Entwicklung Protostellarer und Protoplanetarer

Entwicklung Protostellarer und Protoplanetarer
Akkretionsscheiben
Diplomarbeit
Ileane V. Hinz
geboren am 28.06.1984 in Kiel
November 2008
1
Inhaltsverzeichnis
1
Einleitung
3
2
Theoretischer und phänomenologischer Hintergrund
5
2.1
4
5
2.1.1
Allgemein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.1.2
Grundgleichungen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
2.1.3
Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
2.1.4
Selbstgravitation
14
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Protoplanetare Akkretionsscheiben
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14
2.3
Planetenentstehung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
17
2.3.1
Gravitative Instabilität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
18
2.3.2
Kern-Akkretions-Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
19
2.3.3
Hill-Radius
20
2.3.4
Migration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4
3
Akkretionsscheiben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitskalen
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1
Entstehung des Protosterns und seiner zirkumstellaren Akkretionsscheibe
2.4.2
Planetenbildung
2.4.3
Zeitliche Begrenzung der Planetenbildung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Simulation
20
22
22
23
23
25
3.1
Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
25
3.2
Numerische Umsetzung
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
3.3
Parameterwahl
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
27
Simulationsreihen und Ergebnisse
29
4.1
Erste Simulation
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
4.2
Numerische Eekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
4.3
Physikalische Eekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3.1
Viskosität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
39
4.3.2
Äuÿerer und Innerer Scheibenradius
4.3.3
Scheibenmasse
4.3.4
Zentralmasse
4.3.5
4.4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
49
Anfängliches Massenverhältnis bei gleicher Gesamtmasse . . . . . . . . . .
52
Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61
Literatur
63
Anhang
65
Danksagung
77
2
1
Einleitung
Die drei ältesten Fragen der Menschheit sind noch immer nicht beantwortet: Warum sind wir
hier? Wie sind wir hier her gekommen? Sind wir einzigartig?
Die Antwort auf die erste Frage wird vermutlich noch einige Zeit auf sich warten lassen. Für die
Antwort auf die zweite und dritte Frage gibt es bereits wissenschaftliche Ansätze. In der Biologie
wird im Hinblick auf die zweite Frage untersucht, unter welchen Bedingungen und auf welche
Weise Leben entsteht und sich weiterentwickelt. In der Astronomie und Astrophysik schlieÿlich
wird untersucht, ob es noch andere Planeten gibt, auf denen diese Bedingungen herrschen, oder
ob andere Planetensysteme dem unseren in keiner Weise ähneln und das Leben hier ein reines
Zufallsprodukt ist.
Natürlich ist dabei auch interessant, wie und wo diese Planetensysteme entstehen, da dies
Aufschluss darüber gibt, wie unser eigener Planet entstanden sein mag. Die Beobachtungszeit,
die den Wissenschaftlern zur Entdeckung und Untersuchung weiterer Planetensysteme zur Verfügung steht, ist sehr begrenzt, zumal für die Beobachtung solch kleiner und lichtschwacher
Objekte äuÿerst hohe Auösungen erforderlich sind. Die Natur der Zentralsterne der jeweiligen
Planetensysteme ist den Untersuchungen wesentlich zugänglicher. Unter diesen Umständen wäre
es von Vorteil, zu wissen, bei welcher Art von Sternen sich das Suchen nach Planeten überhaupt
lohnt.
In Sternentstehungsgebieten, wie beispielsweise dem Orionnebel, werden häug um sehr junge
Sterne rotierende scheibenartige Gas- und Staubansammlungen - die protostellaren Scheiben
- beobachtet, aus welchen nach heutiger Vorstellung Planetensysteme entstehen können und
welche daher auch als protoplanetare Scheiben bezeichnet werden. Es wird davon ausgegangen,
dass diese Scheiben zusammen mit ihren Zentralsternen entstehen und sich anschlieÿend wieder
sehr schnell auösen, so dass sie folglich nur in Gebieten junger und neu entstehender Sterne
zu nden sind. Es stellt sich nun die Frage, welche Eigenschaften diese jungen Sterne besitzen
müssen, damit sich in ihrer Scheibe Planeten ausbilden können. Auf diese Eigenschaften kann
sich dann vorläug bei der Suche nach Planetensystemen beschränkt werden.
In dieser Arbeit wird der Einuss der Sternmasse auf die Planetenbildung untersucht. Mit Hilfe
numerischer Rechnungen wird das Planetenwachstum in sich zeitlich entwickelnden protostellaren
Scheiben simuliert und seine Abhängigkeit von den Anfangsbedingungen betrachtet. In einigen
bisher veröentlichten Simulationen des Planetenwachstums werden die Oberächendichten der
Scheiben als zeitlich konstant oder nur leicht veränderlich angenommen. Wie sich in dieser Arbeit
zeigt, ist der Einuss der zeitlichen Entwicklung der Scheibe, welche durch ihre Akkretion auf
den Stern bestimmt wird, auf das in ihr ablaufende Wachstum von möglichen Planeten jedoch
nicht unerheblich.
3
4
2
Theoretischer und phänomenologischer Hintergrund
In diesem Abschnitt wird eine Einführung in die Grundbegrie und eine Erläuterung der Mechanismen gegeben, welche bei der Betrachtung von Akkretionsscheiben (Kap. 2.1, 2.2) und Planetenentstehung (Kap. 2.3, 2.4) zum tragen kommen.
2.1 Akkretionsscheiben
Als Akkretionsscheiben (lat.: accretio = Zunahme) werden Materiescheiben bezeichnet, welche
dierentiell um ein Zentralobjekt beliebiger Natur rotieren und in welchen ein Materieuss in
radialer Richtung, auf das Zentrum zu, existiert. In diesem Abschnitt werden nun einige Eigenschaften der Akkretionsscheiben beschrieben: In welchen Zusammenhängen sie zu nden sind
(Kap. 2.1.1), wie man sie mathematisch betrachten kann (Kap. 2.1.2) und welche physikalischen
Eekte bei ihrer Entwicklung eine Rolle spielen (Kap. 2.1.3, 2.1.4).
2.1.1
Allgemein
In einer Akkretionsscheibe ndet ein nach innen gerichteter Massentransport bei gleichzeitigem
nach auÿen gerichteten Drehimpulstransport statt. Die Quelle der elektromagnetischen Abstrahlung einer Akkretionsscheibe ist die freiwerdende Gravitationsenergie. Die Leuchtkraft wächst
mit zunehmendem Massenuss und mit massereicheren oder kompakteren Zentralobjekten.
Die Entstehung einer Akkretionsscheibe geht einher mit der Entstehung des Zentralobjektes in
einer interstellaren Gas- und Staubwolke. Dabei formt sich durch die Zusammenarbeit von Gravitation, Turbulenzen und Drehimpulserhaltung eine Scheibenstruktur, deren Eigenschaften von
der Natur ihrer Herkunftswolke sowie ihres Zentralobjektes abhängen. Der innere Radius
si
der
Scheibe beispielsweise, also die kleinstmögliche stabile Umlaufbahn um das Zentralobjekt, ist im
Falle eines akkretierenden Sterns im Zentrum gleich dessen Radius
ein Schwarzes Loch (Black Hole) der Masse
R? . Bendet sich im Zentrum
MBH , so ist zumindest in der Schwarzschildmetrik die
RBH ,
innerste stabile Bahn für ein Testteilchen erst beim Dreifachen des Schwarzschild-Radius
also des Radius des Ereignishorizontes, des Schwarzen Lochs zu nden:
(
si =
Hierbei ist
R?
, Zentralstern
6GMBH
3 · RBH =
c2
, zentrales Schwarzes Loch
3
G ≈ 6, 668 · 10−8 cm
g s2
die Gravitationskonstante und
.
c ≈ 2.99793 · 1010 cm
s
die Licht-
geschwindigkeit im Vakuum. Der Schwarzschild-Radius ist deniert als derjenige Abstand zum
Zentrum eines Schwarzen Lochs, bei dem die Fluchtgeschwindigkeit eines Testteilchens gleich der
Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist.
Scheibenartige Strukturen aus Gas und Staub ndet man in den unterschiedlichsten Zusammenhängen im Universum. Zum Einen ndet man in galaktischen Zentren Akkretionsscheiben
(Abb. 1), welche das Zentralobjekt mit Materie versorgen, zum Anderen weisen auch viele Galaxien im Ganzen Scheibenform auf, so zum Beispiel die Sombrero-Galaxie M104 im Sternbild
Jungfrau (Abb. 2).
5
Zentralbereich der Galaxie NGC 4261 im
Sternbild Virgo; Quelle: [31]
Sombrero-Galaxie M104 im Sternbild Virgo
(Hubble Space Telescope); Quelle: [32]
Abb. 1:
Abb. 2:
Betrachten wir Systeme, deren Ausdehnungen ca. 7-8 Gröÿenordnungen unterhalb derer der
Galaxien liegen, so treen wir auch in engen Doppelsternsystemen auf Akkretionsscheiben. Um
eine der beiden Komponenten des jeweiligen Systems rotiert eine Scheibe, die aus von der anderen
Komponente einströmender Materie besteht (Abb. 3).
(a) Röntgenaufnahme (NASA Chandra telescope) sowie (b) Illustration des Doppelsternsystems Mira (Omicron
Ceti). Quellen: [33], [34]
Abb. 3:
Bei diesem sogenannten halbgetrennten System hat die Ausdehnung der einen Komponente
die sogenannte Roche-Grenze erreicht und es kann Materie dieser Komponente über den inneren
Lagrange-Punkt zur anderen Komponente strömen. Hierbei verfehlt sie durch ihren Bahndrehimpuls bezüglich des akkretierenden Sterns ihr Ziel und landet nicht auf der Oberäche, sondern
auf einer Umlaufbahn und es entsteht eine Akkretionsscheibe. Um die jungen T-Tauri-Sterne
(massearme Protosterne) in Sternentstehungsgebieten, wie beispielsweise dem Orionnebel, ndet
man ebenfalls Scheiben, welche protostellare oder protoplanetare Akkretionsscheiben genannt
werden, da angenommen wird, dass dort aktuell Planetenbildung stattndet (Abb. 4).
6
Abb. 4:
Orionnebel mit deutlich sichtbaren Scheiben um die jüngst entstandenen Sterne. Quellen: [35], [36], [37]
Allgemein werden Akkretionsscheiben um Sterne als zirkumstellare Akkretionsscheiben bezeichnet. Letztendlich ndet man auch auf kleinster Skala um Planeten herum ausgedehnte
Ringsysteme und in nahezu der selben Ebene natürliche Satelliten (Monde) (Abb. 5).
7
Abb. 5:
2.1.2
(a) Saturn und (b) Uranus mit deutlich erkennbaren Ringsystemen und Planeten. Quellen: [38], [39], [40]
Grundgleichungen
Für die Behandlung scheibenförmiger Systeme bietet sich das zylindrische Koordinatensystem
{s, z, ϕ}
an, wobei die
achse und
ϕ
z -Achse
die Rotationsachse,
s
der Abstand eines Punktes zur Rotations-
der Azimutalwinkel ist (Abb. 6). Im Folgenden wird Rotationssymmetrie angenom-
men, so dass nur noch
s
und
z
und der sich daraus ergebende sphärische Radius
r=
√
s2 + z 2
eine Rolle spielen.
Abb. 6:
Auf Scheiben angewandtes zylindrisches Koordinatensystem.
Die vertikale Struktur der Scheiben wird vorerst vernachlässigt. In dem Fall ist es nützlich,
die sogenannte (Ober-)Flächendichte
Σ
zu denieren. Sie gibt die Gesamtmasse in einer Säule
unendlicher Höhe über einer Einheitsgrundäche an, also die in vertikaler Richtung integrierte
8
Volumendichte
ρ:
Z∞
Σ(s) =
ρ(s, z)dz .
−∞
ˆ Massenerhaltung:
Es werden nun geometrisch dünne Akkretionsscheiben (h(s)
s)
betrachtet. Wird angenom-
men, dass der Massentransport nur in radialer Richtung stattnden kann, also keine Materie aus
vertikaler Richtung ein- oder abströmt, lässt sich eine einfache Kontinuitätsgleichung aufstellen. Dazu betrachtet man die s-ϕ-Ebene einer Akkretionsscheibe, wie sie in Abb. 7 schematisch
dargestellt ist.
s-ϕ-Ebene einer Akkretionsscheibe. Der Ausschnitt zeigt einen Ring der Breite ∆s beim Radius s. Die Materie
ieÿt mit den Radialgeschwindigkeiten vs (s) und vs (s + ∆s) in den Ring hinein bzw. aus ihm heraus, je nach Vorzeichen
von vs .
