Überblick über Verteilungen
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Überblick über Verteilungen Inhalt Maxwell-Boltzmann-Verteilung _______________________________________________ 1 Boltzmann-Verteilung (thermodynamische Wkt.; kanonische Verteilung) _____________ 2 Maxwell-Verteilung _________________________________________________________ 3 Bose-Einstein-Verteilung (auch: Planck-Verteilung) ______________________________ 3 Fermi-Verteilung ___________________________________________________________ 5 Gauß-Verteilung / Normalverteilung ___________________________________________ 7 Binomialverteilung (auch: Bernoulli-Verteilung) _________________________________ 8 Poisson-Verteilung (Verteilung der seltenen Ereignisse)____________________________ 8 Lorentz-Profil / -Verteilung ___________________________________________________ 8 Statistiken _________________________________________________________________ 9 Bemerkung: Teilchen deren Spin ein ganzzahliges Vielfaches von h ist, nennt man Bosonen, solche mit halbzahligem Vielfachen heißen Fermionen. Sowohl Bose- als auch Fermis-Statistik berücksichtigen, daß die Teilchen ununterscheidbar sind. Die Boltzmann-Statistik, die der Maxwellschen-Geschwindigkeitsverteilung zugrunde liegt, ergibt sich als kassischer Grenzfall sowohl für Fermionen als auch für Bosonen. Dieser klassische Grenzfall liegt dann vor, wenn der mittlere Abstand a=n –1/3 zwischen zwei Teilchen sehr groß ist im Vergleich zur deBroglie-Wellenlänge λth = h mvth ist. Diese Bedingung ist um so besser erfüllt, je kleiner die Dichte n, je höher die Temperaratur T und je größer die Masse eines Teilchens ist. Für praktisch alle Gase sind die Effekte der Quantenstatistik zu vernachlässigen, da diese erst bei Temperaturen und Dichten bedeutsam werden, wo diese Substanzen flüssig oder gar fest sind. Eine Ausnahme ist der atomare Wasserstoff. Ales theoretische Konzept finden die Quantengase vielfältige Anwendung zur Beschreibung von (schwachwechselwirkenden) Vielteilchensystemen, z.B. Leitungselektronen in Metallen(Fermi), Cooperpaare(Bose), Exzitonen(Bose). Maxwell-Boltzmann-Verteilung Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ist eine Geschwindigkeitsverteilung des idealen Gases: 3 1m Nv 2 r 1 dN mN 2 − k BT 2 e f (v ) = = 4πv N dv 2π k BT 2 (ist identisch mit der Gleichung der Maxwell-Verteilung; nur umgeformt) Der Term 4πv 2 kommt von der Annahme einer Richungsunabhängigkeit der Verteilung. 3 mN 2 kommt von der Normierung auf 1. Der Term 2π kT 1 Die relative Häufigkeit von Geschwindigkeiten im Bereich von v 1 bis v 2 ist gegeben durch das entsprechende Integral über die Geschwindigkeitsverteilung(-sfunktion): h (v1 < v < v2 ) = N (v1 < v < v2 ) = NTotal v2 r ∫ f (v ) d 3 v v1 Die wahrscheinlichste Geschwindigkeit v w ist die Geschwindigkeit am Maximum der Verteilungsfunktion: vw = 2k BT mn Die durchschnittliche Geschwindigkeit für eine Maxwell-Botzmann-Verteilung ist: v= 8k BT 8 = ⋅ v2 πm N 3π Ihr Wert liegt zwischen v w und v2 Bei Hohlraumstrahlung folgt im thermischen Gleichgewicht die Verteilung der Gesamtenergie auf die einzelnen Eigenschwingungen einer Maxwell-Boltzmann-Verteilung. Die Maxwell-Boltzmann-Verteilung ergibt sich als Grenzfall aus der Fermi-Dirac-Verteilung(-Quantenstatistik) für Ei -µ >> kBT. Mehr dazu siehe unter Fermi-Dirac-Verteilung. Boltzmann-Verteilung (thermodynamische Wkt.; kanonische Verteilung) Die Boltzmann-Verteilung gibt an, wie die einzelnen Energieniveaus im Termschema von Atomen und Ionen bei gegebener Temperatur besetzt sind (elektronischen Zustände). Verteilung der elektronischen Anregungen eines Plasmas: E n j g j − k BTj = e n g0 n j : Teilchenzahl im j-ten angeregten Zustand n : Gesamtteilchenzahl g j : statistischen Gewicht des angeregten Zustandes (Entartungsgrad) g 0 : statistisches Gewicht des Grundzustandes Ej : Anregungsenergie des j-ten angeregten Zustandes T : Plasmatemperatur − e Ej k BT wird auch Boltzmann-Faktor genannt. 