2.2 Zyklische Gruppen - Fakultät für Mathematik, TU Dortmund

Diskrete Geometrie – (Version 3) – 30. Oktober 2011
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c Rudolf Scharlau
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Zyklische Gruppen
Eine Gruppe heißt zyklisch, wenn sie aus den Potenzen eines festen Elementes
besteht (bei multiplikativer Schreibweise). Solche Gruppen tauchen in ganz unterschiedlichen Kontexten auf, von der elementaren Zahlentheorie bis zu geometrischen Situationen verschiedener Art. Trotzdem haben alle die gleiche Struktur.
Der Prototyp einer endlichen zyklischen Gruppe ist die aus der Linearen Algebra
bekannte Reste-Gruppe bzw. Restklassen-Gruppe (Zm , +m ) bzw. (Z/mZ, +); siehe [LinA, 1.3.12 und 1.4.13]. Im unendlichen Fall hat man die Gruppe Z als im
wesentlichen einzige zyklische Gruppe.
Im Zusammenhang mit der Untersuchung zyklischer Gruppen steht der Begriff der Ordnung eines Elementes. Er wird in diesem Abschnitt eingeführt und in
einigen wichtigen Situationen studiert. Er spielt eine grundlegende Rolle für jegliche Untersuchung endlicher Gruppen, sei es in der abstrakten Gruppentheorie,
der Zahlentheorie oder der Geometrie.
Die Bedeutung der zyklischen Gruppen in der (ebenen) Geometrie wird durch
die Sätze 2.2.13 und 2.2.14 beleuchtet, die zum Abschluss dieses Abschnittes
formuliert und bewiesen werden.
Vor dem eigentlichen Thema noch eine kleine Ergänzung zur allgemeinen Gruppentheorie.
Satz 2.2.1 Es seien (G, ·) und (H, ∗) Gruppen und ϕ : G → H ein Homomorphismus.
a) Für jede Untergruppe A ⊆ G ist das Bild ϕ(A) = {ϕ(x) | x ∈ A} eine
Untergruppe von H.
b) Für jede Untergruppe B ⊆ H ist das Urbild ϕ−1 (B) = {x ∈ G | ϕ(x) ∈ B}
eine Untergruppe von G.
c) Insbesondere ist der Kern von ϕ
Ker ϕ := {x ∈ G | ϕ(x) = eH }
eine Untergruppe.
ϕ ist injektiv genau dann, wenn der Kern trivial ist: Ker ϕ = {eG }.
Die entsprechenden Sachverhalte für Vektorräume, lineare Abbildungen und Teilräume sind sicher vertraut. Die letzte Aussage ist eine Variante der bekannten
Tatsache, daß eine lineare Abbildung genau dann injektiv ist, wenn ihr Kern
nur aus der Null besteht. Der Kern eines Gruppenhomomorphismus ist übrigens
keine beliebige Untergruppe, sondern ein sogenannter Normalteiler; wir kommen
darauf zurück.
Vor der folgenden Definition führen wir in naheliegender Weise die Potenzschreibweise für beliebige (multiplikativ geschriebene) Gruppen ein.
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Definition und Bemerkung 2.2.2 (Potenzgesetze) Es sei G eine Gruppe mit
Verknüpfung · und neutralem Element e. Für a ∈ G sowie n ∈ Z definiere

a
, falls n > 0

� · a ·��. . . · a�



n-Mal
e
, falls n = 0
an =

−1
−1
−1

a
·
a
·
.
.
.
·
a
,

��
� , falls n < 0 .
 �
|n|-Mal
Dann gilt für alle m, n ∈ Z
am+n = am · an .
Insbesondere ergibt sich für jedes m ∈ Z
e = a0 = am · (a−1 )m , also (am )−1 = (a−1 )m .
D.h. das Inverse von am ist (a−1 )m .
Ergänzung Die Notation an verwendet man nur bei multiplikativer Schreibweise
der Verknüpfung, z.B. a · b, ab (ohne Symbol), a ∗ b, a ◦ b, aber nicht für die
“Addition” +. In einer Gruppe mit Verknüpfungssymbol + schreibt man für
a ∈ G, n ∈ Z