Abb. 7:
Die Masse
∆M
zwischen
∆M (s, t)
=
∆ss
≈
s
und
∆s
ergibt sich mit den in Abb. 7 verwendeten Bezeichnungen zu
Σ(s, t) (s + ∆s)2 π − s2 π = Σ(s, t)π s2 + 2s∆s + (∆s)2 − s2
2π s ∆s Σ(s, t) .
Am inneren Rand des Rings ist die Massenänderung
δM
innerhalb einer kurzen Zeit
δt
δM (s, t) = vs (s, t) · 2πs · Σ(s, t) · δt
und entsprechend am äuÿeren Rand des Rings
δM (s + ∆s, t)
=
∆ss
≈
vs (s + ∆s, t) · 2π(s + ∆s) · Σ(s + ∆s, t) · δt
∂
vs (s, t) · 2πs · Σ(s, t) + ∆s vs (s, t) · 2πs · Σ(s, t) · δt ,
∂s
9
f (x+∆x) ≈ f (x)+∆x(∂f (x)/∂x) für [∆x x] verwendet wurde.
des Rings innerhalb der Zeit δt ist also gegeben durch
wobei die Taylor-Entwicklung
Die Netto-Massenänderung
δM (s, t) − δM (s + ∆s, t)
δt
∂
= −2π ∆s (vs (s, t)sΣ(s, t)) .
∂s
δ(∆M )
δ
= (2π s ∆s Σ(s, t)) =
δt
δt
Die doppelt unterstrichenen Terme liefern im Grenzwert
δt → 0
die Kontinuitätsgleichung:
∂Σ
1 ∂
=−
(svs Σ) .
∂t
s ∂s
(1)
ˆ Drehimpulserhaltung:
Die Herleitung der Gleichung für die Drehimpulserhaltung geschieht nicht vollständig analog
1
zur Herleitung des Massenerhalts und soll im folgenden kurz dargestellt werden . Man berechne die Massen, die Drehimpulse und die Energien folgender Situation: Betrachtet werden zwei
benachbarte Ringe einer Akkretionsscheibe (der blaue und der dunkelgraue Ring in Abb. 8).
Abb. 8:
s-ϕ-Ebene einer Akkretionsscheibe zur Herleitung der Drehimpulstransportgleichung.
Der Ausdruck für
vϕ (s)
sei bekannt und es gelte
d(vϕ /s)/ds = dω/ds 6= 0,
d.h. starre Ro-
tation sei ausgeschlossen. Es existiere kein Netto-Massenuss durch die Scheibe, sondern nur
stochastische Bewegungen durch Brown'sche Bewegung oder Turbulenzen. Man betrachte zwei
1
Die Berechnungen der Drehimpulse erfolgen hier nach Subramanian, Pujari & Becker (2004) [24]. In besagtem
Artikel werden ergänzend die Unzulänglichkeiten der meisten anderen in der Literatur zu ndenden Herleitungen
diskutiert.
10
sA
Teilchen A und B bei den Radien
und
sB > sA
sB − sA = l sA , sB .
mit
Im folgenden
interessiert nur die Radialkomponente ihrer Bewegung, welche einer Oszillation um die Radi-
sB mit der Amplitude l entspreche. Nun wird der Netto-Drehimpulstransport beim
s0 = (sA + sB )/2 berechnet. Das Teilchen A oszilliert mit dieser Denition zwischen
smin,A = s0 − 3l/2 und smax,A = s0 + l/2, sowie Teilchen B zwischen smin,B = s0 − l/2 und
smax,A = s0 + 3l/2. Die Radialgeschwindigkeiten der Teilchen verschwinden naturgemäÿ an ihren jeweiligen Umkehrpunkten. Obwohl Teilchen die Grenzäche bei s0 passieren, bleibt nach
en
sA
bzw.
Radius
Voraussetzung ein Netto-Massenuss aus. Darüber hinaus wird gefordert, dass die jeweiligen spezischen Energien und Drehimpulse der Teilchen erhalten bleiben. Mit anderen Worten:
mit der (radialen) mittleren freien Weglänge der Teilchen zusammen. Wenn
Energie und
j=
s2 ω der spezische Drehimpuls ist, so ist mit
e(s) = ekin (s) + epot (s) =
ω=
q
e
l
hängt
die spezische
GM
s3
1 GM
GM
1 j 2 GM
−
−
=
.
2 s
s
2 s2
s
Die Erhaltung der spezischen Drehimpulse und Energien setzt voraus, dass
e(smin ) = e(smax ) =
1 j2
1 j2
GM
GM
=
.
−
−
2
2
2 smin
smin
2 smax smax
Aufgelöst nach dem spezischen Drehimpuls ergibt sich:
j=
2GM smin smax
smin + smax
1
2
.
Damit können nun die Ausdrücke für die Drehimpulse an den Punkten A und B hergeleitet
werden:
Mit
l s0
j
√ A
=
GM s0
j
√ B
=
GM s0
l
1+
2s0
1 l
1−
2s0
1 2
2
3l
1−
2s0
1 3l
1+
2s0
1 2
2
l
1−
2s0
− 1
l
1+
2s0
− 1
2
,
2
.
und Vernachlässigung aller Terme, die nicht mindestens linear in
jA = (GM s0 )
1
2
1
l
1−
4s0
l
4s0
jB = (GM s0 ) 2
1+
l
sind, erhält man
,
.
Mit Hilfe einer weiteren Taylor-Entwicklung und wieder unter Berücksichtigung nur der mindes-
ω = ωKepler :
1
1
l
l
3
l
· −
.
s20 ω s0 ±
≈ (GM s0 ) 2 1 ±
= (GM s0 ) 2 1 ∓
6
6s0
2
4s0
tens linearen Terme ergibt sich mit
11
Dies wird in die beiden vorherigen Gleichungen eingesetzt. Ist die charakteristische Geschwindigkeit der Teilchenschwingung
einem Netto-Drehimpulsuss
G
ṽ
und die Oberächendichte
durch
s0
Σ,
so sind diese Oszillationen mit
verknüpft:
l
G = 2πsΣṽ(jA − jB ) = −2πsΣṽ s20 ω 0 = −2πs3 νΣω 0 ,
3
wobei
ω0 =
∂ω
∂s und
ν = ṽl/3
die kinematische Viskosität ist. Diese Gleichung zeigt, dass in
einem realistischen Gas mit dierentieller Rotation (d.h.
Akkretions-Bewegungsanteil nicht möglich ist.
G
ω 0 6= 0)
eine Rotation ohne radialen
ist das Drehmoment, welches der äuÿere auf
den inneren Ring ausübt. Jeder Ring in der Scheibe erfährt ein solches Drehmoment von jedem
∆s = l, so ergibt sich netto
l
l Taylor
∂G
l ∂G
l ∂G
G s+
−G s−
=
≈ G(s) +
− G(s) −
l .
2
2
2 ∂s
2 ∂s
∂s
seiner benachbarten Ringe. Ist die Breite eines Ringes
Nun kann die Gleichung für die Drehimpulserhaltung aufgestellt werden:
1 ∂
1 ∂
∂ω
∂ 2
(s ωΣ) = −
(svs s2 ωΣ) +
(sνs2
Σ) .
∂t
s ∂s
s ∂s
∂s
(2)
Der erste Term auf der rechten Seite beschreibt den Drehimpulstransport durch Materieuss
und entspricht damit der rechten Seite der Kontinuitätsgleichung. Der zweite Term gibt den
Drehimpulstransport durch viskose Drehmomente wieder und ndet keine Entsprechung in der
Kontinuitätsgleichung.
ˆ Potential:
Das gravitative Potential
Φ
ist als eine Funktion der Verteilung der Massendichte
ρ
durch die
Poisson-Gleichung gegeben:
∆Φ = 4πGρ .
∆ der Laplace-Operator: ∆ X = div(grad X). In einem sphärischen System r, ϕ, θ
ist Φ = Φ(r, ϕ, θ) und ρ = ρ(r, ϕ, θ). Im einfachsten Fall entsteht das Gravitationspotential durch
Hierbei ist
einen spärisch symmetrischen Körper im Ursprung des Koordinatensystems. Dann ist nur noch
der spärische Radius
r
als Koordinate relevant und die Poisson-Gleichung lautet:
1 ∂
∆Φ = − 2
r ∂r
r
2 ∂Φ
∂r
.
Im Falle einer Scheibe, reduziert sich Poisson's Gleichung in Zylinderkoordinaten zu
1 ∂
s ∂s
wobei
s
und
z
∂Φ
s
∂s
+
∂2Φ
= 4πGρ ,
∂z 2
wie in Abb. 6 deniert sind.
12
(3)
2.1.3
Viskosität
Eine der gröÿten Unzulänglichkeiten der derzeitigen theoretischen Beschreibungen von Akkretionsscheiben ist der Mangel an detailliertem Wissen über die grundlegende Physik der Viskosität
(Zähigkeit) in einer solchen Scheibe. Die Viskosität, die aus thermischer Bewegung resultiert, ist
ziemlich gut verstanden, da sie umfangreich in Laboratorien untersucht werden konnte. Allerdings
ist diese molekulare Viskosität um viele Gröÿenordnungen zu klein, um bei astrophysikalischen
Bedingungen genügend kurze viskose Zeitskalen (τvisc
= s2 /ν
mit
s
als radiale Koordinate im
Zentralpotential) zu liefern, die nicht das Alter des Universums überschreiten. Man akzeptiert
inzwischen eine Art turbulente Viskosität als einen ezienteren Mechanismus (Tscharnuter &
Gail 2007 [27], Duschl et al. 2000 [5]), nicht zuletzt da die Reynolds-Zahl im Scheibenuss für
jede astrophysikalische Scheibe extrem hoch ist und dies allein schon sehr wahrscheinlich zu
starken Turbulenzen führt, ungeachtet der eigentlichen Instabilitäten des jeweiligen Systems.
Es herrscht noch groÿe Unsicherheit über die Art und Weise, eine solche turbulente Viskosität
sinnvoll zu beschreiben, da noch keine maÿgebende physikalische Theorie zur Turbulenz existiert.
Meist wird der sogenannte
α-Ansatz
verwendet, der von Shakura (1972,
Sunyaev (1973, [23]) eingeführt wurde. Hierbei ist die Viskosität
Skalenhöhe
h
in der Scheibe, der Schallgeschwindigkeit
cs
ν
[22])
und Shakura &
als das Produkt der Druck-
und einem Parameter
α
gegeben, der
die gesamte unbekannte Physik enthält:
ν = α h cs .
Man interpretiert dies als eine Art isotrop turbulente Viskosität
priori unbekannte) Skalenlänge und
vt
ν = νt = lt vt ,
wobei
lt
eine (a
eine (a priori unbekannte) charakteristische Geschwindig-
keit der Turbulenz ist. Die sogenannte Magnetorotations-Instabilität (MRI, auch Balbus-HawleyInstabilität), welche auf die Scherung des Magnetfeldes im dierentiell rotierenden Plasma der
Akkretionsscheibe zurückzuführen ist, ist nach weitläuger Meinung der Ursprung der Turbulenzen, welche für diese Viskosität verantwortlich sind. Allerdings ist diese Vermutung noch nicht
bestätigt und der Ursprung der Viskosität ist bisweilen unklar.
Duschl et al.(2000, [5]) haben gezeigt, dass die klassische Shakura & Sunyaev
α-Beschreibung
für den Koezienten der turbulenten Viskosität zu grundlegender physikalischer Inkonsistenz
führt, sobald die Selbstgravitation der Scheibe mit einbezogen wird. Die Autoren schlagen eine
Viskosität vor, die nur von rein mechanischen Gröÿen abhängt. Diese Annahme ist notwendig, um physikalische Unstimmigkeiten zu vermeiden und wird auÿerdem durch die Vorstellung
motiviert, dass die Turbulenz hauptsächlich durch die (quasi-)Keplersche Scherströmung in der
Akkretionsscheibe entsteht und weniger durch ihre thermische Struktur. Wie bereits dargelegt,
[17]) und Thompson et al.(1977, [25]), sollte
R = svϕ /ν Turbulenz und somit eine stetige Erhöhung der eektiven
Viskosität verursachen, bis R näherungsweise auf seinen kritischen Wert Rcrit herabgefallen ist.
Rcrit liegt typischerweise in der Gröÿenordnung 102 − 103 . Die zugehörige Viskosität ist also
unter anderem von Lynden-Bell & Pringle (1974,
die hohe Reynolds-Zahl
ν = βsvϕ ,
wobei
β = 1/R
die Bedingung
β.
