Ausarbeitung () - Server der Fachgruppe Physik der RWTH

Seminar: Astroteilchenphysik
Teilchenbeschleuniger
Vortrag: Andreas Stabaginski
Betreuer: Prof. Dr. Ch. Berger
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1.1 Bedarf an höheren Teilchenenergien . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Erzeugung von Sekundärstrahlen . . . . . . . . . . . . . . . .
3
3
3
2 Linearbeschleuniger (1929)
4
3 Zyklotron (1932)
4
4 Synchrotron (1949)
4.1 Dipolmagnet . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 konventionelle Eisenmagnete
4.1.2 Supraleitende Magnete . . .
4.2 Fokussierende Elemente . . . . . .
4.2.1 Quadrupolmagnete . . . . .
4.2.2 Bewegungsgleichung . . . .
4.2.3 Transformationsmatrizen . .
4.2.4 Quadrupol als dünne Linse .
4.2.5 Bahn des Teilchenpaketes .
4.2.6 Arbeitspunkt . . . . . . . .
4.3 Hohlraumresonatoren . . . . . . . .
4.3.1 Phasenfokussierung . . . . .
4.4 Speicherringe . . . . . . . . . . . .
4.5 Verwendete Technik . . . . . . . . .
4.6 Synchrotronstrahlung . . . . . . . .
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6
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8
10
10
10
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13
14
16
17
18
20
20
20
5 Luminosität
21
5.1 Einzelereignis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.2 Integrierte Luminosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.2.1 Ṅ für e+ e− → µ+ µ− . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6 Colliderprinzip
23
7 Ausblick
24
8 Literaturverzeichnis
24
2
1
Einleitung
1.1
Bedarf an höheren Teilchenenergien
Die ersten Versuche mit Teilchen wurden von 1911 Rutherford durchgeführt,
hierbei handelte es sich um α-Teilchen des natürlichen Zerfalls. Die Energie der Teilchen wurde gebraucht, um den Coulombwall der Goldatome zu
überwinden.
Die Energie der Teilchen ist seit dem enorm gestiegen, und man hat immer
noch den Bedarf. diese weiter zu steigern. Zum einen braucht man zur Erzeugung neuer Teilchen eine Energie im CMS, die mindestens der Ruheenergie
des neuen Teilchen entspricht. Bei einem Speicherring
berechnet sich diep
1
CM S
se Masse nach E = m , allgemein gilt Eges = (E1 + E2 )2 − (p1 + p2 )2 ,
hierbei sind Ei bzw. pi die Energien bzw. Impulse im Laborsystem. Beispielsweise hat das t-Quark eine Masse von mt = 174, 3 ± 5, 1GeV, somit
CM S
muss Eges
> 2 · mt = 350GeV sein.
Zum anderen kann man mit höheren Energien kleinere Strukturen auflösen.
Wichtig hierbei ist, dass man nicht mit der de Broglie - Wellenlänge argumentieren kann. (Die relativistische Längenkontraktion wirkt der gewonnenen
Wellenlängenverkürzung genau entgegen.) Eine richtige Abschätzung erhält
man aber mit Hilfe der Heisenbergschen Unschärferelation ∆x · ∆p ≥ h̄: Da
der Impuls größer als seine Unschärfe ist, und da bei v ≈ c = 1, p ≈ E
gilt, erhält man ∆x = h̄/E. Somit verringert man die Ortsunschärfe ∆x bei
Erhöhung von E.
1.2
Erzeugung von Sekundärstrahlen
Ein weiterer Grund für den Bau und Betrieb von Teilchenbeschleunigern
ist die Erzeugung von Sekundärstrahlen, etwa der Synchrotronstrahlung. So
wird zum Beispiel im Bereich der Festkörperphysik die sogenannte Synchrotronstrahlung verwendet, um Proben zu untersuchen. Diese Strahlung wird
in Undulator- und Wigglermagneten erzeugt. Ebenso können mit Beschleunigern etwa Neutronenstrahlen erzeugt werden, die sich, da ungeladen, nicht
direkt erzeugen lassen.
1
Mit der Konvention c = 1.
3
Abbildung 1: : Linearbeschleuniger (Wideröe, 1928)
2
Linearbeschleuniger (1929)
Der erste Linearbeschleuniger wurde 1928 von Wideröe gebaut. Der Aufbau
eines solchen Beschleunigers ist in Bild 1 gezeigt, er besteht aus Driftröhren,
die abwechselnd mit den beiden Polen einer Hochfrequenzquelle verbunden
sind.
Die zu beschleunigenden Teilchen verlassen die Quelle und werden zur
ersten Driftröhre hin beschleunigt, sofern die Polung stimmt. Die Röhre ist
gerade so lang, dass die Spannung umgepolt ist, wenn die Teilchen das Rohr
verlassen, dadurch sehen sie wieder eine beschleunigende Spannung. Der Vorgang wiederholt sich von Röhre zu Röhre, der Energiegewinn zwischen zwei
Spalten beträgt ∆E = U q, U ist hierbei die Spannung zwischen zwei Röhren,
q die Teilchenladung.
vi
Man sieht sofort, dass die Röhren zunächst immer länger werden: li = 2f
,
bei v ≈ c allerdings ist die Länge konstant. Mit den damaligen Werten für
die maximale Frequenz von etwa 10MHz erhält man schließlich lend ≈ 15m.
