Mathematik im alten Ägypten - Deutsches Archäologisches Institut
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Unterrichtsmaterialien zur ägyptischen Archäologie O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g für die: Sekundarstufe I DEU TSC Mathematik im alten Ägypten: Zahlen (-system), einfache Rechnungen, Kalendersystem G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Anmerkung zur Verwendung des Unterrichtsmaterials Das vorliegende Unterrichtsmaterial enthält einen Informationsteil für Lehrkräfte inkl. – im Rahmen der Verwendung des Materials im Unterricht – copyrightfreiem Bildmaterial zur Veranschaulichung des behandelten Themas. Die pädagogisch-didaktischen Hinweise beschränken sich auf ein Minimum, so dass die Art der Anwendung des Materials ganz den Wünschen und Bedürfnissen der Lehrkraft und der Klasse überlassen bleibt. Die Lesetexte und Arbeitsblätter können aus diesem Heft herauskopiert bzw. von der CD ausgedruckt werden. Für die Arbeitsblätter liegen jeweils Lösungen für die Lehrkraft vor. Sind Bastelbögen vorhanden, so finden sich diese auch auf der beigelegten CD mit Bildmaterial für den gegebenenfalls farbigen Ausdruck. Alle Materialien wurden im Unterricht an der DEO erfolgreich getestet. Ich wünsche allen Anwenderinnen und Anwendern viel Freude und Erfolg und stehe für Rückfragen und Anmerkungen gerne zur Verfügung! NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC J. Sigl, DAIK ([email protected]) ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f DAIK 2013 Mathematik im alten Ägypten Impressum Unterrichtsmaterialien zur ägyptischen Archäologie Herausgeber Deutsches Archäologisches Institut, Abteilung Kairo 31, Sh. Abu el-Feda 11211 Kairo-Zamalek Ägypten Konzept, Texte und Redaktion J. Sigl/ H. Sonbol, DAIK M. Belal, DEO A. Imhausen, Goethe-Universität Frankfurt am Main Gestalterisches Konzept, Layout, Satz N. Mancy (freie Grafikerin, Kairo) J. Sigl/ H. Sonbol, DAIK Bildnachweis Cover: J. Sigl; S. 2, 4, 7: © British Museum Company Limited; S. 12, 13: J. Sigl/ G. Dreyer; Druck Printness © DAI Kairo, 2013 Digitaler Zugang www.dainst.org www.deokairo.de S. 18, 19: J. Sigl; S. 22, 23: J. Dorner (Vermessung)/D. Härtrich (Fotos)/S. Khamis (Grundrisszeichnung)/U. Fauerbach (Gestaltung). Projektpartner des Transformationspartnerschaftsprojekts „Schule“ Auswärtiges Amt (AA) www.auswaertiges-amt.de O AIR EK ó ŸG ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ DAIK 2013 NG. OBERSCH EVA UL HE Iô g Deutsche Evangelische Oberschule in Kairo (DEO) www.deokairo.de Thomas Schröder-Klementa DEU TSC Deutsches Archäologisches Institut, Abteilung Kairo (DAIK) www.dainst.org Stephan J. Seidlmayer G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Inhaltsverzeichnis Info1 Literatur9 Pädagogisch-didaktische Hinweise 10 Bildmaterial11 12 Arbeitsblatt 1 – Lösungen 13 Arbeitsblatt 2 14 Arbeitsblatt 2 – Lösungen 15 Arbeitsblatt 3 16 Arbeitsblatt 3 – Lösungen 17 Arbeitsblatt 4 18 Arbeitsblatt 4 – Lösungen 19 Arbeitsblatt 5 20 Arbeitsblatt 5 – Lösungen 21 Bastelbogen – Knickpyramide 22 Bastelbogen – Rote Pyramide 23 NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC Arbeitsblatt 1 ƒf Éãd ’G á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Info Entstehung der Mathematik Zahlen und mathematische Aufgaben ermöglichen es dem Menschen Ordnung in Gegenstände, Personen und Abläufe zu bringen (Personallisten, Zählungen von Lebensmitteln etc.) sowie Vorgänge zu planen (Bauvorhaben, Feldzugsausrüstung usw.). Die Entstehung der Mathematik ist in allen alten Hochkulturen somit in etwa zeitgleich mit dem Aufbau einer zentralen Staatsverwaltung anzusetzen. In Ägypten begann bereits um 2900 v. Chr., zur Zeit der Reichseinigung (unter König Narmer) der im Delta und im Niltal lebenden Kleinkönigreiche, die Entwicklung eines hoch entwickeltes Mathematikverständnisses. Mit der Entstehung des Verwaltungswesens bildete sich – als einer der wichtigsten Berufe des alten Ägypten – der des Schreibers heraus. Mathematik in Ägypten hat eine eigenständige Entwicklung und wurde aus anderen Kulturkreisen wohl erst ab der Perserzeit beeinflusst. Die ägyptische Rechentechnik hat jedoch umgekehrt die Entwicklung der hellenistischen Mathematik gelenkt. Mathematiker Die Anforderungen aus Verwaltung und Wirtschaft im Staatsgeschäft verlangten vom Schreiber in erster Linie die Kenntnisse der Schrift. Dabei handelte es sich natürlich um die Hieroglyphen, wie sie in Tempeln und Gräbern aller Zeiten der pharaonischen Hochkultur zu sehen sind. Für das ­Alltagsgeschäft der Staatsführung und Korrespondenz war jedoch die Schreibschriftform der Hieroglyphen wichtiger, das Hieratische (und ab ca. dem 1. Jahrtausend v. Chr. das daraus entwickelte Demotische). Hieratisch wurde wie Arabisch von rechts nach links und von oben nach unten (in Spalten oder Zeilen) geschrieben und stellte eine vereinfachte, Zeichen verbindende Form der Hieroglyphen dar. Die Leserlichkeit der in dieser Schriftform geschriebenen Texte hängt jeweils von der Handschrift des Schreibers ab. Obwohl also die altägyptischen Worte zum überwiegenden Teil heute übersetzbar sind, kann die Entzifferung vieler Texte durchaus Probleme bereiten. Diese Quellen sind jedoch die wichtigsten für die moderne Wiedergewinnung des altägyptischen Wissens und Denkens. Neben allgemeinen Schriftkenntnissen musste der Schreiber je nach Aufgabe und Rang ­Spezialkenntnisse besitzen, die von der Verfassung von Briefen und Listen (nach Mustern) bis hin zu Berechnungen von Steuerabgaben, Flächen, Volumina u.