Musterlösungen zu Blatt 10 - Logik und Sprachtheorie

Rene Gazzari
Mathematische Logik I, WS 09/10
Musterlösungen zu Blatt 10
Zu Aufgabe 41:
Beweise das Überführungslemma
Sei L beliebige Sprache und A = !A, . . ." beliebige L-Struktur.
In dieser Aufgabe wird vorausgesetzt, dass die analoge Aussage für Terme gilt.
Dabei ist zu beachten, dass alle Terme immer frei einsetzbar sind. (†)
Für alle Formeln φ(x) gilt:
Beh.:
Für alle Belegungen v, für alle Terme t, die für die Variable x in der Formel
φ(x) frei einsetzbar sind, und für die Belegung w := v[x #→ [[t]]A
v ] gilt:
A
[[φ(t)]]A
v = [[φ(x)]]w
Beweis.
(")
Durch Induktion über Formelaufbau.
Ausgewertet wird prinzipiell in der Struktur A; entsprechend wird bei der Bewertungsfunktion auf die Notation der Struktur verzichtet.
⊥:
Sei v beliebige Belegung. Für alle Terme t ist ⊥(t) ! ⊥(x); auch ist
x∈
/ FV(⊥). Damit folgt Gleichheit mit Koinzidenz.
s1 = s2 :
Sei v beliebige Belegung. Mit (†) gilt für die Belegungen s ∈ {s1 , s2 }:
[[s(t)]]v = [[s(x)]]w
Damit ist:
[[s1 = s2 (t)]]v = [[s1 (t) = s2 (t)]]v = 1 ⇔ [[s1 (t)]]v = [[s2 (t)]]v
⇔ [[s1 (x)]]w = [[s2 (x)]]w ⇔ 1 = [[s1 (x) = s2 (x)]]w = [[s1 = s2 (x)]]w
P (#s):
IV:
Wird analog zu s1 = s2 mit (†) gezeigt. Es müssen lediglich n Terme
anstelle von 2 Termen betrachtet werden.
Die Aussage (") gelte für Formeln φ, ψ.
φ → ψ:
Sei v beliebige Belegung.
Ein Term t ist genau dann für die Variable x frei einsetzbar in der Formel
φ → ψ, wenn t für x frei einsetzbar ist in φ und in ψ. Es ist also (IV)
anwendbar und es gilt:
[[(φ → ψ)(t)]]v = [[φ(t) → ψ(t)]]v = f→ ([[φ(t)]]v , [[ψ(t)]]v )
(IV )
= f→ ([[φ(x)]]w , [[ψ(x)]]w ) = [[(φ → ψ)(x)]]w
Rene Gazzari
∀xφ:
Mathematische Logik I, WS 09/10
Sei v beliebige Belegung.
Es gilt x ∈
/ FV(∀xφ). Damit ist ∀xφ(x) ! ∀xφ(x). Desweiteren sind die
Belegungen v und w auf allen freien Variablen der Formel gleich. Mit
Koinzidenz folgt die geforderte Gleichheit.
∀yφ (y )! x):
Sei v beliebige Belegung.
Falls ein Term t frei einsetzbar ist für die Variable x in der Formel ∀yφ,
dann auch in φ für x. Damit ist die (IV) verwendbar und es gilt für geeignete Terme t:
[[∀yφ(t)]]v = 1 ⇔ für alle a ∈ A ist [[φ(t)]]v[y"→a] = 1
(IV,‡)
⇔
für alle a ∈ A ist [[φ(x)]]w(a) = 1 ⇔ [[∀yφ(x)]]w = 1
Bei (‡) ist anzumerken: die (IV) gilt für alle Belegungen, insbesondere
also auch für die Belegung v[y #→ a].
Dann ist: w(a) := v[y #→ a][x #→ [[t]]v[y"→a] ].
Da t frei einsetzbar ist in ∀yφ(x) ist y ∈
/ FV(t). Da x )! y kann man w(a)
mit Koinzidenz ersetzen durch: v[x #→ [[t]]v ][y #→ a].
Damit folgt letzte Äquivalenz.
Insgesamt ist das Überführungslemma danit bewiesen.
q.e.d.