Im Spalt können lediglich Spannungen von wenigen kV angelegt werden, da
es sonst zu Spannungsüberschlägen kommt. Somit wird die gesamte Anlage
sehr lang, man hat einen linearen Längenzuwachs bei Steigerung der Energie.
Das ist ein großer Nachteil dieses Bautyps.
3
Zyklotron (1932)
Wenige Jahre nach dem Linearbeschleuniger wurde das erste Zyklotron gebaut, die Idee geht auf Lawrence zurück. Das Zyklotron besteht aus zwei
4
Abbildung 2: : Zyklotron
D-Förmigen Dosen (siehe Abbildung 2), die senkrecht von einem Magnetfeld
durchsetzt werden. Zwischen den beiden Dosen liegt die Beschleunigungsspannung U an, die wieder von einer Hochfrequenzquelle geliefert wird. Auch
hier wird umgepolt, während sich die Teilchen in einer Dose befinden, damit
immer eine beschleunigende Spannung anliegt. Die geladenen Teilchen werden in der Mitte freigesetzt, wegen des Magnetfeldes wirkt die Lorentzkraft
FL = qωRB, hierbei bezeichnet ω die Umlauffrequenz des Teilchens und R
den Bahnradius. Diese Kraft entspricht der Zentripetalkraft Fz = γmω 2 R,
γ = E/m ist der Lorentzfaktor. Somit erhält man für die Umlauffrequenz
der Teilchen in einem Zyklotron:
ω=
e
B.
γm
Im nichtrelativistischen Bereich, d.h. für kleine Energien, ist γ nahe bei 1
und konstant. Demnach ist also die Umlauffrequenz bei festem B konstant.
Das bedeutet, dass die Frequenz der Hochfrequenzquelle konstant gehalten
werden kann.
Allerdings hat das Zyklotron zwei große Nachteile. Zum einen ist bei re5
lativistischen Energien γ > 1 6= const., damit kann entweder das Magnetfeld
oder die Frequenz nicht mehr homogen gelassen werden, ein Anpassen bzw.
Synchronisieren ist sehr aufwendig und teuer. Außerdem verringert sich hierbei der erzeugte Teilchenstrom, denn es werden nun nicht mehr kontinuierlich
(im Takt der Hochfrequenzquelle) Teilchen beschleunigt, sondern nur noch
im Takt der Synchronisierung.
Der andere Nachteil ist die benötigte Magnetgröße. Sollen etwa Protonen
auf 1GeV/c beschleunigt werden, so ist bei einer für Protonen typischen
Frequenz von fP = 15, 28MHz ein Durchmesser des Magneten von 6, 6m
nötig. Solche Magnete sind sehr teuer, und die Endenergie ist hierbei noch
nichtmal sehr groß. Deswegen benutzt man Zyklotrone nur bis zu bestimmten
Energien.
4
Synchrotron (1949)
Wie man beim Zyklotron sieht, wird der Radius der Teilchenbahn zunehmend
groß. Bei Synchrotron hingegen wählt man einen sehr großen, konstanten
Bahnradius. Anstelle des einen Magneten treten nun viele kleine Ablenkmagnete (siehe Abb. 3), die Bahn ist damit aus vielen kleine Kreisbögen
zusammengesetzt. Mit FZ = γmv 2 /R = qvB = FL folgt sofort
p = qBR.
Da R = const., muss somit bei steigendem Teilchenimpuls das Magnetfeld
synchron miterhöht werden, man sieht aber auch, dass bei großen Radien verhältnismäßig kleine Magnetfelder schon ausreichen, um Teilchen mit
großem Impuls um die Kreisbahn zu lenken.
Die wichtigsten Elemente eines Synchrotrons sind:
• Dipolmagnete, die die Teilchen in die Kreisbahn zwingen
• Fokussierende Magnete um den Teilchenstrahl zu bündeln
• Hohlraumresonatoren zur Energiezuführung
4.1
4.1.1
Dipolmagnet
konventionelle Eisenmagnete
Für die Ablenkung der Teilchen in einem Kreisbogen verwendet man Dipolmagnete. In Abbildung 4 ist ein klassischer Eisenmagnet dargestellt. Das
6
Abbildung 3: Synchrotron
7
Abbildung 4: Dipolmagnet aus Eisen
Magnetfeld in dem Spalt mit der Höhe h beträgt
B=
µ0 nI
.
h
Man sieht, dass sich das Magnetfeld einfach über die Stromstärke I regulieren
lässt. In der Praxis benutzt man den Netzstrom, hier ist f = 50Hz, d. h. es
steht eine Zeit von höchstens 5ms zur Beschleunigung zur Verfügung, wenn
man auf Vormagnetisierung verzichtet. Andererseits werden pro Sekunde 50
Teilchenpakete beschleunigt. Hierbei wird allerdings nicht bei I = 0 mit
der Beschleunigung begonnen, da der Magnet noch eine Restmagnetisierung
aufweist. Somit müssen die Teilchen eine gewisse Mindestenergie bei Eintritt
in den Synchrotron haben. Das wird mit Vorbeschleunigern erreicht, etwa
einem Linearbeschleuniger (vgl. Abb. 3).
