WS 11/12 Zyklische Gruppen

WS 11/12
Zyklische Gruppen
Inhalt:
• Was ist eine zyklische Gruppe?
• Beispiele für zyklische Gruppen
• Wichtige Sätze zum Thema der zyklischen Gruppen
• Klassifizierung der zyklischen Gruppe (S.156, Rep), S. 21, Bosch,
Jede endliche zyklische Gruppe ist isomorph zu ℤ / mℤ .
Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu (ℤ, + ) .
• Restklassen
• Die Gruppe der Restklassen modulo m
• Wie kann man entscheiden, ob eine Gruppe zyklisch ist oder nicht?
§0 Vorwort
Diesen Artikel will ich nutzen, um die interessanten und wichtigen zyklischen Gruppen
behandeln. Wir werden zunächst sagen, was man unter einer zyklischen Gruppe versteht,
wie sie definiert sind und was sie von „anderen, normalen“ Gruppen unterscheidet und was
sie so besonders macht.
Weiterhin werden wir einen Algorithmus angeben, wie man einen zyklischen Erzeuger
berechnen kann. Auch Beispiele werden nicht zu kurz kommen; im Gegenteil.
Das Hauptmerkmal des Artikels wird aber auf die Klassifizierung der zyklischen Gruppen
gelegt werden. Man kann die zyklischen Gruppen nämlich komplett klassifizieren. Wir
werden folgende zwei Dinge zeigen, die sehr fundamental sind:
• Jede endliche zyklische Gruppe ist isomorph zu ℤ / mℤ .
• Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu (ℤ, + ) .
Außerdem werden wir anführen, wie man einer Gruppe ansieht, ob sie zyklisch ist oder
nicht. Dabei werden wir allgemeine Sätze formulieren und beweisen, die für die
Entscheidung „Zyklische Gruppe – Ja oder Nein?“ manchmal sehr hilfreich sein können.
§1 Was ist eine zyklische Gruppe?
Gruppen sind uns sehr vertraut. Spätestens seit dem Artikel „Wissenswertes über Gruppen“.
Wir wissen, was wir unter einer Gruppe verstehen. Aber was macht denn die zyklische
Gruppe gerade so besonders? Zunächst geben wir die Definition und pflücken diese dann
auseinander:
Definition einer zyklischen Gruppe:
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem Element g ∈ G erzeugt wird, wenn also
G =< g > .
In diesem Fall nennt man g ∈ G den zyklischen Erzeuger.
Was bedeutet das? Das ist eigentlich ganz einfach: Die Definition sagt, dass man jedes
Gruppenelement mit Hilfe des zyklischen Erzeugers erzeugen kann. Um zu verstehen, was
wir mit „erzeugen“ meinen, geben wir zunächst zwei verschiedene Schreibweisen. Einmal für
multiplikative Verknüpfungen und für additive Verknüpfungen.
Sei G eine Gruppe mit einer multiplikativen Verknüpfung und g ∈ G ein beliebiges
Element. Für jede ganze Zahl k ∈ ℤ schreiben wir:
g 0 := eG , g k := g ... g für k > 0 und g −1 ... g −1 für k < 0
k-mal
-k-mal
Man kann nun sehr leicht zeigen, dass für alle k , l ∈ ℤ gilt, dass ( g k ) −1 = g − k bzw.
g k g l = g k +l .
Die letzte Regel g k g l = g k +l gibt gerade an, dass die Abbildung ℤ → G, k ֏ g k ein
Gruppenhomomorphismus ist. Hierbei ist ℤ die additive Gruppe der ganzen Zahlen.
Jetzt haben wir einiges gewonnen, denn < g > ist gleich dem Bild des
Gruppenhomomorphismus ℤ → G, k ֏ g k .
Wir definieren nochmal neu:
Eine Gruppe G heißt zyklisch, wenn sie von einem Element erzeugt wird.
Dies ist äquivalent dazu, dass es einen surjektiven Gruppenhomomorphismus von der
Menge der ganzen Zahlen auf die Gruppe gibt, also ℤ → G, k ֏ g k .
g k ∈ G nicht notwendigerweise verschieden sein müssen, das heißt die
k
Abbildung ℤ → G , k ֏ g ist nicht unbedingt injektiv.
Beachte, dass die Elemente
Wir halten schon mal die erste Eigenschaft zyklischer Gruppen fest.
• Eine zyklische Gruppe ist immer kommutativ (abelsch).
Beweis:
Dies folgt sofort aus den obigen „Regeln“, die wir oben aufgestellt haben. Denn es gilt
g k g l = g k +l = g l + k = g l g k .
Nun kann es aber auch sein, dass die Gruppe G eine additive Verknüpfung besitzt. Eine
additive Verknüpfung schreibt man vor allem bei kommutativen Gruppen. In diesem Fall ist
es üblich, das neutrale Element der Gruppe als das Nullelement zu schreiben, also 0 =: eG .
Das inverse Element eines Gruppenelements g ∈ G schreiben wir als − g .
Wir schreiben:
k • g := 0 für k = 0, k • g := g + ... + g für k > 0 und − g − ... − g für k < 0
k-mal
k-mal
Nun haben wir die mathematische Definition gegeben, uns über die Schreibweise klar
geworden und die erste wichtige Eigenschaft geklärt, dass jede zyklische Gruppe
kommutativ ist und dass eine Gruppe genau dann zyklisch ist, wenn es einen surjektiven
Gruppenhomomorphismus ℤ → G, k ֏ g k gibt.