1
∼ 10−3
Rcrit
bis
10−2
erfüllt.
Diese allgemeinere Parametrisierung der Viskosität, der sogenannte
β -Ansatz,
Darstellung als Grenzfall für dünne, sehr massearme Scheiben mit ein.
13
schlieÿt die
α-
2.1.4
Selbstgravitation
Bei geometrisch dünnen Akkretionsscheiben (h(s)
s) unterscheidet man zwischen NSG-, KSG-
und FSG-Scheiben, je nach dem Verhältnis von Scheiben- und Zentralmasse:
No self-gravity
Keplerian self-gravity
Full self-gravity
NSG
KSG
FSG
Mdisk M? ·
h
s
M? ·
h
s
Mdisk M?
Mdisk M?
Im NSG-Fall liefert die Masse der Scheibe einen vernachlässigbaren Beitrag zur gravitativen Beschleunigung der Materie. Der KSG-Fall existiert ausschlieÿlich für geometrisch dünne Scheiben.
Dieser Fall ist hier besonders interessant, da die Massen vieler beobachteter protostellarer und
protoplanetarer Systeme die KSG-Bedingung erfüllen. Hier wird die Keplerrotation um das Zentrum mit einem vertikalen Beschleunigungsanteil durch die lokale Massenverteilung überlagert.
Im FSG-Fall wird zusätzlich zur vertikalen (KSG) auch die radiale Komponente der Beschleunigung durch die Scheibenmasse merklich beeinusst oder sogar dominiert.
2.2 Protoplanetare Akkretionsscheiben
Die Planeten umlaufen die Sonne in nahezu einer einzigen gemeinsamen Ebene, weshalb es unwahrscheinlich ist, dass die Planeten von der Sonne eingefangene Körper sind. Es wird vielmehr
davon ausgegangen, dass sie in einer Art Gas- und Staubscheibe um die Sonne herum, einer
sogenannten Protoplanetaren Scheibe, entstanden sind. Wie bereits erwähnt, entsteht eine solche Scheibe gemeinsam mit ihrem Zentralobjekt, in diesem Falle mit dem Zentralstern. Wird
in einer Molekülwolke, durch ein Anstoÿereignis wie beispielsweise eine nahegelegene Supernova
oder auch die Kollision der Wolke mit einer zweiten Wolke oder einem Stern, zumindest lokal im
verdichteten Kern das Jeans-Kriterium
MJ ≈
5kB T
GµmH
1
3 2
2
3
·
,
4πρ0
bzw.
RJ ≈
15kB T
4πGµmH ρ0
erfüllt, so kollabiert der entsprechende Teil. Dabei ist
Dichte der Wolke (lokal),
T
die Temperatur,
kB
1
µ
2
das mittlere Molekulargewicht,
die Boltzmann-Konstante und
MJ
bzw.
ρ0
RJ
die
die
Mindestmasse bzw. der Mindestradius, um bei gegebener Dichte und Temperatur gravitativ instabil zu werden. Da
1
MJ ∼ (ρ0 ) 2 ,
wird die Jeansmasse mit steigender Dichte kleiner, so dass
immer kleinere Substrukturen Jeans-instabil sind. Schlieÿlich werden die Wolkenfragmente optisch dick und die Temperatur steigt beim Kollaps derart, dass die Jeansmasse wieder zunimmt
und die Fragmentation beendet. Das einzelne Wolkenfragment, dessen Masse nurmehr in der
Gröÿenordnung stellarer Massen liegt, kollabiert weiter, bis der Druck ausreicht, um den Kollaps abzubremsen. So formt sich im Zentrum ein Protostern, auf den weiterhin Materie aus der
umgebenden Wolke einströmt. Der Drehimpuls, den das Wolkenfragment vor dem gravitativen
Kollaps besitzt, bleibt erhalten. Daher muss bei abnehmendem Radius des Kerns während des
Kollapses, also bei abnehmendem Trägheitsmoment, die Winkelgeschwindigkeit steigen. Durch
die entstehende Zentrifugalbeschleunigung und Stoÿwechselwirkungen wird der Einfall der Materie senkrecht zur Rotationsachse abgebremst und sie wird auf Keplerbahnen um den wachsenden
Protostern geleitet. So formt sich aus der einströmenden Materie in ca.
Kollapses nach [4], [9]) eine Zirkumstellare Akkretionsscheibe (Abb. 9).
14
105
Jahren (Dauer des
(a) leicht rotierender Teil einer Molekülwolke, lokale Instabilität, Kollaps beginnt, (b) Protostern bildet sich,
Wolkenfragment acht ab, (c) Scheibe bildet sich um den Protostern, Bild (c) ist im Vergleich zu (a) in hundertfacher
Vergröÿerung dargestellt.
Abb. 9:
Dabei wird sehr ezient Drehimpuls vom Protostern weg nach auÿen transportiert. Nach dem
Kollaps bendet sich der Groÿteil der Masse des ursprünglichen Wolkenfragments im Protostern
(im heutigen Sonnensystem (SS) 99.87 %), während die Scheibe nahezu den gesamten Drehimpuls (heutiges SS: 99.55 %) beherbergt. Eine ähnliche Situation herrscht auch in den bis heute
entdeckten extrasolaren Planetensystemen. Auch wenn die Scheibe bereits gebildet ist, fällt weiterhin sehr viel Materie aus der Wolke von allen Richtungen her in die Scheibe, weshalb in dieser
Phase noch relativ hohe Temperaturen vorherrschen. Die heftigen Ausbrüche, die in einer Klasse
von jungen Sternen, den FU-Orionis-Sternen (Fuors), beobachtet wurden, werden auf hierbei
entstandene thermische Instabilitäten der Scheibe zurückgeführt (Hartmann & Kenyon 1996 [11];
Bell & Lin 1994 [2]; für eine alternative Erklärung siehe Herbig et al. 2003 [13]). Der Einfall beim
Kollaps geschieht mit Überschallgeschwindigkeit von typischerweise einigen 10
km .
s
Die vertikalen
Bewegungen in der Scheibe sind jedoch um viele Gröÿenordnungen langsamer. Die einfallende
Materie wird somit in einer Stoÿfront auf Unterschallgeschwindigkeit abgebremst. Diese bildet
gewissermaÿen eine Hülle um die Akkretionsscheibe. Die Ausdehnung einer solchen Scheibe ist
vergleichbar mit der des Sonnensystems (≈ 100 AU, 1 Astronomical Unit ≈
damit um
≈
1, 5 · 108 km)
und
2 Gröÿenordnungen kleiner als der anfängliche verdichtete Kern des Molekülwol-
kenfragments (≈ 0.05 pc
≈
10000 AU). Der Radius der Scheibe
rdisk
nach ihrer Bildung durch
den gravitativen Kollaps kann aus den Anfangsbedingungen des Wolkenfragments (Radius
Masse
Minnen ,
Winkelgeschwindigkeit
ω0 )
r0 ,
abgeschätzt werden:
rdisk =
ω02 · r02
.
2 · G · Minnen
Dabei wird angenommen, dass die ursprüngliche radiale Geschwindigkeitskomponente des Wolkenfragments
vr,0 = 0
ist, der Scheibenradius
rdisk r0
ist und das Wolkenfragment während
des gesamten Kollapses wie ein starrer Körper rotiert. Allgemein haben protoplanetare Scheiben
Radien von
∼1
bis
∼ 100 AU
∼ 10−2 M .
bei Massen von
Bei einem Abstand von 1 AU vom
Zentralstern herrschen, laut Infrarot-Spektralanalysen mit Modellrechnungen ohne SG, Temperaturen von
& 100 K
(Beckwith et al. 1990 [1]).
Zusätzlich zu dem Materiezuuss aus der Wolke, existiert in den frühen Entwicklungsphasen ein
Materieabuss in Form eines Jets entlang der Rotationsachse der Scheibe (Abb. 10).
15
Schematische Edge-On Ansicht einer Protoplanetaren Akkretionsscheibe unmittelbar nach dem Kollaps. Die
Gröÿe eines Pfeils symbolisiert die Stärke des jeweiligen Materieusses. In senkrechter Richtung wird der Einfall durch die
Schockfront abgebremst.
Abb. 10:
Protoplanetare Scheiben ndet man bei T-Tauri-Sternen, jungen Vor-Hauptreihensternen der
M
Spektralklassen F-M mit sehr geringen Massen zwischen ca. 0,1 und 3
(Sonnenmassen).
Hubble Space Telescope Beobachtungen des Orion-Nebels (Abb. 4) haben ergeben, dass 56 der
110 Sterne, die heller sind als V = 21 mag, von Scheiben aus zirkumstellarem Gas und Staub
umgeben sind ([4] Kap.12, Abs. Proplyds). Die Sterne sind jünger als 1 Myr und die Scheiben haben Massen, die wesentlich gröÿer sind als
2 · 1025 kg
(Erdmasse
M⊕ : 5.974 · 1024 kg).
Den direkten Hinweis auf die Keplerrotation der Scheiben um ihre massearmen Zentralsterne
haben Untersuchungen der Dopplerverschiebung von Spektrallinien im Infrarot (mm -
µm;
z.B.:
13 CO) mit Hilfe hochauösender Interferometer geliefert ([9], Kap.: Discs around young stars).
Um die Akkretion nachzuweisen, wurde gezeigt, dass die breite spektrale Energieverteilung und
die Korrelation zwischen Dopplerbreite der Absorptionscharakteristika und Wellenlänge durch
eine Akkretionsscheibe zu erklären ist, dessen Emission aus viskoser Dissipation und in manchen
Fällen aus Wiederabgabe der Strahlung des Zentralsterns resultiert ([9], Kap.: Discs around
young stars). Die Materie aus der Scheibe wird allgemein mit Raten von
Zentralgestirn akkretiert, mit typischen Variationen um einen Faktor von
∼ 10−7 Myr
auf das
∼ 10 über Monate und
Jahre und mit gelegentlichen Ausbrüchen (Fuor-Ausbrüche), bei denen die Rate innerhalb ei-
∼ 10−4 Myr und anschlieÿend innerhalb
3
sogar 10 yr) wieder absinkt. Jeder junge
nes Jahres oder auch eines Jahrzehnts ansteigt auf etwa
einiger Jahrzehnte oder Jahrhunderte (FU Ori selbst
Stern durchlebt ungefähr 10 Fuor-Ereignisse und gegen Ende der Vor-Hauptreihen-Entwicklung
häuge schwächere Ausbrüche. Auch wenn die genaue Ursache dieser Aktivitäten noch ungeklärt
ist, so ist sicher, dass die Ausbruch-Zeitskala ein Maÿ für die Viskosität der Scheibe ist.
Da die massereichen Sterne sehr schnell gebildet werden (siehe Kap. 2.4), sind sie in den frühen
Phasen ihres Lebens noch vollständig von der lokal verdichteten Molekülwolke verdeckt und somit der direkten Beobachtung unzugänglich. Werden sie schlieÿlich sichtbar, ist keine Scheibe
klar zu erkennen, entweder weil eine richtige Scheibe gar nicht erst gebildet wurde oder weil sie
bereits durch dynamische Prozesse und/oder Winde zerstört wurde.
16
2.3 Planetenentstehung
Planeten sind vorzugsweise bei metallreichen (Population I) Sternen anzutreen. Es scheint, als
wären massearme Sterne mit Metallizitäten ähnlich der oder gröÿer als die unserer Sonne immer geeignet, ein Planetensystem entstehen zu lassen (siehe [4]). Folglich muss der Prozess der
Bildung eines solchen Systems stabil sein und kein Ergebnis einer zufällig besonders günstigen
Konstellation. Er muss sowohl die Entstehung besonders weit vom Zentralstern entfernter Planeten, als auch die derjenigen auf den innersten Orbits ermöglichen. Ein akzeptables Modell dieses
Prozesses muss erklären, wieso beispielsweise ein so massearmer fester Planet wie Mars direkt
neben einem Gasriesen wie Jupiter existiert. Zusätzlich ist die Existenz des extrem massearmen
Asteroiden-Gürtels, des Kuiper-Gürtels und der Oortschen Wolke, sowie die der exotischen Hot
Jupiters (sehr dicht am Stern existierende Gasriesen), welche in den meisten extrasolaren Planetensystemen zu nden sind, zu begründen. Die Bahn von
(ca. 1
M )
51 Peg b
(ca. 0,46
MJupiter )
um
51 Peg
beispielsweise besitzt nur eine groÿe Halbachse von etwa 0.052 AU. Das Modell muss
plausibel darstellen können, wie ein Gasriese so dicht an seinem Stern entstehen und überleben
kann, oder wie er dorthin kommen kann, wenn er wo anders entstanden sein sollte, zumal in unserem eigenen Sonnensystem keiner der Riesenplaneten der Sonne näher kommt als 5.2 AU. Mit
dem gesuchten Modell müssen all die Planeten, Monde, Asteroiden, Kuiper-Belt Objekte und
Kometen unseres Sonnensystems spätestens bis heute, also innerhalb 4.57 Gyr, fertig ausgebildet
werden können.