ä. reichten. Eine Ausbildung dafür wurde sowohl als Einzelunterricht als auch – ab dem Mittleren Reich (ca. 1980-1750 v. Chr.) – in Schreiberschulen bewerkstelligt. Sie war grundsätzlich zugänglich für alle Bevölkerungsschichten und mit einem wesentlichen sozialen Aufstieg verbunden. Etwa in der Zeit der Schreiberschulen entstanden auch das erste Schulbuch, die Kemit, sowie weitere Lehrtexte, u.a. zu Mathematik. Die Mathematiker des alten Ägypten können in zwei Kategorien eingeteilt werden: In „Programmierer“ und „Computer“ (Seidlmayer 2001). Während erstere als Entwickler mathematischer Theorien und Berechnungen zu gelten haben, wurden zweitere lediglich auf deren Anwendung hin ausgebildet, nicht aber in das Hintergrundwissen eingeführt. Mathematische Lehrtexte aus dem alten Ägypten, ihr Inhalt und Aufbau 1 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl, DAIK DEU TSC Zahlen sind unter den ersten bekannten Hieroglyphen vertreten. Sie werden in Datumsangaben und Auflistungen genutzt. Die ältesten Beweise für das mathematische Wissen der alten Ägyp- G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Info Abbildung 1: Mathematischer Papyrus Rhind (mit Erlaubnis der British Museum Company Limited, London) ter sind jedoch die monumentalen Bauten des 3. Jahrtausends v. Chr., u.a. die Pyramiden, für deren Planung bereits eine intensive mathematische Vorarbeit geleistet worden sein muss. Die ältesten schriftlichen Quellen zu Berechnungen sind jedoch erst aus viel späterer Zeit überliefert: Es sind auf Papyrus, Holztäfelchen und Lederrollen verfasste Lehrtexte, Beispielrechnungen und Anwendungsbeweise, deren älteste Exemplare aus der Zeit des Mittleren Reichs stammen (ca. 1980-1750 v. Chr.). Eines der wichtigsten und bekanntesten Schriftzeugnisse ist der nach seinem Ankäufer benannte Mathematische Papyrus Rhind, der heute im British Museum in London liegt (Abbildung 1; gekauft 1858 in Luxor; 87 mathematische Aufgaben niedergeschrieben von einem Schreiber namens Ahmes um 1650 v. Chr.; Inventarnummer im British Museum EA 10057; Länge 199,5cm, Höhe 32cm). In all diesen Texten werden nicht etwa die hinter bestimmten Berechnungen stehenden Theorien dargestellt und Herleitungen erklärt, sondern anhand von Beispielen rein die Anwendung der mathematischen Formeln demonstriert, wobei geometrischen Berechnungen erklärende Zeichnungen beigefügt werden (Arbeitsblatt 4). Die Praxisorientierung hatte dabei immer höchste Priorität. Arithmetrik und Geometrie bildeten ein fest zusammengehöriges Gefüge. Die Verfasser dieser Texte werden vermutlich die „Programmierer“ unter den ägyptischen Mathematikern gewesen sein. Den „Computern“ wurden über die Lehrtexte das notwendige Handwerkszeug gegeben um Aufgaben nach dem gleichen Schema zu lösen. Die mathematischen Handschriften der alten Ägypter sind voll mit komplizierten Rechenvorgängen: Multiplikationen (Arbeitsblatt 3), Divisionen mit ganzen Zahlen und mit Brüchen, Flächen-, Volumenund andere Maßberechnungen. Diese Rechenoperationen umfassen auch die Anwendung von Addition und Subtraktion, die jedoch nie explizit erklärt werden. Ihre Lösung geschah trivial, d.h. der Weg zum Ergebnis wurde als Grundkenntnis vorausgesetzt. Die Multiplikation wurde auf die Addition zurückgeführt: Der relevante Faktor wurde einfach so oft verdoppelt oder halbiert bzw. mit 10 multipliziert bis das gewünschte Ergebnis erreicht war. Bei der Division näherte sich der ägyptische Mathematiker der Berechnung in der Gestalt an, dass er sich überlegte, wie oft der Divisor bei fortwährender Multiplikation mit 2 in den Dividenden passte. Ein eventuell übrig bleibender Rest wurde in Bruchteilen des Divisors ausgedrückt. Bei einer Berechnung, die mehrere Teilrechnungen umfasste, wurde sich dem Ergebnis mit Hilfe des sog. falschen Ansatzes (Regula falsi/ probierender Ansatz) genähert. Die aus dem alten Ägypten erhaltenen Mathematikaufgaben sind in drei übergeordnete Gruppen zu teilen: • Aufgaben zur Übung mathematischer Grundtechniken (inkl. Aufgaben zur Berechnung von unbestimmten Größen, die wir heute mittels algebraischer Gleichungen lösen); • Aufgaben der administrativen Mathematik (Rationenberechnungen, Berechnungen von Mengen an Zutaten für Bier oder Brot); NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 2 ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Sigl, DAIK Mathematik im alten Ägypten Info • Berechnungen von Konstruktionselementen (Volumen eines Pyramidenstumpfes, Neigung einer Pyramide, Berechnungen von Schiffsteilen). Eine Besonderheit stellen einige Aufgaben aus dem Papyrus Rhind dar, die die Berechnung von Kreisflächen beschreiben. In der heutigen Mathematik wird dazu die Zahl π verwendet. Diese war den alten Ägyptern jedoch noch nicht bekannt. Dennoch schaffte es der Verfasser des Papyrus auf verschiedene Weise das Problem zu lösen. Es wurde in der Ägyptologie versucht die Methode der Kreisflächenberechnungen aus diesen Aufgaben inklusive einem π-ähnlichen Faktor zu rekonstruieren. Tatsächlich fanden verschiedene Wissenschaftler Näherungswerte heraus, die sich nur ab der zweiten Nachkommastelle von π unterschieden. Ob dem alten Ägypter jedoch tatsächlich diese Methode sowie der Näherungswert an π vorschwebte lässt sich dadurch weder beweisen noch widerlegen. Die Mathematikaufgaben in den erhaltenen Lehrschriften sind vorwiegend nach folgendem Schema aufgebaut: Nach einer in roter Tinte geschriebenen „Überschrift“ wird zunächst ein Problem beschrieben und dann der Lösungsweg vorgeführt – größtenteils in Form einer Textaufgabe. In einigen Texten werden dabei Handlungsschritte – wie das Erreichen von Zwischenergebnissen o.ä. – übersprungen, die der Mathematiker wohl auswendig kennen musste oder die dem alten Ägypter zu logisch erschienen um extra auf sie hinzuweisen. Auffällig ist die überwiegende Fehlerlosigkeit, in der grundlegende Rechenschritte gelöst werden. Es wurde daher vermutet, dass für Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division Rechentabellen vorlagen. Solche Tabellen wurden für natürliche Zahlen jedoch bisher nicht gefunden, sondern nur für Bruchrechenaufgaben. Zahlen und Zahlensystem (Arbeitsblatt 1) Die Ägypter verwendeten wie wir ein Dezimalsystem. Im Gegensatz zu den weltweit heute genutzten arabischen Ziffern, die ein Zeichen für je die Zahlen Null bis Neun kennen, die in unterschiedlicher Kombination höhere Zahlen darstellen, gab es im alten Ägypten für natürliche Strich 1 Zahlen nur Zeichen für die Zahl 1, 10, 100, 1000, 10000, 100000 und 1000000. Klammerfessel 10 Lotosblume 1000 Finger 10000 Kaulquappe 100000 Gott der Unendlichkeit 1000000 Beispiel: 19607 = n („nein, nicht (existent)“ 3 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl, DAIK 100 ƒf Éãd ’G á° Die Zahl Null existierte bei den Ägyptern nicht. Man musste jedoch gelegentlich das „Nicht-Vorhandensein“ eines Wertes kennzeichnen. Dazu verwendete man das