Der Vollständigkeit halber geben wir nun noch an, was man unter der Ordnung eines
Elements versteht:
Unter der Ordnung eines Elements g ∈ G verstehen wir die Ordnung der von g erzeugten
Untergruppe < g > .
Beispiel:
In der unendliche Gruppe (ℚ \ {0}, •) hat -1 die endliche Ordnung 2, denn < −1 >= {1, −1} .
1 1
Das Element 2 dagegen hat unendliche Ordnung, denn es gilt < 2 >= {1, 2, , 4, ,...} .
2 4
In einer endlichen Gruppe hat jedes Element eine endliche Ordnung. Hat g ∈ G endliche
Ordnung, so ist dies die kleinste Zahl k ∈ ℤ mit g k = eG .
§2 Die ersten Beispiele
Vielleicht kann sich der ein oder andere aber noch nicht so richtig vorstellen, wie denn eine
zyklische Gruppe nun aussieht. Jeder von euch kennt eine zyklische Gruppe schon aus der
Schulzeit.
1. Beispiel:
Die Gruppe (ℤ, + ) ist zyklisch. Der Nachweis kann darüber erfolgen, dass man einen
surjektiven Gruppenhomomorphismus angibt. Wir wollen dies nicht tun, sondern uns (etwas
unmathematisch) auf unsere Anschauung verlassen und uns fragen, was denn der zyklische
Erzeuger von (ℤ, + ) ist. Klar, die 1 ist ein zyklischer Erzeuger der Gruppe (ℤ, + ) . Denn wir
können durch additive Verknüpfung der 1 jede ganze Zahl zyklisch erzeugen. Weiterhin sollte
klar sein, dass -1 ebenfalls ein zyklischer Erzeuger ist. Es gilt demnach (ℤ, +) =< 1 >=< −1 > .
Es zeigt sich also, dass eine zyklische Gruppe durchaus mehrere zyklische Erzeuger besitzt,
die jedes für sich (!) die Gruppe erzeugen können.
2. Beispiel:
Sei m ∈ ℤ eine ganze Zahl. Die Untergruppe mℤ = {mk : k ∈ ℤ} , also die Menge der
Vielfachen von m , ist zyklisch mit dem zyklischen Erzeuger m . Es gilt also
mℤ = {mk : k ∈ ℤ} =< m > .
3. Beispiel:
Sei nun n ∈ ℕ eine natürliche Zahl. Die n-te Einheitswurzel ist eine komplexe Zahl z ∈ ℂ mit
z n = 1 . Die Menge aller n-ten Einheitswurzeln µn := {z ∈ ℂ : z n = 1} , versehen mit der
Multiplikation komplexer Zahlen, bildet eine kommutative Gruppe. Sie ist zyklisch, denn
µn := {e
2 kπ i
n
: k ∈ ℤ} =< e
2π i
n
>.
§3 Wichtige Sätze für zyklische Gruppen
Wir wollen diesen Abschnitt nutzen, um erste wichtige Eigenschaften und Sätze von
zyklischen Gruppen zusammenzustellen.
• Jede zyklische Gruppe ist kommutativ.
Dies hatten wir oben schon gezeigt. Wir wollen es aber nochmal tun.
Für eine beliebige zyklische Gruppe G hatten wir die „Regel“ g k g l = g k +l angeführt. Daraus
folgt nun die Kommutativität jeder zyklischen Gruppe, denn g k g l = g k +l = g l + k = g l g k .
• Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch.
Dies ist wirklich ein faszinierender Satz, oder hätte irgendwer von euch damit gerechnet?
Beweis:
Um diesen Satz zu beweisen, wendet man einen kleinen „Trick“ an. Der wesentliche Schritt
ist nämlich den Satz zunächst für den Spezialfall der Gruppe (ℤ, + ) zu beweisen. Dazu
zunächst ein
Lemma:
Sei H ⊂ ℤ eine Untergruppe der Gruppe der ganzen Zahlen. Ist H die triviale Untergruppe,
also H = {0} , so setzen wir m := 0 .
Andernfalls definieren wir m := min{a ∈ H : a > 0} für den zyklischen Erzeuger.
In beiden Fällen ist m also ein zyklischer Erzeuger von H, d.h. H = mℤ = {mk : k ∈ ℤ} .
Insbesondere ist H also zyklisch.
Beweis des Lemmas:
Gelingt es uns, dieses Lemma zu beweisen, so haben wir schon viel gewonnen. Wir zeigen
jetzt also zunächst, dass jede Untergruppe von (ℤ, + ) wieder zyklisch ist.
Der Fall H = {0} ist trivial. Es ergibt sich sofort, dass 0 ein zyklischer Erzeuger ist.
Wir nehmen also an, dass H ein Element a ≠ 0 enthält. Da H nach Voraussetzung eine
Untergruppe von ℤ ist, liegt auch das Inverse zum Element a ≠ 0 , also −a , in der
Untergruppe H. Sollte a also negativ sein, so ersetzen wir a einfach durch −a .
In beiden Fällen haben wir aber gezeigt, dass H eine positive Zahl a ≠ 0 enthält.
