MECHANIK III

MECHANIK III
Mechanik deformierbarer Körper
Mechanik III
h k
Flü i k i
Flüssigkeiten
Nahordnung frei beweglich
geringe thermische Bewegung
kleiner Abstand
Volumenelastizität
geringe Kompressibilität
i
K
ibili ä
F kö
Festkörper
Bestandteile geordnet,
gebunden um Gleichgewichtslage
geringe thermische Bewegung
kleiner Abstand
Gestaltelastizität
Gase
keine Ordnung
frei beweglich
füllt verfügbares Volumen aus
große thermische Bewegung,
großer Abstand (> x10)
geringe Wechselwirkung
k
komprimierbar
i i b
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h k
• Ordnung
Ordnung der Teilchen der Teilchen
eines Körpers
• Kräfte zwischen Teilchen
Kräfte zwischen Teilchen




Molekülbindungen (später)
Gleichgewichtslage bei minimaler Energie
Kräfte zwischen Atomen  Federn
Zustand abhängig von Energie der Teilchen (th
(thermische i h
Energie)
gasförmig
flüssig
fest
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h k
1 6 Deformierbare Körper
1.6 Deformierbare Körper
• Deformation: elastisch –
Deformation: elastisch plastisch
(nach Kraft urspüngliche Gestalt, bzw. Formänderung)
• Zugkraft:
 Hookesches Gesetz
 Längenänderung proportional zu Kraft
L
F E A
L
 E
 linearer
 linearer Zusammenhang nur bei kleinen Kräften (Proportionalitätsbereich (bis P))
 nach Fließgrenze (F) verschieben der h Fli ß
(F)
hi b d
Netzebenen, Einschnürung, Reißen
E Elasitzitätsmodul
A Fläche
=F/A Zugspannung
 Dehnung
D h
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h k
• Volumenänderung
• Querkontraktion:
 auch Änderung des Querschnitts
auch Änderung des Querschnitts
V L
d

2
V
L
d


E
d
1  2    L d
L
(µ..Poissonzahl)
 Umkehrung bei Kraft von allen
Seiten (Druck p=‐)
Seiten (Druck p
 Kompression V
p

V
K
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h k
•
allgemeine Deformationen:
allgemeine Deformationen:
 Scherung: Kraft tangential an Fläche (Schub‐, Schermodul G)
 Drillung: Torsion
Drillung: Torsion
• elastische Energie Eel: (Energiedichte e)
Kraft dehnt…verformt Körper Kraft
dehnt verformt Körper
(Längenänderung  Arbeit  Energie)
Eel
 e  12 E 2
V
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h k
• Biegung
 Balken fest eingespannt
 Kraft F in Entfernung L
Kraft F in Entfernung L
L3
smax  
F
 oben Zugspannung
3EIF
unten Druckspannung
 dazwischen "neutrale Faser" (keine Längenänderung)
 Flächenträgheitsmoment I
g
g
F berücksichtigt Abhängigkeit von Querschnitt des Balkens
 Kraft bewirkt Drehmoment – Zug‐ und Druckspannung bewirken Drehmoment in umgekehrter Richtung (im Gleichgewicht entgegengesetzt gleich)
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h k
• Knickung: Knickung: Last auf Säule (Druckspannung)
Last auf Säule (Druckspannung)
 Knicken, wenn Knicklast FKn überschritten ist, und wenn zusätzlich Störung auftritt (instabiles Gleichgewicht)
 Elastizität bewirkt Rückstellmoment  neues Gleichgewicht möglich neues Gleichgewicht möglich
FKn 
 2Ed 3b
12 L2
(aber neues Drehmoment um Mittelpunkt bewirkt meist sehr schnelles Abknicken)
• Härte:
Hä
 Stoff A ist Härter als B, wenn B von A leichter geritzt werden kann als umgekehrt ( Mohs umgekehrt (
Mohs – Härteklassen)
 Brinell‐Härte HB=F/A(d): Stahlkugel wird
mit Kraft F auf Stoff gedrückt, d ü kt
Auflage mit Radius d.
L/2
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h k
1 7 Reibung
1.7 Reibung
• Ursachen:
 Bei Kontakt treten Kräfte zwischen Atomen unterschiedlicher Körper auf.
 Rauhe, unebene Oberflächen
• Haftreibung
• Gleitreibung
FH  H FN
FG  G FN
 Kraft FH, bzw. FG sind entgegengesetzt zu FZ
• Rollreibung
TR  R FN
 (elastische) Verformung von Kugel/Untergrund…
 Drehmoment T
D h
TR dem Antriebsmoment d
A i b
entgegengesetzt
 Kugellager, Gleitlager
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h k
• Dichte:
Dichte
1 8 Druck Dichte
1.8 Druck, Dichte
  mV
Verhältnis zwischen Masse m und Volumen V ändert sich z.B. bei Dehnung und Kompression (bei Volumenänderungen)
bei Dehnung und Kompression (bei Volumenänderungen)
F
p
• Druck: D k
(Achtung gleiches Symbol wie Impuls)
A
 Greift an einem Flächenstück A senkrecht zu ihm di l i h äßi üb di Flä h
die gleichmäßig über die Fläche verteilte Kraft t ilt K ft F an, dann heißt das Verhältnis der Kraft zur Fläche Druck
 Kraft von allen Seiten (vor allem bei Flüssigkeiten, Gasen) Kraft von allen Seiten (vor allem bei Flüssigkeiten Gasen)
oder lokal (z.B.: bei Härtetest)  Einheit: 1Nm
Einheit: 1Nm−2 = 1 Pa
= 1 Pa (1 Pascal) = 10
(1 Pascal) = 10−5 bar bar
(bei Luftdruck: auch atm=101 325 Pa, Torr=101 325/760 Pa)
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h k
1 9 Beispiele für Deformationen
1.9. Beispiele für Deformationen
• Welche Form hat die Erde ?
Welche Form hat die Erde ?
 wie kann Oberfläche definiert werden ?  Üb
Übergang von fester, bzw. flüssiger Phase zu gasförmiger
f t b flü i
Ph
fö i
 Oberfläche senkrecht zu Lot, überall gleiche Schwerkraftsbeschleunigung  mittlere Meeresoberfläche (abzüglich Gezeiten und Strömungen)
 Erde ist Kugel (g = const)
ABER: sie rotiert, daher Zentrifugalkraft, am ABER
i
ti t d h Z t ifg  lk
ft t
const
stärksten am Äquator (größte Entfernung d
zur Drehachse)
Dichte nimmt mit Tiefe zu
 Erde ist Rotationssphäroid
g   2d  GME r 2
rÄqu/rPol=1+1/298,25
1+1/298 25
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h k
• Geoid
inhomogene Massever‐
teilung  Variationen in Variationen in g
• Messung von g
 Gravitometer
G it
t (Referenzmassen
(R f
+F d
+ Federwaage)
)
 Satelliten:  Bahn:
Bahn: Gravitationskraft = Zentrifugalkraft
Gravitationskraft Zentrifugalkraft
 aus Bahnanbweichungen Bestimmung des Geoids
 GOCE: (TU München, LS Rummel)
(
,
)
 Satellit auf ca. 255 km
Ionen‐Antrieb wegen Luftreibung notwendig
 Beschleunigungssensoren, GPS‐Positionierung hl
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 Beschleunigungssensoren:
Beschleunigungssensoren: Kraft auf Kraft auf
(träge) Masse in beschleunigtem System Messung der Kraft: Feder, Piezo (wandelt Kraft‐Kompression in Spannung)
b
bzw. einer Verschiebung gegen Kraft: kapazitiv, magnetisch, optisch…
i
V
hi b
K ft k
iti
ti h
ti h
‐ Auto, Maschinen, Harddisk, Lagekontrolle in Fotoapparaten und Handy
• Bestimmung der Oberfläche:
Bestimmung der Oberfläche:
 Landvermessung
Satelliten TerraSAR + TanDEM
+ TanDEM
 Satelliten TerraSAR




