Logik für Informatiker 1. Grundlegende Beweisstrategien

Logik für Informatiker
1. Grundlegende Beweisstrategien
Viorica Sofronie-Stokkermans
Universität Koblenz-Landau
e-mail: [email protected]
1
Mathematisches Beweisen
Mathematische Aussagen
- haben oft die Form: Wenn A, dann B.
- als Formel: A → B
Mathematischer Beweis
- bzgl. eines vorgegebenen Axiomensystems
- mit Hilfe von Inferenzregeln
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Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen der Form A → B (Wenn A, dann B)
- Direkter Beweis:
Annahme: A gilt. Benutze A, Axiome, und Inferenzregeln
um B zu beweisen.
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Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen der Form A → B (Wenn A, dann B)
- Direkter Beweis:
Annahme: A gilt. Benutze A, Axiome, und Inferenzregeln
um B zu beweisen.
Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist stets ungerade.
n ungerade → n2 ungerade.
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Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen der Form A → B (Wenn A, dann B)
- Direkter Beweis:
Annahme: A gilt. Benutze A, Axiome, und Inferenzregeln
um B zu beweisen.
Behauptung: Das Quadrat einer ungeraden natürlichen Zahl n ist stets ungerade.
Beweis: Es sei n eine ungerade natürliche Zahl. Dann lässt sich n darstellen als
n = 2k + 1, wobei k eine natürliche Zahl oder Null ist. Daraus folgt mit Hilfe der
ersten binomischen Formel
n2 = (2k + 1)2 = 4k 2 + 4k + 1 = 2 · (2k 2 + 2k) + 1.
Aus der Möglichkeit, n2 so darzustellen folgt, dass n2 ungerade ist.
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Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen der Form A → B (Wenn A, dann B)
- Beweis durch Kontraposition:
Beweis von ¬B → ¬A.
- Beweis durch Widerspruch:
Beweise dass A ∧ ¬B → falsch
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Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen der Form A → B (Wenn A, dann B)
- Beweis durch Kontraposition:
Beweis von ¬B → ¬A.
- Beweis durch Widerspruch:
Beweise dass A ∧ ¬B → falsch
Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n eine natürliche
Zahl, so ist diese gerade.
n gerade und
√
n = k ∈ N → k gerade
Beweis durch Kontraposition: Zu zeigen:
√
n = k ∈ N und k ungerade → n ungerade.
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Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen der Form A → B (Wenn A, dann B)
- Beweis durch Kontraposition:
Beweis von ¬B → ¬A.
- Beweis durch Widerspruch:
Beweise dass A ∧ ¬B → falsch
Behauptung: Ist die Wurzel aus einer geraden natürlichen Zahl n eine natürliche
Zahl, so ist diese gerade.
√
Beweis: Angenommen, n = k wäre ungerade. Dann ist wegen der bereits bewiesenen Behauptung auch k 2 = n ungerade, und das ist ein Widerspruch zu der
Voraussetzung, dass n gerade ist.
√
Also ist die getroffene Annahme falsch, d.h., n ist gerade.
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Grundlegende Beweisstrategien
Mathematische Aussagen, die nicht die Form A → B haben
- Äquivalenzbeweis (A ⇔ B) (A genau dann, wenn B)
Beweise dass A → B und dass B → A.
(Wenn A, dann B, und wenn B, dann A.)
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Grundlegende Beweisstrategien
- Beweis durch Fallunterscheidung
Um B zu beweisen, beweise dass A1 → B, . . . , An → B,
wobei A1 ∨ · · · ∨ An ≡ wahr
10
Grundlegende Beweisstrategien
- Beweis durch Fallunterscheidung
Um B zu beweisen, beweise dass A1 → B, . . . , An → B,
wobei A1 ∨ · · · ∨ An ≡ wahr
Behauptung: Jede Primzahl p≥3 hat die Form p = 4·k±1 mit einer natürlichen Zahl k.
Beweis: Man unterscheidet folgende vier Fälle für die Zahl p, von denen immer genau
einer eintritt:
1.
2.
3.