Bei der Beziehung für B wird von µr = ∞ ausgegangen, das allerdings
nur der Fall für kleine Magnetfelder ist. Wächst das Feld über 1T an, ist
B nicht mehr proportional zu I, da die Sättigung des Eisens B schließlich
asymptotisch gegen BM ax laufen lässt. In der Praxis sind Felder größer als
1T nur sehr schwer mit Eisenmagneten zu erzeugen.
4.1.2
Supraleitende Magnete
Die Alternative zu Eisenmagneten besteht in Luftspulen, da hier keine Sättigung auftritt. Jedoch besteht hier nicht die Möglichkeit, durch Formgebung
der Pole bestimmte Magnetfelder zu erzeugen. Bei Betrachtung der Stromverteilung eines Zylindermantels stellt man aber fest, dass sich ein Magnetfeld m-ter Ordnung durch eine Stromverteilung des Mantels gemäß I(φ) =
8
Abbildung 5: Erzeugung eines Dipolfeldes via Luftspule
I0 cos(mφ) erzeugen lässt. Somit erhält man zum Beispiel für m = 1 (Dipolfeld) I(φ) = I0 cos(φ), und hierbei ist:
Bz = −
µ0 I0
, By = Bx = 0.
2a
Die Stromverteilung ist links in Abb. 5 dargestellt, rechts ist die technische
Realisierung dargestellt. Die kontinuierliche Stromverteilung wird durch die
einzelnen Spulenstränge angenähert, hierbei verwendet man zwei Lagen und
Abstandsstücke, in denen kein Strom fließt. Mit dieser einfachen Methode
ist es möglich, sehr genaue Felder zu erzeugen, die Feldfehler sind kleiner als
10−4 .
Eine weitere Schwierigkeit bei der Verwendung von Luftspulen besteht in
den erforderlichen hohen Stromdichten. Da Felder die größer als 1T sind
erzeugt werden sollen, sind hohe Stromdichten erforderlich: Soll etwa im
Abstand von 5cm ein Feld von 5T erzeugt werden, so ist ein Strom von
I = 1, 2 · 106 A nötig, bei einem Leiterdurchmesser von 3cm beträgt die
Stromdichte dI/da ≈ 1700A/mm2 . Selbst gut gekühlte Kupferspulen allerdings verkraften keine Stromdichten über 100A/mm2 .
Somit verwendet man supraleitende Spulen, in denen der Strom verlustfrei fließen kann. Hier muss die Spule auf eine Temperatur unterhalb der
Sprungtemperatur des Spulenmaterials gebracht werden, man verwendet zum
Kühlen flüssiges Helium. Als Supraleiter kommt Niob-Titan zum Einsatz, die
9
Betriebstemperatur beträgt 4, 6K. Wegen des Meissner-Ochsenfeld-Effektes
fließt der Strom nur an der Oberfläche des Leiters, somit vergrößert man
den Querschnitt, indem viele kleine (einige tausend) Filamente zu einem Leiter gebündelt werden, diese Leiter werden zu den rechteckförmigen Kabeln
zusammengefasst die in Abb. 5 erkennbar sind.
4.2
Fokussierende Elemente
Oben wurde als Beispiel der Betrieb der Magnete mit Netzstrom genannt,
es steht dann eine Zeit von 5ms zur Verfügung. In dieser Zeit legen die Teilchen mit v ≈ c (diese Geschwindigkeit wird sehr schnell erreicht sein) eine
Strecke von 1500km zurück. Hierbei würden selbst kleinste Abweichungen
dazu führen, dass die Teilchen auf die Röhre treffen und damit verloren gehen.
4.2.1
Quadrupolmagnete
Zur Fokussierung des Teilchenstrahles verwendet man Quadruplomagnete,
der Feldverlauf ist in Abb. 6 skizziert. Es gilt: Bx = gy, By = gx, Bz = 0,,
wobei g der Feldgradient ist, für ihn gilt g = 2µ0 nI/a2 bei einem Eisenmagneten mit n Windungen, und g = µ2a0 I20 bei einer supraleitenden Spule.
Hierbei bezeichnet a im ersten Fall den Abstand des Pols vom Ursprung, im
zweiten den Durchmesser des Zylinders. Mit der Lorentzkraft FL = qv × B
erhält man somit als Kraft auf die Teilchen:
FL,x = −qcBy , FL,y = qcBx , FL,z = 0.
FL,x und FL,y haben unterschiedliche Vorzeichen, FL,x sorgt somit bei positiv
geladenen Teilchen für eine Fokussierung, gleichzeitig führt FL,y zur Defokussierung. Um also einen Teilchenstrahl sowohl in der x − z als auch in der
y −z-Ebene zu fokussieren, bedarf es immer zwei hintereinander geschalteten
Quadrupolmagneten. Hierbei wirken zwei gleichstarke nacheinander geschaltete Magnete insgesamt noch fokussierend, ihre Wirkungen heben sich also
nicht auf. Da FL,z = 0, beeinflusst der Quadrupolmagnet die Teilchen nicht
in Flugrichtung.