Daraus ergibt sich zunächst einmal, dass das Minimum m aller positiven Elemente von H
wohldefiniert ist.
Nun ist die von m erzeugte (zyklische) Untergruppe von ℤ eine Teilmenge von H, also
< m >= mℤ ⊂ H .
Unser Ziel ist es also zu zeigen, dass hier Gleichheit vor liegt, dann wären wir fertig. Denn wir
wissen ja schon, dass mℤ eine zyklische Untergruppe von ℤ ist. Und wenn es uns jetzt
gelingt zu zeigen, dass mℤ = H , dann haben wir gezeigt, dass jede Untergruppe der
zyklischen Gruppe ℤ wieder zyklisch ist.
Diesen Beweis wollen wir indirekt, also durch Widerspruch führen. Angenommen, es gibt ein
Element n ∈ H \ mℤ . Dies führen wir jetzt zum Widerspruch, damit wäre die Behauptung
gezeigt. Nach Annahme ist m kein Teiler von n. Division mit Rest von n durch m führt zu der
Darstellung n = mq + r . Dass r existiert nach Annahme, da m kein Teiler von n ist. Hierbei ist
q, r ∈ ℤ, 0 < r < m . Wir schreiben n = mq + r zu r = n − mq um.
Nun ist n ∈ H und mq ∈ mℤ ⊂ H . Mit dem Untergruppenkriterium folgt nun, dass r ∈ H .
Denn wir haben n und das Negative von mq zu r = n − mq verknüpft. Dies ist aber gerade
das Untergruppenkriterium. Was ergibt sich nun für r? Klar: Der Rest r ist ein positives
Element von H, das aber echt kleiner ist als m. Und dies ist der gesuchte Widerspruch! Wer
sieht ihn? Ganz einfach: Das widerspricht der Definition von m als Minimum aller positiven
Elemente von H. Unsere Annahme, dass n ∈ H \ mℤ ist damit falsch und folglich gilt mℤ = H
. Damit ist das Lemma bewiesen.
Nun können wir den Satz „Jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe ist zyklisch“ ohne
große Probleme beweisen.
Dazu sei G =< g > eine zyklische Gruppe mit einem zyklischen Erzeuger g ∈ G und sei
H ⊂ G eine Untergruppe. Zu zeigen ist, dass H ebenfalls zyklisch ist.
Wir betrachten den Gruppenhomomorphismus φ : ℤ → G, k ֏ g k .
Nun ist das Urbildung H ' := φ −1 ( H ) eine Untergruppe von ℤ . Nach dem eben bewiesenen
Lemma ist H‘ zyklisch! Also von der Form H ' = mℤ . Damit ergibt sich
H = φ ( H ') = {g mk : k ∈ ℤ} = {( g m ) k : k ∈ ℤ} =< g m > . Das letzte Gleichheitszeichen folgt aus
der Definition einer zyklischen Gruppe. Denn es sagt gerade, dass man jedes Element von H
durch Verknüpfung von Potenzen von g m erzeugen kann.
Daraus ergibt sich das Gewünschte, dass H ⊂ G zyklisch ist.
Beispiel:
Betrachten wir nun mal ein Beispiel, wie man den zyklischen Erzeuger von Untergruppen
von ℤ finden kann.
Dazu sei H die von den beiden ganzen Zahlen 169 und 196 erzeugte Untergruppe von ℤ ,
also H =< 169,195 >= {169k + 195l : k , l ∈ ℤ} .
Wir wissen, dass H zyklisch sein muss. Folglich muss es einen zyklischen Erzeuger geben. Die
Frage, die sich nun stellt, ist, wie man diesen zyklischen Erzeuger finden kann.
Wir verwenden dafür den euklidischen Algorithmus.
Die Idee des euklidischen Algorithmus ist, dass man die zwei (positiven) Erzeuger 169 und
195 durch Anwenden von Division mit Rest schrittweise durch kleinere Erzeuger ersetzt, bis
man ein minimales positives Element von H gefunden hat, welches dann automatisch ein
zyklischer Erzeuger von H ist.
Beginnen wir:
195:169=1 Rest 26, d.h. 195=169+26. Es folgt 26=195-169 ist ein Element aus H, also
H =< 169, 26 > . Im nächsten Schritt erhalten wir 169:26=6 Rest 13. Also gilt H =< 26,13 > .
Nun ist aber 26 :13 = 2 , also ist 13 der zyklische Erzeuger. Es gilt demnach H =< 13 > .
Wir fassen das so zusammen:
Sind a, b ∈ ℤ ganze Zahlen (nicht beide gleich Null) und sei m > 0 der zyklische Erzeuger
der Untergruppe H =< a, b > . Dann gilt m = ggT (a, b) .
•
Sei G eine Gruppe primer Ordnung. Dann ist G zyklisch und wird von jedem Element
≠ eG erzeugt.
Dies ist ein sehr wichtiges Kriterium. Wir brauchen uns also nur die Ordnung der Gruppe
anschauen. Ist die Ordnung eine Primzahl, so wissen wir, dass die Gruppe zyklisch ist.
Beweis:
Dieser Satz beweist sich eigentlich fast von selbst, wenn man den Satz von Lagrange kennt
(siehe Artikel „Wissenswertes über Gruppen“).