4.
p
p
p
p
=
=
=
=
4k
4k + 1
4k + 2
4k + 3 = 4(k + 1) − 1
Im ersten dieser Fälle ist p durch 4 teilbar und damit keine Primzahl, im dritten Fall ist p
durch 2 teilbar und somit ebenfalls keine Primzahl.
Also muss einer der Fälle zwei oder vier eintreten, das heißt p hat die Form p = 4 · k ± 1
mit einer natürlichen Zahl k.
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Grundlegende Beweisstrategien
- Beweis durch Fallunterscheidung
Um B zu beweisen, beweise dass A1 → B, . . . , An → B,
wobei A1 ∨ · · · ∨ An ≡ wahr
Es sei angemerkt, dass die Fallunterscheidung zwar vollständig sein
muss, aber die untersuchten Fälle sich nicht gegenseitig ausschließen
müssen.
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Grundlegende Beweisstrategien
Aussagen mit Quantoren
A
x ∈ U : (p(x) → q(x))
A
Wähle a beliebig aus U.
Beweis der Implikation p(a) → q(a).
Da a beliebig gewählt werden kann, folgt
x ∈ U : p(x) → q(x)
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Grundlegende Beweisstrategien
Aussagen mit Quantoren
A
x ∈ U : (p(x) → q(x))
A
Behauptung:
n ∈ N : (n ist gerade und
|
√
A
Wähle a beliebig aus U.
Beweis der Implikation p(a) → q(a).
Da a beliebig gewählt werden kann, folgt
x ∈ U : p(x) → q(x)
√
n ist eine natürliche Zahl → n ist gerade).
{z
}
{z
}
|
p(n)
Beweis: Sei n beliebig aus N. Wir zeigen, dass wenn n gerade ist und
√
Zahl ist, dann n gerade ist (das wurde auf Seite 6 bewiesen).
q(n)
√
n eine natürliche
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Grundlegende Beweisstrategien
Aussagen mit Quantoren
E
x (p(x) → q(x))
Sei a ein geeignetes Element aus U.
Beweis der Implikation p(a) → q(a).
Damit folgt x ∈ U : p(x) → q(x).
E
E A
x y A(x, y )
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Grundlegende Beweisstrategien
Beweise mittels Vollständiger Induktion
16
Induktion
Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik
17
Induktion
Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik
Einfache Version
Induktion über die natürlichen Zahlen N
(natural induction)
18
Induktion
Wesentliches Beweisprinzip in Mathematik und Logik
Einfache Version
Induktion über die natürlichen Zahlen N
(natural induction)
Generalization
Noethersche Induktion
(noetherian induction/
induction over well-founded partially ordered sets)
19
Emmy Noether
Geboren 1882 in Erlangen
Gestorben 1934 in Princeton (USA)
Mitbegründerin der modernen Algebra
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Emmy Noether
Geboren 1882 in Erlangen
Gestorben 1934 in Princeton (USA)
Mitbegründerin der modernen Algebra
Allgemein heißt eine geordnete algebraische Struktur
noethersch, wenn es in ihr keine unendlich absteigenden
Ketten gibt.
21
Induktion über die natürlichen Zahlen
Idee: Definition der natürlichen Zahlen
(A1)
0 ist eine natürliche Zahl
(A2)
Jede natürliche Zahl n hat einen Nachfolger S(n)
(A3)
Aus S(n) = S(m) folgt n = m
(A4)
0 ist nicht Nachfolger einer natürlichen Zahl
(A5)
Jede Menge X , die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n
auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle
natürlichen Zahlen.
22
Induktion über die natürlichen Zahlen
Jede Menge X , die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n
auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle
natürlichen Zahlen.
Falls
0 ∈ X , und
n ∈N:n ∈X →n+1∈X
so
A
X Menge:
A
A
(A5)
n∈N:n∈X
23
Induktion über die natürlichen Zahlen
(A5)
Jede Menge X , die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n
auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle
natürlichen Zahlen.
A
X Menge:
Falls
0 ∈ X , und
A
n ∈N:n ∈X →n+1∈X
A
so
n∈N:n∈X
Induktionssatz
Gelten die beiden Aussagen:
- p(0) und
- n ∈ N : p(n) → p(n + 1),
dann gilt auch n ∈ N : p(n).
