Zusammengewürfelte Übungen (1) Zufallsexperiment

MK 7.1.2008 Zusammen_Ueb1.mcd
Zusammengewürfelte Übungen (1)
Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis, Zählprinzip, Urnenmodell
(1) In einer Tüte befinden sich 2 rote, 1 grünes, 3 weiße, 1 orangenes und 4 blaue Bonbons.
a) Sie ziehen blind ein Bonbon. Geben Sie den Ergebnisraum an.
b) Ihre kleine Schwester und ihr kleiner Bruder ziehen blind ein Bonbon. Geben Sie den Ergebnisraum an.
(2) Sie werfen zwei Spielewürfel. Die Augenzahl wird so voneinander subtrahiert, dass das Ergebnis nicht negativ
wird. Geben Sie einen Ergebnisraum an.
(3) Ihre Frau ist schwanger. Sie sind am Geschlecht des Kindes interessiert. Ihre Frau könnte auch Zwillinge oder
Drillinge zur Welt bringen. Geben Sie einen Ergebnisraum an.
(4) Ehepaare sollen bestimmte Sachverhalte mit einer Skala von 1 bis 4 bewerten. Zuerst wird die Frau befragt,
dann der Ehemann. Geben Sie einen Ergebnisraum an.
(5) Wie viele Worte lassen sich aus den Buchstaben "EDEL" bilden?
(6) Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Geben Sie die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise an.
a) Die Augensumme beträgt 7.
b) Die Augensumme beträgt mindestens 10.
c) Die Augensumme beträgt höchstens 5.
d) Die Augensumme beträgt mehr als 10.
(7) Cordulas Äpfel
Cordula will Apfelmus kochen. Dazu braucht Sie 3 Äpfel. Einige der eingelagerten Äpfel sind innen faul,
äußerlich jedoch untadelig. Im Keller lagern 120 Äpfel, 35% sind faulig. 30 Äpfel sind runzelig,
ausschließlich runzelige Äpfel sind allerdings noch apfelmustauglich. Cordulas Oma weiß aus Erfahrung, dass
jedes Mal die Hälfte aller Lageräpfel vollkommen fehlerlos ist.
a) Cordula greift blind 3 Äpfel aus dem Lager. Zeichnen Sie ein vollständiges Baumdiagramm (mit den
Wahrscheinlichkeiten aller Äste und aller Elementarereignisse), wenn zwischen faul (f) und gut (g)
unterschieden wird.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Cordula erneut in den Keller gehen und Äpfel holen muss.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 1 Apfel faul ist.
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel sowohl runzelig als auch innen faul ist.
(Vierfeldertafel)
e) Bestimmen Sie den Anteil der nicht faulen Äpfel unter den runzeligen.
f) Berechnen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens ein Apfel, der sowohl runzelig als auch innen faul
ist, sich unter den 3 Äpfeln von Cordula befindet.
g) Begründen Sie: Die Ereignisse "Der Apfel ist faul" und "Der Apfel ist runzelig" sind stochastisch abhängig.
Musterlösung:
(1) In einer Tüte befinden sich 2 rote, 1 grünes, 3 weiße, 1 orangenes und 4 blaue Bonbons.
a) Sie ziehen blind ein Bonbon. Geben Sie den Ergebnisraum an.
b) Ihre kleine Schwester und ihr kleiner Bruder ziehen blind ein Bonbon. Geben Sie den Ergebnisraum an.
a) Ω = { r, g, w, o, b }
b) Ω = { rr, rg, rw, ro, rb,
gr, gw, go, gb,
wr, wg, ww, wo, wb,
or, og, ow,
ob,
br, bg, bw, bo, bb}
(2) Sie werfen zwei Spielewürfel. Die Augenzahl wird so voneinander subtrahiert, dass das Ergebnis nicht negativ
wird. Geben Sie einen Ergebnisraum an.
Ω = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }
(3) Ihre Frau ist schwanger. Sie sind am Geschlecht des Kindes interessiert. Ihre Frau könnte auch Zwillinge oder
Drillinge zur Welt bringen. Geben Sie einen Ergebnisraum an.
Ω = { m, w, mm, mw, wm, ww, mmm, mmw, mwm, mww, wmm, wmw, wwm, www }
(4) Ehepaare sollen bestimmte Sachverhalte mit einer Skala von 1 bis 4 bewerten. Zuerst wird die Frau befragt,
dann der Ehemann. Geben Sie einen Ergebnisraum an.
Ω = { 11, 12, 13, 14, 21, 22, 23, 24, 31, 32, 33, 34, 41, 42, 43, 44 }
(Falls die beiden schon länger verheiratet sind, ergibt sich folgender Ergebnisraum: Ω = { 11, 22, 33, 44 } )
(5) Wie viele Worte lassen sich aus den Buchstaben "EDEL" bilden?
Ω = { DEEL, DELE, DLEE, EDEL, EDLE, EEDL, EELD, ELDE, ELED, LDEE, LEDE, LEED }
4!
|Ω| =
= 12
2!
(6) Zwei Würfel werden gleichzeitig geworfen. Geben Sie die folgenden Ereignisse in Mengenschreibweise an.
a) Die Augensumme beträgt 7.
b) Die Augensumme beträgt mindestens 10.
c) Die Augensumme beträgt höchstens 5.
d) Die Augensumme beträgt mehr als 10.
Α = { 34, 25, 16 }
B = { 46, 55, 56, 66 }
C = { 11, 12, 13, 14, 22, 23 }
D = { 56, 66 }
(7) Cordulas Äpfel
Cordula will Apfelmus kochen. Dazu braucht Sie 3 Äpfel. Einige der eingelagerten Äpfel sind innen faul,
äußerlich jedoch untadelig. Im Keller lagern 120 Äpfel, 35% sind faulig. 30 Äpfel sind runzelig,
ausschließlich runzelige Äpfel sind allerdings noch apfelmustauglich. Cordulas Oma weiß aus Erfahrung, dass
jedes Mal die Hälfte aller Lageräpfel vollkommen fehlerlos ist.
a) Cordula greift blind 3 Äpfel aus dem Lager. Zeichnen Sie ein vollständiges Baumdiagramm (mit den
Wahrscheinlichkeiten aller Äste und aller Elementarereignisse), wenn zwischen faul (f) und gut (g)
unterschieden wird.
b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass Cordula erneut in den Keller gehen und Äpfel holen muss.
c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 1 Apfel faul ist.
d) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass ein Apfel sowohl runzelig als auch innen faul ist.
(Vierfeldertafel)
e) Bestimmen Sie den Anteil der nicht faulen Äpfel unter den runzeligen.
f) Berechnen Sie mit welcher Wahrscheinlichkeit mindestens ein Apfel, der sowohl runzelig als auch innen faul
ist, sich unter den 3 Äpfeln von Cordula befindet.
g) Begründen Sie: Die Ereignisse "Der Apfel ist faul" und "Der Apfel ist runzelig" sind stochastisch abhängig.
(7) a) 0.35 ⋅ 120 = 42 faule Äpfel, 120 − 42 = 78 gute Äpfel
P('FFF') =
P('FFG') =
P('FGF') =
P('FGG') =
P('GFF') =
P('GFG') =
P('GGF') =
P('GGG') =
(7) b) P(' mind. 1 Apfel faul ') = 1 - P('GGG') = 1 −
(7) c) P(' höchst. 1 Apfel faul ') =
42 ⋅ 41 ⋅ 40
120 ⋅ 119 ⋅ 118
= 0.04088
42 ⋅ 41 ⋅ 78
120 ⋅ 119 ⋅ 118
42 ⋅ 78 ⋅ 41
120 ⋅ 119 ⋅ 118
= 0.07971
= 0.07971
42 ⋅ 78 ⋅ 77
= 0.1497
120 ⋅ 119 ⋅ 118
78 ⋅ 42 ⋅ 41
120 ⋅ 119 ⋅ 118
= 0.07971
78 ⋅ 42 ⋅ 77
120 ⋅ 119 ⋅ 118
78 ⋅ 77 ⋅ 42
120 ⋅ 119 ⋅ 118
78 ⋅ 77 ⋅ 76
120 ⋅ 119 ⋅ 118
78 ⋅ 77 ⋅ 76
120 ⋅ 119 ⋅ 118
= 0.1497
= 0.1497
= 0.27089
 78 
 