Im frühen Sonnennebel, zu der Zeit als sich die Planeten gebildet haben, muss ein Temperaturgradient existiert haben, da eine deutliche Änderung der chemischen Zusammensetzung vom
Zentrum des Systems nach auÿen zu erkennen ist. In den meisten Planetenentstehungsgebieten
besteht durch die genügend hohe Gasdichte eine thermische Kopplung zwischen den Gas- und
Staubteilchen. In den optisch dünnen Regionen stellt sich zwischen ihnen eine Gleichgewichtstemperatur
T
abhängig von der Leuchtkraft
L?
des Sterns ein, dessen radialer Verlauf wie folgt
beschrieben werden kann (Hayashi 1981 [12]):
a − 1 L 14
2
?
T = 280
1AU
L
.
a der radiale Abstand vom Zentralstern. Der Temperaturverlauf für ein Gleichgewichtsmodell des Sonnennebels ist in Abb. 11 dargestellt. Wasser-Eis
Dabei ist
L
K
die Leuchtkraft der Sonne und
konnte auÿerhalb von ca. 5 AU aus dem Nebel kondensieren und Methan-Eis ab ca. 30 AU. Für
sonnenähnliche Sterne ist deren Leuchtkraft grob proportional zur vierten Potenz ihrer Mas-
L? ∝ M?4 . Die Grenze für die Wasser-Eis-Kondensation, welche bei einer Temperatur von
T ' 170 K liegt, wird als snowline asnow bezeichnet und ist aus dem Ausdruck für den Temperaturverlauf ableitbar (Ida & Lin 2004 [14]):
se:
asnow = 2, 7
wobei
M
L?
L
1
2
AU
die Masse der Sonne ist.
17
≈ 2, 7
M?
M
2
AU
,
Ein Gleichgewichtsmodell des Temperaturverlaufs im frühen Sonnennebel. Die Platzierung der Planeten und
Zwergplaneten bezeichnet deren heutige Position. Quelle: [4] Fig. 23.9
Abb. 11:
Planeten entstehen zeitgleich mit ihrem Zentralstern aus ein und demselben Nebel. Nachdem
der Nebel (zumindest lokal) gravitativ kollabiert ist und sich die Protoplanetare Akkretionsscheibe um den jungen Protostern herum herausgebildet hat, ndet, wie oben erwähnt, noch weiterer
Materieeinfall aus der Molekülwolke auf die Scheibe statt. Im Laufe der Zeit ebbt der Einfall
ab. Die Akkretionsscheibe tritt dann in eine eher ruhige, kontinuierliche Entwicklungsphase ein.
Diese ist vom auswärts gerichteten Drehimpulstransport und von der langsamen Akkretion der
Scheibenmaterie durch den Protostern bestimmt. Durch den Staub, der etwa 1 % der Gesamtmasse der Scheibe ausmacht, bleibt die Scheibe optisch dick. Während dieses Entwicklungsabschnitts
(siehe Kap. 2.4) setzt nach gängiger Vorstellung der Prozess der Planetenbildung ein, für dessen
Verständnis es zwei unterschiedliche Ansätze gibt: Gravitative Instabilität (Gravitational Instability) und das Kern-Akkretions(-Gas-Einfang)-Modell (Core-Accretion(-Gas-Capture)-Model).
Ein Vergleich der beiden Modelle ist von Matsuo et al. (2007,
[18])
durchgeführt worden und
wird in den beiden folgenden Abschnitten zusammengefasst.
2.3.1
Gravitative Instabilität
Analog zur Sternentstehung handelt es sich hierbei um ein top-down-Modell. Bereiche der Scheibe, in denen eine gröÿere Dichte herrscht, könnten in sich selbst zusammenfallen. Wenn sich dort
dann die Materie anhäuft, steigt der gravitative Einuss des entsprechenden Bereiches auf seine
Umgebung und zusätzliche Materie wird auf den neu entstehenden Planeten akkretiert. Durch
diesen Mechanismus könnten auch um die Protoplaneten herum Akkretionsscheiben gebildet werden, in denen wiederum Monde und Ringsysteme entstehen können. Die Bildung eines Gasriesen
dauert auf diese Weise nur etwa
102 −103
Jahre (Matsuo et al. 2007 [18]). Dieses Modell erscheint
sehr einfach, weist aber bei seiner Anwendung auf beobachtete Systeme diverse Ungereimtheiten
auf. Zum Einen besteht das Problem, dass die Lebensdauer des Sonnennebels nicht ausgereicht
hätte, Objekte wie Uranus und Neptun ihre heutigen Massen erreichen zu lassen. Es müsste viel
zu viel Materie auf einmal kollabieren, als dass die Auskühlungsprozesse eektiv genug wären,
um die heutige Konsistenz der Eisriesen zu erhalten. Des Weiteren begründet dieses Modell weder
die groÿe Anzahl kleiner Objekte, welche in unserem Sonnensystem und höchst wahrscheinlich
auch in anderen anzutreen sind (Debris Disks), noch die Abhängigkeit der Bildung eines Plane-
18
tensystems von der Metallizität. Es liefert keine Erklärung für die Massenverteilung extrasolarer
Planeten und die groÿe Bandbreite der Dichten und Kern-Durchmesser der Planeten. Hinzu
kommt, dass auf diese Weise Planetenbildung nur in sehr massereichen Scheiben möglich ist oder
nur durch relativ starke Störung (→ lokale Verdichtung) in massearmen Scheiben ausgelöst werden kann. Die Bedingung, bei der solch eine Scheibe gravitativ instabil wird, lässt sich wie folgt
formulieren (Matsuo et al. 2007 [18]):
cs ωk
Σcrit
'
<1 .
Σgas
πGΣgas
Q=
Q
ist der Toomre-Q-Parameter (Toomre 1964
die Keplersche Winkelgeschwindigkeit,
und
Σgas
Σcrit
[26]), cs
die isotherme Schallgeschwindigkeit,
ωk
die in Bezug auf die gravitative Instabilität kritische
die Gas-Oberächendichte. Überschreitet
Σgas
den Wert von
Σcrit ,
so wird die Scheibe
gravitativ instabil.
2.3.2
Kern-Akkretions-Modell
Dieses bottom up-Modell wird im Allgemeinen bevorzugt. In der ersten Phase bleiben die
ursprünglich (sub-)µm groÿen Partikel durch zufällige gegenseitige inelastische Stöÿe im turbulenten Trägergas aneinander haften. Dies ist der Prozess der Koagulation. Er sorgt dafür, dass
die Staubteilchen zu Körpern von km-Gröÿe, den sogenannten Planetesimalen, heranwachsen.
Sie besitzen ausreichend Masse, um durch ihre Gravitationswirkung kleinere Körper aufzusammeln. Auf diese Weise bildet sich ein Ensemble von ungefähr mondgroÿen Protoplaneten. Aus
den Protoplaneten entstehen groÿe Gesteinskerne. Gröÿere Objekte wachsen schneller und hören
dann auch schneller auf zu wachsen (runaway growth). Wenn die Kerne alle kleineren Planetesimale in ihrer feeding-zone aufgesammelt haben (Gap-Opening), stoppt ihr Wachstum und
sie haben ihre Isolationsmasse (isolation mass) erreicht (Ida & Lin 2004
[14]).
Wenn ein Kern
massereich genug ist, vergröÿert sich seine feeding-zone. Der Anstieg der Relativgeschwindigkeit
von Planetesimalen und Kern verringert jedoch den eektiven Wechselwirkungsquerschnitt des
Kerns, so dass sich sein Wachstum verlangsamt. Folglich ist die Wachstumszeitskala eine steigende Funktion der Kernmasse. Die feeding-zone kann auch noch zusätzlich durch radiale Streuung
des Kerns an kleinen Planetesimalen (Migration
Gröÿen von
∼ 10
bis
∼ 100 km
→Kap. 2.3.4) erweitert werden. Wenn die Kerne
erreicht haben, schlieÿt sich die Phase des oligarchischen Wachs-
tums (oligarchic growth stage) an, während der die feeding-zone ca. 10 RH breit ist (RH ist der
Hill-Radius
→Kap. 2.3.3).
Anschlieÿend erreichen auch die groÿen Kerne ihre Isolationsmasse.
Wachsen die Gesteinskerne bis über ca. 10 Erdmassen an, so reicht ihre Gravitation aus, den
hydrostatischen Druck des umliegenden Gases zu überwinden. So kann der Kern groÿe Mengen an Gas akkretieren und sich zu einem Gasplaneten entwickeln. Massereiche Gesteinskerne
können sich nur im mittleren und äuÿeren Scheibenbereich bilden. Im inneren Scheibenbereich
(. 4 AU im SS) steht nicht ausreichend festes Material für die Bildung von Gesteinskernen
10
M⊕
&
zur Verfügung (snowline). Aus den kleinen Gesteinskernen entstehen in der vierten und
letzten Phase der Planetenbildung die terrestrischen Planeten. Die Zeit, innerhalb der sich aus
den vorhandenen Protoplaneten die planetengroÿen terrestrischen Körper bilden können, ist im
inneren Bereich der Scheibe länger als die typische Lebensdauer von protoplanetaren Scheiben,
welche wiederum maximal
107
Jahre beträgt (Haisch et al. 2001 [10]). Dann hat der Wind des
T-Tauri-Sterns das Gas der Scheibe vollständig verdrängt (Shu et al. 1993
[30]).
Nahe gelege-
ne O- und B-Sterne vermögen den Auösungsprozess der Scheibe durch ihre UV-Strahlung zu
beschleunigen (Matsuyama et al. 2003
[19]).
Es verbleibt dann eine Scheibe, bei der die Zwi-
schenräume der Planeten noch stark vom Trümmerschutt der Planetenbildung gefüllt sind. Die
Scheibe wird aber nach und nach davon entleert, indem er entweder auf die groÿen Objekte stürzt
(Sonne, Planeten) oder auf ungebundene bzw. zumindest stark elliptische Bahnen um den Stern
19
gezwungen wird (Oortsche Wolke). Die Sonne hat derweil die Hauptreihe im Hertzsprung-Russell
Diagramm (HRD) erreicht und ist dann ein voll ausgebildeter, wasserstobrennender Stern.
Dieses Modell erklärt die Existenz vieler kleiner, wie auch einiger sehr groÿer Objekte in ein
und demselben Planetensystem. Auch die Entstehung von Monden kann hiermit leicht begründet
werden. Sie können sowohl durch Zusammenstoÿ eines groÿen Planetesimals mit dem Kern, als
auch selbst unter eigener Gravitation um den Planeten herum entstanden oder von ihm eingefangen worden sein. Durch das heftige Bombardement der Kerne durch Planetesimale kommt es
auch zu den Kratern, die auf allen terrestrischen Körpern des Sonnensystems zu nden sind. Im
Folgenden wird ausschlieÿlich von diesem Modell ausgegangen.
2.3.3
Hill-Radius
In der jungen Protoplanetaren Akkretionsscheibe ist es kleinen Staubteilchen möglich, zufällig zusammenzustoÿen und aneinander haften zu bleiben. Konnten sich dabei beachtlich groÿe
Objekte entwickeln, so beginnen sie, gravitativen Einuss auf die Materie in ihrer Umgebung auszuüben. Um diesen Einuss der wachsenden Planetesimale quantitativ beschreiben zu können,
hat man den Hill-Radius
RH
(oder auch Roche lobe Radius (Ida & Lin 2004 [14])) deniert. Er
ist der Bahnradius eines Testteilchens, welches den Planetesimalen der Masse
Umlaufzeit umrundet, wie dieser seinen Zentralstern der Masse
RH = s
s
M
3M?
M?
M
mit derselben
(Ida & Lin 2004 [14]):
1
3
.
ist der Bahnradius des Planetesimals um den Stern.
Kommt ein Teilchen bis auf einen Hill-Radius an einen Planetesimalen heran und besitzt dabei
eine genügend kleine Relativgeschwindigkeit zu ihm, so kann es gravitativ eingefangen werden.
Akkretiert ein Objekt Materie, so vergröÿert sich auch sein Hill-Radius.
