Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung

Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
Lukas Brunner
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
1
Problemstellung und Vorgangsweise
Gegeben sei ein unendlich tiefer Potentialtiopf in einer Dimension. Sein Potential ist
gegeben mit:
(
0 x ∈ [x1 , x2 ]
V (x) =
(1)
∞
sonst
In diesem System befinde sich ein Quantenmechanisches Teilchen, das durch eine
Wellenfunktion beschrieben wird. Da sich das Teilchen in einem gebunden Zustand
befindet kann es nur diskrete Energieniveaus und die damit verbundenen Eigenfunktionen annehmen. In Kapitel 2 wird die Eigenwertgleichung für dieses Problem analytisch gelöst. Dazu werden insbesondere natürliche Einheiten eingeführt, die auch
in den folgenden Kapiteln weiter verwendet werden.
Das Potential (1) wird dann etwas verallgemeinert, indem innerhalb des Potentialtopfs ein beliebiges Potential ve zugelassen wird. In Kapital 3 wird die Differentialgleichung für dieses allgemeine Potential zuerst als Anfangswertproblem mit Runge–
Kutta 4 nummerisch gelöst. Dann daraus mit einer Nullstellensuche die Lösung der
Eigenwertgleichung konstruiert.
In Kapitel 4 werden dann zuerst verschiedene Energien des ungestörten Problems
genauer betrachtet und dann 2 Störpotentiale untersucht.
1/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
2
2.1
Analytische Lösung des unendlich tiefen Potentialtopfs
Quantenmechanische Grundgleichungen
Ein Quantenmechanisches Teilchen wird durch eine komplexwertige Wellenfunktion ψ(~r, t) ∈ C beschrieben. Die Zeitentwicklung ist über die Schrödingergleichung
gegeben:
∂
ψ(~r, t) = Ĥψ(~r, t)
∂t
~2
Ĥ ≡ −
∆ + V (~r)
2m
i~
(2)
Für Nicht–Zeitabhängige Potenitale V erfolgt der Übergang auf die Zeitfreie Schrödingergleichung mit einem Produktansatz:
i
ψ(~r, t) = e− ~ E∗t ∗ ψ(~r)
Ansatz
i
∂
∂
i~ ψ(~r, t) = ψ(~r) ∗ i~ e− ~ E∗t = E ψ(~r, t)
∂t
∂t
i
Ĥψ(~r, t) = e− ~ E∗t Ĥψ(~r) = E ψ(~r, t)
→ Ĥψn (~r) = En ψn (~r)
(3)
Gleichung (3) ist eine Eigenwertgleichung, das heißt sie ist nur für bestimmte Eigenfunktionen ψn (~r) lösbar. Für die Wellenfunktion gilt eine Normierung die durch den
Produktansatz erhalten bleibt:
Z
Z Z
!
− ~i E∗t 2
2
2
1=
|ψ(~r, t)| dV =
|ψ(~r)|2 dV
(4)
e
|ψ(~r)| dV =
V
V
V
Das Betragsquadrat der Wellenfunktion multipliziert mit einem Raumelement dV
ist damit die Wahrscheinlichkeit das Teilchen im Volumen dV zu finden. Die Wellenfunktion muss außerdem stetig und stetig differenzierbar sein. Das heißt es gelten insbesondere für unterschiedliche Raumbereiche, in denen Wellenfunktionen ψn (~r ≤ 0)
und ψ n (~r ≥ 0) gegeben sind, Anschlussbedingungen:
!
!