Zeichen für „nein/nicht“. Schlaufe DEU TSC Die Zahlzeichen wurden additiv, der Größe ihres Wertes nach hintereinander gesetzt – beginnend mit den höchsten Zahlzeichen – um Zahlen zu bilden. Dem idealen Schriftbild folgend, versuchte der alte Ägypter dabei kleinere oder breite Zeichen übereinander zu kombinieren. Während normale Texte in Hieroglyphen sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links und oben nach unten geschrieben werden konnten, sind die hieroglyphischen Zahlen immer von links nach rechts zu lesen. G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Info Die magische Zahl 7 (Arbeitsblatt 3) Die Zahl 7 taucht in vielen heutigen und vergangenen Kulturkreisen meist in Zusammenhang mit Märchen, Mythologie und Religion auf. Wie im alten Ägypten ist sie dort verbunden mit sowohl positiven, erschaffenden (z.B. 7 Schöpfungstage) als auch negativen, zerstörenden Kräften (z.B. 7 Todsünden). Beispiels aus dem altägyptischen Zusammenhängen mit der Zahl 7 sind beispielsweise folgende: Siebenheiten verschiedener Götter; das 7-sternige Sternbild des Großen Wagen, das damals mit Osiris in Verbindung gebracht Abbildung 2: Eine Aufgabe zur Potenz der Zahl 7 im Ma- wurde; 7 Uräusschlangen schützten den Köthematischen Papyrus Rhind (mit Erlaubnis der British nig gegen Feinde usw. Wann immer erforderMuseum Company Limited, London). lich, konnte man sich der Macht dieser Zahl versichern und sie als machtgeladenes Instrument einsetzen. So begegnet man ihr sowohl im Diesseits, als auch im Jenseits und unterstützt durch ihre Präsenz die für die maatgerechte Existenz des Landes unvergleichlich wichtigen Prozesse von Schöpfung, Feindvernichtung und Regeneration. Einführung in die altägyptischen Bruchzahlen (Arbeitsblatt 5) Neben natürlichen Zahlen kannten die alten Ägypter auch Bruchzahlen. Bruchrechnen war damals jedoch deutlich schwieriger, da man nur mit sog. Stammbrüchen (Zähler: 1, Nenner: eine beliebige Zahl) und den festen Bruchzahlen 1/2 und 2/3 arbeitete. Alle anderen Brüche wurden als Summen von Stammbrüchen geschrieben, wobei die Stammbrüche ihrer Größe nach, mit dem Größten beginnend geordnet werden: 1/2 1/3 1/12 1/56 2/3 5/12 = 1/3 + 1/12 6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 Die Zerlegung von Brüchen (a/b) in Stammbrüche (1/n) und den festen Bruch 2/3 kann durch folgende Schritte bewerkstelligt werden (aus dem alten Ägypten ist dieses Verfahren wohlgemerkt nicht bekannt!): • Man prüft, ob der Bruch 2/3 von der zu zerlegenden Zahl abziehbar ist ohne einen negativen Wert zu ergeben. Wenn ja, sollten er vor der Weiterrechnung subtrahiert werden. Wenn nein, geht man über zum nächsten Schritt. • Gesucht wird der größte Stammbruch, der im gegebenen Bruch enthalten ist: bei gleichbleibendem Zähler (a) sucht man dazu nach einem neuen Nenner (c), der das kleinste Vielfache des Zählers (n), das wiederum größer als der Nenner des Ausgangsbruchs ist (a/c = gekürzt 1/n): z.B. 6/7 => größter Stammbruch = 6/12 = 1/2. (Als kleiner Trick kann man einfach den NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 4 ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Sigl, DAIK Mathematik im alten Ägypten Info Nenner durch den Zähler dividieren und den Dezimalbruch, den man dabei erhält, auf die nächsthöhere natürliche Zahl aufrunden. Dies ist dann der Multiplikationsfaktor.) • Die Differenz beider Brüche (= (na – b)/nb) ist zu bilden. • Schritte 2 und 3 werden solange wiederholt, bis der Rest ein Stammbruch ist. Die ägyptische Bruchrechnung stellte hohe Anforderungen an die Fähigkeiten des Rechnenden. Erleichtert wurde die Arbeit durch Bruchrechentabellen, in denen Summen von Stammbrüchen, die einfache Strammbrüche ergaben bzw. die Verdopplung von Stammbrüchen (die in der Praxis oft benötigt wurden) verzeichnet waren. Diese Listen wurden eventuell sogar auswendig gelernt. Zahlen in Jahreseinteilungen und Daten im alten Ägypten (Arbeitsblatt 2) Jahre, Monate, Tage und Stunden wurden bei den alten Ägyptern nach dem Sonnen-, dem Mond- und dem Sternenlauf sowie dem Wechsel Regierungsjahr der Jahreszeiten eingeteilt. Das jährlich wiederkehrende Ereignis, das den Anfang eines neuMonat en Jahres markierte, war die Überschwemmung des Nils, die über die Menge an Feldfrüchten und Monatstag das Überleben von Mensch und Tier bestimmte. Sie trat in etwa Ende Juni, ungefähr gleichzeitig Überschwemmungszeit mit dem heliakischen (in der Morgendämmerung stattfindenden) Aufgang des Sterns Sirius (oder Zeit der Saat/der Herauskommens Sothis) ein. Die Jahre wurden als Regierungsjahre des jeweiligen Königs gezählt. Wie heute Zeit der Hitze/Ernte/Flut hatte ein Jahr 12 Monate und war 365 Tage lang. Die Monate waren unterteilt in drei Dekaden, d.h. Wochen á 10 Tage, und wurden in drei Jahreszeiten zusammengefasst, die jeweils Ende Juni, Ende Oktober und Ende Februar wechselten. Die fünf fehlenden Tage wurden später im Griechischen als Epagomenen bezeichnet und als düstere, unsichere Zeit angesehen (im Grunde sind diese Tage mit den unsrigen „zwischen den Jahren“ zu vergleichen, sprich zwischen Weihnachten und Neujahr, in denen bereits das Gefühl des neuen Jahres in der Luft liegt, dieses aber noch nicht begonnen hat). Die Reihenfolge der einzelnen Elemente des altägyptischen Datums ist Jahr – Monat – Tag. Ein Beispiel sieht demnach folgendermaßen aus (nach der Feldstele Thutmosis II. in Südaswan, ASW/ROY/06): 5 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl, DAIK DEU TSC „Regierungsjahr 1, 2. Monat der Überschwemmungszeit, Tag 7. Erscheinen der Majestät des Königs von Oberund Unterägypten (Aa-cheper-n-Ra) , des Sohnes des Re (Thutmosis II. mit vollkommenen Kronen).