2.3.4
Migration
Ohne das Konzept der Migration lieÿen sich mit dem Kern-Akkretions-Modell die groÿen Massen
der Gas- und Eisriesen in unserem Sonnensystem nicht erklären. An Jupiters heutiger Position
beispielsweise hätte in der jungen Scheibe die Dichte nicht ausgereicht, um seine heutige Kernmasse zu erreichen, nachdem er seinen Einussbereich geleert hat. Saturn hätte dort auÿen nicht
annähernd so viel Gas akkretieren können, wie er heute besitzt. Migration erlaubt es dem Planeten, sich radial durch die Scheibe zu bewegen und zusätzliche Materie aufzusammeln, ohne dabei
eine bedeutende Lücke in der Scheibe zu schaen. Die sogenannten Hot Jupiters in Exoplanetensystemen müssen weiter auÿen zu entstehen begonnen haben und während ihres Wachstums
nach innen migriert sein.
Nach innen gerichtete Migration kann durch gravitative Drehmomente zwischen dem Planeten und der Scheibe auftreten (Typ I). Anfängliche Abweichungen von der axialen Symmetrie
verursachen Dichtewellen in der Scheibe. Gravitative Wechselwirkungen zwischen diesen Wellen
und einem wachsenden Planeten führen zu nach auÿen gerichtetem Drehimpulstransport und
gleichzeitigem nach innen gerichteten Massentransport. Dieser Mechanismus ist proportional zur
Masse. Akkretiert der Planet Materie, wird er immer schneller in Richtung seines Zentralsterns
bewegt. Auf diese Weise können sogar einige Planeten innerhalb
∼1
bis
∼10
Myr in ihren Stern
hineinstürzen.
Migration kann auch durch die Viskosität in der Scheibe hervorgerufen werden (Typ II). Teilchen weiter auÿen mit geringerer Bahngeschwindigkeit werden durch Stöÿe mit schnelleren Teilchen auf geringfügig kleineren Orbits beschleunigt. Dadurch verlieren Letztere etwas von ihrer
20
kinetischen Energie und fallen spiralartig nach innen. Dieser Migrationsprozess dominiert, wenn
eine Lücke in der Scheibe entstanden ist. Ein Planet kann ebenfalls nach auÿen wandern. Dazu
kommt es, wenn Planetesimale an ihm nach innen gestreut werden. Ob ein Planet nach innen
oder nach auÿen wandert, entscheidet die Dichteverteilung von Staub und Gas sowie die Menge
und Verteilung der Planetesimale.
Es wird angenommen, dass Jupiter ca. 0.5 AU weiter auÿen und Saturn 1 AU weiter innen
entstanden ist. Auf dem Weg zu ihrer heutigen Bahn, passierten sie einen Punkt, an dem die
Umlaufzeit des Saturn genau doppelt so lang war, wie die des Jupiter, so dass ihr gravitativer
Einuss auf andere Objekte zweimal pro Umlauf an denselben Punkten addiert wurde. Daraus
resultierten signikante Störungen der Bahnen der Asteroidengürtel-Objekte und der KuiperBelt Objekte und es kam etwa 700 Myr nach der Entstehung der inneren Planeten und unseres
Mondes zu dem starken Bombardement, dessen Spuren auf der Oberäche des Mondes zu nden
sind. Jupiter hat nicht nur Saturn, sondern auch Uranus und Neptun zur Auswärtsmigration
gezwungen. Auch sie haben ihre Kerne in Bereichen höherer Dichte gebildet. Weil sie jedoch sehr
weit nach auÿen gewandert sind, haben sie nur wenig zusätzliches Gas akkretieren können und
sind nun eher Eisriesen als Gasriesen ([4], Kap.: The Process of Migration).
21
2.4 Zeitskalen
Dieses Kapitel dient der Übersicht über die in den vorherigen Kapiteln beschriebenen Abläufe
und ihre Zeitskalen.
Zeitliche Übersicht über die Scheibenentwicklung und die Planetenbildung. β Pictoris-Scheiben sind DebrisScheiben (Trümmer-Scheiben) um weniger junge Sterne. Sie bestehen aus den Gesteins-Überresten der Planetenentstehung,
nachdem jegliches Gas verogen ist und/oder weggeblasen wurde (siehe folgende Kapitel).
Abb. 12:
2.4.1
Entstehung des Protosterns und seiner zirkumstellaren Akkretionsscheibe
Theoretische Entwicklung während des Kollapses für Molekülwolken von 0.05, 0.1, 0.5, 1, 2 und 10 M . Quelle:
Wuchterl & Tscharnuter 2003 [29]
Abb. 13:
Hat der Kollaps einer Molekülwolke eingesetzt, so braucht es ca. 10
5 Jahre, um eine Protosonne
umgeben von einer Akkretionsscheibe aus der Nebelmaterie entstehen zu lassen (Abb. 13). Ein
solcher Kollaps ist durch die Freifall-Zeitskala charakterisiert:
t = (
3π 1
)2 ,
32Gρ0
22
unabhängig vom ursprünglichen Radius der Wolke. Ist die Dichte
ρ0
des Nebels anfänglich ho-
mogen, so vollzieht sich der Kollaps überall gleichschnell. Mit der Beendung des Kollapses und
der Bildung eines quasistatischen Protosterns bei Erreichen der sogenannten Hayashi-Linie im
Farben-Helligkeits-Diagramm (FHD) wird die Entwicklung nun von der Kelvin-Helmholtz Zeitskala bestimmt:
tKH =
∆Eg
∆Eg
.
L?
ist die Energie, die während des Kollapses abgestrahlt wird. Die protostellare Entwicklung
geht sehr viel langsamer vonstatten als der Freifall-Kollaps (t
tKH ).
Ein System mit einer
Masse von 1 M braucht 40 Myr, um quasi-statisch von der Hayashi-Linie zur Hauptreihe im
FHD zu kontrahieren, bei welcher schlieÿlich die Kernfusion im Inneren des Sterns einsetzt.
2.4.2
Planetenbildung
Die ältesten Meteoriten sind 4.566 Gyr alt, während die Sonne mit 4.57 Gyr nur unwesentlich älter ist. Die Planetenbildung beginnt also unmittelbar nach der Protosternentstehung. Ein fester
Kern formt sich und erreicht im Falle eines entstehenden Gasriesen eine Masse von
&
10 Erd-
massen, gefolgt von der Ansammlung einer beträchtlichen Menge an Gas. Während die Planeten
wachsen, können sie durch Viskositätseekte und Gezeitenwechselwirkung mit der Scheibe radial
migrieren. Typische Zeitskalen, welche bisher aus diesem Entstehungsmodell errechnet wurden,
reichen von
∼ 106
bis zu
∼ 107
Jahren (Haisch, Lada & Lada 2001
[10]),
abhängig von der
Akkretionsrate fester Materie und der Staub-Oberächendichte der Scheibe. Die massereichsten
Sterne verlieren ihre Scheiben in wesentlich kürzeren Zeiten (< 2-3 Myr; Haisch, Lada & Lada
2001 [10]).
Das konkurrierende Modell der gravitativen Instabilität sagt für Riesenplaneten eine viel kürzere
Entstehungsdauer von gerade mal
chen Scheibe mit
2.4.3
Mdisk ∼ 0.1 M
∼ 103 Jahren
voraus, allerdings nur in einer relativ masserei-
innerhalb eines Radius von 20 AU.
Zeitliche Begrenzung der Planetenbildung
Zum Einen ist die Zeit, die für die Planetenbildung zur Verfügung steht, durch die Akkretion
der Scheibe auf den Stern begrenzt. Zum Anderen setzt ungefähr mit der zentralen Kernfusion
(H→He) des Sterns - also mit seinem Erreichen der Hauptreihe - je nach Sternmasse
bis
∼
∼ 105
107 Jahre nach dem Kollaps der Wolke die starke T-Tauri Aktivität, die FU-Orionis
Aktivität und damit erheblicher Massenverlust ein. Die T-Tauri Aktivität zeichnet sich durch
schnelle (Gröÿenordnung: einige Tage) ungleichmäÿige Variationen in der Leuchtkraft, signikanten Massenverlust von ca.
10−8 Myr ,
eine zeitweise höhere Akkretionsrate und einen allge-
mein äuÿerst instabilen Zustand aus. Die FU-Orionis Aktivitäten sind extreme Spezialfälle der
T-Tauri-Ereignisse mit folgenden Eigenschaften: abrupter Anstieg der Akkretionsrate von der
Gröÿenordnung
10−4 Myr
und der Leuchtkraft um 4 mag für Jahrzehnte, Instabilitäten in der
Akkretionsscheibe, Ausbrüche und starke Hochgeschwindigkeits-Winde mit Geschwindigkeiten
von 300
km .
s
Das bedeutet, dass die molekulare Restmaterie, sowohl Gas als auch Staub, welche noch nicht
auf einen Planetesimalen oder Planeten akkretiert ist, innerhalb von maximal
∼10 Myr
wegge-
blasen wird. Damit ist dann jede Gasakkretion und die Bildung von Riesenplaneten denitiv
beendet. Die Lebensdauer des zentralen Protosterns, also die Zeit zwischen Kollaps und Erreichen der Hauptreihe, ist das Fenster, in dem die Planeten entstehen müssen, da die Scheibe nur
in der Zeit eine relativ ruhige Akkretionsphase durchlebt. Wie bereits erwähnt ist ihre Dauer von
der Zentralmasse abhängig.
23
Jeder Protostern benötigt, abhängig von seiner Masse, eine bestimmte Zeit für seine VorHauptreihen-Kontraktion. In der folgenden Tabelle sind diese Zeiten für ein klassisches Modell
und eine Zusammensetzung von X=0.68, Y=0.30 und Z=0.02 (X =
ˆ H, Y =
ˆ He, Z =
ˆ schwerere Elemente) aufgelistet. Die Abb. 14 zeigt die Entwicklung im Hertzsprung-Russell-Diagramm (HRD).
Initial mass /
M
contraction time / Myr
60
0.0282
25
0.0708
15
0.117
9
0.288
5
1.15
3
2
7.24
23.4
1.5
35.4
1
38.9
0.8
68.4
Tabelle 1:
Vorhauptreihen Kontraktionszeiten ([4], table 12.1)
Klassische Vorhauptreihen-Entwicklung, berechnet für eine Zusammensetzung von X=0.68 Y=0.30 Z=0.02.
Quelle: [4], gure 12.11, Original: Bernasconi & Maeder 1996 [3]
Abb. 14:
Anschlieÿend sammeln die Planeten nur noch den Rest der Planetesimale in ihrem Einussbereich aus der Scheibe. Die Mond- und Marsoberäche müssen sich beispielsweise einige 100 Myr
nach dem Kollaps des Sonnennebels verfestigt haben. Die Mondoberäche berichtet von einem
späten heftigen Ensemble von Einschlägen etwa 700 Myr nachdem der Mond erstarrt ist.
24
3
Simulation
Ziel dieser Arbeit ist es, den Einuss verschiedener Anfangsbedingungen auf die zeitliche Entwicklung einer protoplanetaren Scheibe und somit auch auf das in ihr ablaufende Planetenwachstum
zu untersuchen. Zu diesem Zweck wird ein Modell aufgestellt, welches sowohl die Scheibenentwicklung als auch die Wachstumsraten der Planeten beinhaltet. Anschlieÿend wird die Entwicklung
des Systems mit Hilfe numerischer Methoden simuliert und die Ergebnisse werden ausgewertet.
3.1 Modell
Das hier verwendete Modell basiert auf den Grundgleichungen, welche in Kap. 2.1.2 vorgestellt
wurden. Zusätzlich zu der bereits erwähnten Annahme einer dünnen, rotationssymmetrischen
Scheibe, wird nun auch Symmetrie zur
s-ϕ-Ebene
angenommen. Materieeinfall aus der umge-
benden Wolke, sowie Materieverlust durch Jets werden vernachlässigt. Aus der Kontinuitätsgleichung (1) und der Drehimpulserhaltung (2) lassen sich die Radialgeschwindigkeit und die
Entwicklungsgleichung für die Oberächendichte herleiten. Nach Anwendung der Produktregel
auf Gleichung (2) erhält man
∂Σ
∂ω
1 ∂(sΣvs )
1 ∂(s2 ω) 1 ∂
s ω
+ s2 Σ
+ s2 ω
+ (sΣvs )
−
∂t
∂t
s ∂s
s ∂s
s ∂s
2
Laut Gleichung (1) kann man nun
nach
sΣvs
∂(sΣvs )/∂s
−s(∂Σ/∂t)
2 ∂ω
sνΣs
∂s
=0 .
ersetzen. Anschlieÿend wird
aufgelöst und dies wieder in Gleichung (1) eingesetzt:
Ersetzt man oben umgekehrt
∂(s2 ω)
∂s
−s(∂Σ/∂t)
vs =
∂
∂s
ist die Viskosität und hier durch den
!