4.2.2
Bewegungsgleichung
Im folgenden wird nun die Bewegungsgleichung der Teilchen im Beschleuniger hergeleitet, dabei werden nur Quadrupolfelder berücksichtigt. Aus der
10
Abbildung 6: Feld eines Quadrupolmagneten
Abbildung 7: Ablenkung der Teilchenbahn
11
Lorentzkraft folgt p˙x = −qcgx. Für die Steigung x0 der Teilchenbahn (vgl.
Abb. 7) gilt:
px
px
x0 =
≈
,
pz
|p|
da in guter Näherung der Impuls in Flugrichtung dem Betrag des Gesamtimpulses entspricht. Mit dz = vdt ≈ cdt erhält man schließlich
dpx
d2 x
p˙x = c
= c|p| 2 = −ecgx,
dz
dz
und mit k = eg/|p|
x00 (z) = −kx(z).
Die Bewegungsgleichung entspricht in der Optik der Gleichung einer Zylinderlinse in der achsennahen Näherung (d.h. tan ϕ = ϕ). Sofern man höhere
Magnetfeldordnungen nicht vernachlässigt, hat die Bewegungsgleichung folgende Struktur:
∆p
2
.
x00 = −kx + k1 x2 + k2 xx0 + k3 x0 + · · · +kc
{z
}
|
p
Linsenfehler
Der ∆p/p-Term ist in der Optik für die chromatischen Linsenfehler verantwortlich, und wird dort so gut wie immer korrigiert.
4.2.3
Transformationsmatrizen
Die Lösung der Bewegungsgleichung lässt sich elegant in Form einer Matrix
ausdrücken:
x
x0
=M
,
x0
x00
wobei die Matrix M für eine freie Strecke folgende Struktur hat:
1 l
M0 =
,
0 1
wie man durch Einsetzten sofort sehen kann. Die Bewegungsgleichung ist
leicht zu lösen, da es sich um die Schwingungsgleichung handelt. Für einen fokussierenden
Quadrupolmagneten der Länge L erhält man mit der Abkürzung
p
Ω = L |k| also:
√1 sin Ω
cos Ω
k
√
Mf =
,
− k sin Ω cos Ω
12
und für einen defokussierenden
Md =
√1 sinh Ω
cosh Ω
|k|
p
− |k| sinh Ω
cosh Ω
!
.
Das Magnetfeld in einem Dipolmagneten lenkt die Teilchen nur um die Kurve,
deshalb legt man das Koordinatensystem entlang dieser Sollbahn bzw. Orbit.
Damit ist die Matrix für einen Dipolmagneten identisch mit der der freien
Wegstrecke. Die Koordinaten für eine aus verschiedenen Teilen zusammengesetzte Strecke erhält man durch einfache Matrix-Matrix-Multiplikationen:
M = Mf · M0 · Md · · · · . Damit lassen sich komplette Beschleunigerstrukturen ausrechnen. Oftmals teilt man zum Berechnen den Beschleuniger in
identische Zellen auf, um die Anzahl der Matrizenmultiplikationen zur reduzieren. Im ersten Schritt berechnet man die Matrix der einzelnen Zelle, im
zweiten dann die Gesamtmatrix über die Zellenmatrix.
Bei den obigen Matrizen handelt es sich um 2 × 2 Matrizen, um beide
Ebenen (x − z und y − z) in einer Matrix darzustellen, muss man 4 × 4
Matrizen verwenden.
4.2.4
Quadrupol als dünne Linse
Wie oben bereits angedeutet, hat der Quadrupolmagnet in der Optik sein
Analogon in der dicken Zylinderlinse. Man stellt fest, dass Ω klein ist. Bei
einem Teilchenimpuls von |p| = 10GeV/c und einem Feldgradienten von
g = 1T/m erhält man bei einem 1m langem Magneten:
k=
√
eg
e · 3 · 108 m/s T
−2
2
=
·
1
=
3
·
10
/m
⇒
Ω
=
kL ≈ 0, 17
p
10 · 109 eV
m
Somit gilt näherungsweise für Mf :
Mf =
1
L
−kL 1
.
Die Matrix lässt sich, unter der Annahme Ω2 ≈ 0 wie folgt als Produkt dreier
Matrizen schreiben:
1 L/2
1
0
1 L/2
=
,
0 1
−1/f 1
0 1
13
hierbei bezeichnet 1/f = kL. Die mittlere Matrix entspricht der einer dünnen
Linse, die beiden äußeren sorgen dafür, dass diese dünne Linse eine Breite von
zweimal L/2 hat. Zur Verdeutlichung, dass es sich bei der mittleren Matrix
um eine dünner Linse handelt, kann man die Punkt-zu-Punkt Abbildung
betrachten. Hier gilt für das Matrixelement M12 = 0, da x = M11 x1 + M12 x01
und x darf bei einer Punkt-zu-Punkt Abbildung nicht von x01 abhängen. Nun
gilt bei Abstand a vor und b hinter der Linse:
M12 = a + b − ba/f = 0 ⇒
1
1 1
= + .
f
a b
Das ist gerade die Linsengleichung, somit wirkt ein Quadrupolmagnet insgesamt tatsächlich wie eine dünne Linse.