Da p :=| G |> 1 (1 ist keine Primzahl!) gibt es ein g ∈ G mit g ≠ eG . Wir betrachten ein
solches g ∈ G . Dann ist natürlich |< g >|> 1 . Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung
von g , also die Ordnung der von g erzeugten Untergruppe < g > , ein Teiler der
Gruppenordnung. Da diese aber eine Primzahl ist, muss |< g >|=| G | gelten. Daraus ergibt
sich sofort G =< g > . Also ist g zyklisch mit dem zyklischer Erzeuger g ∈ G .
Beispiel:
Bestimme alle Untergruppe einer zyklischen Gruppe G =< g > der Ordnung 30.
Wir wissen, dass jede Untergruppe einer zyklischen Untergruppe wieder zyklisch ist.
Sicherlich besitzt G auch die trivialen Untergruppen {eG } und G .
Wir wissen, dass 30 die echten Teiler, 2, 3, 5, 6, 10, 15 besitzt. Daher sind
< g ² >, < g ³ >,..., < g 15 > die echten Untergruppen von G .
Zum Beispiel ist < g 5 >= {e, g 5 , g 10 , g 15 , g 20 , g 25 > , denn g 30 = eG und g 35 = g 5 .
Sei G =< g > eine zyklische Gruppe der Ordnung n, also g n = eG .
n
Für alle a ∈ ℤ ist die Ordnung von g a gleich m = , wobei d := ggT (a, n) .
d
a
Dieser Satz ermöglicht uns also die Ordnung von g direkt zu berechnen.
Beweis:
Sei nun k die Ordnung von g a .
Lagrange
a m
n α
αd m
α dm
αn
α
=
=
=
=
⇒
1.) ( g ) = ( g ) = g
g
(
g
)
e
e
k|m
G
G
•
n = dm
g n = eG
ak
a k
n
2.) g ak = ( g a ) k = eG ⇒
g = ( g ) = g ⇒ ak ≡ 0 mod n ⇒
k ≡ 0 mod m, d.h. m | k
g n =e
(*)
1.) und 2.) ergeben nun k | m und m | k und folglich k = m .
In dem Beweis wurde (*) ausgenutzt. Diese Behauptung lautet:
n
⇔ md = n . Wir müssen folgende Behauptung beweisen:
d
∀b ∈ ℤ : ab ≡ 0 mod n ⇔ b ≡ 0 mod m
Sei
a ∈ ℤ , d := ggT (a, n) und m :=
" ⇐ ": Sei also b ≡ 0 mod m , d.h. b = β m, β ∈ ℤ .
Dann gilt
ab = aβ m
=
d = ggT ( a , n )
d |a , etwa
a = d •α
α • d • β • m = α • β • (
d • m) = α • β • n ≡ 0 mod n
.
=n
Damit ist die erste Richtung gezeigt.
" ⇒ ": Diese Richtung ist etwas aufwendiger, aber auch nicht schwer.
Sei ab ≡ 0 mod n , etwa ab = n • x für ein x ∈ ℤ .
Nun ist ab = d • α • b bzw. nx = d • m • x mit ggT (α , m) = 1 . Das bedeutet, dass α und m
teilerfremd sind.
ggT (α , m) = 1 folgt aus der Vorlesung, dass α invertierbar ist modulo m. Wir können ab = n • x nun
als d • α • b = d • m • x darstellen. Nun kürzen wir das d und erhalten α • b = m • x . Jetzt wenden wir die
Restklasse modulo m an und es ergibt sich α • b ≡ 0 mod m und folglich
Aus
−1
−1
−1
α • α • b ≡ α • 0 mod m ⇒ b ≡ α • 0 mod m ⇒ b ≡ 0 mod m
.
Damit ist alles gezeigt.
•
Für jeden Teiler m | n gibt es genau eine (zyklische) Untergruppe von G mit Ordnung
m .
Beweis:
Wir haben eben gesehen, dass jede Untergruppe einer zyklischen Gruppe wieder zyklisch ist,
d.h. auch < g a , g b >=< g ggT ( a ,b ) > .
Sei m | n , etwa n = m • d , d ∈ ℤ . Sei weiter U m :=< g d > . Das Element g d hat nach obigem
n
n
= = m , also ist | U m |= m . Wir müssen noch zeigen, dass es
Satz die Ordnung
ggT (n, d ) d
die einzige Untergruppe ist. Sei g a ein Element der Ordnung m. Zu zeigen ist, dass
< g a >= U m .
Nach obigem Satz gilt d = ggT (a, n) . Nach dem euklidischen Algorithmus gibt es z1 , z2 ∈ ℤ
mit d = z1a + z2 n .
Daraus folgt nun:
g d = g z1a + z2 n = g z1a • g z2 n = ( g a ) z1 • ( g n ) z2 = ( g a ) z1 • e z2 = ( g a ) z1 • e = ( g a ) z1 ,
d.h. g d ∈< g a >⇒ U m = < g d > ⊆ < g a > ⇒ U m =< g a >
Ordnung m
Damit ist alles gezeigt.
Ordnung m
§4 Klassifizierung zyklischer Gruppen
Wir wollen nun die zyklischen Gruppen komplett klassifizieren. Wir werden insbesondere
zwei Dinge zeigen:
•
•
Jede endliche zyklische Gruppe ist isomorph zu ℤ / mℤ .
Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu (ℤ, + ) .
Damit kennen wir bis auf Isomorphie sämtliche zyklischen Gruppen und all ihre
Untergruppen!
Um die folgende Klassifizierung zu verstehen, sollte man gut mit Kongruenzen umgehen können, auch
Restklassen und die Menge der Restklassen sollte ein Begriff sein. Ggf. lese man zuerst den Artikel „Rechnen
mit Kongruenzen“.
Sei G =< g > eine zyklische Gruppe mit einem zyklischen Erzeuger g ∈ G .
Wir haben (wie wir oben schon gesehen haben) einen surjektiven
Gruppenhomomorphismus φ : ℤ → G, k ֏ g k .
Nun können insbesondere zwei Fälle auftreten:
1. Fall: φ : ℤ → G, k ֏ g k ist auch injektiv, also insgesamt bijektiv. In diesem Fall gibt es also
∼
einen Gruppenisomorphismus φ : ℤ → G . Insbesondere besitzt G unendlich viele Elemente.
Damit hätten wir gezeigt (vielmehr angedeutet), dass folgendes gilt:
Jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu (ℤ, + ) .
2. Fall: φ : ℤ → G, k ֏ g k ist nicht injektiv.
Sei weiterhin H := Kern(φ ) = {k ∈ ℤ : g k = eG } der Kern von φ . Wir wissen aus dem Artikel
„Wissenswertes über Gruppen“, dass H, also der Kern, eine Untergruppe von ℤ ist.
Wir wissen auch, dass jede Untergruppe von ℤ die Form mℤ besitzt, also gilt H = mℤ .
Hierbei ist m = 0 , wenn H = {0} und sonst gilt m > 0 .
Wir werden nun zeigen, dass H ≠ {0} , also m > 0 gilt.
Da φ nach Voraussetzung nicht injektiv ist, gibt es also a, b ∈ ℤ mit a ≠ b und g a = g b . Aus
dieser Gleichheit folgt nun eG = g a ( g b ) −1 = g a −b . Also ist a − b ≠ 0 ein von Null
verschiedenes Element vom Kern der Abbildung. Damit haben wir die Behauptung bewiesen
und es gilt m > 0 . Allgemeiner gilt g a = g b ⇔ a − b ∈ mℤ .
Wir wissen, dass der Kern des Gruppenhomomorphismus die Untergruppe mℤ ist.
Wir haben eben weiter gezeigt, dass zwei ganze Zahlen a, b ∈ ℤ genau dann auf dasselbe
Element von G abgebildet werden, wenn a ≡ b mod m gilt, d.h. wenn sie in derselben
Restklassen liegen, also a = b .
∼
Der Gruppenhomomorphismus induziert daher eine Bijektion φ : ℤ / mℤ → G, k ֏ g k .
Fassen wir unsere Ergebnisse nochmal zusammen:
Sei G eine zyklische Gruppe.
(i) Besitzt G unendlich viele Elemente, so gibt es einen Gruppenisomorphismus
∼
φ : ( ℤ, + ) → G .
(ii) Besitzt G endlich viele Elemente, und bezeichnet m :=| G | die Anzahl der Elemente, so
∼
gibt es einen Gruppenisomorphismus φ : (ℤ / mℤ, +) → G .
§5 Die Gruppe der invertierbaren Restklassen modulo m
(primitive Restklasse)
Sei m ∈ ℕ eine fest gewählte natürliche Zahl. Wegen des Artikels („Rechnen mit
Kongruenzen“) wissen wir, dass die Menge ℤ / mℤ der Restklassen modulo m ein
kommutativer Ring ist. Wir betrachten nun die Gruppe (ℤ / mℤ) x der (multiplikativ!)
invertierbaren Elemente des Ringes.
Satz:
Sei a ∈ ℤ und m ∈ ℕ . Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:
(a) Die Restklasse a ist ein zyklischer Erzeuger von (ℤ / mℤ, + ) .
(b) Die Restklasse a ist invertierbar, d.h. es existiert ein b ∈ ℤ mit ab = 1 .
(c) a und m sind teilerfremd, d.h. ggT (a, m) = 1 .
Beweis:
Ist ein a ein zyklischer Erzeuger von (ℤ / mℤ, + ) , so gilt ℤ / mℤ =< a >= {0, a, 2a,..., (m − 1)a}
. Insbesondere ist 1 ein Element der rechten Seite, d.h. es existiert ein k ∈ ℤ mit ka = 1 .
Folglich ist a invertierbar. Wir haben also gerade (a ) ⇒ (b) gezeigt.
Nehmen wir nun umgekehrt an, dass a invertierbar ist und ist b ∈ ℤ so gewählt, dass ab = 1
, so gilt für alle k ∈ ℤ entsprechend k = kba ∈< a > .
Damit haben wir also die Äquivalenz (a ) ⇔ (b) gezeigt.
Zum Beweis der Äquivalenz (b) ⇔ (c) betrachten wir die von a und m erzeugte Untergruppe
der ganzen Zahlen, < a, m >⊂ (ℤ, +) . Wir wissen, dass diese Gruppe zyklisch ist. Es gilt also
< a, m >=< d >= d ℤ , wobei d > 0 das kleinste positive Element von < a, m > ist.
