8.6.2 Relativistische Energie

8.6.2 Relativistische Energie
Um einen Körper wie zum Beispiel eine Rakete zu beschleunigen, muss die Beschleunigungsarbeit
verrichtet werden. Nach der Beschleunigung besitzt der Körper die kinetische Energie
. Im
Folgenden soll nun berechnet werden, wie viel Arbeit verrichtet werden muss, um einen Körper auf
relativistische Geschwindigkeiten
zu beschleunigen.
Für die Beschleunigungsarbeit
Für die beschleunigende Kraft
gilt der Zusammenhang:
gilt:
Diese Gleichung bedeutet anschaulich, dass die Kraft F eine Änderung des Impulses p der Rakete
bewirkt. Der Impuls der Rakete beträgt:
Da die Masse für relativistische Geschwindigkeiten nicht mehr konstant ist, muss die Formel mit Hilfe
der relativistischen Masse umgeschrieben werden:
Um die nachfolgende Rechnung zu vereinfachen wird die Formel für den relativistischen Impuls
zunächst umgeformt:
Die beschleunigende Kraft kann nun durch Ableiten des Impulses berechnet werden:
© M.Brennscheidt
Diese Gleichung kann nun zur Berechnung der Beschleunigungsarbeit verwendet werden:
Durch Integerieren ergibt sich dann die Beschleunigungsarbeit (Zur Bestimmung des Integrals muss in
diesem Fall eine Formelsammlung für Integrale verwendet werden):
© M.Brennscheidt
Um den Körper auf relativistische Geschwindigkeiten zu beschleunigen muss die oben berechnete
Arbeit verrichtet werden. Der Körper besitzt dann die kinetische Energie:
bzw.
Der Ausdruck für die kinetische Energie besteht aus zwei Termen. Der erste Term hängt von der
Geschwindigkeit des Körpers ab, wohingegen der zweite Term unabhängig von der Geschwindigkeit
ist. Er wird deswegen mit Ruheenergie bezeichnet. Für die Ruheenergie eines Körpers gilt also:
Durch Umformen der Gleichung für die kinetische Energie ergibt sich:
Die Summe aus kinetischer Energie und Ruheenergie eines Körpers nennt man relativistische
(Gesamt-) Energie:
bzw.
Diese Formel ist die wohl berühmteste Formel der Physik und beschreibt den Zusammenhang
zwischen Masse und Energie. Da die Lichtgeschwindigkeit eine Konstante ist, ist die Energie eines
Körpers immer proportional zu seiner Masse. Diesen Zusammenhang bezeichnet man mit MasseEnergie-Äquivalenz.
Schlussfolgerung:
Die obige Rechnung zeigt, dass die beim Beschleunigen einer Masse auf relativistische Geschwindigkeiten investierte Energie nicht nur als erhöhte Geschwindigkeit, sondern auch als erhöhte Masse
auftaucht. Beschleunigt man einen Körper nun auf relativistische Geschwindigkeiten, so wird sehr
viel Energie für den Massenzuwachs benötigt. Eine Erhöhung der Geschwindigkeit ist bei
relativistischen Geschwindigkeiten deshalb nur noch mit einem sehr hohen Energieaufwand möglich.
Im Grenzfall
würde die Masse eines Körpers bis ins Unendliche ansteigen, sodass es auch mit
der fortschrittlichsten Energiequelle unmöglich wäre den Körper auf Lichtgeschwindigkeit bzw.
darüber hinaus zu beschleunigen.
© M.Brennscheidt