4.2.5
Bahn des Teilchenpaketes
Von Interesse beim Teilchenbeschleuniger ist die Bahn des gesamten Teilchenpaketes. Seine Bewegungsgleichung erhält man aus der Gleichung für
ein Teilchen, wenn man den Parameter k abhängig von z macht:
x00 (z) + k(z)x(z) = 0.
Das ist eine Bewegungsgleichung vom Hill’schen Typ, deren Lösung lautet:
p
x(z) = β(z) cos (Ψ(z) + Φ).
Hierbei ist Ψ(z) =
Rz
0
dσ
,
β(σ)
und Φ sind Integrationskonstanten.
p
β(z) ist
Einhüllende aller Teilchenbahnen, siehe Abb.8. Diese Einhüllende
gibt sop
mit auch den geforderten Röhrenquerschnitt vor, denn in β(z) ist die 1σ
Breite, d.h. in dieser Fläche liegen 68% des Teilchenpaketes. Damit nach den
zahlreichen Umläufen so gut wie keine Teilchen verloren gehen, muss man den
Querschnitt mindestens 7-mal so groß wählen wie die Einhüllende vorgibt.
Da die Betafunktion bezüglich des Umfanges periodisch ist, β(z) = β(z + U ),
wandert die Einhüllende nicht.
Die Bahnfunktion x(z) führt also Schwingungen um den Orbit aus, die
Einhüllende aller dieser Schwingungen läßt sich über die Betafunktion β(z)
berechnen. Im allgemeinen Fall gibt es zwar keine Lösung für β(z), aber
bei einer periodischen Anordnung der Magnete schon. Somit kann man die
Betafunktion bei einem Kreisbeschleuniger berechnen, das Ergebnis kann mit
14
Abbildung 8: Betafunktion als Einhüllende
Hilfe der Teilchenbahnmatrizen ausgedrückt werden. Die Berechnung wird im
Wille durchgeführt ([2]), das Ergebnis lautet:
B1 = M · B0 · MT ,
wobei B0 die Matrix am Ort 0 ist, etwa beim Eintritt in den Beschleuniger.
Sie hat folgende Struktur:
β −α
B=
,
−α γ
hier ist α = β 0 /2 und γ = (1 + α2 )/β. B0 ist durch den Vorbeschleuniger
vorgegeben, somit kann man dann die B an jedem Ort des Beschleunigers
ermitteln, eine alternative Darstellung des Ergebnisses benutzt die Matrixelemente der Teilchenbahnmatrizen:
β = m211 β0 − 2m12 m11 α0 + m212 γ0 .
Ebenso kann man α und γ durch die Matrixelemente ausdrücken, man erhält
dann eine neue Matrix T, so dass gilt:
 


β
β0
 α  = T  α0  .
γ
γ0
Um den Beschleuniger zu entwerfen, hat man als Vorgaben jedoch die Betafunktionen am Anfang (durch den Vorbeschleuniger) und am Ende (etwa
15
durch den Eintritt in einen Speicherring) vorgegeben. Dafür ist es komfortabel, die Teilchenbahnmatrix in Abhängigkeit der Betafunktion zu schreiben:
!
p
√
β/β0 (cos Ψ + α0 sin Ψ) p
ββ0
M=
.
(α0 −α) cos Ψ−(1+α0 α) sin Ψ
√
β0 /β(cos Ψ + α sin Ψ)
ββ0
4.2.6
Arbeitspunkt
Das Teilchepaket hat eine Betatronschwingung durchgeführt, wenn Ψ(s) gerade um 2π gestiegen ist, dann ist der Cosinus eine Periode durchlaufen. Die
Anzahl der Betatronschwingungen pro Umlauf berechnet sich wie folgt:
Z s+U
1
dσ
Q=
.
2π s
β(σ)
Die Zahl Q nennt man Arbeitspunkt des Beschleunigers, sie ist eine sehr
wichtige Größe im Beschleunigerbau. Man kann leicht einsehen, dass der
Arbeitspunkt nicht ganzzahlig sein sollte, da sich sonst Feldfehler verstärken:
p
x(z + U ) = β(z + U ) cos(Q · 2π + Ψ(z) + Φ).
Da β(z + U ) = β(z), und da Q · 2π keine Änderung des Cosinus bewirkt,
ist dann x(z + U ) = x(z). Dadurch allerdings addieren sich Abweichungen
bei jedem Umlauf auf, und selbst kleinste Feldfehler würden durch die extrem vielen Umläufe zu Teilchenverlust führen. Man kann allgemein zeigen,
dass Q/m = 1, 2, 3, . . . gerade Feldfehler der m-ten Ordnung verstärken. Der
Arbeitspunkt ist also eine wichtige Größe, um Teilchenverlust zu vermeiden.