0
ψn0 (0) = ψ n (0)
ψn (0) = ψ n (0)
(5)
Die Observablen der Quantenmechanik sind durch die Erwartungswerte selbstadjungierter Operatoren gegeben:
Z
hÔi =
ψ(~r) Ô ψ(~r) dV
(6)
V
2/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
2.2
Der unendlich–tiefe Potentialtopf
Ein besonders einfaches Potential stellt der unendlich tiefe Potentialtopf dar, da er
quantenmechanische Tunneleffekte verhindert. Hier ist er gegeben mit:
(
0
für 0 ≤ x ≤ L
V (x) =
(7)
∞
sonst
Die Wellenfunktion in den Außenbereichen muss muss für dieses Potential identisch
verschwinden. Als erster Schritt zur Lösung wird die Schrödingergleichung Dimensionslos gemacht. Es wird eine natürliche Energieeinheit definiert als:
E≡
~2 1
[J]
m L2
(8)
Dividiert man die Schrödingergleichung (3) durch diesen Wert erhält man (in einer
Dimension):
1 2 d2
V (x)
E
− L
+
ψ(x) =
ψ(x)
(9)
2 dx2
E
E
Damit lassen sich dimensionslose Größen definieren:
x
[1]
L
V (L ∗ s)
v(s) ≡
[1]
E
E
[1]
≡
E √
ϕ (s) ≡ L ψ(L ∗ s) [1]
s≡
(10)
Mit diesen Definitionen erhält man aus (7) und (9) die dimensionslose Schrödingergleichung, sowie das Potential und die Randbedingungen zu:
1 d2
−
+
v(s)
ϕ (s) = ϕ (s)
(11)
2 ds2
(
0 s ∈ [0, 1]
v(s) =
(12)
∞
sonst
ϕ (s) = 0
für s ∈
/ [0, 1]
(13)
Das Normierungsintegral (4) ist auch weiterhin erfüllt:
Z ∞
Z ∞
L∗s≡x |ϕ (s)|2 ds = L
|ψ(L ∗ s)|2 ds = L
∗
ds
=
dx
s=−∞
s=−∞
Z ∞
=
|ψ(x)|2 dx = 1
x=−∞
3/13
(14)
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
Verknüpft man jetzt die Gleichungen (11), (12) und (13) erhält man eine Schwingungsgleichung, die durch eine Linearkombination aus Sinus und Kosinus gelöst wird:
d2
ϕ (s) = −2 ϕ (s) ≡ −ω 2 ϕ (s)
ds2
mit ω =
√
2
(15)
Berücksichtigt man jetzt noch die Stetigkeitsbedingungen (5) erhält man als Lösung:
ϕ (s) = A sin(ωs) + B cos(ωs)
ϕ (s = 0) = 0 → B = 0
ϕ (s = 1) = 0 → A sin(ω) = 0
√
→ ω = 2 = nπ
mit n ∈ N
n2 π 2
Erlaubte Energieeigenwerte
2(
An sin(nπs) s ∈ [0, 1]
ϕn (s) =
Zugehörige Eigenfunktionen
0
sonst
n =
(16)
(17)
Der Vorfaktor A kann über das Normierungsintegral bestimmt werden, man erhält
in zu:
Z ∞
Z 1
nπs ≡ r 2
2
2
1=
|ϕn (s)| ds = An
sin (nπs) ds = 1
dr
ds
=
s=−∞
s=0
nπ
Z
Z
A2 nπ 2
A2 π
A2
= n
sin (r) dr = n
sin2 (r) dr = n = 1
nπ r=0
π r=0
2
√
→ An = 2 ∀ n
(18)
2.3
Allgemeines Problem im unendlich tiefen Potentialtopf
Es ist ein weiterer Folge möglich das Potential innerhalb des Potentialtopfes zu variieren und insbesondere ungleich 0 zu wählen. Die Gleichungen (11), (12) und (13)
verändern sich dann zu:
1 d2
−
+
v(s)
ϕ (s) = ϕ (s)
(19)
2 ds2
(
ve(s) s ∈ [0, 1]
v(s) =
(20)
∞
sonst
ϕ (s) = 0
für s ∈
/ [0, 1]
(21)
Gleichung (19) reduziert sich jetzt nicht mehr auf den einfachen Fall einer Schwingungsgleichung. Es ist jedoch möglich sie durch zerlegen in ein System von Differen-
4/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
tialgleichungen 1.Ordnung mittels Runge–Kutta 4 zu lösen. Dafür definiert man:
d
ϕ (s) = ϕ0 (s)
ds
d 0
d2
ϕ (s) = 2 ϕ (s) = 2 (e
v (s) − ) ϕ (s)
ds
ds !
ϕ (s)
f~ (s) ≡
ϕ0 (s)
!
ϕ0 (s)
d ~
f (s) =
≡ F~ f~ (s), s
ds
2 (e
v (s) − ) ϕ (s)
5/13
(22)
(23)
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
3
Implementation
Um (23) nummerisch lösen zu können muss die Variable s diskretisiert werden:
s → n∆
mit n = 0, 1, . . . , N ;
∆=
f~ (s) → f~ (n∆) ≡ f~n
1
N
(24)
Jetzt kann der Vektor f~n+1 aus dem Vektor f~n mittels der durch das Runge–Kutta
Verfahren definierten Rekursionsvorschrift berechnet werden zu:
∆ ~
k1 + 2~k2 + 2~k3 + ~k4
(25)
f~n+1 = f~n +
6
Mit den Stützstellen ~ki :
~k1 = F~ f~n , n∆
~k2 = F~ f~n + ∆ ~k1 , n∆ + ∆
2
2
∆
∆
~k3 = F~ f~n + ~k2 , n∆ +
2
2
~k4 = F~ f~n + ∆~k3 , n∆ + ∆
Da der unendlich tiefe Potentialtopf ein Randwertproblem darstellt, das Runge–
Kutta Verfahren jedoch zum Starten Anfangswerte benötigt wird hier als Anfangswert der ersten Ableitung zunächst Willkürlich ϕ0 (s = 0) = 1 verwendet. Die Anfangswerte ergeben sich dann mit einem der beider der beiden Randbedingungen
zu:
!