a
, wenn n > 0


�+a+
��. . . + a�



n-Mal
0
, wenn n = 0
n.a =


(−a) + (−a) + . . . + (−a) , wenn n < 0

 �
��
�

|n|-Mal
Bemerkung und Definition 2.2.3
a) Es sei G eine beliebige Gruppe und a ∈ G. Definiere
�a� := {an | n ∈ Z},
bei multiplikativer bzw.
�a� := {n.a | n ∈ Z}
bei additiver Schreibweise der Verknüpfung. Dieses ist eine Untergruppe
von G, die sogenannte von a erzeugte Untergruppe.
b) Eine Gruppe G heißt zyklisch, falls ein a ∈ G existiert mit �a� = G. In
diesem Fall heißt a Erzeuger oder erzeugendes Element von G.
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Die drei Eigenschaften einer Unterguppe prüft man unmittelbar anhand der Potenzgesetze 2.2.2 nach. Man kann sich auch auf 2.2.1 a) berufen: die Teilmenge
�a� ist das Bild eines Homomorphismus, nämlich der Abbildung n �→ an , Z → G
und als solches eine Untergruppe von G.
Ebenfalls aus den Potenzgesetzen ergibt sich folgende Tatsache:
Bemerkung 2.2.4 Jede zyklische Gruppe ist abelsch.
Denn wenn x und y zwei beliebige Elemente aus G = �a� sind, so schreibe x = an ,
y = am . Es ist
x · y = an · am = an+m = am+n = am · an = y · x .
�
Beispiele 2.2.5 (Zyklische Gruppen)
(1) Die Gruppen (Z, +) und (Z/mZ, +) sind zyklisch mit Erzeuger 1 bzw. 1.
Ein Erzeuger ist nicht eindeutig bestimmt. Für Z ist die einzige weitere
Möglichkeit −1; bei Z/mZ hängt die Antwort natürlich von m ab: so gilt
etwa für m = 10 genau dann �a� = Z/10Z, wenn a ∈ {1, 3, 7, 9} ist.
(2) Allgemein gilt für beliebiges m ∈ N, m > 1 und a ∈ Z
� [a]m � = Z/mZ ⇐⇒ [a]m ∈ (Z/mZ)∗ ,
d.h. eine Restklasse ist Erzeugendes der additiven Restklassengruppe genau
dann, wenn sie Einheit (invertierbar) im Restklassenring ist. Siehe [LinA,
1.3.18-23] für die Einheiten in Z/mZ.
(3) Die Vielfachenmenge mZ = {mz | z ∈ Z} ist die von m erzeugte (zyklische) Untergruppe von Z (insbesondere überhaupt eine Untergruppe, siehe
Beispiel 2.1.3 (1)).
(4) Die (multiplikative) Gruppe (Z/5Z)∗ ist zyklisch mit Erzeuger g = 2, denn
(Z/5Z)∗ = {2, 4, 3, 1} = {g, g 2 , g 3 , g 4 = e}.
(5) Die Gruppe (Z/8Z)∗ = {1, 3, 5, 7} ist nicht zyklisch, denn für jedes Gruppenelement g gilt g 2 = 1 = e; für einen Erzeuger g müsste aber g 2 �= e
gelten.
Aus ähnlichen Gründen ist auch die (additive) Gruppe Z/2Z × Z/4Z nicht
zyklisch; siehe unten 2.2.10.
(6) Entgegen dem ersten Anschein ist die Gruppe Z/2Z × Z/3Z zyklisch. Als
Erzeuger kann man das Paar (1, �
1) nehmen (wobei natürlich 1 = [1]2 , , �
1=
[1]3 ist). Fortgesetztes Addieren dieses Elementes liefert nämlich alle sechs
Elemente von Z/2Z × Z/3Z.
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Der folgende Satz beantwortet im Anschluß an Beispiel (3) die naheliegende Frage, ob es in Z noch weitere Untergruppen gibt.
Satz 2.2.6 Jede Untergruppe von (Z, +) ist zyklisch, also von der Form mZ für
ein m ∈ Z.
Beweis: Die in Frage stehende Untergruppe H sei o.B.d.A �= {0}. Sei m das
kleinste positive Element von H. Offenbar ist m �= 0. Wir wollen zeigen, daß
dieses m das gesuchte erzeugende Element ist, also jedes andere Element a ∈ H
ein Vielfaches von m ist. Hierzu teilt man a durch m mit Rest r. Dann liegt