3 Σ ∂ω
sνΣs2 ∂ω
−
s
∂s
∂t
∂
∂s
∂Σ
1 ∂
=−
∂t
s ∂s
ν
durch
∂(sΣvs )/∂s, ergibt
3 ∂ω
sνΣs2 ∂ω
∂s − Σs ∂t
.
2
sΣ ∂(s∂sω)
durch
β -Ansatz
ω(s) =
sich
vs :
(Kap. 2.1.3) beschrieben. Die Selbstgravitation
wird hier bei der Berechnung der Winkelgeschwindigkeit
r
.
ω
mit einbezogen:
G(Mc + Md (s))
.
s3
In dieser Monopolnäherung wird die Masse der Scheibe innerhalb des jeweiligen Radius
Mc zusammen von der Scheibenmaterie als Punktmasse
Md (s) ergibt sich einfach aus der Oberächendichte:
mit der Sternmasse
Scheibe gesehen.
Zs
Md (s) =
Md (s)
im Mittelpunkt der
2πs0 Σ(s0 )ds0 .
0
Die Akkretionsrate der Materie auf den Zentralstern ist durch das sogenannte EddingtonLimit begrenzt [21]. Die freiwerdende Gravitationsenergie der akkretierten Materie wird abgestrahlt und der Strahlungsdruck wirkt weiterer einfallender Materie entgegen. Das EddingtonLimit, also die höchste mögliche Akkretionsrate, ist erreicht, wenn die Strahlungskraft und die
Gravitationskraft auf ein Testteilchen entgegengesetzt gleich groÿ sind. Ist das Zentralobjekt kein
Schwarzes Loch, so wird hier diese Grenze folgendermaÿen formuliert (cgs-Einheiten):
2
2, 6 · 1038 g cm
dMc
s3
=
· R? ,
dt Edd
GM
25
wobei
R?
der Radius des Zentralobjektes ist. Für Schwarze Löcher im Zentrum wird die Grenze
anders deniert. Allerdings spielt dieser Fall für diese Arbeit keine Rolle, da wir es hierbei nur
mit stellaren Zentralobjekten zu tun haben.
Es interessiert nun die Entwicklung von Protoplaneten in einer solchen Scheibe. Dabei wird
zunächst nur die Phase des oligarchischen Wachstums der gröÿten Planetesimale zu kleinen
Protoplaneten und das Wachstum dieser Protoplaneten selbst betrachtet, da diese Zeitskalen
die Entwicklung dominieren. Zur mathematischen Beschreibung des Wachstums eines Protoplaneten nach dem Kern-Akkretionsmodell gibt es verschiedene Ansätze. Hier wird sich einer
Entwicklungsformel bedient, die von Kornet, Wolf & Różyczka (2007,
[16])
verwendet wurde.
Sie beinhaltet nur rein gravitatives Aufsammeln von Materie. Es werden keine Exzentrizitäten
in den Planetesimalbahnen beachtet, keine groÿen Protoplaneten zu einem verschmolzen und
die Protoplaneten migrieren nicht durch die Scheibe. Die Entwicklungsformel für die Masse der
Protoplaneten lautet:
∂Mp
= C1 Ccap Rp RH ωkepler Σsolid .
∂t
Mp ist die Masse, Rp der Radius und RH der Hill-Radius des Protoplaneten. Für die Berechnung
g
des Radius Rp aus der Masse Mp wird die Dichte des festen Materials hier als ρp = 3, 3
cm3 angenommen. Der Wert von C1 ist nach Papaloizou & Terquem (1999, [20]) 81π /32. Die Gröÿe Ccap
beschreibt die Zunahme des eektiven Einfang(Capture)-Radius des Planeten relativ zu seinem
echten Radius
Rp .
Ab ca. 5 Erdmassen hat der Planet eine merkliche Atmosphäre angesammelt,
welche daraufhin zusätzlich mit den Planetesimalen wechselwirkt und den eektiven Radius des
Planeten vergröÿert. Der Verlauf von
Ccap =


Ccap
wird folgendermaÿen genähert:
1

Σsolid
,
Mp ≤ 5 M⊕
Mp <
Mp ≥ 15 M⊕
, 5 M⊕ <
lineare Steigung
5
,
ist der Staubanteil der Oberächendichte
Σ
15 M⊕
.
der Scheibe. Das Verhältnis von Staub- zu
Gasanteil ist nach Kokubo & Ida (2002, [15]), basierend auf Hayashi (1981, [12]), gegeben durch:
Σsolid
fice
=
,
Σgas
fgas
wobei
fice =
und
asnow
1
;
4,2
;
s ≤ asnow
s > asnow
, fgas = 240
die Grenze für die Wasser-Eis-Kondensation (snowline, Kap. 2.3) ist. So ergibt sich für
die Staub-Oberächendichte:
Σsolid =





1
Σ
241




4, 2
Σ
244, 2
; s
≤ asnow
.
; s >
asnow
In dieser Arbeit werden nun groÿe Planetesimale von ca.
10−7
bis
10−5 M⊕
(ca. 20 km Radius)
in die sich entwickelnde zirkumstellare Scheibe eingebettet. Die Planetenbildungszeit wird also
durch die Akkretion der Scheibe auf den Zentralstern begrenzt.
26
3.2 Numerische Umsetzung
Zur 1-D Simulation der zeitabhängigen Entwicklung achsensymmetrischer, geometrisch dünner
Akkretionsscheiben wird eine Version des disk_evolution Fortran90/95-Codes für Linux (September 2007) von Wolfgang J. Duschl modiziert und verwendet. Der Code bedient sich eines
radialen logarithmischen Gitters, welches am Rand des physikalisch interessanten Bereiches noch
um viele Gröÿenordnungen weiter ausgedehnt wird, um Einüsse des äuÿeren numerischen Randes auf die physikalischen Lösungen im interessanten Bereich zu vermeiden. Die Details zum
Code sind im Anhang zu nden.
3.3 Parameterwahl
Um zu untersuchen, wie sich die Scheibe und das Planetenwachstum bei verschiedenen Anfangsbedingungen verhält, muss zunächst in Erfahrung gebracht werden, in welchem Parameterbereich
man sich überhaupt nur bewegen darf, ohne die Gröÿenordnung Protoplanetarer Scheiben zu verlassen. Dafür stehen diverse Publikationen mit Beobachtungsmaterial zur Verfügung. In Kap. 2
werden die wichtigsten Gröÿenordnungen bereits im Zusammenhang erwähnt, hier sollen sie noch
einmal in der Reihenfolge der Eingabe-Datei zusammengefasst werden.
Die Gitterpunktzahl wird in den Simulationen auf 50 festgelegt (s. Kap. 4.2).
Da die Dauer der Vorhauptreihen-Entwicklungen sich im Bereich von
3
ndet, werden Ausgabe-Intervalle von 10 und
Die CFL-Zahl muss
105
bis
107
Jahren be-
105 Jahren, je nach Gesamtzeit, gewählt.
≤ 1 sein. Wird sie auf 1 gesetzt, so haben die Zeitschritte ihre maximal sinn-
volle und stabile Länge ausgereizt. Sie sollten aber nach Möglichkeit kürzer sein als die kürzeste
Zeit, die ein beliebiges Masseteilchen der Scheibe braucht, um mit seiner Radialgeschwindigkeit
den Weg von einem zum nächsten Gitterpunkt zurückzulegen. Hier wird die CFL-Zahl auf 0.5
gesetzt, so dass die Zeitschritte immer höchstens halb so lang sind, wie sie sein dürften.
Der
β -Parameter
einer von Natur aus geometrisch dünnen, sehr massearmen Protostellaren
bzw. Protoplanetaren Scheibe liegt im Bereich von
10−3 .
Er wird hier zwischen 0,001 und 0,005
variiert (s. Kap. 4.3.1).
Der innere Scheibenradius
Rmin
und der Radius des Zentralsterns
R?
sind hier identisch. Sie
bleiben während der Simulation konstant, müssen also mit Bedacht gewählt werden. Die Entwicklung des Systems geht so schnell vonstatten, dass der Zentralstern innerhalb zu vernachlässigender Zeit fast die gesamte Masse des Systems akkretiert hat. Der Radius dieses Sterns und damit
+ M?,init ) bezogen.
M? = M ⇔ R ? = R auch der innere Radius der Scheibe wird also auf die Gesamtmasse (Md,init
Nach der Masse-Radius-Relation [7] für Hauptreihen-Sterne kann er mit
abgeschätzt werden:
R? ∼ M?0,6
R ? ∼ M?
, also
, also
M? = X · M ⇒ R? = X 0,6 · R
M? = X · M ⇒ R ? = X · R , für
, für
M? > M
M? < M
Je nach Literatur liegt der Exponent auch gelegentlich bei 0,75.
Realistische Radien Protoplanetarer Scheiben liegen bei einer charakteristischen Gröÿenordnung von einigen 10 bis einigen 100 AU (1 AU=
1.496 · 1013 cm).
Hier wird zwischen 50 und
1000 AU variiert (s. Kap. 4.3.2).
Die Gesamtzeit richtet sich nach der Vorhauptreihen-Entwicklungszeit, diese wiederum nach
der Masse des Zentralsterns bei Erreichen der Hauptreihe (HR). Nahezu die gesamte Masse des
M?,HR ≈ (M?,init + Mdisk,init ). Die zugeKap. 2.4.3, Tab. 1 (s. Abb. 15) abgeschätzt
Systems wird auf den Zentralstern akkretiert, also ist
hörige Vorhauptreihenzeit kann mit den Werten aus
werden.
27
Abb. 15:
Vorhauptreihen-Entwicklungszeit abhängig von der Masse des Sterns nach Tab. 1.
Typische Massen von Sternen mit Protoplanetaren Scheiben oder Planetensystemen liegen
zwischen 0,1 und 3 M . Um den Übergang zwischen Sternen mit Planeten und solchen ohne zu
untersuchen, wird die Zentralmasse hier zwischen 0,5 und 10 M variiert (Kap. 4.3.4).
Die Scheiben um derartige Sterne haben typischerweise Massen von
Mdisk ∼ 0, 01M? (Kap. 4.3.3).
Jeder kleine Protoplanet bekommt die gleiche Anfangsmasse zugewiesen und zwar
1020 g (Kap. 4.1).
28
1022 g
bzw.
4
Simulationsreihen und Ergebnisse
Die Standard-Eingabeparameter jeder Simulation sind die folgenden:
Parameter
Wert
number of grid points
50
print intervall
105 yr
βvisc
log10 (rmin )
log10 (rmax )
log10 (r? )
0,001
max time
4 · 107 yr
1 M
0,01 M
initial
initial
11,6259 (1 R )
15,1749 (100 AU)
11,6259 (1 R )
Mcentral
Mdisk
Es werden in späteren Simulationsreihen immer nur ein bis zwei Parameter variiert, wobei die
anderen ihren Standardwert beibehalten. In den Plots sind die Eingabeparameter als Überschrift
und Legende zu nden.
4.1 Erste Simulation
Diese erste Simulation wurde mit den Standardwerten durchgeführt. Abb. 16-18 zeigen die Plots
der nur zeitabhängigen Ausgabegröÿen, während Abb. 19-25 die zeitliche Entwicklung der radiusabhängigen Gröÿen darstellt.
In Abb. 16 ist zu sehen, wie sich die Scheibenmasse und die Masse des Zentralsterns mit der
Zeit verändern. Das Verhältnis von
Md
zu
Mc
ist innerhalb der ersten 2,5 Myr von 0,01 auf
0,002 und nach ca. 20 Myr auf 0,001 herabgefallen. Dies lässt vermuten, dass die Hauptphase des
Planetenwachstums nach den ersten
106
Jahren beendet ist.
Im Vergleichsplot der Akkretionsrate mit ihrem Eddington-Limit (Abb. 17, rechts) ist zu sehen,
dass sie für diese Anfangsparameter 6 Gröÿenordnungen unterhalb des Limits liegt.
Die Numerischen Massenverluste (Abb. 18, links) betragen beim Standard-Parametersatz nur
0,02%. Hier liegt die Masse der Scheibe weit unterhalb der Zentralmasse, daher bleibt der SGRadius unverändert am Auÿenrand (Abb. 18, rechts).