!
ϕ
(0)
0
=
(26)
f~0 =
ϕ0 (0)
1
Im Programm wird die Berechnung von (25) in einem Unterprogramm solve durchgeführt. Wobei die Variablen h, y, k1, k2, k3, k4 als valarrays definiert wurden:
v o i d s o l v e ( double e p s i l o n )
{
double n=0;
y [ 0 ] = 0;
y [ 1 ] = 1;
f o r ( int i =0; i <max ; i ++)
{
6/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
pot ( y , k1 , n , e p s i l o n ) ;
h=y+k1 ∗ d e l t a ∗ 0 . 5 ;
pot ( h , k2 , n+0.5∗ d e l t a , e p s i l o n ) ;
h=y+k2 ∗ d e l t a ∗ 0 . 5 ;
pot ( h , k3 , n+0.5∗ d e l t a , e p s i l o n ) ;
h=y+k3 ∗ d e l t a ;
f c a l c ( h , k4 , n+d e l t a , e ) ;
y=y+d e l t a / 6 . 0 ∗ ( k1 +2.0∗ k2 +2.0∗ k3+k4 ) ;
n=n+d e l t a ;
Das Unterprogramm pot implementiert die verschiedenen Potentiale ve(s). Da es sich
hier aber um ein Randwertproblem handelt, ist eine Lösung des Anfangswertproblems
für ein bestimmtes Potential und einen bestimmten Energieparameter epsilon im
Allgemeinen keine Lösung des Gesamtproblems. Es muss daher eine Nullstellensuche
durchgeführt werden damit die Lösung auch den zweiten Randwert ϕ (s = 1) = 0
erfüllt. Das hat zur Folge das die Gleichung nicht für beliebige Energien lösbar ist. Um
die Nullstellensuche zu initialisieren gibt man im Hauptprogramm 2 geratene Werte
1 < 2 ein, für die gilt ϕ1 (1) ∗ ϕ2 (1) < 0. Diese beide Bedingungen werden zuerst
überprüft, dann wird die Nullstellensuche gestartet und läuft so lange bis die zweite
Randbedingung mit einer vorgegebenen Genauigkeit eps erreicht ist. Damit wird
auch die zunächst freie Wahl der zweiten Anfangsbedingung für das Runge–Kutta
Verfahren relativiert, die sie lediglich einer Veränderung der Energie entspricht. Die
Nullstellensuche hat die Form:
while ( s q r t ( ( e1−e2 ) ∗ ( e1−e2 ))> e p s )
{
e p s i l o n =(e1+e2 ) / 2 ;
rk4solve ( epsilon ) ;
i f ( y a l t ∗y [ 0 ] < 0 )
{
e2=e p s i l o n ;
y a l t=y [ 0 ] ;
}
else
{
7/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
e1=e p s i l o n ;
y a l t=y [ 0 ] ;
}
Für den erhaltenen Energiewert, der jetzt ein Eigenwert des spezifischen Potentials
ist kann jetzt nochmals das Unterprogramm solve aufgerufen werden und das normierte Betragsquadrat der Wellenfunktion für jeden Punkt berechnet und auf eine
Ausgabedatei ausgeschrieben werden. Dazu wird eine boolsche Variable write=true
gesetzt womit nach jedem Durchlauf des Runge–Kutta Algorithmus eine weitere
Schleife durchlaufen wird:
i f ( write )
{
I=I+y [ 0 ] ∗ y [ 0 ] ;
I=I ∗ d e l t a ;
output << n << " ␣" << y [ 0 ] ∗ y [ 0 ] / I << e n d l ;
EWe=(EWe+n∗y [ 0 ] ∗ y [ 0 ] / I ) ∗ d e l t a ;
EWee=EWee+n∗n∗y [ 0 ] ∗ y [ 0 ] / I ;
EWee=s q r t ( d e l t a ∗EWee−( d e l t a ∗EWe) ∗ ( d e l t a ∗EWe) ) ;
EWp=(EWp+y [ 0 ] ∗ y [ 1 ] / I ) ∗ d e l t a ;
EWpp=EWpp+y [ 1 ] ∗ y [ 1 ] / I ;
EWpp=s q r t ( d e l t a ∗EWpp−( d e l t a ∗EWp) ∗ ( d e l t a ∗EWp) ) ;
}
Die Variablen EWe, EWee, EWp, EWpp berechnen die Erwartungswerte für Ort und
Impuls, sowie deren Streuung. Sie werden zusammen mit dem gefundenen Energieeigentwert im Hauptprogramm ausgegeben.