r = a − qm ebenfalls in H und ist kleiner als m, also nach Wahl von m gleich 0.
�
Beachte: Für eine gegebene Untergruppe von Z ist das erzeugende Element m
eindeutig bestimmt, wenn wir noch m ≥ 0 verlangen. Denn für zwei Erzeuger
m, n gilt m | n | m.
Wir geben nun zwei Anwendungen von Satz 2.2.6. Die erste Anwendung ist eine
Beschreibung der von einem Gruppenelement a erzeugten Untergruppe �a� von
G. Im Hinblick auf den diesbezüglichen Satz treffen wir zunächst die folgende
Definition.
Definition 2.2.7 Sei (G, ·) eine Gruppe und a ∈ G. Dann heißt
ord(a) := min{n ∈ N | an = e}
die Ordnung von a. Wir setzen ord(a) = ∞, falls kein solches n existiert.
Das neutrale Element einer Gruppe, und nur dieses, hat die Ordnung 1. Jede
Spiegelung hat die Ordnung 2 (etwa in Iso(E)). Die Restklasse [1]m in Z/mZ hat
die Ordnung m; die Klasse [2]6 hat die Ordnung 3; in Z hat jedes Element �= 0 die
Ordnung unendlich. Eine weitere Sorte von Gruppenelementen, deren Ordnung
man unmittelbar sieht, sind die Zyklen in der symmetrischen Gruppe:
Bemerkung 2.2.8 Es sei ρ = (i1 , i2 , . . . , i� ) ein Zyklus der Länge � in der symmetrischen Gruppe Sn . Dann ist � auch die Ordnung von ρ.
Der Beweis ergibt sich durch Ausschreiben von ρ = (x0 , x1 , . . . , x�−1 ) und scharfes
Hinsehen: für 0 ≤ m < � bildet ρm das Element xi auf x(i+m) mod � ab, also
jedenfalls nicht auf sich selbst, und folglich ist ρm nicht die Identität. Aus dem
gleichen Grund gilt ρ� = id.
Zurück zur allgemeinen Theorie. Der folgende Satz beinhaltet insbesondere, daß
die Ordnung eines Gruppenelementes genau die Anzahl der Elemente der davon
erzeugten Untergruppe ist.
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Satz 2.2.9 Es sei (G, ·) eine Gruppe, a ∈ G, m = ord(a) die Ordnung von a.
a) Es sei m < ∞ angenommen. Für n ∈ Z gilt an = e ⇐⇒ m | n und
allgemeiner für k, l ∈ Z
ak = al ⇐⇒ k ≡m l.
Weiter ist
�a� = {e = a0 , a, a2 , . . . , am−1 } ,
und die angegebenen Elemente sind paarweise verschieden. Insbesondere ist
|�a�| = m.
b) Es sei m = ∞. Dann sind die Elemente an , n ∈ Z alle voneinander verschieden.
Beweis: Die Menge H = {n ∈ Z | an = e} ist der Kern des Homomorphimus
ϕ : n �→ an , Z → �a�, also eine Untergruppe von Z. Nach Satz 2.2.6 ist H = Zm�
für ein m� ∈ Z, m� ≥ 0.
Im Fall a) ist m ∈ H, also H �= {0}. Nach Definition der Ordnung ist m das
kleinste positive Element von H; die gleiche Eigenschaft hat wegen H = Zm�
offenbar auch m� . Also ist m = m� , was genau die erste Behauptung unter a) beweist. Die zweite Behauptung wird durch betrachten von n := l − k unmittelbar
auf die erste zurückgeführt. Die dritte folgt schließlich aus der zweiten (und der
selbstverständlich verwendeten Tatsache, daß die Zahlen 0, 1, . . . , m − 1 ein Repräsentantensystem für die Kongruenzklassen bilden; man kann für die Exponenten auch jedes andere Repräsentantensystem nehmen, etwa 0, ±1, . . . ± (m − 1)/2
für ungerades m.)
Im Fall b) ist definitionsgemäß H = {0}, und somit ϕ injektiv, was genau die
Behauptung ist.
�
Korollar 2.2.10 Eine endliche Gruppe G mit n Elementen ist dann und nur
dann zyklisch, wenn sie ein Element der Ordnung n enthält.
Genauer gilt für a ∈ G die Äquivalenz:
a erzeugt G
⇐⇒
ord(a) = n .
Beweis: �a� besteht aus m := ord(a) Elementen, ist also genau dann gleich ganz
G, wenn m = n ist.
�
Dieses Korollar liefert auch die prinzipielle Methode zu begründen, daß eine vorgelegte Gruppe G nicht zyklisch ist: wenn man eine Zahl m < |G| angeben kann
mit am = e für alle a ∈ G, dann kann G nicht zyklisch sein, denn alle Ordnungen
von Elementen von G sind kleiner gleich m (sogar Teiler von m). In dem oben
unter 2.2.5 (5) erwähnten Fall Z/2Z × Z/4Z kann man m = 4 nehmen (man
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beachte die additive Schreibweise: die Bedingung lautet 4.a = 0, was offenbar
zutrifft). Die Frage, wann ein allgemeines Produkt Z/mZ × Z/nZ zyklisch ist,
wird in der Algebra abschließend geklärt: genau dann, wenn m und n teilerfremd
sind.
Wir kommen zurück zu dem Homomorphismus ϕ aus dem Beweis von Satz
2.2.9. Er (bzw. schon das zugrundeliegende Potenzgesetz) beschreibt eine zyklische Gruppe vollständig, d.h. bis auf Isomorphie. Mit anderen Worten, für gegebenes m gibt es bis auf Isomorphie nur eine zyklische Gruppe mit m Elementen.
Der folgende Satz (der wie gesagt im Wesentlichen schon bewiesen ist), hält dieses
genau fest:
Satz 2.2.11 Es seien wie eben (G, ·) eine Gruppe, a ∈ G, �a� die von a erzeugte
Untergruppe und m = ord(a) die Ordnung von a.
a) Für m < ∞ ist �a� ∼
= Z/mZ. Ein Isomorphismus ist gegeben durch
n
n �→ a , Z/mZ → �a�.
b) Für m = ∞ ist �a� ∼
= Z. Ein Isomorphismus ist gegeben durch
n
n �→ a , Z → �a�.
Beweis: Es ist allenfalls bei a) noch etwas zu beweisen. Wenn wir die dort angegebene Abbildung mit ψ bezeichnen, so ist vor allem einzusehen, daß ψ wohldefiniert ist. D.h. für k, n ∈ Z mit k = n ist ak = an einzusehen. Das folgt aber
sofort aus Teil a) des vorigen Satzes, aus dem sich auch die Injektivität ergibt.
Die Surjektivität ist nach Definition von �a� klar, die Homomorphie-Eigenschaft
folgt aus der von ϕ (und aus der Definition der Restklassenaddition).
�
In der Algebra lernt man, daß die Definition von ψ sowie die Eigenschaften dieser Abbildung Spezialfall eines ganz allgemeinen Sachverhaltes, nämlich des sog.
Homomorphiesatzes sind. Hier wird Z/mZ durch eine allgemeinere sogenannte
Faktorgruppe ersetzt.
Es folgen nun zwei Sätze, die für das häufige Auftreten von zyklischen Gruppen
in der Diskreten Geometrie mit verantwortlich sind. In der Geometrie werden,
bedingt durch das Vorhandensein von Translationen, auch unendliche Gruppen
von Isometrien betrachtet. Die folgende Definition klärt (zumindest für Translationen), in welchem Sinn die von uns betrachteten Gruppen “wesentlich weniger“
Elemente enthalten als die vollständige Isometrie- bzw. Translationsgruppe des
euklidischen Raumes.
Definition 2.2.12 Es sei (E, � , �) ein euklidischer Vektorraum. Eine Untergruppe G von (E, +) heißt diskret, falls eine Zahl ε > 0 existiert mit v ∈ G, �v� <
ε ⇒ v = 0.
Satz 2.2.13 Jede diskrete Untergruppe von (R, +) ist zyklisch.
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Beweis: siehe Vorlesung.
Eine beliebige diskrete Untergruppe von R sieht also geometrisch bis auf den