Erschwerend kommt hinzu, dass sich bei hohen Raumladungsdichten der Arbeitspunkt verschiebt, der sogenannte Q-Shift, und damit ein anfangs stabile
Konfiguration instabil wird und verloren geht.
Den Arbeitspunkt gibt es natürlich auch für die y-Koordinate, insgesamt
spricht man vom horizontalen und vertikalen Arbeitspunkt. Diese sind im
Normalfall nicht identisch, ebenso gibt es Kopplungen zwischen den beiden
Betatronschwingungen. Die zu Teilchenverlust führende Resonanzbedingung
lässt sich schreiben als
mQx + nQy = i,
hier sind m, n und i natürliche Zahlen. Die Summe o = |m|+|n| bestimmt die
Ordnung der Resonanz. Die Stärke der Resonanzen nimmt mit wachsendem
o schnell ab, es reicht i. Allg., die ersten fünf zu berücksichtigen.
16
Abbildung 9: T M01 -Mode bei einem rundem Hohlleiter
4.3
Hohlraumresonatoren
Schließlich will man den Teilchen noch Energie zuführen, was mit Hohlraumresonatoren (engl. Cavities) geschieht. Bei höheren Frequenzen ist die Betrachtung der Beschleunigungsstrecke als Kondensator einer Hochfrequenzquelle nicht ausreichend, denn bei hohen Frequenzen entstehen elektromagnetische Wellen. Ein Hohlleiter besteht aus einem meist rechteckigem oder
rundem Metallrohr, in dem sich die elektromagnetischen Wellen ausbreiten.
Durch die Randbedingungen für die Welle (die senkrecht zur Wand stehenden
elektrischen Felder müssen verschwinden) erhält man verschiedene Feldkonfigurationen (oder Moden) für die Welle. Im Beschleunigerbau verwendet
man meistens die T M01 -Mode, siehe Abb. 9. T M steht hier für TransversalMagnetisch, das heißt insbesondere, dass das elektrische Feld in Ausbreitungsrichtung ausgerichtet ist.
Wenn man nun den Hohlleiter an den Enden verschließt, kommt es zu
Resonanzen und es bilden sich stehende Wellen aus. In Abb. 10 ist ein Hohlraumresonator skizziert, man benutzt das senkrecht zur Ausbreitungsrichtung stehende elektrische Feld, um die Teilchen zu beschleunigen. Bei einem
runden Resonator beträgt die Resonanzwellenlänge λ = πD/2, 4048, damit
kann über c = f · λ die Frequenz errechnet werden. Die 2, 4048 ist die erste
Nullstelle der Besselfunktion, sie erhält man durch lösen der Wellengleichung
des runden Hohlleiters, die Länge des Resonators kann frei gewählt werden.
Die zugeführte Energie berechnet sich hier wieder über ∆E = qU .
Beim DESY etwa hat man einen Durchmesser von D = 462mm gewählt.
Damit erhält man eine Frequenz von f = 497MHz, sie liegt unter der gewünschten Arbeitsfrequenz von 500MHz. Die Feineinstellung erreicht man über
sogenannte Abstimmstempel, die in den Resonator hineingefahren werden
17
Abbildung 10: Prinzip eines Hohlraumresonators
können. Das macht man, da der Durchmesser beim Bau des Resonators nicht
so exakt gemacht werden kann. Der Energietransport zum Holraumresonator
geschieht oft mit Rechteckhohlleitern, da hier die Verluste am kleinsten sind.
In Bild 11 ist ein Mehrkammerhohrraumresonator dargestellt. Dieser besteht aus fünf Beschleunigungsstrecken, wobei nur an einer Stelle die Hochfrequenz eingekoppelt wird, und ist komplett aus Kupfer hergestellt. Die
Ausbreitung zu den anderen Zellen geschieht über die Koppelschlitze. Zwei
Zellen sind mit Abstimmstempeln ausgestattet, damit kann die Arbeitsfrequenz des Resonators eingestellt werden. Trotz des komplizierteren Aufbaus
ist der technische Aufwand viel kleiner, als bei der Verwendung von fünf
einzelligen Resonatoren. Die Arbeitsfrequenz beträgt 500MHz, die Leistung
PHF = 125kW.
4.3.1
Phasenfokussierung
Mit Hilfe der beschleunigenden Bauelemente wird eine weitere Art der Teilchenstrahlfokussierung realisiert, die sogenannte Phasenfokussierung. Die Phasenfokussierung korrigiert ∆p/p-Abweichungen, so dass der Teilchenstrahl
nicht verschmiert. Da der Resonator schwingt, gilt für die zugeführte Energie allgemein E = qU sin θ, hier ist θ die Phase der Spannung. Nun wählt
man für die Teilchen auf der Sollbahn, also diejenigen mit ∆p/p = 0, den
Winkel θS nicht π (was ja maximalem Energiezuwachs entspräche), sondern
π < θS < 2π. Teilchen mit weniger Energie, also solche mit ∆p/p < 0,
p
eine Bahn mit kleinerem Radius und sind somit
durchfliegen gemäß R = eB
18
Abbildung 11: Mehrkammerhohlraumresonator
Abbildung 12: Phasenfokussierung
19
eher beim Resonator. Damit ist der Energiezuwachs E = eU sin θ für diese
Teilchen höher, und die Impulsabweichung wird korrigiert, siehe Abb. 12.