“ G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Info Die Jahreseinteilung war jedoch an Probleme geknüpft. Die Nilflut beispielsweise trat nicht zuverlässig am immer gleichen Tag des Jahres ein und konnte auch ganz ausfallen. Für Neujahr wurde daher auf den ersten Neumond nach dem heliakischen Aufgang des Sirius gewartet. Das altägyptische Neujahr wanderte durch die Eigenbewegung des Sterns im Laufe der Jahrtausende von Mitte Juni bis Mitte Juli (in der römischen Zeit nach 30 v. Chr.). In jede der drei Jahreszeiten fielen vier Mondzyklen von je 29 bis 30 Tagen. Es gab somit Jahre mit 12 und mit 13 Neumonden im Wechsel. Dieser luni-stellare, für die Festlegung von religiösen Riten und Festen genutzte Kalender musste also ständig durch genaue astronomische Beobachtungen angepasst werden. Für die Verwaltung war er daher nicht zu gebrauchen. Ein zweiter Kalender, der sog. bürgerliche, standardisierte Kalender, hatte das Neujahr zu Anfang seiner Existenz wohl ebenfalls am Neumondstag nach dem Sirius-Aufgang. Er teilte das Jahr wie oben beschrieben in 12 Monate von 30 Tagen und je drei Dekaden. Die übrigen 5 Tage werden im Griechischen als Epagomene bezeichnet, die „Nachfolgenden“. Sie wurden an die Monate frei angehängt. Danach begann das neue Jahr egal ob der erste Neumondstag da war oder nicht. Da das tatsächliche Sonnenjahr 365 1/4 Tage lang ist, verschob sich dieser Kalender ständig zu den Jahreszeiten und zum luni-stellaren Kalender. Nur alle 1460 Jahre stimmten beide Kalender überein. Dies war den Ägyptern durchaus bewusst, wie eine Aufzeichnung auf dem Papyrus Ebers beweist. Doch da die Jahreseinteilung als von den Göttern gegeben angesehen wurde, verbat es sich etwas zu ändern. 238 v. Chr. versuchte Ptolemaios III. ein Schaltjahr per Dekret einzuführen. Dieses wurde jedoch nach seinem Tod schnell wieder abgeschafft. Erst Kaiser Augustus gelang es für das römische Reich und all seine Provinzen – darunter auch Ägypten – das Schaltjahr fest im Kalender zu fixieren. Die Tage wurden im alten Ägypten bereits in 24 Stunden geteilt: 12 Tages- und 12 Nachtstunden. Da diese sich am Auf- und Untergang der Sonne orientierten variierte ihre Länge im Laufe des Jahres mit der Zahl der Sonnenstunden. Als Uhren dienten tagsüber verschiedene Sonnenuhren, darunter auch Wanduhren, wie sie heute noch an einigen Gebäuden zu sehen sind. Für die Nacht griff man auf Wasseruhren zurück. Sie bestanden aus einem Gefäß aus dem durch ein Loch Wassertropfen auslaufen konnten. Mittels einer Skala konnte so der Ablauf der Zeit bestimmt werden. Eine andere Möglichkeit stellte die Positionsbeobachtung der Sterne dar. Auf aufwendigen Sternenuhren waren die Positionen verschiedener Sternbilder zu bestimmten Nachtstunden von ihrem jeweiligen Auf- bis Untergang vermerkt. Auch die Verschiebung der Erscheinungszeiten über das Jahr hinweg war auf ihnen ablesbar. Ägyptische Maßeinheiten (Arbeitsblatt 4) Altägyptische Maß- und Gewichtseinheiten sind durch Grabungsfunde (Ellenmaßstäbe, Messstricke, Waagen, Gewichte usw.), aus Abbildungen und in Schriftstücken überliefert. Die Größe dieser Einheiten war genormt bzw. wurde von der obersten Staatsverwaltung festgelegt. Dennoch ergaben sich im Laufe der über 3000 Jahre der pharaonischen Geschichte zahlreiche Veränderungen und Neudefinitionen. Im Folgenden werden vor allem die aus dem Neuen Reich (1539-1077 v. Chr.) überlieferten Werte verwendet. NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 6 ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Sigl, DAIK Mathematik im alten Ägypten Info Abbildung 3: Aufgaben zu Pyramiden und anderen geometrischen Berechnungen mit Längenmaßen auf dem Mathematischen Papyrus Rhind (mit Erlaubnis der British Museum Company Limited, London). Wie in mittelalterlichen Europa wurde auch bei den alten Ägyptern die Elle (Mech) als Längenmaß verwendet. Als Standard diente die sog. königliche Elle. Sie reichte vom Ellebogen bis zur Spitze des Mittelfingers und war umgerechnet 52,5cm lang. Die Elle wurde in sieben Handbreiten und diese wiederum in je vier Fingerbreiten unterteilt: 1 Elle = 52,5 cm = 7 Handbreiten => 1 Handbreite = 7,5cm = 28 Fingerbreiten => 1 Handbreite = 4 Fingerbreiten => 1 Fingerbreite = 1,875cm Daneben wurden auf zeremoniellen Ellenstäben – aus Holz gefertigten Maßstäben – noch die Fünffingerbreite, die Faust (6 Fingerbreiten), die Doppelhandbreite, die kleine (3 Handbreiten) und große Spanne (3 1/2 Handbreiten), das Dscheser-Maß (4 Handbreiten), das Remen-Maß (5 Handbreiten)und die sog. kleine Elle (6 Handbreiten) sowie Bruchteile von einer Fingerbreite als Maßeinheiten vermerkt. Diese tauchen jedoch in den schriftlichen Niederlegungen von Maßen selten auf. 7 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl, DAIK DEU TSC Für die Vermessung langer Strecken, beispielsweise von Feldern, wurden genormte Messstricke von 100 Ellen verwendet. Im Grunde handelte es sich dabei um normale Seile, in die im Abstand von einer Elle Knoten geknüpft worden waren. Daneben taucht der sog. Doppel-Remen auf, der sich als Länge der Diagonale eines Quadrats mit einer Seitenlänge von einer Elle definiert und damit 74,25cm entspricht. Sehr lange Strecken wurden in Flußmaßen von je 20000 Ellen (ca. 10,5km) gemessen. G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Info Die größte Flächenmaßeinheit war der Setschat (die Arure), der als Quadrat von 100 Ellen, d.h. 10000 Quadratellen (2756,5m2) – definiert war. Dieser konnte unterteilt werden in: Cha = 1000 Quadratellen = 10 mal 100 Ellen = 275,65m2 Ta = 100 Quadratellen = 10 mal 10 Ellen = 27,565m2 Remen = 1/2 Ta = 50 Quadratellen Heseb = 1/2 Remen = 1/4 Ta = 25 Quadratellen Sa = 1/2 Heseb = 1/4 Remen = 17,5 Quadratellen Flächenmaße wurden sowohl bei der Landvermessung, als auch beispielsweise bei der Abmessung von Stoffen benutzt. Getreide, Gold, Myrrhe und ähnliche Waren wurden in Heqat bzw. Oipe (= 4 Heqat) und Sack (= 20 Heqat) abgemessen. Ein Heqat entsprach 4,75l und wurde in verschiedene Bruchteile zerlegt, die mit Teilen der Hieroglyphe für das sogenannte Horusauge (rechts) geschrieben wurden. Flüssigkeiten wurden allgemein in Hin (= 1/10 Heqat) abgemessen. Die kleinste Maßeinheit war die für Arzneien: Ro (= 1/320 Heqat). Daneben gab es für einige flüssige und feste Stoffe – beispielsweise Bier, Honig, Wein, Weihrauch – zusätzlich noch spezielle Maßeinheiten in Krügen und Töpfen unterschiedlichen Fassungsvermögens. Holz, Stroh, Gemüse oder ähnliches wurde in Eselsladungen oder Bündeln bemessen. Das Grundgewicht und eine der (Geld-) Werteinheiten im alten Ägypten war der Deben. Er entsprach ursprünglich ca. 13,6g. Im Mittleren Reich wurde der 13,6g-Deben primär zum abwiegen von Gold verwendet. Für Kupfer und alles, was mit Kupfer aufgewogen wurde, gab es weitere, größere Gewichte von ca. 26-28g. Im Neuen Reich kam es zu einer Vereinheitlichung des Deben auf ein Standardgewicht von etwa 91g. Neben dem Deben ist der Wertmesser Schati bereits im Alten Reich in Texten belegt. Mit ihm konnte neutral der Wert von jedem Handelsgut wiedergegeben werden. Er hatte jedoch keinen Währungscharakter wie heutiges Geld, sondern ist bisher nur als immaterieller Maßstab bekannt. Geschäfte wurden in der Realität als Tauschhandel abgeschlossen. NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 8 ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. 