Maßstab“, d.h. den Abstand zwischen zwei benachbarten Elementen, genauso
”
aus wie Z als Teilmenge von R.
Diskrete Untergruppen von höherdimensionalen Vektorräumen sind sogenannte “Gitter“, sie werden in späteren Kapiteln ausführlich studiert. Siehe insbesondere Abschnitt 2.6 und Definition 2.6.1.
Endliche zyklische Gruppen sind von besonderer Bedeutung in der ebenen (zweidimensionalen) Geometrie. Der Grund steckt in dem folgenden Satz.
Satz 2.2.14 Jede endliche Untergruppe der Drehgruppe SO2 (R) ist zyklisch.
Beweis: siehe Vorlesung.
Wir runden diesen Abschnitt ab, indem wir die Ordnungen von Elementen der
symmetrischen Gruppe allgemein (nicht nur für Zyklen) bestimmen. Hierzu benötigen wir den eventuell noch nicht “offiziell” bekannten Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfachen:
Definition 2.2.15 Gegeben seien zwei ganze Zahlen a und b. Eine ganze Zahl
k heißt kleinstes gemeinsames Vielfaches von a und b, wenn sie folgende Eigenschaften hat:
(1) a | k und b | k,
(2) l ∈ Z, a | l und b | l
=⇒
k | l.
In Worten: k ist ein Vielfaches von a und von b, und jede Zahl, die gleichzeitig
Vielfaches von a und b ist, ist ein Vielfaches von k.
Der Begriff des kleinsten gemeinsamen Vielfachen (kgV) ist also “dual” zum aus
der Linearen Algebra (Satz 1.2.9) bekannten Begriff des größten gemeinsamen
Teilers: die Definition hat die gleiche Struktur, aber alle Teilbarkeitsbeziehungen
werden umgedreht. Es ist nach bekannten Einsichten über den ggT nicht mehr
überraschend, dass ein kleinstes gemeinsames Vielfaches existiert und (bis auf
das Vorzeichen) eindeutig ist. Der folgende Satz hält dieses fest und stellt auch
ein Beziehung zum ggT her.
Satz 2.2.16 Zu je zwei ganzen Zahlen a und b gibt es ein kleinstes gemeinsames
Vielfaches k. Es ist unter der zusätzlichen Forderung k ≥ 0 eindeutig bestimmt
und wird mit kgV(a, b) bezeichnet. Falls a und b nicht beide Null sind, gilt
kgV(a, b) = ±
ab
.
ggT(a, b)
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Nun kehren wir zurück zur symmetrischen Gruppe.
Satz 2.2.17 Es sei σ ein beliebiges Element der symmetrischen Gruppe Sn und
σ = ρ1 ◦ ρ2 ◦ . . . ◦ ρr seine Zerlegung in elementfremde Zykel; mit �i sei die Länge
von ρi bezeichnet. Dann ist die Ordnung von σ das kleinste gemeinsame Vielfache
der �i .
Beweis: Grundlage ist die uns bekannte Aussage für einen Zyklus (d.h. für
r = 1). Für die Verallgemeinerung ist entscheidend, dass die Faktoren ρi alle
miteinander vertauschbar sind: ρi ◦ ρj = ρj ◦ ρi für elementfremde Zykel ρi und
ρj . Dieses liegt einfach daran, dass die Wirkungsbereiche in {1, 2, . . . , n} disjunkt
sind. (Mit Wirkungsbereich einer Permutation meinen wir die Menge derjenigen
Ziffern, die nicht auf sich selbst abgebildet werden.) Hieraus folgt, dass für jeden
m
m
Exponenten m gilt σ m = ρm
1 ρ2 · · · ρr . Wieder wegen der disjunkten Wirkungsbereiche ist diese Abbildung nur dann gleich der Identität, wenn alle Faktoren ρm
i
die Identität sind. Dieses gilt genau dann, wenn m ein Vielfaches der Ordnung
von jedem ρi ist, also �i | m für i = 1, . . . , r nach Teil a). Nach Definition des
kgV gilt dieses genau für kgV(�1 , . . . , �r ) | m, wie gewünscht.