Links: Zeitentwicklung von Zentralmasse und Scheibenmasse bei Standardparametern, Rechts: Zeitentwicklung
des Massenverhältnisses von Scheibe zu Zentralstern.
Abb. 16:
29
Abb. 17:
Links: Verhalten der Akkretionsrate mit der Zeit, Rechts: Akkretionsrate und zugehöriges Eddingtonlimit.
Links: Gesamtmasse des Systems inklusive Eddington- und Auÿenrand-Verluste, nimmt dieser Wert ab, so
geschieht dies durch numerische Eekte, Rechts: SG-Radius.
Abb. 18:
Die Winkelgeschwindigkeit, und somit auch die viskose Zeitskala, scheinen hier zeitlich konstant
zu sein, da die Masse der Scheibe und damit auch die Änderung der Masse innerhalb eines
bestimmten Radius sehr klein ist (Abb. 19). In der Ausgabedatei kann man die Änderung von
ω
ablesen. Innerhalb von 40 Myr beträgt sie gerademal 1% innen und nur 0,1% auÿen. Die
Umlaufzeiten im Innenbereich der Scheibe bis ca. 7 AU liegen zwischen 0,001 und 3,5 Jahren:
die Gröÿenordnung des inneren Sonnensystems. Die viskose Zeitskala liegt im Bereich von einem
Jahr innen bis zu
105
Jahren auÿen.
Wenn sich die Winkelgeschwindigkeit nicht ändert, so auch nicht die Azimutalgeschwindigkeit.
Sie liegt bei
106 − 107
cm
s (Abb. 20).
Abb. 21 zeigt die Radialgeschwindigkeit und ihre Änderung mit der Zeit, sowie mit prozentualer Zentralmassenänderung. Im Innenbereich der Scheibe ändert sie sich nach Verlassen der
Initialform nicht mehr. Dort fällt die Materie mit konstanten 1,5
km
s auf das Zentralobjekt. Der
riesige Initial-Peak am Auÿenrand der Scheibe, existiert aufgrund des dortigen steilen Abfalls der
anfänglichen Oberächendichte. Mit der Zeit und der Abachung von
recht schnell nach auÿen.
30
Σ verläuft er sich allerdings
Links: Radialverteilung der Winkelgeschwindigkeit zu unterschiedlichen Zeiten. Rechts: Radialverteilung der
viskosen Zeitskala zu unterschiedlichen Zeiten. Keine zeitliche Änderung, daher ist nur die zuletzt geplottete Kurve zu
sehen.
Abb. 19:
Links: Änderung der Radialverteilung der Azimutalgeschwindigkeit mit der Zeit, Rechts: mit prozentualer
Zentralmassenänderung. Wie in Abb. 19 keine zeitliche Änderung.
Abb. 20:
Links: Änderung der Radialverteilung der Radialgeschwindigkeit mit der Zeit, Rechts: mit prozentualer Zentralmassenänderung.
Abb. 21:
31
In KSG-β -Scheiben ist nach Duschl et al. (2000)
0, 0015.
|vs | = 23 βvϕ .
Demnach müsste hier
|vs /vϕ | =
Im interessanten Innenbereich der Scheibe ist dies bis auf den innersten Bereich (1 AU),
wo der Wert bis auf 0,009 hoch steigt, auch der Fall (Abb. 22).
Abb. 22:
Verhältnis von Radial- zu Azimutalgeschwindigkeit.
Die Abb. 23 lässt die zeitliche Entwicklung der Oberächendichte mitverfolgen. Bereits nach
den ersten 5 Myr ist ihr Wert um zwei Gröÿenordnungen abgefallen. Bei der Entwicklung verformt
sich
Σ
in den ersten Zeitschritten dergestalt, dass innen ein starker Dichteanstieg und auÿen ein
starker Abfall stattndet. Anschlieÿend fällt
Σ
überall gleichschnell ab und verbreitert sich nach
auÿen. In Abb. (23, rechts) ist zu sehen, dass selbst bei nur noch verbleibenden 0,6
Md,init
in der
Scheibe, die Flächendichte innen immernoch höher ist als zu Beginn der Simulation.
Abb. 23:
benmasse.
Links: Zeitentwicklung der Oberächendichte. Rechts: Oberächendichte bei prozentualer Abnahme der Schei-
32
Ausgehend von den Werten für die Oberächendichte
Staub-Oberächendichte
Σsolid
Σ
und der Lage der snowline, wurde die
berechnet und ist in Abb. 24 zu sehen. Ebenso die Wachstums-
raten der Protoplaneten, die zusätzlich immer noch von der Masse des Protoplaneten im letzten
Zeitschritt abhängen. Obwohl sich die Masse des Zentralsterns leicht ändert, verschiebt dies die
snowline bei diesen Massen nur unwesentlich.
Links: Zeitliche Entwicklung der Staub-Oberächendichte. Die angegebene Zeit ist Scheibenzeit, nicht die Zeit
seit Einsetzen des Planetenwachstums. Die rote Kurve zeigt hier die Initialwerte und die Legende gibt an, zu welcher
Scheibenzeit das Wachstum eingeleitet wurde. Rechts: Zeitliche Entwicklung der Wachstumsraten der Protoplaneten.
Abb. 24:
Schlieÿlich zeigt Abb. 25 die resultierenden Protoplanetenmassen. Die Vermutung, dass die
Hauptphase des Wachstums nach den ersten
106
Jahren beendet ist, bestätigt sich. Bei ver-
schiedenen Startmassen ist eine Konvergenz der Massenzunahme gegen dieselbe Gröÿenordnung
zu erkennen. Die groÿen Unterschiede macht die Wahl, welche Anfangsmasse man verwendet
6
schätzungsweise nur, bei den sehr begrenzten Entwicklungszeiten (< 10 yr) höherer Zentralmassen. Von den erforderlichen 10 M⊕ , um erwähnenswerte Mengen an Gas zu akkretieren und sich
gegebenenfalls zu einem Gasriesen zu entwickeln, sind die Planeten, die mit diesem StandardParametersatz entstehen, noch einige Gröÿenordnungen entfernt.
Links: Zeitentwicklung der Massen der Protoplaneten. Die angegebene Zeit ist wieder Scheibenzeit. Rechts:
Vergleich der Massenentwicklung der Protoplaneten einmal mit Anfangsmassen von 1020 g und einmal von 1022 g. Dies ist
ein älteres Ergebnis, bei dem die Planeten noch gleichzeitig mit der Scheibe beginnen, sich zu entwickeln.
Abb. 25:
33
4.2 Numerische Eekte
Der wichtigste numerische Eekt, der in den folgenden Simulationsreihen auftritt, ist der Einuss der gewählten Anzahl an Gitterpunkten (GP). Um ihn abschätzen zu können, wurde die
Simulation mit dem Standard-Parametersatz mit 25 und 100 GP wiederholt. Die Vergleiche mit
Initialwerten und Werten nach 40 Myr sind in Abb. 26-30 zu nden.
Abb. (26, links) zeigt das Massen-Budget für verschiedene GP-Zahlen. Bei 50 GP sind es, wie im
Kapitel Erste Simulation bereits festgestellt wurde, 0,02% Massenverlust. Mit nur 25 GP kommt
man auf ganze 0,1%, wohingegen es bei 100 GP nur 0,006% Verlust sind. In Abb. (26, rechts) ist zu
sehen, wie der Initialwert der Scheibenmasse bei weniger GP zu einem höheren Wert springt. Der
Grund hiefür liegt in den Anfangs-Randbedingungen auÿerhalb der Scheibe begründet (Kap. 4.4).
Dieser Plot stammt aus einer älteren Simulationsreihe, bei welcher durch einen unglücklichen
Zufall ein
Rmax
von
≈ 100000 AU
verwendet wurde. Dies sollte dennoch einen Eindruck der
Gröÿenordnung dieses Eektes liefern. Trotz der Tatsache, dass die Oberächendichte wesentlich
geringer ist und deshalb sehr viel weniger Masse dazuaddiert werden würde, verstärkt den Eekt
der Sachverhalt der viel geringeren GP-Zahl bei einer viel weiter ausgedehnten Scheibe. Wie dem
auch sei, hier liegt dieser Eekt 4 Gröÿenordnungen unterhalb des Wertes der Scheibenmasse
und kann gegenüber dem Verlust der Gesamtmasse vernachlässigt werden.
Dieser macht sich in der Entwicklung der Zentralmasse deutlich bemerkbar (Abb. 27, links). Die
Unterschiede in
Mcentral
sind von derselben Gröÿenordnung wie die der Gesamtmassen. Bei der
viskosen Zeitskala treten keine Unterschiede oder Variationen mit der Zeit auf (Abb. 27, rechts),
also werden auch
ω
und
vϕ
für unterschiedliche GP-Zahlen gleich und zeitlich konstant sein.
Im radialen Geschwindigkeitsprol (Abb. 28) klingen die äuÿeren unerwünschten Randbedingungen für 25 GP viel zu langsam ab.
In Abb. 29 sind
Σ
und
Σsolid
für verschiedene GP-Zahlen aufgetragen. Vom Maximalwert her
unterscheiden sie sich nicht sonderlich, jedoch ist der innere Rand für weniger GP weiter auÿen,
da ein solcher Gitterpunkt die Mitte seiner Zelle darstellt und der innere Rand der Scheibe
dem inneren Rand der Zelle des innersten GP entspricht. Auÿen und an der snowline sind die
Übergänge bei 50 und 100 GP wesentlich steiler.
Die Auswirkungen all dieser Unterschiede auf das Endergebnis der Planetenmassen ist in
Abb. 30 zu nden. Bei 25 GP erreichen die Massen ca. 41% der Massen mit 100 GP, bei 50
GP immerhin ca. 75%.
Links: Das Massen-Budget für verschiedene GP-Zahlen. Rechts: Scheibenmassen aus einer älteren Simulationsreihe mit vielen verschiedenen GP-Zahlen, hier ist Rmax ≈ 100000 AU .
Abb. 26:
34
Links: Zeitentwicklung der Zentralmassen für verschiedene GP-Zahlen. Rechts: Viskose Zeitskala für verschiedene
GP-Zahlen.
Abb. 27:
Abb. 28:
GP-Zahlen.
Links: Radialgeschwindigkeit, Rechts: Verhältnis von Radial- zu Azimutalgeschwindigkeit für unterschiedliche
Abb. 29:
Links: Oberächendichte und Rechts: Staub-Oberächendichte für verschiedene GP-Zahlen.
35
Abb. 30:
Links: Wachstumsraten und Rechts: Massen der Protoplaneten für verschiedene GP-Zahlen.
Die Berechnungen mit 100 GP dauern viel zu lange mit 4-5 Tagen pro Simulation. Bei 25 ist
der numerische Fehler zu groÿ, aber die Ergebnisse mit 50 Gitterpunkten kommen denen mit 100
schon sehr nahe (Konvergenz). Mit 50 GP dauert eine Simulation mit den Standardwerten bis
40 Myr ca. 10 Stunden, was deutlich weniger ist als mit 100 GP, für Parameter-Studien jedoch
an der Grenze des verkraftbaren Zeitaufwandes.
Wie bereits in Kap. 4.4 angemerkt, wurde in den Simulationsreihen zwecks Zeitersparnis
nicht durch Akkretion von Materie auf die Protoplaneten geändert und anstelle von
in der Berechnung der Planetenmassen hier
ω
ωkepler
Σ
wurde
verwendet. Anhand einiger ausgewählter Testsi-
mulationen, kann gezeigt werden, dass es im hier gewählten Parameterraum so gut wie keinen
Unterschied macht, die Änderungen der Ergebnisse liegen drei Gröÿenordnungen unter ihrem
Wert.
In Modell 2 wurde die Änderung von
Σ
mit einkalkuliert, indem nach jedem Schritt die auf
den Protoplaneten akkretierte Masse von der Ringmasse des jeweiligen Gitterpunktes abgezogen,
und die Oberächendichte anschlieÿend neu berechnet
wurde.
q
In Modell 3 wurde nun auch noch
ωkepler =
G Mc
verwendet.
s3
Abb. 31 zeigt die Ergebnisse für verschiedene GP-Zahlen, Abb. 32 und
33
die Ergebnisse für
zwei Simulationen mit sehr groÿem Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse für zwei verschiedene Gesamtmassen. Bei Ersteren taucht überhaupt keine sichtbare Änderung der Ergebnisse
auf. Bei Letzteren gibt es eine kleine sichtbare Änderung der Planetenmassen am Auÿenrand der
Scheibe zwischen Modell 2 und 3, obwohl die Staub-Oberächendichte scheinbar gleich ist. Die
Kreisfrequenz
frequenz
ω
ωkepler
weicht bei diesen Massenverhältnissen also bereits von der Keplerschen Kreisdurch einen kleinen Selbstgravitations-Eekt, zumindest im Auÿenbereich der
Scheibe, ab.