3 
=
 120 


 3 
= 0.72911
42 ⋅ 78 ⋅ 77 + 78 ⋅ 42 ⋅ 77 + 78 ⋅ 77 ⋅ 42 + 78 ⋅ 77 ⋅ 76
120 ⋅ 119 ⋅ 118
= 0.71999
 78 
 42   78 
42 78 ⋅ 77
 
 ⋅ 
⋅
3 
1  2 
78 ⋅ 77 ⋅ 76
1
1⋅2


= P('GGG') + P(' genau 1 Apfel faul ') =
=
+
+
= 0.71999
120⋅119⋅118
120 ⋅ 119 ⋅ 118
 120 
 120 




1⋅2⋅3
 3 
 3 
(7) d)
(7) e)
runzelig
nicht runzelig
faul
10%
25%
35%
nicht faul
15%
50%
65%
25%
75%
100%
15%
25%
10% sind faul und runzelig
= 0.6 (= 60%) der runzeligen Äpfel sind noch gut.
(7) f) P(' Apfel ist entweder nicht runzelig oder er ist nicht faul ') = 1 - 10% = 0.9
3
P(' mind. 1 Apfel mit beiden Fehlern ') = 1 − 0.9 = 0.271
(7) g) P(' Apfel ist runzelig und faul ') = 0.1
P(' Apfel ist runzelig ') = 0.25
0.25 ⋅ 0.35 = 0.0875
P(' Apfel ist runzelig und faul ') = 0.35
0.0875 ≠ 0.1 also sind die Ereignisse stochastisch abhängig