Übungszettel 4 - Potentialstufe und Potentialtopf

Übungszettel 4
Quantenmechanik - SoSe 2011
Übungszettel 4 - Potentialstufe und Potentialtopf
(Abgabetermin: 12.05.2011)
Aufgabe 1 - Potentialstufe (35 Punkte)
(a) Betrachte die eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung eines Masseteilchens der Masse m mit
folgendem Potential (V0 > 0)
(
0,
V0 ,
V (x) =
x≤0
x≥0
Skizziere das Potential und schreibe die zeitunabhängige Schrödingergleichung in beiden Bereichen des Potentials explizit auf.
(b) Berechne das Energiespektrum und die Lösungswellenfunktionen für dieses Potential für eine von −∞ einfallende Materiewelle ϕ0 (x) = eik0 x . Benutze Stetigkeitsbedingungen für die Wellenfunktion und deren Ableitung
um die Lösungen für die beiden Bereiche miteinander zu verknüpfen.
Hinweis: Die physikalische Randbedingung, dass wir eine von
deutet, dass im Bereich
x ≥ 0
+∞
E < V0
nur eine nach
−∞
einfallende Materiewelle betrachten be-
laufende Welle als Lösung zugelassen wird, sofern die
V0 ist. Für
stellt sich diese Frage natürlich nicht, da dort nur eine
Wellenrichtung physikalisch sinnvoll ist. Welche und warum?
Energie des Teilchens gröÿer als
(c) Berechne, skizziere und interpretiere die Wahrscheinlichkeitsdichte |Ψ (x)|2 der Lösungen für die beiden
möglichen Energiebereiche des Teilchens.
(d) Berechne die Wahrscheinlichkeitsstromdichte j (x) der einfallenden (nach rechts laufend für x ≤ 0, mit j0 (x)
bezeichnet), reektierten (nach links laufend für x ≤ 0, mit jr (x) bezeichnet) und durchgelassenen (nach rechts
laufend für x ≥ 0, mit jd (x) bezeichnet) Teilwellen in den Lösungswellenfunktionen zu den verschiedenen
Energien
j (x) =
~
2mi
ϕ∗ (x)
d
d
ϕ (x) − ϕ (x) ϕ∗ (x)
dx
dx
Berechne den so genannten Transmissionskoezienten T und den Reexionskoezienten R, welche gegeben
sind durch
T =
|jd |
;
|j0 |
R=
|jr |
|j0 |
Interpretiere das Resultat physikalisch.
(e) Skizziere das Potential (mit Ṽ0 > 0 in der Einheit Energie durch Weg)
(
V (x) =
0,
x≤0
Ṽ0 x, x ≥ 0
Beschreibe und skizziere grob wie die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der Lösungswellenfunktionen zu diesem
Potential aussehen.
Hinweis: Gehe nicht zu sehr ins Detail. Hier soll nicht gerechnet werden. Benutze physikalische Intuition
und die bisherigen Ergebnisse aus dieser Aufgabe.
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Übungszettel 4
Quantenmechanik - SoSe 2011
Aufgabe 2 - Asymmetrischer Potentialtopf (25 Punkte)
(a) Betrachte die eindimensionale, zeitunabhängige Schrödingergleichung eines Masseteilchens der Masse m mit
folgendem Potential (V0 > 0)


x≤0
∞,
V (x) = −V0 , 0 ≤ x ≤ d


0,
x≥d
Skizziere das Potential und schreibe die zeitunabhängige Schrödingergleichung in beiden Bereichen des Potentials für x ≥ 0 explizit auf.
(b) Betrachte einen unendlichen Potentialsprung wie im Potential aus Teilaufgabe (a). Selbst unter der Annahme,
dass
die Lösungswellenfunktion Ψ (x) der zeitunabhängige Schrödingergleichung stetig ist, ist die Ableitung
0
Ψ (x) nicht notwendigerweise stetig am unendlichen Sprung des Potentials. Zeige diese Aussage durch formale
Integration der zeitunabhängigen Schrödingergleichung.
(c) Berechne die Bedingung für die erlaubten Energien im Fall E < 0.
Hinweis: Setze für das
0 ≤ x ≤ dq
Gebiet die Wellenfunktion Ψ (x) = A sin (k0 x + θ) an.
als implizite Gleichung für
k0 =
Das Zwischenergebnis
2m(E+V0 )
ist
~2
√
−
−2mE
= tan (k0 d)
~k0
(d) Schreibe das obige Zwischenergebnis für die Energieeigenwerte für verschiedene Werte von V0 in die Form
sin (k0 d)
=τ
(k0 d)
um, mit anderen Worten bestimmte τ in obiger Gleichung. Gib den prinzipiell erlaubten Bereich der zulässigen
Werte für das Produkt k0 d an.
Hinweis: Beweise und benutze
∀x ∈ R
1 + cot2 (x) = sin21(x) . Beachte, dass
Vorzeichenrelation für tan (k0 d) als Konsequenz des
die trigonometrische Identität
k0 d erlaubt sind wegen der festen
Zwischenergebnisses aus Teilaufgabe (c).
nicht alle Werte von
(e) Ab welchen Wert von V0 existiert ein gebundener Zustand, also eine Lösungswellenfunktion für E < 0?
sin x
unter der Identikation x = k0 d. Dann diskutiere graphisch ab welchen
x
sin x
für den hier erlaubten Bereich von x (siehe Teilaufgabe (d)) die Gleichung x = τ mindestens
Hinweis: Plotte die Funktion
Werten von
τ
eine Lösung hat.
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