Die Teilchen mit ∆p/p > 0 bekommen analog weniger Energie. Insgesamt
schwingen die Teilchen damit um die Sollbahn, diese Schwingung heißt Synchrotronschwingung. Diese Schwingungen hält das Teilchenpaket stabil im
Beschleuniger, und sorgt dafür, dass das Magnetfeld unkompliziert erhöht
werden kann.
4.4
Speicherringe
In einem Speicherring verweilen die Teilchen mehrere Stunden, und an bestimmten Wechselwirkungspunkten kommt es bei jedem Umlauf der Teilchen
zu Kollisionen. Um die Teilchen so lange in der Maschine zu halten, ist es
nötig ein Ultrahochvakuum zu erzeugen, damit die Teilchen nicht mit Restatomen in der Röhre zusammenstoßen und verloren gehen. Das ist der Grund,
warum die Speicherringe erst ab 1961 gebaut werden konnten, die Drücke
müssen kleiner als 10−7 Pa sein. Die andere Schwierigkeit ist die nötige Fokussierung, auch hier ist eine viel höhere Genauigkeit als beim Synchrotron
erforderlich. Beim Speicherring wird den Teilchen nur noch die Energie zugeführt, die sie bei ihrem Umlauf verloren haben, es findet keine Steigerung
der Energie statt. Häufig macht man es sich zunutze, dass man im gleichen
Ring Teilchen und Antiteilchen umlaufen lassen kann. Sie umkreisen den
Ring dann gegenläufig, da ja ihre Ladungen gerade umgekehrt sind.
4.5
Verwendete Technik
Die Tabelle 1 zeigt für einige Beschleuniger die verwendete Technik.
4.6
Synchrotronstrahlung
Es wurde erwähnt, dass bei einem Speicherring nur die pro Umlauf verloren
gegangene Energie nachgeführt wird. Die Energie geht dadurch verloren, dass
die geladenen Teilchen durch die Kreisbahn beschleunigt werden, und deshalb
Energie abstrahlen.Die abgestrahlte Energie pro Umlauf berechnet sich nach
∆E =
4παh̄c γ 4
· .
3
R
20
Name
HERA
Verwendete
Teilchen
Elektronen &
Protonen
LEP
Elektronen
Positronen
LHC
Protonen
&
Technik
Endenergie
e-Ring konventionell, p-Ring
supraleitend
konventionelle
Magnete, Cavities supraleitend
komplett supraleitend
e: 30GeV,
820GeV
p:
e+ − e− mit je
100GeV
p−p mit je 7TeV
Tabelle 1: Übersicht über einige Beschleuniger
E
70GeV
100GeV
∆E
708MeV
3GeV
Tabelle 2: Energieverlust bei LEP
Die Synchrotronstrahlung spielt nur bei Elektronen eine wichtige Rolle, da
sie eine sehr geringe Masse haben. Bei Protonen etwa, die eine knapp 2000P
mal höhere Masse besitzen, ist die Abstrahlung um etwa ∆E
= 1, 1 · 1013
∆Ee
unterdrückt. Bei der Synchrotronstrahlung geht die Teilchenenergie zur vierten Potenz ein, und eine Vergrösserung des Radius hat keinen großen Nutzen.
Im Tabelle 2 sind Werte für den LEP-Speicherring aufgetragen, der Radius
betrug 3000m. Die hohe Energie, die pro Umlauf nachgeführt werden musste,
erklärt die Verwendung von supraleitenden Cavities.
5
5.1
Luminosität
Einzelereignis
Die wichtige Maschinengröße, die dem Experimentalphysiker Auskunft über
die Teilchenrate Ṅ eines Experimentes gibt, ist die Luminosität. Es gilt für
die Teilchenrate folgende Beziehung:
Ṅ = σL.
21
Abbildung 13: Zur Luminosität
Hierbei ist σ Wirkungsquerschnitt der Reaktion, er hängt von der Reaktion
ab, und ist durch die Natur vorgegeben, und L ist die Luminosität. Für die
Luminosität eines Colliders gilt:
L=
N1 N2
1 N1 N2
b
fu = fu b p ∗ ∗ ,
4π σx σy
4 x βx y βy
die in der Beziehung stehenden Größen sind in Abb. 13 eingezeichnet.
