24. Juni 2016

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„Zahlentheorie und Algebra“ im SoSe16
Prof. Dr. W. Lempken
Übungsgruppe 2 (Metin)
Test
Lösungsskizze
24. Juni 2016
Problem 1
Wahr oder falsch?
(a) Zyklische Gruppen sind kommutativ.
WAHR - Zyklische Gruppen unendlicher Ordnung sind isomorph zu (Z, +), zyklische
Gruppen endlicher Ordnung m sind isomorph zu (Z/(m), +); also sind zyklische Gruppen stets kommutativ.
(b) Es gibt Gruppen, die keine Normalteiler haben.
FALSCH - die trivialen Untergruppen einer Gruppe G sind trivialerweise normal in G.
(c) Der Satz von Lagrange besagt, dass es zu jedem Teiler d der Ordnung einer endlichen Gruppe eine Untergruppe der Ordnung d gibt.
FALSCH - Die Logik dieses Satzes ist eine andere: er ist bloß ein notwendiges Kritierium
für die Existenz einer Untergruppe der Ordnung d. Beispielsweise kann eine Gruppe G
der Ordnung 8 keine Untergruppe der Ordnung 6 haben; andererseits muss G auch keine
Untergruppe der Ordnung 4 haben.
(d) Ein Körper K hat neben dem Nullideal und dem Einsideal noch mindestens ein
weiteres Ideal.
FALSCH - Jedes Ideal eines Körpers abgesehen vom Nullideal enthielte wegen „(K ∗ −0, ·)
Gruppe“ auf jeden Fall eine Einheit und wäre somit das Einsideal.
(e) Der Nullring ist ein Körper.
FALSCH - Im Nullring gilt 1 = 0, aber für einen Körper muss notwendigerweise 1 6= 0
gelten.
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Problem 2
Bezeichne Sn , n ∈ N(n < ∞), die Permutationsgruppe einer n-Menge.
(a) Zeige: Sn ist nur für n ∈ {1, 2} kommutativ.
Der Fall n = 1 ist eine Trivialität. Den Fall n = 2 rechnet man entweder nach oder
bemerkt die Primzahlordnung dieser Gruppe: Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch und somit kommutativ. Für den Fall n = 3 sucht man ein Gegenbeispiel. Dieses
Gegenbeispiel lässt sich in den Fall n > 3 einbetten, so dass die Aussage gezeigt ist.
(b) Zeige, dass bis auf S3 alle Untergruppen von S3 zyklisch sind.
Es ist ord(S3 ) = 3! = 6; also gibt es nach Lagrange möglicherweise Untergruppen der
Ordnung d ∈ {1, 2, 3, 6}. S3 selbst kann nicht zyklisch sein, weil jede zyklische Gruppe
kommutativ ist, während es S3 nicht ist. Der Fall d = 1 ist trivial. Die Fälle d = 2 und
d = 3 rechnet man entweder nach oder beruft sich wiederum auf die Primzahlordnung:
Gruppen von Primzahlordnung sind zyklisch.
(c) Untersuche S5 und (Z/(120), +) auf Isomorphie.
Diese Gruppen sind nicht isomorph, man bemerke den Unterschied „nicht-kommutativ
vs. kommutativ“.
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Problem 3
Erinnerung: Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G nennen wir
NG (X) := {a ∈ G
|
aX = Xa}
den Normalisator von X in G.
Zeige: Für jede nichtleere Teilmenge X einer Gruppe G gilt:
(a) NG (X) ≤ G.
(b) |{aXa−1 |a ∈ G}| = [G : NG (X)], d.h. die Anzahl der Konjugierten von X ⊆ G ist
gleich der Anzahl der Nebenklassen von NG (X) in G.
LÖSUNGSSKIZZE: siehe „Ergänzendes Material“: „Normalisator“
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Problem 4
Sei (R, +, 0, ·, 1) ein Ring. Sei R∗ ⊂ R die Menge der Einheiten in R.
(a) Zeige: (R∗ , ·) ist eine Gruppe.
Wegen 1 ∈ R∗ ist R∗ 6= ∅. Die Assoziativität vererbt sich von (R, ·) auf (R∗ , ·). Das
neutrale Element ist sicherlich 1. Ansonsten fehlt nur noch die Abgeschlossenheit: mit
a, b ∈ R∗ ist zu zeigen, dass a · b ∈ R∗ ist.
(b) Bestimme R∗ für den Ring R der (2 × 2)-Matrizen über Z.
Die Einheiten in Z sind 1 und −1. Also ist R∗ = {M ∈ R, det(M ) ∈ {−1, 1}}.
(c) Untersuche den Ring aus Teilaufgabe (b) auf Kommutativität und Nullteilerfreiheit.
Dass R weder kommutativ noch nullteilerfrei ist, kann man zeigen, indem man jeweils
ein entsprechendes Beispiel findet.
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Problem 5
Sei K ein Körper und sei K [x] der Polynomring über K.
(a)
Zeige, dass das von x2 ∈ K [x] erzeugte Ideal kein Primideal ist.
(b) Zeige, dass K [x] /(x2 ) kein Integritätsring ist.
Wegen „R/I Integritätsring <=> I Primideal“ erledigen wir (a) und (b) gleichzeitig: In
dem Ring aus (b) hat man offensichtlich nichttriviale Nullteiler: x2 = x · x ≡ 0(mod x2 ).
(c) Finde ein Ideal I in K [x], so dass K [x] /I ein Körper ist.
Wir wählen das von (x) erzeugte Ideal; dann bestehen die Elemente von K [x] /(x) genau
aus den Polynomen von Grad 0 und dem Nullpolynom; wir können diesen Ring also mit
K identifizieren. Alternativ kann man zeigen, dass (x) ein Primideal ist. Weil K [x] ein
Hauptidealring ist, ist (x) auch ein maximales Ideal. Aus „R/I Körper <=> I maximal“
folgt dann das Gewünschte.
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