polare Umlaufbahn, ca. 514 km
Höhenbestimmung mittels Radar (9,65 GHz)
Höhenmodell mit 12x12 m Auflösung
genaue Beobachtung von Veränderungen
(Plattentektonik)
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h k
• Schüttwinkel
 körniges Material bildet Schüttkegel
 FH> F
> FP sin
Masse bleibt in Ruhe, so lange Haftreibung > vorwärtstreibender Kraft
 zusätzlich abhängig von: Korngröße und ‐form, Schüttdichte, Feuchtigkeit
 eckiger, scharfkantiger Sand scharfkantiges Geröll g
Steinkohle, Koks Kaffeebohnen, Weizen
Zucker S l
Salz Mehl 32°–35°
40°
45°
33°
35°
40°
45°
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h k
Biomechanik
• Anpassung
Anpassung auf unterschiedlichste auf unterschiedlichste
Anforderungen
• Optimierung:




Gestaltsanpassung
minimale Materialmengen
Umweltbedingungen
Zweck
Extremitäten säulenartig
Druckbeanspruchung
Extremitätenknochen
bilden Winkel (beweglich!)
Biegebeanspruchung
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h k
• Gelenke
 Beweglichkeit
 Kraftübertragung (Zug
Kraftübertragung (Zug‐,, und Druckkraft)
und Druckkraft)
große Kräfte wegen kurzer Hebelarme (mehrfaches des Körpergewichts)
 Bewegungsfreiheit abhängig von Bauform B
f ih it bhä i
B f
eingeschränkt
 Achsen nicht fix, oft verschiebbar
 Sehnen übernehmen Kräfte Bänder wenn Belastung nicht der Bewegungsrichtung entspricht
der Bewegungsrichtung entspricht

 Sehnen, Bänder sehr elastisch über kurzen Bereich,
danach reißen, Knorpeleinlagerungen erhöhen
Elastizität, verringert Querkontraktion
l iiä
i
Q k
ki

 extrem hohe Zugbelastbarkeit 60 – 100 N/mm2
(zB. menschl. Achillessehne bis 10.000 N)
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• Skelettanpassung
 optimierte Belastbarkeit bei min. Material: Röhren, Lamellen und Trabelkel zur Verstärkung (adaptiv)
 gebogene Knochen wenn Biegebeanspruchung
R1
K
R1
M1
M1
M2
M2
R2
R2
K
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h k
 Stabilisierung durch Gegenlast und antagonistische Muskel
Stabilisierung durch Gegenlast und antagonistische Muskel
 Ausgleich von Scherbelastung bei Fehlhaltung
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• Kombination von Materialien:
Kombination von Materialien:
anorganischen (Hydroxyapatit (Calciumphosphat), Wasser, Ca
organischen Substanzen (Kollagen !)
•
Knochen: E  2104 N/mm2 = 20 GPa  Hartholz