrundzustand heraus entwickelt?
4
Dekohärenz II: Warum gibt es Klassizität?
Will man versuchen, der Frage nach dem Vorhandensein von Lokalität im Universum
nachzugehen, muß man einen weiteren Schritt tun zu dem folgenden Ausgangspunkt:
Gegeben seien eine klassische Raum-Zeit-Struktur, sowie Anfangsbedingung und Wechselwirkungen der Elementarteilchen. Man kann versuchen, noch einen Schritt weiter zu
gehen und zu fragen, wie die klassische Raum-Zeit entstanden ist. Diese Frage wird im
nächsten Kapitel angeschnitten. Hier soll zunächst versucht werden zu umreißen, wie sich
mit dem Konzept der Dekohärenz der Ursprung ’quasiklassischer Bereiche’ im Universum
verstehen lassen könnte.
Gell-Mann und Hartle haben hierzu ein Programm ausgearbeitet [Gel90]. Der Begriff
der Dekohärenz wird allgemein gefaßt und auf Sequenzen von Alternativen in der Zeit
( alternative Geschichten“) ausgeweitet. Für die Beschreibung der Zeitentwicklung des
”
Universums sind drei Ingredienzen notwendig:
• Der Anfangszustand; er wird bei Gell-Mann und Hartle durch einen Dichteoperator
für einen reinen Zustand (siehe Kapitel 2) dargestellt.
• Operatoren, die irgendwelchen physikalischen Observablen zugeordnet sind. GellMann und Hartle beschränken die Diskussion auf ’Ja/Nein’-Observable, die formal
durch Projektionsoperatoren ausgedrückt werden. Jede physikalische Frage an ein
System, d.h. jede Spezifizierung (und auch jede Messung), kann durch eine entsprechende Entscheidungsfrage formuliert werden. Deshalb verliert man keine Allgemeinheit durch die Beschränkung auf ’Ja/Nein’-Observable.
• Information über die Art der Wechselwirkungen. Auf formaler Ebene ist diese Information im beschreibenden Hamilton-Operator Ĥ (s. die Schrödinger-Gleichung
in Kapitel 2) enthalten.
8
Stellt man zu jedem Zeitpunkt ’so viele Fragen wie möglich’, gewinnt also Information
über jeden Freiheitsgrad des Systems, so ist die Beschreibung vollständig ( feinkörnig“).
”
Verschiedene Alternativen, ausgedrückt durch verschiedene orthogonale Projektionsoperatoren, die sich auf dieselbe Frage beziehen, führen in der Zeit betrachtet zu verschiedenen Geschichten“des Universums. Diese verschiedenen Geschichten überlagern sich im
”
allgemeinen. Nur wenn sie grobkörnig“genug sind, d.h. wenn über genügend viele Frei”
heitsgrade summiert wird, weil sie nicht diskriminiert werden können, zerfallen sie in
dynamisch unabhängige, alternative Geschichten, denen Wahrscheinlichkeiten zugeordnet
werden können. Was ’grobkörnig’ genug heißen soll, wird von Gell-Mann und Hartle durch
Betrachtung eines ’Dekohärenz-Funktionals’ spezifiziert. Nur dekohärierende Geschichten
sind angemessen zur Beschreibung der Entwicklung des Universums, denn nur sie lassen
die Enstehung eines (quasi-)klassischen Bereiches zu, wie wir ihn erleben.
Man kann das gesamte Problem nun als ein rein algebraisches charakterisieren: Gegeben sei ein nicht näher spezifizierter Anfangszustand. Die Frage lautet dann: Welcher Satz,
oder besser, welche Sequenz von Sätzen von Projektionsoperatoren führt zur Dekohärenz?
Eine solche algebraische Beschreibung hat für sich genommen allerdings noch keinen
physikalichen Inhalt. Gell-Mann und Hartle betonen, daß man nicht nur die durch die
fundamentalen physikalischen Felder gegebenen Projektionsoperatoren betrachten muß,
sondern daß der Anfangszustand selbst entscheidenden Einfluß auf das Auftreten von Dekohärenz hat. Hier steckt die These, daß der Quantengrundzustand hinreichend ’komplex’
sein muß, damit Klassizität möglich wird.
Gell-Mann und Hartle sehen ihre Arbeit als eine Erweiterung oder Verbesserung der
Viele-Welten-Theorie von Everett. Sie sprechen statt von vielen Welten lieber von alternativen Geschichten. Dennoch bleibt die Frage: Wie wird über die Alternativen entschieden?
Warum leben wir in diesem Zweig des Universums und nicht in einem anderen?
