RE RM Sonne Hohmann- Bahn

Prof. T. Esslinger
Dr. T. Donner
Übungen zur Physik 1 – Blatt 10
∗
(Dated: Abgabetermin Freitag, 30. November 2012, 9:30 Uhr, Briefkästen der Assistenten im Foyer HPF (D-Stock))
I.
PLANETENBESTIMMUNG (3 PUNKTE)
Am Äquator eines homogenen, kugelförmigen Planeten wird eine Beschleunigung von aA = 10.85 m/s2 gemessen, am
Nordpol (oder Südpol) des Planeten wird dagegen eine Beschleunigung von aP = 11.15 m/s2 gemessen. Eine weitere
Messung in einer Höhe von h = 5000 km oberhalb des Nordpols ergibt eine Beschleunigung von ah = 7.70 m/s2 .
Bestimmen Sie
1. Radius
2. Masse
3. Rotationsperiode in Stunden und Minuten
des Planeten. Um welchen Planeten könnte es sich handeln?
II.
HOHMANN TRANSFER (5 PUNKTE)
Die einfachste und energiesparendste Art und Weise, ein
Raumschiff von einem zu einem anderen Planeten zu schicken ist der sogenannte ”Hohmann-Transfer”. Angenommen, die Umlaufbahnen der beiden Planeten sind konzentrische Kreise mit Radien RE und RM , dann findet der
Hohmann-Transfer entlang einer elliptischen Bahn statt,
die in ihrem sonnennächsten bzw. sonnenfernsten Punkt
tangential die Umlaufbahnen der Planeten berührt (siehe
Skizze). Die Raketen des Raumschiffs werden beim Start
kurz gezündet um den Hohmann-Orbit zu erreichen. Anschliessend fliegt das Raumschiff ohne weiteren Antrieb bis
zum Zielplanet. Dort müssen die Raketen nochmals kurz
gezündet werden, um auf die Bahn des Planeten einzuschwenken.
Es soll ein Flug von der Erde zum Mars untersucht werden. Die Radien der Plantenorbits sind RE = 1.5 × 108 km
bzw. RM = 2.3 × 108 km, die Sonnenmasse beträgt ms =
2 × 1030 kg. Die Anziehungskraft der Planeten auf das
Raumschiff soll vernachlässigt werden.
HohmannBahn
RE
RM
Sonne
1. Berechnen Sie die Tangentialgeschwindigkeiten vp bzw. va im sonnennächsten (Perihel) bzw. sonnenfernsten
(Aphel) Punkt eines Hohmann-Orbits. Um einen Einstieg in dieses Problem zu finden, beantworten Sie zunächst
die folgenden Fragen mit Begründung:
∗ Aufgaben
und Lösungen sind auch erhältlich unter www.quantumoptics.ethz.ch → Lectures
2
(a) Welche Gleichung lässt sich aus dem zweiten Keplerschen Gesetz ableiten?
i. RE · vp = RM · va
ii. RE · vp2 = RM · va2
iii. RM · vp = RE · va
(b) Welche Gleichung beschreibt die Gesamtenergie eines Raumschiffs im Orbit um die Sonne (ms ist die
Sonnenmasse, m die Masse des Raumschiffs)?
i.
ii.
iii.
1
2
2 mv
1
2
2 mv
1
2
2 mv
S
+ Γ m·m
R
m·mS
−Γ R
S
+ Γ m·m
R2
Verwenden Sie nun das zweite Keplersche Gesetz und den Energieerhaltungssatz, um die Geschwindigkeiten vp
und va zu berechnen.
2. In welche Richtung müssen die Raketen beim Start an der Erde bzw. bei der Ankunft am Mars gezündet werden:
in Bewegungsrichtung des Raumschiffs oder in der Gegenrichtung?
3. Wie lange dauert ein solcher Flug von der Erde zum Mars? Benutzen Sie das dritte Keplersche Gesetz und die
Tatsache, dass die Erde die Sonne in 365 Tagen umkreist.
4. Unter welchem Winkel α (von der Sonne aus gemessen) müssen Erde und Mars beim Start der Sonde zueinander
stehen, damit die Sonde tatsächlich den Mars erreicht und ihn nicht verfehlt?
III.
KIPPENDER LASTWAGEN (2 PUNKTE)
In der Vorlesung wurde das nebenstehende Unglück besprochen: Der Kranwagen ist beim Versuch, das Auto aus dem
Wasser zu bergen ebenfalls in das Wasser gekippt.
Um die Situation analysieren zu können machen wir ein
schematisches Modell der Situation (siehe Skizze). Der
Kranwagen hat die Gesamtmasse mK = 7 t, wobei sein
Hebearm die Masse mH = 1 t hat, und das Auto hat die
Masse mA = 1.5 t. Der Abstand zwischen der Stütze und
dem Mittelpunkt des Kranwagens beträgt d = 2 m, und der
Hebearm kann auf eine Länge x ausgefahren werden.
1. Bis auf welche Länge x kann der Arm ausgefahren
werden, bevor der Kranwagen kippen wird?
2. Überlegen Sie sich Gründe, weshalb der Kran umgekippt ist obwohl er das Auto vollständig aus dem
Wasser heben konnte. Spekulationen sind willkommen...
x
mH
mK
mA
d