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G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Pädagogisch-didaktische Hinweise Inhalt Arbeitsmaterial empfohlene Altersstufe Einführung in Zahlen und Zahlensystem der alten Ägypter Arbeitsblatt 1 - Zahlen und Zahlensystem 3.-10. Klasse + Abbildung 1: Rhind Mathematical Papyrus (Grundlage für alle anderen Inhalte!) Arbeitsblatt 2 - Kalendersystem und Datum 5.-10. Klasse Arbeitsblatt 3 - Potenzrechnung 5.-10. Klasse (Info zu Mathematik und Zahlen: ab S. 1) Verwendung von hieroglyphischen Zahlen in Datumsangaben (Info zur Zeitrechnung: S. 5-6) Multiplikation/ Potenzrechnung (Info zur Zahl 7: S. 4) Geometrieberechnungen an Pyramiden (Info zu Mathematik und Zahlen: ab S. 1; zu Maßeinheiten: ab S. 6) Stammbruchrechnungen + Abbildung 2 Bastelbögen Pyramiden; 8.-10. Klasse Arbeitsblatt 4 - Berechnungen an Pyramiden + Abbildung 3 (Bastelbögen auch für Grundschule und 5-7. Klasse geeignet) Arbeitsblatt 5 - Bruchzahlen 8.-10. Klasse (Info zu Bruchrechungen: S. 4-5) NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 10 ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f M. Belal, DEO 2013 Mathematik im alten Ägypten Bildmaterial Anmerkung zur Verwendung des Materials 11 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g DAIK 2013 DEU TSC Das Bildmaterial ist frei von Copyright lediglich im Rahmen des Schulunterrichts einsetzbar! Eine Weiterverbreitung oder -nutzung außerhalb desselben ist ausgeschlossen! G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 1 Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Zahlen und Zahlensystem Das ägyptische Zahlensystem war ein Dezimalsystem. Es kannte jedoch nur Werte für: 1 Strich 10 Klammerfessel 100 Messstrick 1000 Lotosblume 10000 Finger 100000Kaulquappe 1000000 Gott der Unendlichkeit Um Zahlen zu bilden wiederholte man einfach das entsprechende Zeichen so oft wie nötig (maximal neun mal). Beim Aufschreiben begann man mit den höchsten Werten und setzte die jeweils niedrigeren dahinter. Die hieroglyphischen Zahlen sind immer von links nach rechts zu lesen. Um das Ganze noch anschaulicher und platzsparender zu machen konnte man auch Zeichen übereinander anordnen: Aufgabe 1: Diese Anhängetäfelchen stammen aus den ältesten Königsgräbern Ägyptens in Abydos. Sie sind also rund 5000 Jahre alt. Die kleinen Täfelchen waren Etiketten von G ­ efäßen oder anderen Waren. Sie bezeichneten deren Inhalt, Menge oder Herkunft. Viele sind nur mit Zahlen beschriftet. Welche Zahlen erkennst du? Welche der Topfmarken hat eine fehlerhafte Zahl? A B C D A: ____ B: ____ C: ____ E F D: ____ E: ____ (G. Dreyer, DAIK 1999) F: ____ Aufgabe 2: Übertrage die folgenden Hieroglyphenzahlen in die heutigen arabischen und die arabischen in Hieroglyphen. = 19607 __________________ Ein Zeichen für Null brauchten die Ägypter nicht. Wenn sie doch einmal zeigen wollten, dass ein Wert gleich Null war, schrieben sie dieses Zeichen: __________________ __________________ __________________ „nicht existierend“ __________________ Auch Kronprinzen mussten in die Schule (J. Sigl, DAIK 2012) ______________________________ 343 ______________________________ 1042 ______________________________ 70691 ______________________________ 400211 ______________________________ NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 12 55 ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Sigl, DAIK 2013 Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 1 – Lösungen Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Zahlen und Zahlensystem Das ägyptische Zahlensystem war ein Dezimalsystem. Es kannte jedoch nur Werte für: 1 Strich 10 Klammerfessel 100 Messstrick 1000 Lotosblume 10000 Finger 100000Kaulquappe 1000000 Gott der Unendlichkeit Um Zahlen zu bilden wiederholte man einfach das entsprechende Zeichen so oft wie nötig (maximal neun mal). Beim Aufschreiben begann man mit den höchsten Werten und setzte die jeweils niedrigeren dahinter. Die hieroglyphischen Zahlen sind immer von links nach rechts zu lesen. Um das Ganze noch anschaulicher und platzsparender zu machen konnte man auch Zeichen übereinander anordnen: Aufgabe 1: Diese Anhängetäfelchen stammen aus den ältesten Königsgräbern Ägyptens in Abydos. Sie sind also rund 5000 Jahre alt. Die kleinen Täfelchen waren Etiketten von G ­ efäßen oder anderen Waren. Sie bezeichneten deren Inhalt, Menge oder Herkunft. Viele sind nur mit Zahlen beschriftet. Welche Zahlen erkennst du? Welche der Topfmarken hat eine fehlerhafte Zahl? B A C D A: ____ 6 B: ____ 6 C: ____ 8 E F D: ____ 9 E: 10 F! ____ F: ____ 100 (G. Dreyer, DAIK 1999) Aufgabe 2: Übertrage die folgenden Hieroglyphenzahlen in die heutigen arabischen und die arabischen in Hieroglyphen. = 19607 18 __________________ Ein Zeichen für Null brauchten die Ägypter nicht. Wenn sie doch einmal zeigen wollten, dass ein Wert gleich Null war, schrieben sie dieses Zeichen: 119 __________________ 2011 __________________ 119905 __________________ „nicht existierend“ 1413125 __________________ 343 ______________________________ 1042 ______________________________ 70691 ______________________________ 400211 __________________________ O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl, DAIK 2013 ______________________________ DEU TSC Auch Kronprinzen mussten in die Schule (J. Sigl, DAIK 2012) 55 G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC 13 Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 2 Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Kalendersystem und Datum Jahre, Monate, Tage und Stunden wurden bei den alten Ägyptern nach dem Sonnen-, dem Mond- und dem