Dekohärenz alternativer Geschichten mündet nicht zwangsläufig in Klassizität. Manche Geschichten mögen zu ’klassischeren’ Universen führen als andere. Das wird verständlich, wenn man sich überlegt, daß Dekohärenz im allgemeinen von der konkreten Vorgeschichte abhängig sein wird. Damit können die Geschichten verschiedener Zweige völlig
unterschiedlich verlaufen und insbesondere zu mehr oder weniger Klassizität führen, je
nachdem, welche Alternative am Verzweigungspunkt eingetreten ist.
Gell-Mann und Hartle suchen nach einem Maß für Klassizität. Mit einem solchen Maß
könnte man die Geschichte maximaler Klassizität identifizieren. Möglicherweise stellt sich
heraus, daß es (bis auf Äquivalenz) nur eine Geschichte maximaler Klassizität geben kann.
Damit wäre die Frage nach dem Zweig, in dem wir leben, beantwortet; abhängig von der
Anfangsbedingung des Universums und den fundamentalen Wechselwirkungen gibt es nur
eine Geschichte, die zu der Klassizität führt, die wir erleben.
Gell-Mann und Hartle schließen mit der Bemerkung, daß die ’Kopenhagener’ recht damit hatten, etwas zur Schrödinger-Gleichung und Wellenfunktion Externes anzunehmen,
um den Formalismus der Quantentheorie zu interpretieren. Dieses Externe sei aber nicht
eine präexistente klassische Welt, sondern die Anfangsbedingung des Universums erkläre
zusammen mit dem Hamilton-Operator für die fundamentalen Wechselwirkungen und
dem Mechanismus der Dekohärenz das Entstehen von Klassizität aus der Quantentheorie
selbst.
9
5
Dekohärenz III: Warum ist die Raum-Zeit nicht
verschmiert?
Im letzten Schritt soll kurz auf die Gravitation eingegangen werden und damit auf die
Frage, inwieweit es mit dem Konzept der Dekohärenz verstehbar ist, wie eine klassische
Raum-Zeit aus einem Quantengrundzustand entstanden sein kann. Die klassische Theorie der Gravitation ist die allgemeine Relativitätstheorie Albert Einsteins. Raum und
Zeit bekommen hier einen fundamental anderen Charakter als in der klassischen Physik
und auch in der Quantenmechanik und bilden nun nicht mehr nur die Arena, in der
”
die physikalischen Größen agieren“[Kie90], sondern werden in das dynamische Geschehen
einbezogen.
Das Bestreben, eine einheitliche Theorie für alle fundamentalen Wechselwirkungen zu
finden, erfordert eine Quantisierung der Gravitation. Eine solche allgemeine Theorie existiert bis heute nicht, obwohl viel Arbeit in diese Richtung gesteckt worden ist (Stichwort:
Superstring-Theorien). Es geht hier nicht darum, diese Theorien auch nur ansatzweise zu
analysieren, sondern den Zusammenhang zur Dekohärenz aufzuzeigen.
Quantisierung der allgemeinen Relativitätstheorie - ob nun in Vereinheitlichung mit
Theorien für die anderen fundamentalen Wechselwirkungen oder für sich betrachtet - bedeutet Quantisierung der Raum-Zeit-Geometrie. Es gilt dann wie für die Wellenfunktionen der Quantenmechanik das Superpositionsprinzip - jetzt aber für verschiedene RaumZeiten. Das bedeutet, daß in diesem Rahmen, der Begriff der Raum-Zeit (...) ein klas”
sischer Artefakt und genauso sinnlos (ist) wie der Begriff der Teilchenbahn in der Quantenmechanik.“[Kie90]
Nun koppelt aber die Raum-Zeit an Materie, an Gravitationswellen und an Dichtestörungen. Diese Kopplungen spielen eine ähnliche Rolle wie die in Kapitel 3 betrachteten Streuungen von Photonen oder Molekülen an makroskopischen Objekten. Durch
Summation über diese Freiheitsgrade der ’Umgebung’ der Raumzeit kommt es zur Dekohärenz5 Die Zeit wird zu einer perfekt klassischen Variablen [Kie90], die gesamte Wellenfunktion zerfällt in dynamisch vollkommen unabhängige Komponenten (Zweige), von
denen jede ein Universum mit klassischer Raum-Zeit-Struktur beschreibt [Kie96].
Die Zweige für verschiedene Raum-Zeiten sind in diesem Bild definiert, aber wie findet
die Auswahl statt, welcher Weg eingeschlagen wird?
6
Schlußbemerkungen
Dekohärenz erklärt teilweise das Vorhandensein klassischer Eigenschaften. Makroskopische Objekte wechselwirken in nicht zu vernachlässigender Weise mit ihrer Umgebung.