8/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
4
4.1
Untersuchung unterschiedlicher Potentiale
Der ungestörte Potentialtopf
Das Programm wird jetzt zuerst für den in Kapitel 2.2 besprochenen unendlich tiefen
Potentialtopf untersucht und die Ergebnisse mit den Analytischen Lösungen verglichen. Mit der Nullstellensuche wird versucht den tiefsten Energieeigentwert zu finden.
Für die Energiewerte 1 = 0 und 2 = 5 gibt der Kompiler das erste Mal keine Warnung mehr aus, was sich beim Vergleich mit der Analytischen Lösung (16) als richtig
herausstellt. Der tiefste nicht verschwindende Energieeigenwert ergibt sich daraus in
natürlichen Einheiten zu:
1 =
12 π 2 ∼
= 4, 934802201
2
Wobei sich der Einser im Index hier die Eigenwerte durchnummeriert während er
bisher zur Unterscheidung der beiden Energiegrenzen zur Initialiserung der Nullstellensuche verwendet wurde. Aus dem Programm erhält man für die niedrigste
Energie einen nummerischen Wert von epsilon=4,93480. Weiter wird das Betragsquadrat der Wellenfunktion als Funktion des Ortes aufgetragen. Es ergibt sich ein
quadratischer Sinus im Bereich von 0 bis Pi. Die Fläche unter der Kurve wird mit
dem Programm Oti–Plot nummerisch Integriert und ergibt wie von der Normierung
gefordert den Wert 1 (siehe Abbildung 1).
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
2,5
2,5
Wellenfunktion Betragsquadrat
Nummerische Integration
2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
s-Achse
Abbildung 1: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte als Funktion des Ortes
Als Observablen werden von dem Programm noch der Erwartungswert des Ortes und
9/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
des Impulses sowie deren Standardabweichung ausgegeben:
hsi = (0, 5 ± 0, 2)
hpi = (−5 ± 3 ∗ 109 ) ∗ 10−9
Der Erwartungswert des Ortes liegt für dieses Symmetrische Problem trivialerweise
genau in der Mitte und streut nur geringfügig da der Sinus nur ein Maximum hat.
Der Erwartungswert des Impulses hingegen streut aufgrund der genauen Lokalisation
des Ortes im Potentialtopf sehr stark.
Der tiefste Energieeigenwert hat eine symmetrische Wellenfunktion als Lösung. Als
zweiten Eigenwert für den ungestörten Potentialtopf wird daher jetzt versucht eine
antisymmetrische Lösung zu finden. Es ist bekannt das sich symmetrische und antisymmetrische Lösungen abwechseln, der Eigenwert mit dem Index 10 sollte daher
eine Antisymmetrische Wellenfunktion als zugehörige Eigenfunktion besitzen. Aus
der analytischen Lösung folgt für ihn ein Wert von:
10 =
102 π 2 ∼
= 493.4802201
2
Es wird also wiederum eine Nullstellensuche gestartet und der vom Programm gefundene Eigenwert epsilon=493,480 stimmt wieder auf alle angegebenen Kommastellen
genau mit dem Analytischen überein. Auch die nummerische Integration liefert wieder den geforderten Wert wie in Abbildung 2 zu sehen ist.
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
2,5
2,5
Wellenfunktion Betragsquadrat
Nummerische Integration
2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
s-Achse
Abbildung 2: Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte als Funktion des Ortes
10/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
Die zugehörigen Observablen ergeben sich zu:
hsi = (0, 5 ± 0, 3)
hpi = (1 ± 3 ∗ 109 ) ∗ 10−8
4.2
Potentialtopf mit Störung
Als Erste Störung wird im Unterprogramm pot ein relativ einfaches Potential implementiert:
h=20∗( s i n ( 6 . 1 4 2 ∗ n ) ∗ s i n ( 6 . 1 4 2 ∗ n)+n∗n ) ;
f [0]= y [ 1 ] ;
f [ 1 ] = 2 . 0 ∗ ( h−e p s i l o n ) ∗ y [ 0 ] ;
In Abbildung 3 ist bis auf einen Vorfaktor die Form des Potentials zu sehen, sowie
die Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der ersten drei Eigenwerte.