A
A
24
Induktion über die natürlichen Zahlen
(A5)
Jede Menge X , die 0 und mit jeder natürlichen Zahl n
auch deren Nachfolger S(n) enthält, umfasst alle
natürlichen Zahlen.
A
X Menge:
Falls
0 ∈ X , und
A
n ∈N:n ∈X →n+1∈X
A
so
n∈N:n∈X
Induktionssatz
Gelten die beiden Aussagen:
- p(0) und
- n ∈ N : p(n) → p(n + 1),
dann gilt auch n ∈ N : p(n).
Induktionsbasis
Induktionsschritt
A
A
25
Induktion über die natürlichen Zahlen
Struktur eines Induktionsbeweises
(1)
Induktionsbasis:
Beweise p(0)
(2)
Induktionsschritt:
Beweise p(n) → p(n + 1)
für ein beliebiges n ∈ N
26
Induktion über die natürlichen Zahlen
Struktur eines Induktionsbeweises
(1)
Induktionsbasis:
Beweise p(0)
(2)
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebig gewähltes
n ∈ N gilt p(n)
(3)
Induktionsschluss:
Folgere p(n + 1) aus der
Induktionsvoraussetzung p(n)
27
Beispiel
Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n2 .
n−1
X
(2i + 1) = n2 .
Für alle n ∈ N,
i=0
28
Beispiel
Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n2 .
n−1
X
n−1
X
(2i + 1) = n2 .
Für alle n ∈ N,
2
(2i
+
1)
=
n
p(n)
:
i=0
i=0
(1)
Induktionsbasis:
Beweise p(0)
n = 0: 0 = 02
29
Beispiel
Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n2 .
n−1
X
n−1
X
(2i + 1) = n2 .
Für alle n ∈ N,
2
(2i
+
1)
=
n
p(n)
:
i=0
i=0
(1)
Induktionsbasis:
Beweise p(0) OK
(2)
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebig gewähltes
n−1
X
(2i + 1) = n2
n ∈ N gilt p(n):
i=0
30
Beispiel
Behauptung: Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist n2 .
n−1
X
n−1
X
(2i + 1) = n2 .
Für alle n ∈ N,
(2i + 1) = n2
p(n) :
i=0
i=0
(1)
Induktionsbasis:
Beweise p(0) OK
(2)
Induktionsvoraussetzung:
Für ein beliebig gewähltes
n−1
X
(2i + 1) = n2
n ∈ N gilt p(n):
i=0
(3)
Induktionsschluss:
Folgere p(n + 1) aus p(n)
n
X
(2i + 1) = (n + 1)2 .
p(n + 1) :
i=0
Beweis:
n
X
i=0
n−1
X
p(n) 2
2
(2i + 1)) + (2n + 1) = n + (2n + 1) = (n + 1) .
(2i + 1) = (
i=0
31
Verallgemeinerte vollständige Induktion
Verallgemeinerte vollständige Induktion
Gelten die beiden Aussagen:
p(0)
und
n ∈ N : p(0) ∧ p(1) ∧ · · · ∧ p(n) → p(n + 1)
A
A
dann gilt die Aussage
n ∈ N : p(n).
32
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
Verallgemeinerte vollständige Induktion
Gelten die beiden Aussagen:
p(0)
und
n ∈ N : p(0) ∧ p(1) ∧ · · · ∧ p(n) → p(n + 1)
A
A
dann gilt die Aussage
n ∈ N : p(n).
Äquivalent
Gelten die beiden Aussagen:
p(0)
und
n ∈ N : ( k ∈ N : (k < n + 1 → p(k)) → p(n + 1))
A
A
A
dann gilt die Aussage
n ∈ N : p(n).
33
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
Verallgemeinerte vollständige Induktion
Gelten die beiden Aussagen:
p(0)
und
n ∈ N : p(0) ∧ p(1) ∧ · · · ∧ p(n) → p(n + 1)
A
A
dann gilt die Aussage
n ∈ N : p(n).
Äquivalent
Gilt die Aussage:
A
A
n ∈ N : ( k ∈ N : (k < n → p(k)) → p(n))
A
dann gilt die Aussage
n ∈ N : p(n).
