Einf¨uhrung in die Physik IV 1 Statistische Physik

Einführung in die Physik IV
1
Statistische Physik
Nun wir haben uns im letzten Semester uns mit Systemen aus wenigen Teilchen beschäftigt (Atome, Systeme Nukleonen, Elementarteilchen) Statistische Physik beschäftigt sich aus Systemen mit vielen Teilchen
(Gase, Flüssigkeiten, Photonensysteme)
Unterscheiden zwischen mikroskopischen und makroskopischen Systeme:
• mikroskopisches Sys.: Dimension ≤ 1µ m (Atomare Dimension)
• makroskopisches Sys.: sichtbar im LiMi (≥ µ m);ein System das aus vielen Atomen und Molekühlen
besteht
– makr. Parametern: Volumen, Temperatur, Druck, Magnetisierung
Ereignis: Ergebnis einer Messung (d. Zustands eines Systems) Beispiel: Energie eines Gasmolekühls (Energie in gew. ∆E, Druckmessung, Wurf eines Würfels)
Ereignis ist zufällig wenn es unter gewissen Bedingungen eintritt oder nicht eintritt
Eine Größe (Variable) ist dann zufällig, wenn sie unter bestimmten Bedingungen nur vom Zufall abhängig ist.
Zufällige Größen charakterisieren wir durch die Wahrscheinlichkeiten (W) mit der ihre Werte auftreten. Die
statistische Methode untersucht welche Regelmäßigkeiten fallen bei solchen Vorgängen aus vielen zufälligen
Einzelereignissen auf.
1.1
Elementare Statistik und Wahrscheinlichkeitsverteilung
1.1.1
Grundgriffe
Für die statistische Beschreibung werden im allgemeinen sog. Ensembles verwendet:
• Ensemble ist die Gesamtheit (= statistisches Kollektiv = Schar) einer großen Zahl N von gleichen
präperierten (= gleichen Randbedingungen unterworfen) Systemen
Frage: Mit welcher W tritt ein bestimmtes Ereignis auf?
Entweder:
• je eine Messung an N gleichartigen Systemen −→ Enseblemittel = Scharmittel
oder
• N Messungen am selben System → Zeitmittel
Wenn der Systemzustand zeitunabhängig ist, dann folgt das beide Methoden gleichwertig sind. Ein System
ist genau dann im Gleichgewicht (GG), wenn das zugehörige Ensemble zeitunabhängig ist.
M ... Anzahl der Möglichkeiten einander ausschließender Ergebnisse
N ... Gesamtzahl der Messungen
Nj ... Anzahl der Messungen die das Ergebnis j liefern (j = 1, 2, ...., M)
Definieren:
1
• die realative Häufigkeit (für das Ergebnis j): hj =
Nj
N
≤1
Nj
N →∞ N
• statistische Wahrscheinlichkeit (für das Ergebnis j): Wj = lim hj (N ) = lim
N →∞
Es gilt:
M
P
Nj = N ⇐⇒ jede Messung muss ein Ergebnis aus M liefern ⇒
j=1
N
P
≤1
hj = 1
j=1
Additions und Multiplikation von Wahrscheinlichkeiten
Die Wahrscheinlichkeit für das Auftreten irgendeines von zwei einander ausschließenden Ereignissen i und j:
Ni oder j = Ni + Nj ⇒ Wi oder j = Wi + Wj Additionssatz
(1.1)
Wahrscheinlichkeit für das gleichzeitige oder hintereinander in Serie auftretender zweier Ereignisse i,j
die voneinander unabhängig sind:
Wi und j = Wi · Wj M ultiplikationssatz
(1.2)
Wenn wir keine weiteren Annahmen machen können, können wir auch keine Vorhersagen über das Auftreten der M Ereignisse machen. Wenn wir aber die Annahme machen, das gleiche Wahrscheinlichkeit für
das Auftreten der M Ergebnisse (gleiche a priori ..von vornherein - Wahrscheinlichkeit der Elementarereignisse)
1
1
= Anzahl der möglichen
⇒ Wj wird unabhängig von j: Wj = M
Ereignissen
Beispiel 1:
Würfel: Anzahl der Ereignisse M = 6 = 1,2,3,4,5,6
Experiment: Machen 100 Würfe → 17 mal 6 ⇒ W6 =
48 Würfe mit Augenzahl ≤ 3 W≤3 =
48
100
17
100
= 0.17
= 0.48
Beispiel 2:
10 Kugeln in einer Schachtel: 5 Rote, 3 Grüne, 2 Blaue
Fragen uns wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass beim wahllosen hineingreifen die grüne Kugel gezogen
wird?:
Annahme:
Wahrscheinlichkeit ist für jede Kugel gleich groß −→ Additionssatz: Wgrün =
1
10
+
1
10
+
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dass die Grüne oder Blaue erwischt wird?:
Additionssatz: Wgrün = 0.3,
Wblau = 0.2 → Wgrün + Wblau = 0.5
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit zuerst grün, dann blau?
Wgr
dann bl
= Wgrün · Wblau = 0.3 · 0.2 = 0.06 wenn grün zurück gelegt wird!
Wenn grüne Kugel draussen: W →
1
9
=⇒ Wgr
dann bl
2
= Wgrün · Wblau = 0.3 ·
2
9
= 0.067
1
10
= 0.3
1.1.2
Die eindimensionale Zufallsbewegung (random walk → Diffusion)
Wir haben ein Teilchen welches eine Verschiebung vom Ursprung (auf x-Achse) erfährt
Nach N Verschiebungen der Länge l befindet sich das Teilchen dann an der Stelle x = m · l (m ganz,
−N ≤ m ≤ N , -N wenn nur Linkssprünge, N wenn nur Rechtssprünge)
Frage: Wahrscheinlichkeit (PN (m)), dass Teilchen nach N Verschiebungen an bestimmter Stelle x = m · l
ist?
n1 Verschiebung nach rechts
n2 Verschiebung nach links
N = n1 + n2
resultierende Verschiebung (in Einheiten von l): m = n1 − n2
⇒ resultierende Verschiebung vom Ursprung: m = n1 − n2 = n1 − (N − n1 ) = 2n1 − N
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