σx und σx sind die Querschnitte des Teilchenpaketes im Wechselwirkungspunkt, daher
√ fließt die Betafunktion in die Luminosität ein, da wie oben
erwähnt, β die Einhüllende des Teilchenpaketes ist. fu ist die Umlauffrequenz, und b die Anzahl der Teilchenpakete im Ring. Somit kann die Luminosität erhöht werden, indem man die Anzahl der Teilchen im Paket steigert,
oder die Anzahl der Teilchenpakete im Ring. Alternativ kann man den Strahlquerschnitt verringern, so wird im Wechselwirkungspunkt die Betafunktion
auf wenige cm verringert, (statt in Meterbreich, wie im Rest des Ringes). Begrenzende Größe bei der Steigerung der Luminosität sind die Raumladungseffekte, die bei Verkleinerung des Strahlquerschnittes auftreten. Dadurch werden die Teilchen des kollidierenden Teilchenpaketes soweit abgelenkt, dass
sie keine stabile Bahn mehr haben, und damit an die Röhrenwand geraten
und verloren gehen. Stärker ist jedoch der Effekt, dass sich bei steigender
Raumladung der Arbeitspunkt verschiebt (Q-Shift). Dadurch wandert der
22
Arbeitspunkt einer Resonanz zu und es kommt durch Feldfehlerverstärkung
unweigerlich zu Verlust.
5.2
Integrierte Luminosität
Die Luminosität selbst variiert für gängige Speicherringe zwischen 1030 −
1032 cm12 s , und gibt nicht direkt darüber Auskunft, wieviele Ereignisse pro Jahr
für eine bestimmte Reaktion zu erwarten sind. Das jedoch tut die integrierte
Luminosität:
Z
LInt =
Ldt.
M eßzeit
Die integrierte Luminosität braucht nur noch mit dem Wirkungsquerschnitt
multipliziert zu werden, und man erhält die Anzahl der Ereignisse pro Messzeit.
5.2.1
Ṅ für e+ e− → µ+ µ−
Zur Berechnung der Ereignisanzahl wird zuerst LInt berechnet. Als Beispiel
seien hier die Daten vom LEP angeführt: 1999 war der Strahl 1632 Stunden
im Lauf, und die durchschnittliche Luminosität betrug 50, 2 · 1030 cm12 s . Die
Strahlenergie betrug 100GeV. Damit folgt
LInt = 1632 · 3600 · 50, 2 · 1030
1
1
= 2, 95 · 1038 2 = 295pb−1 .
2
cm
cm
Der Wirkungsquerschnitt der Reaktion e+ e− → µ+ µ− beträgt σ = 21, 17 Enb2 ,
hier muss E in GeV eingesetzt werden. Damit erhält man eine Rate von
21, 17nb
· 295pb−1 = 624
1002
Ereignissen pro Jahr. Daran erkennt man, wie wichtig es ist die Luminosität
so groß wie möglich zu machen.
Ṅ =
6
Colliderprinzip
Schließlich soll noch an einem kurzen Beispiel der Vorteil des Colliderprinzipes verdeutlicht werden. Bei dem Collider treffen zwei Teilchenstrahlen gegeneinander, anstelle eines Teilchenstrahles, das auf ein festes Target geschossen wird. Bei HERA wurde ein Elektronenstrahl mit einem Protonenstrahl
23
zur Kollision gebracht. Die Energien der Strahlen betrugen pe = 30GeV/c
für die Elektronen und pp = 820GeV/c für die Protonen. Mit
p
CM S
EGes
= (E1 + E2 )2 − (p1 + p2 )2
erhält man eine Energie im Schwerpunktsystem von 314GeV. Wenn man
stattdessen die Elektronen auf ruhende Protonen geschossen hätte, dann wäre
hierfür ein Elektronenimpuls von pe = 52TeV/c nötig gewesen! Den wird man
mit Kreisbeschleunigern wegen der Synchrotronstrahlung jedoch nie erzeugen
können.
7
Ausblick
Zur Erzeugung von noch höheren Energien im CMS wird man keine Elektronen mehr im Kreisbeschleuniger verwenden können, da die abgestrahlte
Energie nicht mehr nachgeführt werden kann. Stattdessen könnte man Myonen verwenden, hier ist wegen der etwa 200-Mal größeren Masse die Synchrotronstrahlung um etwa 109 unterdrückt. Problematisch bei Myonen ist die
kurze Lebensdauer von 2, 2 · 10−6 s.
Konkrete Pläne bestehen bei der Verwendung eines Linearbeschleunigers,
um Elektronen zu beschleunigen. Beim TESLA, dass in Hamburg beim DESY
gebaut werden soll, müssen dabei hohe Energiegradienten erreicht werden,
um die Maschine so kurz wie möglich zu halten. Beim CERN wird zur Zeit
der LHC aufgebaut, ein Proton-Proton Collider. Hierbei kann die Synchrotronstrahlung vernachlässigt werden, und die geplante Strahlenergie beträgt
7TeV pro Strahl. Die Luminosität wird bei L = 1034 cm−2 s−1 liegen.
8
Literaturverzeichnis
Literatur
[1] Berger: Elementarteilchephysik; Springer Verlag 2001.
[2] Wille: Physik der Teilchenbeschleuniger und Sunchrotronstrahlungsquellen; Teubner 1992.
[3] Hinterberger: Physik der Teilchenbeschleuniger und Ionenoptik; Springer
Verlag 1997.
24
[4] Particle Physics Booklet; Springer Verlag 2000.
25