2 Beispiel 1: Die Wahrscheinlichkeit, daß in einem Kristall ein gegebener Gitterplatz nicht besetzt ist, ist im thermischen Gleichgewicht proportional zum Boltzmann-Faktor, wobei EV die Energie ist, die man benötigt, um ein Atom von einem Gitterplatz im Inneren auf einen Gitterplatz auf der Oberfläche zu bringen. Bei N Atomen ist die Zahl n der Leerstellen im Gleichgewicht gegeben durch: − EV n = exp N −n k BT Beispiel 2: Die Emissionsrate thermischer Elektronen aus einem Festkörper mit Austrittsarbeit W (Materialkonstante) bei der Temperatur T ist proportional zu −W exp k BT Maxwell-Verteilung Maxwellsche Geschwindigkeitsverteilung der Teilchen (Ionen und Elektronen mit der selben Temperatur T) eines Plasmas im VTG: f (v ) = 3 2 4 2 m e v π 2k BT 1 2 mv −2 kBT f : Teilchenzahl im Geschwindigkeitsbereich [v,v+dv] v : Teilchengeschwindigkeit m : Teilchenmasse T : Plasmatemperatur Obwohl die Temperatur dieselbe ist, besitzen die unterschiedlichen Teilchensorten wegen ihrer unterschiedlichen Massen auch verschiedene Geschwindigkeitsverteilungen. Die Quantenmechanische Entartung der Elektronen ist oft nicht vernachlässigbar, also muß im Elektronenplasma in Metallen oder in kalten Sternen (weißen Zwergen) die Fermi-Dirac Verteilung benutzt werden. Bose-Einstein-Verteilung (auch: Planck-Verteilung) auch für Spinlose-Quasiteilchen: z.B. Phononen (BergmannSchäfer S. 31f) Die Bose-Einstein-Statistik beschreibt die statistische Verteilung nach der Quantenmechanik nichtunterscheidbarer Teilchen mit ganzzahligem Spin (0, 1, 2, ...), d.h. Bosonen (sie unterliegen nicht dem Pauli-Prinzip). Ein Zustand i darf von beliebig vielen Teilchen besetzt sein. 3 Die Eigenschaft der Photonen zu den Bosonen zu gehören, ist für das Laserprinzip von Bedeutung. Es können sich beliebig viele Photonen in ein und dem selben Zustand an ein und demselben Ort mit identischer Phase befinden. Die Bose-Einstein-Verteilung beschreibt die mittlere Teilchenzahl n i nicht miteinander in Wechselwirkung stehender Teilchen mit ganzzahligem Spin im Zustand i mit der Energie Ei : g ni = e i Ei − µ k BT −1 g i : Gewichtsfaktor g i =(2s i +1) s : Spin n i : Teilchenzahl µ : chemisches Potential µ(T,V,N) = F(T,V,N) – F(T,V,N-1) mit F = U – TS : freie Energie Ei : Energie des i-ten Zustands Phononen: Bose-Einstein-Verteilung gibt die Wahrscheinlichkeitsverteilung n(ω) einen Zustand der Energie h ω im thermischen Gleichgewicht bei der Temperatur T zu finden: Planck-Verteilung: n (ω , T ) = 1 e hω k BT −1 Die Planck-Verteilung ergibt sich überall dort, wo die Energieniveaus gleich denen eines oder mehrerer harmonischer Oszillatoren sind: En =(n+1/2) h ω ___ Die Boltzmann-Verteilung gilt für die Frage mit welcher Wahrscheinlickeit ein Teilchen Zustände einnimmt, die Bose-Statistik für die mittlere Teilchenzahl nicht wechselwirkender Teilchen auf Zuständen, die mit beliebig vielen Teilchen besetzt werden können. Beispiel: Thermische Energie eines Oszillators der Frequenz ω: 1 1 1 E (ω , T ) = n + hω = hω + hω 2 2 kBT e −1 ___ Boltzmann-Verteilung: 4 Plancksche Strahlungsformel / -Verteilung spektrale Energiedichte ρ(ν) der Hohlraumstrahlung (thermische Strahlung) ρ (ν ) = 8πν 2 c3 hν e hν k BT bei thermischem Gleichgewicht −1 ein zusätzliches ν im