Relativistische Geschwindigkeitsaddition Bemerkungen:

Relativistische Geschwindigkeitsaddition
(21.4):
(B's Geschw., laut A)
Geschwindigkeit von P:
laut A:
laut B':
ausgedrückt durch
Auflösen nach
Analog:
(Selber nachrechnen!)
Bemerkungen:
transformiert anders als
i)
ii)
Für
oder
reduzieren (30.5-7) zur Galilei-Form:
Photon P
iii) Wichtiger Konsistenzcheck:
Messen A und B' dieselbe Lichtgeschwindigkeit?
Geschw. v. B' relativ zu A:
, mit
[Falls B' ein Photon ist:
]
Laut A ist die Geschwindigkeit von Photon P:
Laut B' ist die Geschwindigkeit von Photon B', berechnet mittels relativistischer Geschw.-Addition:
Ergebnis ist unabhängig von
!
Alle IS messen dieselbe Lichtgeschwindigkeit für Photon P (sogar falls B' selbst ein Photon ist)!
Relativistische Masse
Grundgleichungen der Mechanik:
Newton 2:
Isoliertes System:
Def. Impuls:
Relativistisches Prinzip: Diese Gleichungen sollen Lorentz-invariant sein,
d.h., ihre Form nicht ändern unter Lorentz-Transformationen.
Wir werden sehen:
mit
Dieses erfordert:
Ziel heute: finde diese Funktion!
klassische Ruhemasse
Elastischer Stoss zweier identischer Massen
(aus Sicht von Inertialsystem S)
Annahme:
Inertialsystem S
A fliegt nach rechts,
B' fliegt nach links,
Relativgeschw.:
"relativ zu S"
A wirft Ball P nach unten,
"relativ zu A"
B wirft Ball Q nach oben,
"relativ zu B"
, Komponenten
, Komponenten
Würfe erfolgen auf so eine Weise, dass der Stoß elastisch und symmetrisch ist:
Impulserhaltung garantiert:
[alle Winkel gleich, Geschw. gespiegelt:
Stoß aus Sicht von Alice (IS-A):
Inertialsystem IS-A
Geschw. von P, laut A:
Geschw. von Q, laut A, erfordert Lorentz-Transformation von IS-B nach IS-A:
Annahme:
Betrag:
Analyse des Stoßes: gilt Impulserhaltung aus Sicht von A?
[lasse
weg:
Betrag Masse
Betrag
Impuls:
Masse
vorher:
nachher:
Fazit:
nachher
Impulserhaltung
fordert jedoch:
Falls
Einziger
Ausweg:
vorher
vorher
nachher
nachher
für alle
vorher
dann Inkonsistenz:
unmöglich
"Masse eines bewegten Teilchens"
"relativistische Masse"
"Ruhemasse", Masse eines Teilchens im IS, in dem es ruht!
Warum ist m abhängig vom Bezugsystem (BS)? Grund: wir fordern Lorentz-Invarianz
der Impulserhaltung, also sollte
nicht von
abhängen!!
hängt von
per Definition von
ab
Aber:
Eigenzeit:
sei "Eigenzeit" des Zeilchens, gemessen von einer mitbewegten Uhr,
also die Zeit in dem IS, in dem das Teilchen ruht. Alle Beobachter sind sich über Eigenzeit
eines Teilchens einig, d.h.
ist unabhängig von Bezugsystem des Beobachters.
Warum? Bewegte Uhr
Es gilt:
geht langsamer als Uhr
wie in (35.8)
Um (1) zu erfüllen,
definieren wir rel. Masse:
unabhängig von
also dieselbe Form
für A, B' !!
Verallgemeinerung:
Def. des relativistischen
laut A:
Impulses:
laut B':
Bezug zur kinetischen Energie:
für
Kinetische Energie:
Def.: relativistische Energie:
Def.: Ruheenergie:
Allgemein:
Taylor:
Terme
Zusammenfassung: Relativistische Energie
und Impuls
sind definiert als:
Es kann gezeigt werden [mittels Lorentz-Transformation]:
und
sind erhaltene Größen in Abwesendheit von externen Kräften
Lorentz-Transformation liefert:
Zum
Vergleich:
das ist der tiefe Grund
für Lorentz-Invarianz
der Mechanik!
hat dieselben Transf.-Eigenschaften wie
"Vierervektoren"
Konsistenz-Check:
sind auch erhalten!
Energie- und Impulserhaltungssätze sind Lorentz-invariant
Bezug zwischen E und
:
Ausgangspunkt für die
relativistische Quantenmechanik
und die Dirac-Gleichung!
(38.1a) in (38.1b):
Für Photonen:
(4) liefert:
(8) ist konsistent mit (6), falls
(Def. des Impulses eines Photons)
masselose Teilchen bewegen sich mit
Lichtgeschwindigkeit!