34
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
A
Theorem:
Falls
A
n ∈ N : ( k ∈ N : (k < n → p(k)) → p(n))
A
n ∈ N : p(n)
dann gilt
P
Q
Beweis: Zu zeigen: P → Q
Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass ¬Q → ¬P
E
A
Annahme: ¬Q := ¬( n ∈ N : p(n)) ≡ n ∈ N : ¬p(n).
> wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge
x1 , . . . , xn , . . . mit x1 > x2 > · · · > xn > . . . .
Sei Y = {n ∈ N | ¬p(n)} 6= ∅. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h.
m(m ∈ Y ∧ ( k ∈ N : (k < m → k 6∈ Y ))) = ¬P.
A
35
E
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
A
Theorem:
Falls
A
n ∈ N : ( k ∈ N : (k < n → p(k)) → p(n))
A
n ∈ N : p(n)
dann gilt
P
Q
Beweis: Zu zeigen: P → Q
Kontrapositionsbeweis: Wir zeigen, dass ¬Q → ¬P
E
A
Annahme: ¬Q := ¬( n ∈ N : p(n)) ≡ n ∈ N : ¬p(n).
> wohlfundierte Ordnung auf N: es gibt keine unendliche Folge
x1 , . . . , xn , . . . mit x1 > x2 > · · · > xn > . . . .
Sei Y = {n ∈ N | ¬p(n)} 6= ∅. Dann hat Y ein minimales Element m, d.h.
m(m ∈ Y ∧ ( k ∈ N : (k < m → k 6∈ Y ))) = ¬P.
A
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E
Wohlfundierte (Noethersche) Induktion
A
n ∈ N : ( k ∈ N : (k < n → p(k)) → p(n))
A
dann gilt
A
Theorem:
Falls
n ∈ N : p(n)
P
Q
Verallgemeinerung
- beliebige Menge A statt N
- < “partielle” Ordnung auf A
- < wohlfundiert (es gibt keine unendliche Folge x1 , . . . , xn , . . . mit
x1 > x2 > · · · > x n > . . . )
37
Binäre Relationen
Definition:
Eine binäre Relation R über einer Menge A ist eine Teilmenge von A × A.
R binäre Relation: R ⊆ A × A.
Statt (x, y ) ∈ R schreiben wir: R(x, y ) oder xRy .
38
Partielle Ordnungen
Definition:
Eine binäre Relation R über einer Menge A ist eine partielle Ordnung gdw.
•
R ist reflexiv:
A
•
R ist transitiv:
A
•
R ist antisymmetrisch
A
x ∈ A(xRx)
x, y , z ∈ A(xRy ∧ yRz → xRz)
x, y ∈ A(xRy ∧ yRx → x = y )
39
Partielle Ordnungen
Definition:
Eine binäre Relation R über einer Menge A ist eine partielle Ordnung gdw.
•
R ist reflexiv:
A
•
R ist transitiv:
A
•
R ist antisymmetrisch
A
x ∈ A(xRx)
x, y , z ∈ A(xRy ∧ yRz → xRz)
x, y ∈ A(xRy ∧ yRx → x = y )
Dann heißt (A, R) eine partiell geordnete Menge
40
Partielle Ordnungen
Definition:
Eine binäre Relation R über einer Menge A ist eine partielle Ordnung gdw.
•
R ist reflexiv:
A
•
R ist transitiv:
A
•
R ist antisymmetrisch
A
x ∈ A(xRx)
x, y , z ∈ A(xRy ∧ yRz → xRz)
x, y ∈ A(xRy ∧ yRx → x = y )
Beispiele:
• (N, ≤)
• (A, R), wobei
A = {0, a, b, 1} und
R = {(0, 0), (0, a), (0, 1), (a, a), (a, 1), (b, b), (b, 1), (1, 1)}
R partielle Ordnung: a und b in R unvergleichbar.
41
Totale Ordnungen
Definition: Sei (A, R) eine partiell geordnete Menge.
R ist eine totale Ordnung gdw. R(x, y ) oder R(y , x) für alle x, y ∈ A.
42
Minimum
Definition: Sei (A, R) eine partiell geordnete Menge.