Sternenlauf sowie dem Wechsel der Jahreszeiten eingeteilt. Wie heute hatte ein Jahr 12 Monate und war 365 Tage lang (Merke: das tatsächliche Sonnenjahr ist 365 ¼ Tage lang. Heute wird daher alle vier Jahre ein Schaltjahr eingeschoben damit sich der Kalender nicht zum echten Jahr verschiebt). Die Monate waren unterteilt in drei Dekaden, d.h. Wochen von je 10 Tage. Je vier Monate wurden in drei Jahreszeiten zusammengefasst, die jeweils Anfang Juli, November und März wechselten. Die fünf fehlenden Tage wurden später im Griechischen als Epagomenen bezeichnet und als düstere, unsichere Zeit angesehen. Die Reihenfolge der einzelnen Elemente altägyptischen Datumsangaben ist Jahr – Monat – Tag. Regierungsjahr Monat Monatstag Überschwemmungszeit Zeit der Saat/der Herauskommens Zeit der Hitze/Ernte/Flut Regierungsjahr 1, Monat 2 der Überschwemmungszeit, Tag 7. Aufgabe 1: Markiere im Zeitstrahl unten die drei ägyptischen Jahreszeiten bunt. Vergiss dabei die Epagomene nicht! Überlege wie weit sich die Jahreszeiten nach 120 Jahren verschoben hatten, weil die Ägypter kein Schaltjahr kannten! Feb März April Mai Jan 1 100 Juni Juli 200 Aug Sep Okt Nov 300 Dez 365 Tage Aufgabe 2: Schreibe die unten gefragten Datumsangaben in Hieroglyphen! Nutze dabei die kurze Form des Datums – Jahreszahl, Monat und Tag. Achte dabei auf den Beginn der heutigen Monatseinteilung und der altägyptischen Monate! 7. Oktober 2012 Beispiel:______________________________________________________ das heutige Datum: ______________________________________________________ dein Geburtstag: ______________________________________________________ internationales Neujahr: ______________________________________________________ islamisches Neujahr: ______________________________________________________ altägyptisches Neujahr: ______________________________________________________ NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 14 ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Sigl, DAIK 2013 Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 2 – Lösungen Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Kalendersystem und Datum Jahre, Monate, Tage und Stunden wurden bei den alten Ägyptern nach dem Sonnen-, dem Mond- und dem Sternenlauf sowie dem Wechsel der Jahreszeiten eingeteilt. Wie heute hatte ein Jahr 12 Monate und war 365 Tage lang (Merke: das tatsächliche Sonnenjahr ist 365 ¼ Tage lang. Heute wird daher alle vier Jahre ein Schaltjahr eingeschoben damit sich der Kalender nicht zum echten Jahr verschiebt). Die Monate waren unterteilt in drei Dekaden, d.h. Wochen von je 10 Tage. Je vier Monate wurden in drei Jahreszeiten zusammengefasst, die jeweils Anfang Juli, November und März wechselten. Die fünf fehlenden Tage wurden später im Griechischen als Epagomenen bezeichnet und als düstere, unsichere Zeit angesehen. Die Reihenfolge der einzelnen Elemente altägyptischen Datumsangaben ist Jahr – Monat – Tag. Regierungsjahr Monat Monatstag Überschwemmungszeit Zeit der Saat/der Herauskommens Zeit der Hitze/Ernte/Flut Regierungsjahr 1, Monat 2 der Überschwemmungszeit, Tag 7. Aufgabe 1: Markiere im Zeitstrahl unten die drei ägyptischen Jahreszeiten bunt. Vergiss dabei die Epagomene nicht! Überlege wie weit sich die Jahreszeiten nach 120 Jahren verschoben hatten, weil die Ägypter kein Schaltjahr kannten! Jan Feb März April Mai 1 100 Juni Juli 200 Aug Sep Okt Nov 300 Dez 365 Tage Aufgabe 2: Schreibe die unten gefragten Datumsangaben in Hieroglyphen! Nutze dabei die kurze Form des Datums – Jahreszahl, Monat und Tag. Achte dabei auf den Beginn der heutigen Monatseinteilung und der altägyptischen Monate! 7. Oktober 2012 Beispiel:______________________________________________________ ______________________________________________________ 18. Oktober 2012 dein Geburtstag: ______________________________________________________ 8. April 1981 internationales Neujahr: islamisches Neujahr: ______________________________________________________ 1. Januar (z.B. 2013) 15. November (z.B. 2012)/ ______________________________________________________ 1. Muharram (z.B. 1434) altägyptisches Neujahr: (z.B. Regierungsjahr 1), 1. Monat ______________________________________________________ der Überschwemmungszeit, Tag 1 15 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl, DAIK 2013 DEU TSC das heutige Datum: G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 3 Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Potenzrechnung Der mathematische Papyrus Rhind Der mathematische Papyrus Rhind ist einer der wenigen bekannten Lehrtexte für Mathematik aus dem alten Ägypten. Er wurde 1858 von dem schottischen Anwalt und Antiquar ­Alexander Henry Rhind in Luxor angekauft und befindet sich heutzutage im British ­Museum in London (Inv. Nr. EA 19957). Gefunden wurde er wahrscheinlich bei illegalen Ausgrabungen in der Umgebung des Tempels Ramses II. (des Ramesseums) auf der Westseite des Nils bei Luxor. Die 87 Beispielrechnungen wurden ca. 1650 v. Chr. von einem Schreiber namens Ahmes verfasst. Sie beschäftigen sich zumeist mit Problemen aus dem normalen Alltag eines altägyptischen Verwaltungsbeamten: z.B. Berechnungen von Lebensmittelvergaben, Materialbedarf und geometrischen Berechnungen für Bauvorhaben usw. Eine altägyptische Potenzrechnung (pRhind, Aufgabe 79) Trage die fehlenden Werte in die Lückenrechnung A ein und überlege bei B welchen Potenzen welcher Zahl diese entsprechen. Die Geschichte, die sich aus dieser Aufgabe verfassen lässt, hilft dir dabei! A: Übersetzung B: Geschichte: Häuser _________ = ____ Gegeben sind sieben Häuser, Katzen +_________ = ____ in jedem leben sieben Katzen, Mäuse +_________ = ____ jede Katze frisst sieben Mäuse, Ähren +_________ = ____ jede Maus frisst sieben Ähren, Körner +_________ = ____ jede Ähre enthält sieben Körner. Zu berechnen ist die Summe der genannten Dinge. Summe =_________ Noch zwei Rechengeschichten mit ähnlichem Inhalt Leonardo Fibonacci von Pisa: Übersetzung aus Englischer Kinderreim (ca. 1730 n. Chr.) seinem Buch ‚Liber Abacci‘ (ca. 1200 n. Chr.): Sieben alte Weiber gehen nach Rom; jede von ihnen führt sieben Esel mit sich; auf jedem Esel sind sieben Säckchen; in jedem Säckchen sind sieben Brote; und jedes Brot hat sieben Messerchen; und jedes Messerchen hat sieben Scheiden. Es wird nach der Summe aller erwähnten Dinge gefragt. NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 16 As I was going to Saint Ives, I met a man with seven wives, Every wife had seven sacks, Every sack had seven cats, Every cat had seven kits; Kits, cats, sacks and wives, How many were there going to Saint Ives? ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Sigl, DAIK 2013 Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 3 – Lösungen Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Potenzrechnung Der mathematische Papyrus Rhind Der mathematische Papyrus Rhind ist einer der wenigen bekannten Lehrtexte für Mathematik aus dem alten Ägypten. Er wurde 1858 von dem schottischen Anwalt und Antiquar ­Alexander Henry Rhind in Luxor angekauft und befindet sich heutzutage im British ­Museum in London (Inv. Nr. EA 19957). Gefunden wurde er wahrscheinlich bei illegalen Ausgrabungen in der Umgebung des Tempels Ramses II. (des Ramesseums) auf der Westseite des Nils bei Luxor. Die 87 Beispielrechnungen wurden ca. 1650 v. Chr. von einem Schreiber namens Ahmes verfasst. Sie beschäftigen sich zumeist mit Problemen aus dem normalen Alltag eines altägyptischen Verwaltungsbeamten: z.B. Berechnungen von Lebensmittelvergaben, Materialbedarf und geometrischen Berechnungen für Bauvorhaben usw. Eine altägyptische Potenzrechnung (pRhind, Aufgabe 79) Trage die fehlenden Werte in die Lückenrechnung A ein und überlege bei B welchen Potenzen welcher Zahl diese entsprechen. Die Geschichte, die sich aus dieser Aufgabe verfassen lässt, hilft dir dabei! A: Übersetzung B: Geschichte: Häuser7 Häuser _________ = ____ 71 Gegeben sind sieben Häuser, 72 Katzen 49 = ____ Katzen +_________ in jedem leben sieben Katzen, 73 Mäuse 343 = ____ Mäuse +_________ jede Katze frisst sieben Mäuse, 74 Ähren 2401 = ____ Ähren +_________ jede Maus frisst sieben Ähren, 75 Körner16807 Körner +_________ = ____ jede Ähre enthält sieben Körner. Zu berechnen ist die Summe der genannten Dinge. Summe19607 Summe =_________ Noch zwei Rechengeschichten mit ähnlichem Inhalt Leonardo Fibonacci von Pisa: Übersetzung aus Englischer Kinderreim (ca. 1730 n. Chr.) seinem Buch ‚Liber Abacci‘ (ca. 1200 n. Chr.): 17 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl. DAIK 2013 As I was going to Saint Ives, I met a man with seven wives, Every wife had seven sacks, Every sack had seven cats, Every cat had seven kits; Kits, cats, sacks and wives, How many were there going to Saint Ives? DEU TSC Sieben alte Weiber gehen nach Rom; jede von ihnen führt sieben Esel mit sich; auf jedem Esel sind sieben Säckchen; in jedem Säckchen sind sieben Brote; und jedes Brot hat sieben Messerchen; und jedes Messerchen hat sieben Scheiden. Es wird nach der Summe aller erwähnten Dinge gefragt. G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 4 Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Berechnungen an Pyramiden Die Pyramiden des Snofru König Snofru herrschte ca. 2543-2510 v. Chr. über Ägypten. Er erbaute im Laufe seiner Regierungszeit drei Pyramiden. Zwei davon, die sogenannte Knick- und die Rote Pyramide stehen in Dahschur, südlich von Kairo und werden inklusive ihres Umfeldes von Mitarbeitern des DAIK seit 1975 erforscht. Aufgabe 1: Bastle eine der beiden/die beiden Dahschur-Pyramiden des Snofru aus den Bastelbögen zusammen. Auf der Unterseite findest du jeweils die Höhe und die Seitenlänge an der Grundfläche (Breite) der Pyramiden. Diese Werte brauchst du für Aufgabe 2. Aufgabe 2a (nach dem Vorbild von pRhind, Aufgabe 56): Gegeben sind jeweils die Höhe (H) und die Breite (B) der Grundfläche der beiden Pyramiden des Snofru in Dahschur. Rechne diese Werte zunächst in die Maßeinheit der alten Ägypter, Ellen, um. Beachte dazu: 1 Elle = 52,5cm. Knickpyramide: Rote Pyramide: H = 105 m = ______________ Ellen / B = 189 m = ________________ Ellen H = 104 m = ______________ Ellen / B = 220 m = ________________ Ellen Aufgabe 2b (nach dem Vorbild von pRhind, Aufgabe 56): Anstatt des Neigungswinkels der Pyramide berechneten die alten Ägypter den Rücksprung (x) der Schräge in der Höhe von 1 Elle über der Grundfläche (h). Überlege anhand der Skizze nach welchem bis heute gängigen mathematischen Prinzip sie dabei vorgingen und berechne dann den jeweiligen Rücksprung der beiden Pyramiden des Snofru in Ellen. (J. Sigl, DAIK 2012) Knickpyramide: Rote Pyramide: ___________________ ____________________ ___________________ ____________________ ___________________ ____________________ Aufgabe 2c: Die Ägypter kannten neben Ellen u.a. auch die kleinere Maßeinheite ‚Handbreit‘: 1 Elle = 7 Handbreit. Rechne die Ergebnisse von Aufgabe 2b in Handbreiten und in Zentimeter um. Knickpyramide: Rote Pyramide: NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 18 x = ________________ Handbreit / x = _________________ cm x = ________________ Handbreit / x = _________________ cm ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Sigl, DAIK 2013 Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 4 – Lösungen Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Berechnungen an Pyramiden Die Pyramiden des Snofru König Snofru herrschte ca. 2543-2510 v. Chr. über Ägypten. Er erbaute im Laufe seiner Regierungszeit drei Pyramiden. Zwei davon, die sogenannte Knick- und die Rote Pyramide stehen in Dahschur, südlich von Kairo und werden inklusive ihres Umfeldes von Mitarbeitern des DAIK seit 1975 erforscht. Aufgabe 1: Bastle eine der beiden/die beiden Dahschur-Pyramiden des Snofru aus den Bastelbögen zusammen. Auf der Unterseite findest du jeweils die Höhe und die Seitenlänge an der Grundfläche (Breite) der Pyramiden. Diese Werte brauchst du für Aufgabe 2. Aufgabe 2a (nach dem Vorbild von pRhind, Aufgabe 56): Gegeben sind jeweils die Höhe (H) und die Breite (B) der Grundfläche der beiden Pyramiden des Snofru in Dahschur. Rechne diese Werte zunächst in die Maßeinheit der alten Ägypter, Ellen, um. Beachte dazu: 1 Elle = 52,5cm. H = 105 m = 10500 : 52,5 = 200 18900 :52,5 = 360 Ellen Knickpyramide: ______________ Ellen / B = 189 m = ________________ 10400:52,5=198,10 220 : 52,5 = 419,05 Ellen Rote Pyramide: H = 104 m = ______________ Ellen / B = 220 m = ________________ Aufgabe 2b (nach dem Vorbild von pRhind, Aufgabe 56): Anstatt des Neigungswinkels der Pyramide berechneten die alten Ägypter den Rücksprung (x) der Schräge in der Höhe von 1 Elle über der Grundfläche (h). Überlege anhand der Skizze nach welchem bis heute gängigen mathematischen Prinzip sie dabei vorgingen und berechne dann den jeweiligen Rücksprung der beiden Pyramiden des Snofru in Ellen. (J. Sigl, DAIK 2012) Knickpyramide: Rote Pyramide: 180 : 200 = x : 1 ___________________ ____________________ 209,53 : 198,1 = x : 1 x___________________ • 200 = 1 • 180 x____________________ • 198,1 = 1 • 209,53 x___________________ = 180 : 200 = 0,9 x____________________ = 209,53 : 198,1 = 1,06 Aufgabe 2c: Die Ägypter kannten neben Ellen u.a. auch die kleinere Maßeinheite ‚Handbreit‘: 1 Elle = 7 Handbreit. Rechne die Ergebnisse von Aufgabe 2b in Handbreiten und in Zentimeter um. 19 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl, DAIK 2013 x = ________________ Handbreit / x = _________________ 0,9 • 7 = 6,3 0,9 • 52,5 = 47,25 cm x = ________________ Handbreit / x = _________________ 1,06 • 7 = 7,4 1,06 • 52,5 = 55,53 cm DEU TSC Knickpyramide: Rote Pyramide: G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 5 Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Bruchzahlen Neben natürlichen Zahlen kannten die alten Ägypter auch Bruchzahlen. Im Gegensatz zu heute existierten dabei jedoch nur Stammbrüche (Zähler: 1, Nenner: eine beliebige Zahl) und die festen Bruchzahlen 1/2 und 2/3. Alle Brüche wurden somit als Summen von Stammbrüchen geschrieben, wobei die Stammbrüche ihrer Größe nach, mit dem Größten beginnend geordnet wurden: 1/2 1/3 1/12 1/56 2/3 5/12 = 1/3 + 1/12 6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 Die Zerlegung von Brüchen (a/b) in Stammbrüche (1/n) und den festen Bruch 2/3 kann durch folgende Schritte bewerkstelligt werden: • Man prüft, ob der Bruch 2/3 von der zu zerlegenden Zahl abziehbar ist ohne einen negativen Wert zu ergeben. Wenn ja, sollte er vor der Weiterrechnung subtrahiert werden. Wenn nein, geht man über zum nächsten Schritt. • Gesucht wird der größte Stammbruch, der im gegebenen Bruch enthalten ist: bei gleichbleibendem Zähler (a) sucht man dazu nach einem neuen Nenner (c), der das kleinste Vielfache des Zählers (n), das wiederum größer als der Nenner des Ausgangsbruchs ist (a/c = gekürzt 1/n): z.B. 6/7 => größter Stammbruch = 6/12 = 1/2. (Als kleiner Trick kann man einfach den Nenner durch den Zähler dividieren und den Dezimalbruch, den man dabei erhält, auf die nächsthöhere natürliche Zahl aufrunden. Dies ist dann der Multiplikationsfaktor.) • Die Differenz beider Brüche (= (na – b)/nb) ist zu bilden. • Schritte 2 und 3 werden solange wiederholt bis der Rest ein Stammbruch ist. Aufgabe: Setze die folgenden Zahlen in arabische / hieroglyphische Zahlen um (Schriftrichtung: links nach rechts): Hieroglyphen Stammbrüche in = = = = = = = = = = Bruch in 1/120 = = 19/36 = = 23/30 = = 1 3/4 = = 18 10/21 = = Stammbrüche in Bruch Hieroglyphen NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 20 in ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Sigl, DAIK 2013 Mathematik im alten Ägypten Arbeitsblatt 5 – Lösungen Name: ________________________________________________ Klasse: ________ Datum: ____________ Bruchzahlen Neben natürlichen Zahlen kannten die alten Ägypter auch Bruchzahlen. Im Gegensatz zu heute existierten dabei jedoch nur Stammbrüche (Zähler: 1, Nenner: eine beliebige Zahl) und die festen Bruchzahlen 1/2 und 2/3. Alle Brüche wurden somit als Summen von Stammbrüchen geschrieben, wobei die Stammbrüche ihrer Größe nach, mit dem Größten beginnend geordnet wurden: 1/2 1/3 1/12 1/56 2/3 5/12 = 1/3 + 1/12 6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42 Die Zerlegung von Brüchen (a/b) in Stammbrüche (1/n) und den festen Bruch 2/3 kann durch folgende Schritte bewerkstelligt werden: • Man prüft, ob der Bruch 2/3 von der zu zerlegenden Zahl abziehbar ist ohne einen negativen Wert zu ergeben. Wenn ja, sollte er vor der Weiterrechnung subtrahiert werden. Wenn nein, geht man über zum nächsten Schritt. • Gesucht wird der größte Stammbruch, der im gegebenen Bruch enthalten ist: bei gleichbleibendem Zähler (a) sucht man dazu nach einem neuen Nenner (c), der das kleinste Vielfache des Zählers (n), das wiederum größer als der Nenner des Ausgangsbruchs ist (a/c = gekürzt 1/n): z.B. 6/7 => größter Stammbruch = 6/12 = 1/2. (Als kleiner Trick kann man einfach den Nenner durch den Zähler dividieren und den Dezimalbruch, den man dabei erhält, auf die nächsthöhere natürliche Zahl aufrunden. Dies ist dann der Multiplikationsfaktor.) • Die Differenz beider Brüche (= (na – b)/nb) ist zu bilden. • Schritte 2 und 3 werden solange wiederholt bis der Rest ein Stammbruch ist. Aufgabe: Setze die folgenden Zahlen in arabische / hieroglyphische Zahlen um (Schriftrichtung: links nach rechts): in Stammbrüche in Bruch = 1/228 = 1/228 = 1/8 1/144 = 19/144 = 1/2 1/8 = 5/8 = 2/3 1/9 1/18 1/171 1/342 = 18/19 = 1 1/6 1/12 1/114 1/228 = 1 5/19 Bruch in Stammbrüche in Hieroglyphen 1/120 = 1/120 = 19/36 = 1/2 1/36 = 23/30 = 2/3 1/10 = 1 3/4 = 1 1/2 1/4 = 18 10/21 = 18 1/3 1/7 = 21 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Sigl, DAIK 2013 DEU TSC Hieroglyphen G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC Mathematik im alten Ägypten Bastelbogen – Knickpyramide Bastelanleitung: • Pyramide entlang der blauen Linien ausschneiden; • Kanten der Pyramide (rot) mit Schere oder Cutter und Lineal leicht einritzen; • Klebeflächen (1, 2a, 2b) nacheinander mit Kleber bestreichen und zusammenfügen. NG. OBERSCH EVA UL HE O AIR EK DEU TSC 22 ƒf Éãd ’G É ŸC á° dÉH SQ É≤ ó ŸG Iô g áj G á « ∏« ‚E’ G á «f J. Dorner/D. Härtrich/S. Khamis/U. Fauerbach, DAIK 2011 Mathematik im alten Ägypten Bastelbogen – Rote Pyramide Bastelanleitung: • Pyramide entlang der blauen Linien ausschneiden; • Kanten der Pyramide (rot) mit Schere oder Cutter und Lineal leicht einritzen; 23 O AIR EK NG. OBERSCH EVA UL HE ƒf Éãd ’G á° dÉH áj SQ É≤ ó ŸG Iô g J. Dorner/D. Härtrich/U. Fauerbach, DAIK 2011 DEU TSC • Klebeflächen (1, 2) nacheinander mit Kleber bestreichen und zusammenfügen. G á « ∏« ‚E’ G á «f É ŸC