Es gilt also zum einen a, m ∈ d ℤ , d.h. d ist ein gemeinsamer Teiler von a und m. Anderseits
gibt es k , l ∈ ℤ mit d = ka + lm ≡ ka mod m .
Sind a und m teilerfremd, so folgt aus der ersten Aussage d = 1 und dann aus der zweiten
Aussage 1 = ka . Insbesondere ist a also invertierbar.
Ist umgekehrt a invertierbar und ist b ∈ ℤ so gewählt, dass gilt 1 = ba , so existiert ein c ∈ ℤ
mit 1 = ba + cm ∈< a, m > .
Folglich ist d = 1 das kleinste positive Element von < a, m > und a, m sind teilerfremd.
Wir haben jetzt alles gezeigt.
Kleiner Satz von Fermat:
Ist p eine Primzahl und a ∈ ℤ kein Vielfaches von p, so gilt a p −1 ≡ 1mod p .
Beweis:
Aus dem obigen Satz folgt sofort, dass die Gruppe (ℤ / pℤ) x die Ordnung p − 1 hat. Die
Behauptung folgt damit jetzt sofort aus dem Satz von Lagrange.
Betrachten wir nun zwei Beispiele, um zu entscheiden, ob eine Gruppe der Form (ℤ / mℤ) x
zyklisch ist oder nicht, und wie wir dies zeigen können:
Beispiel 1:
Sei m = 5 . Die Gruppe (ℤ / 5ℤ) x enthält genau vier Elemente. Es gilt (ℤ / 5ℤ) x = {1, 2, 3, 4} .
Wir betrachten die Potenzen von 3 :
3² = 9 ≡ 4 mod 5
3² • 3 = 3³ ≡ 4 • 3 = 12 ≡ 2 mod 5
3³ • 3 = 34 ≡ 2 • 3 = 6 ≡ 1mod 5
Wir haben damit gezeigt, dass 3 ein zyklischer Erzeuger von (ℤ / 5ℤ) x ist. Es gilt
0
1
2
3
4
(ℤ / 5ℤ) x = {3 ,3 ,3 ,3 ,3 } = {1,3, 4, 2} .
Auch 2 ist ein zyklischer Erzeuger von (ℤ / 5ℤ) x , denn:
2² = 4 ≡ 4 mod 5
2² • 2 = 2³ = 8 ≡ 3mod 5
24 = 23 • 2 ≡ 3 • 2 = 6 ≡ 1mod 5
0
1
2
3
4
Hier gilt (ℤ / 5ℤ) x = {3 ,3 ,3 ,3 ,3 } = {1,3, 4, 2} .
Beispiel 2:
Sei m = 8 . Die Gruppe (ℤ / 8ℤ) x enthält genau vier Elemente. Es gilt (ℤ / 8ℤ) x = {1, 3,5, 7} .
Es gilt:
3² = 9 ≡ 1mod 8
5² = 25 ≡ 1mod 8
7² = 49 ≡ 1mod 8 (oder: 7² ≡ (−1)² = 1mod 8
Das bedeutet aber gerade 3² = 5² = 7² = 1 .
Die (ℤ / 8ℤ) x ist daher nicht zyklisch, da alle von 1 verschiedenen Elemente nur eine
Untergruppe der Ordnung 2 erzeugen.
§6 Weitere Beispiele
Nun wollen wir weitere ausführliche Beispiele geben, die nochmal das Wissen, das wir nun
weiter gelernt haben, festigen sollen.
(a) Wir betrachten als erstes die Gruppe G := (ℤ /11ℤ, + ) und wollen überprüfen, ob diese
Gruppe zyklisch ist. Erstmal halten wir fest, dass die Ordnung der Gruppe primer ist, es gilt
org (G ) = 11 . Nach dem Satz von Lagrange kann die Gruppe G, da sie eine primere Ordnung
besitzt, nur die Eins (neutrales Element) und sich selbst als Untergruppe haben.
Durch diesen sehr nützlichen Satz sind wir also nicht drauf angewiesen, jeden einzelnen
möglichen Kandidaten auszuprobieren und auf modulo 11 zu reduzieren.
Nun zeigen wir folgende allgemeine Aussage (wir beantworten also etwas mehr als die
eigentliche Frage):
Behauptung: Sei G eine zyklische Gruppe von Primzahlordnung. Dann ist G zyklisch und
von jedem Element ≠ e erzeugt. (siehe auch Beweis oben)
Beweis:
Da p :=| G |> 1 , gibt es ein a ∈ G mit a ≠ e . Wir betrachten ein beliebiges solches a . Dann
ist |< a >|> 1 . Nach dem Satz von Lagrange ist die Ordnung von a , also die Ordnung der von
a erzeugten Untergruppe < a > , ein Teiler der Gruppenordnung. Da dies aber eine Primzahl
ist, gilt |< a >|=| G | . Daraus folgt nun, dass G =< a > . Das wiederum bedeutet aber, dass G
zyklisch ist und von a erzeugt wird.