Sei A′ ⊆ A, und m ∈ A′ .
m ist ein Minimales Element von A′ , gdw.: es gibt kein x ∈ A′ mit
x ≤ m, x 6= m.
43
Minimum
Definition: Sei (A, R) eine partiell geordnete Menge.
Sei A′ ⊆ A, und m ∈ A′ .
m ist ein Minimales Element von A′ , gdw.: es gibt kein x ∈ A′ mit
x ≤ m, x 6= m.
Beispiele:
• (N, ≤). Sei A′ = {3, 5, 7, 9} ⊆ N.
3 ist ein Minimales Element von A′ .
• Sei (A, R) wobei
A = {a, b, c, d} und
R = {(a, a), (a, b), (c, c), (c, b), (c, d), (e, e), (e, d), (b, b), (d, d)}
Sei A′ = {a, b, c} ⊆ A.
A′ hat zwei minimale Elemente: a und c.
44
Wohlfundierte partielle Ordnungen
Sei (A, ≤) eine partiell geordnete Menge.
Definition: x < y gdw.: (x ≤ y und x 6= y )
(für x, y ∈ A)
45
Wohlfundierte partielle Ordnungen
Sei (A, ≤) eine partiell geordnete Menge.
Definition: x < y gdw.: (x ≤ y und x 6= y )
(für x, y ∈ A)
Definition (Noethersch / wohlfundiert)
(A, ≤) heißt noethersch (oder wohlfundiert) gdw.:
Es gibt keine unendlich absteigende Kette in A, das heißt:
Es gibt keine unendliche Folge (xi )i∈N , mit
• xi ∈ A für alle i ∈ N und
• xi+1 < xi für alle i ∈ N.
46
Wohlfundierte partielle Ordnungen
Sei (A, ≤) eine partiell geordnete Menge.
Definition:
x < y gdw.: (x ≤ y und x 6= y )
(für x, y ∈ A)
Definition (Noethersch / wohlfundiert)
(A, ≤) heißt noethersch (oder wohlfundiert) gdw.:
Es gibt keine unendlich absteigende Kette in A, das heißt:
Es gibt keine unendliche Folge (xi )i∈N , mit
• xi ∈ A für alle i ∈ N und
• xi+1 < xi für alle i ∈ N.
(Unendlich aufsteigende Ketten sind zulässig)
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Beispiele
(N, ≤) is wohlfundiert
(Z, ≤) ist nicht wohlfundiert
(0 ∪ { n1 | n ∈ N}, ≤) ist nicht wohlfundiert
(R, ≤) ist nicht wohlfundiert
48
Wohlfundierte partielle Ordnungen
Lemma.
(A, ≤) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von
A hat (mindestens) ein Minimales Element.
49
Wohlfundierte partielle Ordnungen
Lemma.
(A, ≤) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von
A hat (mindestens) ein Minimales Element.
Beweis: “→”
Statt P → Q, beweisen wir ¬Q → ¬P.
Sei A′ ⊆ A nicht-leere Teilmenge von A, die kein minimales Element
enthält. Sei x1 ∈ A′ . Da x1 nicht minimal ist, gibt es x2 ∈ A′ mit x2 < x1 .
Da x2 nicht minimal ist, gibt es x3 ∈ A′ mit x3 < x2 < x1 . Wir können
deswegen eine unendliche absteigende Kette von Elementen aus A bilden,
d.h. A ist nicht noethersch.
50
Wohlfundierte partielle Ordnungen
Lemma.
(A, ≤) ist noethersch (wohlfundiert) gdw.: jede nicht-leere Teilmenge von
A hat (mindestens) ein Minimales Element.
Beweis: “←”
Statt P → Q, beweisen wir wieder ¬Q → ¬P.
Annahme: (A, ≤) ist nicht noethersch,
d.h. es gibt eine unendliche Folge (xi )i∈N , mit
• xi ∈ A für alle i ∈ N und
• xi+1 < xi für alle i ∈ N.
Sei A′ = {xi | i ∈ N}.
Wir zeigen, dass A′ keinen minimalen Element hat: Sei a ∈ A′ . Dann a = xi
für einen i ∈ N. Dann ist xi+1 < a; deshalb kann a nicht minimal sein.
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