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
3,5
3,5
Pot*0,05
|phi_1|^2
|phi_2|^2
|phi_3|^3
3
2,5
3
2,5
2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
s-Achse
Abbildung 3: |ϕ (s)|2 für die ersten drei Energieeigenwerte mit Störung
Weiter werden die ersten 5 Energieeigenwerte genauer untersucht. Die nummerischen
Werte des Programms können für diese einfache Störung mit Hilfe der Rayleigh–
Schrödinger Störungstheorie näherungsweise überprüft werden. Sofern die Lösung
des ungestörten Problems bekannt ist, ist es möglich den Energieeigenwert eines
gestörten Problems mit Korrekturen beliebiger Ordnungen zu nähern. Da die Analytische Lösung des ungestörten unendlich tiefen Potentialtopfs gegeben ist kann dieser
11/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
Ansatz hier verwendet werden:
Ĥ = Ĥ (0) + λĤ (1)
Ĥ (0) = −
1 d2
2 ds2
En = En(0) + λEn(1) + O(λ2 )
Ĥ (1) = ve(s) = 20 sin(2πs)2 + s2
Als Korrekturterm wird hier nur die erste Ordnung verwendet, sie wird mit Mathematica analytisch gelöst:
Z 1
2
50
10
(1)
(0)
(1) (0)
En = hn |Ĥ |n i = 40
sin (nπs) sin2 (2πs) + s2 ds =
− 2 2
3
n π
0
Wobei Dirac–Notation verwendet wurde und |n(0) i mit (17) und der Normierung (18)
gegeben ist. Die werte des Programms können jetzt mit der Summe aus ungestörter
Energie (16) und linearer Korrektur verglichen werden:
Nummerisch
Rayleigh–Schrödinger
1 = 19, 1398
1 = 4.93480 + 15.6535 = 20.5883
2 = 40, 3245
2 = 19.7392 + 16.4134 = 36.1526
3 = 62, 5514
3 = 44.4132 + 16.5541 = 60.9673
4 = 95, 9880
4 = 78.9568 + 16.6033 = 95.5602
5 = 140, 440
5 = 123.370 + 16.6261 = 139.996
Die Werte stimmen für dieses Einfache Potential gut überein, die größten Abweichungen ergeben sich beim Eigenwert 2 .
Als zweites Störpotenial wurde eine Linearkombination aus Exponentialfunktionen
verwendet:
2
2
2
ve(s) = 50 e−100(s−0.5) + 2e−100(s−0.7) + e−400(s−0.9)
In Abbildung 4 wurde wieder eine Kurve proportional zum Potential sowie die ersten
4 Eigenfunktionen aufgetragen. Deutlicher als bereits in Abbildung 3 sieht man dass
die Eigenfunktionen tieferer Energien beim Maximum des Potentials eine niedrigere
Aufenthalswahrscheinlichkeit besitzen. Im Gegensatz dazu sind die Aufenthaltswahrscheinlichkeit größerer Energien in diesem Bereich sogar höher. Das ist auch beim
12/13
Lösung der zeitfreien Schrödingergleichung
Erwartungswert des Ortes für die verschiedenen Energien sichtbar:
hsi1 = (0, 3 ± 0, 1)
hsi2 = (0, 4 ± 0, 2)
hsi3 = (0, 5 ± 0, 3)
hsi4 = (0, 5 ± 0, 3)
hsi5 = (0, 6 ± 0, 3)
Die ersten Eigenenergien ergeben sich zu:
1 = 19, 4386
2 = 62, 3316
3 = 109, 905
4 = 161, 617
5 = 212, 031
Während bei der ersten Störung der Zusammenhang mit den Ungestörten Energien
noch in guter Näherung eine Konstante war, ist hier für die Untersuchten Werte keine
so einfacher Zusammenhang feststellbar.
Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte
4
4
Pot*0,02
|phi_1|^2
|phi_2|^2
|phi_3|^2
|phi_4|^2
3,5
3
3,5
3
2,5
2,5
2
2
1,5
1,5
1
1
0,5
0,5
0
0
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
s-Achse
Abbildung 4: |ϕ (s)|2 für die ersten vier Energieeigenwerte mit Störung
13/13