Wir beweisen die Aussage „G ist eine endliche Gruppe mit primerer Ordnung. Daraus folgt,
dass die Gruppe G zyklisch ist und jedes Element g ≠ eG erzeugt diese Gruppe“ nochmal auf
etwas andere Art:
Sei U :=< g > eine zyklische Untergruppe. Nun beachten wir, dass | U |≥ 2 (*) , denn es ist auf
jeden Fall g , eG ∈ U . Daraus ergibt sich nun mit dem Satz von Lagrange, dass | U | die
primere Gruppenordnung der Gruppe G teilen muss, also | U | | | G |= p . Dies bedeutet aber
gerade, dass | U |= p , denn als mögliche Teiler kommt nur die 1, das haben wir aber mit (*)
ausgeschlossen, oder die Primzahl selbst als Teiler in Frage. Damit ergibt sich nun, dass
U =< g >= G .
Genau diese Behauptung trifft auf die Gruppe G := (ℤ /11ℤ, + ) zu. Daher ist sie zyklisch und
wird von jedem Element ≠ e erzeugt. Denn die Menge ℤ /11ℤ ist ja gerade die Menge der
Restklassen modulo 11 darstellt. Und alle Restklassen modulo 11 ( ≠ 0 ) sind zyklische
Erzeuger von G := (ℤ /11ℤ, + ) . Dies zeigt auch, dass eine Gruppe für sich mehrere zyklische
Erzeuger besitzen kann, die alle die Gruppe (für sich) erzeugen.
Damit ist alles gezeigt.
(b) Wir betrachten nun die Gruppe (ℤ /12ℤ) x . ℤ /12ℤ bezeichnet die Menge aller
Restklassen modulo 12. Es gilt demnach ℤ /12ℤ = {0,1, 2, 3, 4,5, 6, 7,8,9,10,11} .
Nun gilt aber nach obigen Überlegungen:
k ∈ (ℤ / nℤ) x ⇔ ggT (k , n) = 1
mod
n
−1
∃z1 , z2 ∈ ℤ : z1 • k + z2 • n = 1 → z1 • k ≡ 1, d.h. k = z1
Um die Elemente von (ℤ /12ℤ) x angeben zu können, kommen also nur die Restklassen
modulo 12 in Betracht, die mit 12 keinen gemeinsamen Teiler haben. Es gilt:
Diese Gruppe enthält vier Elemente (ℤ /12ℤ) x = {1,5, 7,11} . Nun gilt entsprechend:
5² = 25 ≡ 1mod12
7² = 49 ≡ 1mod12
11² = 121 ≡ 1mod12
Es folgt also 5² = 7² = 11² = 1 . Die Gruppe (ℤ /12ℤ) x ist also nicht zyklisch, da alle von 1
verschiedenen Elemente nur eine Untergruppe der Ordnung 2 erzeugen.
Oder anders formuliert:
Wir fragen: Ist die Gruppe zyklisch?
< 5 >= {5,5² = 25 ≡ 1}
< 7 >= {7, 7² = 49 ≡ 1}
< 11 >= {11,11² = −1² ≡ 1}
Jede zyklische Untergruppe < g > ist echt kleiner als (ℤ /12ℤ) x , also ist (ℤ /12ℤ) x nicht
zyklisch. Denn alle Untergruppen < g > erhalten nur zwei Elemente und wie wollen diese
(ℤ /12ℤ) x = {1,5, 7,11} erzeugen? Das ist nicht möglich. Daher kann die Gruppe nicht zyklisch
sein.
1
k
(c) Sei die Gruppe G := (ℤ • := { | k ∈ ℤ}, + ) gegeben. Die Gruppe kann auch als (ℤ1 5 , + )
5
5
geschrieben werden.
In diesem Fall handelt es sich insbesondere um eine Gruppe mit unendlich vielen Elementen.
Es ist jetzt nicht möglich "einfach so" auszuprobieren, ob ein zufällig herausgepicktes
Element die ganze Gruppe erzeugt.
Es muss also nach Isomorphismen gesucht werden. Diese Gruppe verhält sich aber genauso,
wie die ganzen Zahlen mit der Addition als Verknüpfung. Dadurch ergibt sich, dass die
Gruppe G ebenfalls zyklisch erzeugt ist mit den zyklischen Erzeugern 1 5 oder − 1 5 .
Wir schreiben das Ganze nochmal etwas mathematischer auf:
1
k
Die Abbildung φ : ℤ → ℤ, k ֏ ist offensichtlich bijektiv und ein
5
5
Gruppenhomomorphismus. Also folglich ein Gruppenisomorphismus. Wir weisen wir die
Eigenschaft der Gruppenhomomorphismus nach? Das ist relativ leicht und ergibt sich mit
einfacher Bruchrechnung:
k+k k k
φ (k + k ) =
= + = φ (k ) + φ (k )
5
5 5
1
1
Damit gilt also (ℤ, + ) ≅ ( ℤ, +) . Folglich ist, da (ℤ, + ) zyklisch ist, auch ( ℤ, + ) zyklisch. Die
5
5
Erzeuger ergeben sich ebenfalls durch den oben genannten Gruppenisomorphismus:
φ( ±
1 ) = ±
Erzeuger
von ℤ
1
5
Damit ist alles gezeigt.
Exkurs zu n-ten Einheitswurzeln
Bevor wir das Beispiel geben, etwas zur n-ten Einheitswurzel:
Eine zyklische Gruppe ist eine endliche (mit einer Ausnahme) Gruppe mit einem zyklischen
Erzeuger, das bedeutet, dass jedes Gruppenelement durch Potenzieren (bei multiplikativen
Verknüpfungen) oder durch mehrfache Addition des zyklischen Erzeugers (bei additiven
Verknüpfungen) erzeugt werden kann.