Zähler unterscheidet dies von einer Proportionalität zur Bose-Einstein-Verteilung Fermi-Verteilung Fermi-Dirac Statistik : Quantenstatistik für ein aus Fermionen (Elementarteilichen mit halbzahligem Spin, sie unterliegen dem Pauli-Prinzip) bestehendes im Gleichgewicht befindliches System. Die Fermi-Verteilung gibt die mittlere Zahl n i der miteinander nichtwechselwirkenden Fermionen im Zustand i mit der mittleren Energie Ei an: g ni = e i Ei − µ k BT +1 µ=5 µ : chemisches Potential µ(T,V,N) = F(T,V,N) – F(T,V,N-1) mit F = U – TS : freie Energie (genaueres hierzu s.u.) 5 g i : Gewichtsfaktor g i =(2s i +1), Entartungsgrad(?) s : Spin weitere Variablenbenenneungen wie bei Bose-Einstein-Verteilung Die Größe der "Aufweichzone" um µ ist von der Größernordnung 2kBT nach jeder Seite. Bei der Erhöhung der Temperatur kann also nur ein ganz geringer Bruchteil der Elektronen Energie aufnehmen. Das hat erhbeliche Folgen, z.B. für die spezifische Wärme des Elektronengases. Diese Besetzungsverteilung beschreibt allgemein die Gleichgewichtsverteilung in einem thermodynamischen System, in dem pro Zustand maximal ein Teilchen untergebracht werden kann, d.h. wo auf feste vorgegebene Plätze immer nur ein Teilchen untergebracht werden kann. Diese Statistik ist daher nicht nur auf Fermionen anwendbar, sondern auch z.B. bei • Fehlstellen in Kristallen • Lösung von Gasen in Kristallgittern • Absorbtionsvorgängen Fermi-(Dirac-)Verteilungsfunktion f(E,T), Wahrscheinlichkeitsverteilung, in einem fermionischen System der Temperatur T einen Quantenzustand im Energieintervall E..E+dE zu besetzen: f (E , T ) = 1 e E −µ kBT +1 Für T>0 muß die Fermiverteilung f(E,T) an die Grundzustandsdichte D0 multipliziert werden D(E,T)=f(E,T) D0 (E,T), um die Zustandsdichte einer beliebigen Temperatur zu erhalten. Denn die Besetzung der Zustände mit den im Kristall zur Verfügung stehenden Elektronen muß so sein, daß sie der mittleren thermischen Energie des Systems entspricht, d.h. die Besetzung muß durch eine temperaturabhängige sog. Besetzungewahrscheinlichkeit f(T,E) geregelt sein. Beim idealen Gas währe f(E,T) die Maxwell-Boltzmannverteilung, bei Elektronengas jedoch muß die FermiVerteilung verwendet werden. ___ Für Ei − µ >> 1 ⇔ Ei − µ >> k BT geht die Fermi-Dirac-Statistik über in den Bereich der Maxwellk BT Boltzmann-Statistik (Bereich klassischer idealer Gase) E i −µ >>k BT ni, FD → e µ kBT e − Ei k BT = ni, MB Im Bereich der klassischen idealen Gase ist das chemische Potential µ negativ! ( ) 3 (4 µ = k BT ⋅ ln 1 n4 ⋅ λ2 T3) <<1 fürMB− Statistik mit λ (T ) = h ≈ λBroglie der sog. thermische Wellenlänge, die sich nur um den Faktor √π von der 2π m k BT Broglie-Wellenlänge unterscheidet. Die thermische Wellenlänge kommt häufig in der statistischen Thermodynamik vor. µ (T = 0) =: EF Energie des höchsten besetzten Zustandes bei Systemtemperatur T=0 ist der maximale Wert, den µ annehmen kann. In stark entarteten Elektonengasen kann oft als ausreichend gut Näherung µ(n,T)≈ µ(n,0)=:EF verwendet werden. Bei nicht entarteten Systemen (z.B. Halbleiterphysik) wird das zwar häufig auch gemacht , ist aber eigentlich unkorrekt. Näherungslösung: π2 k T B µ FD (n, T ) ≈ E F ⋅ 1 − 12 EF 2 für n hoch, T gering, µ(n,T)>1, n⋅λ3 >>1 6 3 2 1 3 1 2 1 3 fürT ↑ und n↓ µ FD (n, T ) ≈ k BT ⋅ ln nλ + nλ + ... → µ MB für n gering, T hoch, µ(n,T)<0, 2 2 2 und n⋅λ3 noch < 1 Faktor 2 wegen der zwei Spineinstellungen in Phasenvolumen-Zelle h 3 . Hier wurde das chemische Potential, wie allgemein in der statistischen Thermodynamik üblich, in Energie je Teilchen betrachtet. µ(T,V,N) = F(T,V,N) – F(T,V,N-1) mit F = U – TS : freie Energie N : Anzahl der Teilchen In der phänomenologischen Thermodynamik dagegen wird üblicherweise Energie je mol verwendet, wie auch in den folgenen Angeben für das chemische Potential: ∂F ∂N =: µ := V ,T ∂G ∂N mit p ,T F=U–TS : freie Energie G=H–TS : freie Enthalpie N : hier Stoffmenge, also z.B. Molzahl ___ Die innere Energie hat auch am absoluten Nullpunkt einen endlichen Wert U (T = 0) = 3 N ⋅ E F : Nullpunktsenergie 5 aber die Entropie S verschwindet für T=0. Damit erfüllt das Fermigas den 3. Hauptsatz der Thermodynamik. Das Maxwell-Boltzmann-Gas verhält sich in dieser Hinsicht nicht richtig (U→0, S endlich) Herleitung der Fermi-Verteilung: thermodynamisches Problem, Frage nach Verteilung bei Gleichgewicht verschiedener quantenmechanischer Zustände. Ritschel: Als ein Kriterium, wann welche Verteilung anzuwenden ist, die klassische Maxwell-Boltzmann- oder die quantenmechanische Fermi-Dirac-Statistik kann man den Überlappungsgrad der Teilchenwellenfunktionen ansehen. Ist die Ausdehnung der Wellenfunktionen in der Größenordung der mittleren Teilchenabstände sollte man die Fermi-Dirac-Statistik anwenden. Überlappen die Wellenfunktionen bei dem Teilchenabstand praktisch nicht kann man klassisch rechnen. Gauß-Verteilung / Normalverteilung z.B. Dopplerverbreiterung −( x− µ ) 2σ 2 2 1 f (x ) = e σ 2π µ : Mittelwert σ² : Varianz 7 Binomialverteilung (auch: Bernoulli-Verteilung) Wenn eine Zufallsgröße X die Werte k=0,1,2,3,...,n mit den Wahrscheinlichkeiten n P( X = k ) = p k (1 − p )n −k k annimmt, so heißt sie binomialverteilt. Die Binomialverteilung entsteht als Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der "Treffer" bei einer BernoulliKette. Dies ist ein wiederholter Zufallsversuch mit zwei möglichen Ergebnissen "Treffer" oder "Fehlschlag". Ein bestimmtes Ergebnis (Tupel) einer Wurfreihe hat die Wahrscheinlichkeit p k (1-p)n-k, wenn er genau k Treffer enhält. Das Ereignis "k Treffer" besteht aus allen n-Tupeln mit genau k Treffern, also der Binomialverteilung. Beispiel ein " Galtonsches Brett erzeugt eine Binomialverteilung. n n n − 1 n! = = mit 0≤k≤n heißt Binomialkoeffizient (weil sie als Koeffizienten im k k k − 1 k! (n − k )! binomischen Lehrsatz (a + b)n = n n an −k bk auftreten) ∑ k =0 k Poisson-Verteilung (Verteilung der seltenen Ereignisse) Eine Zufallsgröße X mit den Werten 0, 1, 2, 3, ... besitzt eine Poisson-Verteilung, wenn P( X = x ) = µ k −µ e k! mit µ>0 Der Erwartungswert istE(X)=µ, die Varianz ist V(X)=µ. Die Bedeutung der Poisson-Verteilung liegt vor allem darin, daß sie unter gewissen Voraussetzungen zur Approximation der Binomialverteilung dienen kann. Es gilt nämlich: n k µ k −µ p (1 − p )n −k ≈ e k! k mit µ=np, falls p klein und k nicht zu groß, also: p<<1 und k<<n ("seltene Ereignisse") Lorentz-Profil / -Verteilung z.B. natürliche Linienbreite ∆ωn =γ bzw. ∆νn =γ/2π γ / 2π normiert auf (w − w0 )2 + (γ / 2 )2 I (ω − ω 0 ) = I 0 ⋅ g (ω − ω 0 ) mit I0 : Gesamtintensität g ( w − w0 ) = ∞ ∫ g (ω − ω ) dω = 1 0 0 Bei Normierung auf g(ω-ω0 )=1 ist I0 die Intensität I(ω0 )=I0 in der Linienmitte ω0 . 8 Maple: >w0 := 6 >g := 5 > plot((g/2*Pi)/((w-w0)^2+(g/2)^2),w=-20..20,y=0..1.5); Statistiken • Maxwell-Boltzmann-Statistik unterscheidbare Teilchen alle Möglichkeiten n Teilchen auf m Boxen zu verteilen: • p= n! mn Bose-Einstein-Statistik Teilchen ununterscheidbar ≡ alle Permutationen zählen als eine Möglichkeit alle Möglichkeiten durch Vertauschen von m-1 Wänden und n Teilchen: • Fermi-Dirac-Statistik Teilchen ununterscheidbar, maximal ein Teilchen je Box ⇒ n≥m p= 1 = m! n! (m − n )! 1 n m 9 p= 1 (n + m − 1)! (m − 1)! n!