5
Man ist versucht zu fragen, was die Umgebung des Universums sein soll. Die Frage stellt sich aber
nicht in dieser Form. In einer Theorie der Quantengravitation betrachtet man Wellenfunktionen, die
auf einem Konfigurationsraum definiert sind, der wesentlich mehr als ein einzelnes Universum darstellt.
In konkreten Modellen, wie zum Beispiel dem Friedmann-Universum, schränkt man die unendlich vielen
Freiheitsgrade auf eine kleine Anzahl ein, die explizit betrachtet werden. Die übrigen Freiheitsgrade bilden
dann die Umgebung.[Kie90]
10
Dadurch werden Kohärenzen dislokalisiert, das bedeutet, daß am lokalen Subsystem keine Interferenzeffekte beobachtet werden können.
Das Konzept kann ausgeweitet werden auf die Betrachtung des gesamten Universums
(und streng genommen muß es das auch, weil es ja gerade zeigt, daß es keine isolierten
Subsysteme gibt). Nur dekohärierende Geschichten des Universums können Klassizität
entstehen lassen. Vielleicht gibt es nur eine Geschichte, die aus der Anfangsbedingung
des Universums heraus zu der Klassizität führt, die unsere Welt zeigt. Auch das Entstehen einer klassischen Raum-Zeit aus einem Quantengrundzustand mag durch diesen
Mechanismus verstehbar sein.
Dekohärenz ist ein physikalisches Phänomen (zumindest in dem Sinne, in dem Joos und
Zeh den Begriff verwenden). Das Konzept enthält in diesem Sinne keine Metaphysik, sondern ist die Konsequenz einer unbestreitbaren physikalischen Gegebenheit, der Kopplung
an die Umgebung. Dennoch ist die Theorie verwirrend. ’Global’, d.h. in der Gesamtwellenfunktion, bleiben Superpositionen und Interferenzen bestehen. Klassizität erscheint als
Maja, Blendwerk oder Täuschung aus der Perspektive von lokalen Beobachtern.“ 6
”
Gell-Mann scheint diese Verwirrung nicht zu teilen: Quantum mechanics is best and
”
most fundamentally understood in the context of quantum cosmology“[Gel90], schreiben
Hartle und er am Ende ihres Aufsatzes über Dekohärenz. In seinem populärwissenschaftlichen Buch ’Das Quark und der Jaguar’([Gel94], S. 245) gibt er die Parole aus:
Die theoretischen Physiker, die an der modernen Interpretation der Quan”
tenmechanik arbeiten, möchten, daß die Epoche zu Ende geht, die unter dem
Diktum von Niels Bohr stand: ’Wer behauptet, über die Quantenmechanik
nachdenken zu können, ohne verrückt zu werden, zeigt damit bloß, daß er
nicht das Geringste davon verstanden hat.’“
Eine persönliche Bemerkung zum Schluß: Vielleicht muß man nicht in erster Linie
Nobelpreisträger, sondern Amerikaner sein, um an der Quantenmechanik nicht verrückt zu
werden. Heisenberg berichtet in seinem Buch ’Der Teil und das Ganze’ ([Hei69], 8.Kapitel)
von der Begegnung mit amerikanischen Physikern während einer Vortragsreise 1929. Den
Experimentalphysiker Barton zitiert er mit den Worten:
Ihr Europäer, und besonders ihr Deutschen, neigt dazu, solche Erkennt”
nisse so schrecklich prinzipiell zu nehmen. Wir sehen das viel einfacher. (...)
Im Grunde verhält sich der Physiker, auch der Theoretiker, doch hier einfach
wie der Ingenieur, der etwa eine Brücke konstruieren soll. Nehmen wir an, er
bemerkt dabei, daß die statistischen Formeln, die man bisher benutzt hatte,
für seine neue Konstruktion noch nicht ganz ausreichen. Er muß (...) noch
Korrekturen anbringen. (...) Damit kommt er zu besseren Formeln, (...) und
jeder wird sich über den Fortschritt freuen. (...)“
6
So formuliert von Peter Eisenhardt in seinem Expose zum Seminar ’Quantentheorie und Komplexität’.
11
Literatur
[Bel72]
J.S. Bell in: K. Baumann und R.U. Sexl, Die Deutungen der Quantentheorie, BraunschweigWiesbaden 3 1987.
[Bor26]
M. Born in: K. Baumann und R.U. Sexl, Die Deutungen der Quantentheorie, BraunschweigWiesbaden 3 1987.
[Deu96]
D. Deutsch, Die Physik der Welterkenntnis, Basel/Boston/Berlin 1996.
[Eve57]
H. Everett III, Rev. Mod. Phys. 29 (1957) 454.
[Gel90]
M. Gell-Mann und J.B. Hartle in: W.H. Zurek (ed.), Complexity, Entropy, and the Physics
of Information, Addison-Wesley 1990.
[Gel94]
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[Hei58]
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