So ist z.B. (ℤ, + ) die einzige unendliche zyklische Gruppe (bis auf Isomorphie). Weiterhin ist
(ℤ / nℤ, + ) = {0,1,..., n − 1} die Gruppe der Restklassen modulo n. Es gilt dabei | ℤ / nℤ |= n .
Weiterhin gilt | (ℤ / mℤ) x |= m − 1 .Für jede natürliche Zahl gibt es genau eine zyklische
Gruppe der Ordnung n.
Weiterhin kennen wir die zyklische Gruppe der n-ten komplexen Einheitswurzeln.
µn := {z ∈ ℂ | z n = 1} ist die Menge der n-ten komplexen Einheitswurzeln. ( µn , •) ist eine
zyklische Gruppe der Ordnung n.
Die Gruppenelemente sind Eckpunkte eines regelmäßigen n-Ecks. Betrachten wir das
Beispiel µ12 .
φ : µ12 → µ4 = {i, i ², i ³, i 4 } = (i, −1, −i,1}, g ֏ g ³ ist ein Gruppenhomomorphismus. Hier
gelten folgende Abbildungen:
z (= z ³) ֏ i
z ²(= z 6 ) ֏ −1
z ³(= z 9 ) ֏ −i
z 4 (= z12 ) ֏ 1
Daraus schließen wir nun folgendes:
z, z 5 , z 9 ֏ i
z ², z 6 , z10 ֏ −1
z ³, z 7 , z11 ֏ −i
z 4 , z 8 , z12 ֏ 1
Der Kern der Abbildung sind die Elemente, die auf das neutrale Element abgebildet werden.
Daher ist {z 4 , z 8 , z12 } der Kern des Gruppenhomomorphismus. Wir schreiben:
z • Kern(φ ) = {z , z 5 , z 9 } ֏ i
z ² • Kern(φ ) = {z ², z 6 , z10 } ֏ −1
z ³ • Kern(φ ) = {z ³, z 7 , z11} ֏ −i
Kern(φ ) = {z 4 , z 8 , z12 } ֏ 1
Hieran sehen wir schon, dass der Gruppenhomomorphismus nicht injektiv ist, da der Kern
nicht nur aus dem neutralen Element besteht.
(d) Sei die Gruppe ({z ∈ ℂ | z 7 = 1}, •) gegeben.
Bei dieser Aufgabe kommen die in der Linearen Algebra I kennengelernten Einheitswurzeln
ins Spiel.
Um die Aufgabe zu lösen, würde ich gerne ein allgemeineres Resultat beweisen, denn daraus
ergibt sich sofort die Antwort für die Gruppe G := ({z ∈ ℂ | z 7 = 1}, •) :
Behauptung: Eine n-te Einheitswurzel ist eine komplexe Zahl z mit z n = 1 . Die n-ten
Einheitswurzeln bilden eine zyklische Untergruppe von C x der Ordnung n .
Beweis:
Der Beweis ist nicht schwer und kann auf ein in der Vorlesung bewiesenes Resultat
2π i • k
zurückgeführt werden. Die n-ten Einheitswurzeln sind gegeben durch e n , wobei
k = 0,..., n − 1 . Hier können wir also direkt den zyklischen Erzeuger ablesen. Nun wissen wir
aber auch, dass jede endliche Untergrüppe von K * , wobei K ein Körper ist, zyklisch ist.
Damit folgt also sofort die Behauptung.
Wir fassen zusammen:
In der Aufgabe betrachten wir die Einheitswurzeln zu z 7 = 1 . Mit Kenntnissen aus der
Linearen Algebra I wissen wir, dass gilt:
2π i •k
2π k
2π k
zk = cos(
) + i • sin(
) = e 7 , k = 0,..., 6
7
7
2π i • k
e n ist genau dann eine primitive n-te Einheitswurzel, wenn ggT (k , n) = 1 . Dies ist in
unserem Beispiel der Fall, denn 7 ist eine Primzahl und daher zu jedem k teilerfremd, d.h.
wir alle k gilt ggT (k , n) = 1 .
Es lässt sich also sagen, dass ({z ∈ ℂ | z 7 = 1}, •) eine zyklische Gruppe darstellt, wobei die
Einheitswurzeln die zyklischen Erzeuger sind. Die Ordnung der Gruppe ist 7. Es gilt also
ord (G ) = ord (< e
2π i
7
>) = 7 , allgemeiner ord (G ) = ord (< e
2π i
n
>) = n . Weiterhin ist
2π ik
n
n
(e ) = e 2π ik = 1 (das neutrale Element von g ) . Die Elemente der zyklischen Gruppe liegen
auf dem Einheitskreis und bilden ein regelmäßiges n-Eck. Das bedeutet: Sie teilen den
Einheitskreis in n gleiche Teile.
Kurz gesagt: Mit dem, was wir in (a) allgemein bewiesen haben, folgt nun, da | µ7 |= 7 prim ,
dass µ7 zyklisch ist und jede 7. Einheitswurzel z ≠ 1 die Gruppe erzeugt.