Da hier die Änderung von
Σ durch Planetenwachstum anscheinend keine Rolle spielt, entstehen
auf diese Weise, mit diesem Modell, auch keine gaps in der Scheibe. Eventuell ändert sich das,
wenn die Exzentrizität der Planetesimale, die auf die Protoplaneten fallen, einberechnet wird
und somit deren eektive Einfangradien steigen (siehe Ausblick).
36
Abb. 31:
Planetenmassen bei Erreichen der Hauptreihe für die drei Modelle bei unterschiedlichen GP-Zahlen.
Gesamtmasse 2 M , Links: Staub-Oberächendichte und Rechts: Planetenmassen bei Erreichen der Hauptreihe
für die drei Modelle bei groÿem Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse.
Abb. 32:
Gesamtmasse 10 M , Links: Staub-Oberächendichte und Rechts: Planetenmassen bei Erreichen der Hauptreihe
für die drei Modelle bei groÿem Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse.
Abb. 33:
37
Ein weiterer numerischer Eekt entsteht aus den Anfangsverteilungen der verschiedenen Gröÿen. Es wurde bereits erwähnt, dass dieser Eekt für die Planetenmassen weitgehend vermieden
wurde, indem deren Wachstum erst gestartet wurde, nachdem die Initialform von
war. Abb. 34 und
35
Σ
verossen
zeigen alte Beispiele, ohne das Wachstums-Delay.
Gesamtmasse 1 M , Links: Wachstumsrate der Protoplaneten Rechts: Massen der Protoplaneten. Das Wachstum
wurde bereits bei t=0 gestartet, so dass die Initialform von Σ einen sichtbaren Einuss auf die Planetenmassen hat.
Abb. 34:
Gesamtmasse 10 M , Links: Wachstumsrate der Protoplaneten Rechts: Massen der Protoplaneten. Wieder
wurde das Planetenwachstum bei t=0 gestartet, allerdings sind hier, mit 30 Myr, für 10 M zu lange Zeiten betrachtet
worden. Die Verformung besteht aber auch schon bei 5 Myr.
Abb. 35:
38
4.3 Physikalische Eekte
In den folgenden Simulationsreihen wurden verschiedene physikalische Parameter variiert und
ihr Einuss auf die Scheibenentwicklung und das Planetenwachstum untersucht. In den radialen
Vergleichs-Plots sind die Verteilungen für den Zeitpunkt des Erreichens der Hauptreihe (durchgezogene Linien), sowie die Initialverteilung (gepunktete Linien) vertreten.
4.3.1
Der
Viskosität
β -Parameter ist ein Maÿ für die Viskosität (Zähigkeit) der Scheibe. In dieser Simulationsrei-
he wird er zwischen 0,001 (niedrige Viskosität) und 0,005 (hohe Viskosität) variiert (Abb. 36-41).
ω
ist für alle
β
gleich und ändert sich auch nicht mit der Zeit, also ändert sich die viskose
Zeitskala nur antiproportional zu
β
(Abb. 36).
Bei höheren Viskositäten (β = 0,005) ndet zwar die Entwicklung (Abb. 38) deutlich schneller
statt (kürzere viskose Zeitskala) und es herrschen viel höhere Radialgeschwindigkeiten, aber
numerische Auÿenrandprobleme, z.B. bei
vs /vϕ ,
verwischen sich wesentlich schlechter (Abb. 37).
In Abb. 39 ist zu erkennen, dass für Scheiben mit höherer Viskosität geringeres Planetenwachs-
β = 0, 005 wurde einzeln die Zeitentwicklung der Pro106 Jahren passiert so gut wie nichts mehr. Die Scheibe
tum möglich ist. Für das Extrembeispiel
toplaneten dargestellt. Nach den ersten
ist akkretiert, nach auÿen verlaufen und für das Planetenwachstum praktisch weg. An den Plots
der Zeitentwicklung von
Σ
und
Σsolid
in Abb. 40 kann beobachtet werden, dass die Werte nach
1 Myr bereits um zwei bis drei Gröÿenordnungen gefallen sind.
Die Radialverteilung von
Σ verändert sich für unterschiedliche β nicht bei gleichem Md (Abb. 41,
kleine Unterschiede resultieren aus Ungenauigkeiten bei der Rundung für die Ausgabe). Dies ist
∂Σ/∂Md betrachtet:
!
sνΣs2 ∂ω
1 ∂
∂s
=−
∂(s2 ω)
s ∂s
analytisch nachvollziehbar, wenn man
∂Σ
1 ∂
=−
∂t
s ∂s
∂
∂s
∂
∂s
s5 βωΣ ∂ω
∂s
!
.
∂(s2 ω)
∂s
∂s
Der Massenuss am inneren Rand der Scheibe ist:
∂
2π ∂s
s5 βωΣ ∂ω
∂Md
∂s
=
∂(s2 ω)
∂t
.
∂s
Daraus ergibt sich:
∂Σ
∂Σ ∂Md
/
.
=
∂Md
∂t ∂t
In
∂Σ/∂Md
lässt sich
β
sofort herauskürzen, also ist die Änderung von
der Scheibenmasse unabhängig von
β.
Die Wahl von
Entwicklung aus.
39
β
Σ
mit der Änderung
wirkt sich nur auf die Zeitskala der
Abb. 36:
Links: Viskose Zeitskala für verschiedene β . Rechts: Winkelgeschwindigkeit für verschiedene β .
Links: Radialgeschwindigkeit für verschiedene β . Rechts: Verhältnis von Radial- zu Azimutalgeschwindigkeit für
verschiedene β .
Abb. 37:
Links: Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse für verschiedene β . Rechts: Entwicklung der Oberächendichte
für verschiedene β .
Abb. 38:
40
Abb. 39: Links: Massen der Protoplaneten für verschiedene β im Vergleich. Rechts: Zeitentwicklung der Protoplaneten
für den Extremfall β = 0, 005.
Abb. 40:
β = 0, 005.
Links: zeitliche Entwicklung der Oberächendichte und Rechts: Staub-Oberächendichte für den Extremfall
Entwicklung der Oberächendichte mit prozentualer Abnahme der Scheibenmasse Links: β = 0, 001. Rechts:
im Vergleich.
Abb. 41:
β = 0, 005
41
4.3.2
Äuÿerer und Innerer Scheibenradius
Nun soll der Einuss der Ausdehnung der anfänglichen Scheibe untersucht werden. Zunächst
wird der Auÿenradius
Rmax
variiert.
Die Scheibenmasse nimmt für kleinere Radien deutlich schneller ab (Abb. 42, links), obwohl
weniger numerischer Massenverlust zu verzeichnen ist (Abb. 42, rechts). Sie akkretiert also deutlich schneller auf das Zentralobjekt und/oder verströmt nach auÿen. Dies liegt darin begründet,
dass die anfängliche Oberächendichte
Σ
für kleinere Scheiben wesentlich höher ist als bei einer
gröÿeren der gleichen Masse.
Ein gröÿerer Radius hat sofort eine geringere Oberächendichte zur Folge. Deshalb wurde
zum Vergleich in einer Simulation mit 10-fachem Auÿenradius eine Scheibenmasse
Md
mit 100-
fachem Wert gewählt (Abb. 43-47, aquamarine Kurven), damit sich der gleiche Startbetrag für
Σ
(Abb. 44) ergibt. Da diese Scheibe eine Masse von 1M besitzt, musste die Maximalzeit für
die Planetenentwicklung für diese Scheibe auf 25 Myr anstatt 40 Myr verkürzt werden.
ω , die viskose Zeitskala τν und damit auch vϕ haben hier für alle Scheiben die
gleiche radiale Startverteilung (Abb. 43) und ändern sich mit der Zeit für verschieden ausgedehnte
Die Kreisfrequenz
Scheiben nicht. Die Scheibe mit der 100-fachen Masse allerdings entwickelt sich mit der Zeit zu
höheren Kreisfrequenzen und damit zu kürzeren Zeitskalen, da die Änderung der Zentralmasse
mit der Zeit durch Akketion der Scheibe hier nicht mehr zu vernachlässigen ist. Immerhin ist das
Massenverhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse zu Beginn der Entwicklung 1.
Die Radialgeschwindigkeiten (Abb. 44, links) in der Scheibe mit 1M im Zentrum und 1M
Scheibenmasse bei 1000 AU Auÿenradius sind gröÿer als in der zugehörigen Scheibe gleicher
Oberächendichte aber geringerer Gesamtmasse mit 1M im Zentrum und 0,01M Scheibenmasse bei 100 AU Auÿenradius. In den anderen Scheiben mit gröÿeren Radien und geringerer
Oberächendichte bleiben sie gleich bis zum jeweiligen numerischen Innenrand. Die hohen Radialgeschwindigkeiten in der angepassten Scheibe nehmen auch einen breiteren Radius ein, als
bei den anderen Scheiben. Durch den Beitrag der Scheibenmasse zur Gravitationskraft wird bereits Materie sehr weit auÿen in der Scheibe nach innen gezogen, um dort durch die erhöhte
Oberächendichte noch schneller auf das Zentralobjekt zu fallen.
Trotz der hohen Anfangs-Oberächendichte in der Scheibe mit 50 AU Auÿenradius, ist sie am
Ende der betrachteten 40 Myr diejenige mit der geringsten (Abb. 44, rechts). So auch bei der
Staub-Oberächendichte und der Wachstumsrate für Protoplaneten (Abb. 45). Die Wachstumsraten der Protoplaneten zu diesem Zeitpunkt nehmen mit gröÿeren Scheibenradien und geringerer Dichte zu. Allerdings reicht oensichtlich bei der Scheibe mit 1000 AU Ausdehnung und
0,01M Scheibenmasse die Initial-Oberächendichte nicht mehr aus, um in der verfügbaren Zeit
zumindest gröÿere Planetenmassen zu erreichen als die 100 AU-Scheibe (Abb. 46, links). Es muss
also zu jeder Initial-Scheibenmasse einen zugehörigen Maximalwert des Initial-Scheibenradius
geben, bis zu welchem die erreichten Planetenmassen durch die verlangsamte Akkretion gröÿer
werden. Bei gröÿeren Werten wäre dann die Oberächendichte zu Beginn der Entwicklung zu
gering. Durch weitere Simulationsreihen lieÿe sich für dieses Modell die Masse-Radius Abhängigkeit für maximale Planetenmassen feststellen. Eventuell existiert eine gemeinsame minimale
Initial-Oberächendichte, welche die Scheibe besitzen muss.
Obwohl die angepasste Scheibe mit 1M eine deutlich kürzere Entwicklungszeit zur Verfügung
hat, erreichen ihre Protoplaneten Massen im Erdmassenbereich (Abb. 46, rechts). Schlieÿlich liegt
die Hauptphase des Planetenwachstums bei den anderen Scheiben innerhalb der ersten
106
Jah-
re, da sie so schnell akkretiert werden. Diese Scheibe jedoch hat eine Haupt-Wachstumsphase
von
5 · 106
Jahren, wie in Abb. (47, rechts) zu erkennen ist. Bei dieser Abbildung handelt es
sich um einen Vergleich der zeitlichen Entwicklungen der Planetenmassen von Scheiben gleicher
Masse (1M ) aber mit unterschiedlicher Ausdehnung nach innen und auÿen. Ganz links wurde
42
der innere Scheibenradius (1,516R ) nach der Masse-Radius-Relation für Hauptreihensterne an
die Gesamtmasse und spätere Endmasse des Zentralsterns (2M ) angepasst, wobei der Auÿenrand der Scheibe bei 100 AU belassen wurde. In der Mitte ist der Auÿenrand ebenfalls 100 AU,
dafür ist der Innenrand bei nur 1R . Durch diese für astrophysikalische Verhältnisse minimale
Vergröÿerung der Scheibe, sind die resultierenden Planetenmassen um nahezu eine Gröÿenordnung angestiegen. Die Anfangsbedingungen des rechten Bildes unterscheiden sich von denen des
mittleren Bildes durch eine Verzehnfachung des Radius des äuÿeren Scheibenrandes. Die Endergebnisse der Planetenmassen nach 25 Myr unterscheiden sich hierbei nur geringfügig, jedoch
ndet das Wachstum in der Scheibe mit dem gröÿeren Auÿenradius deutlich langsamer statt.
Schätzungsweise wird das Maximum der bei dieser Scheibenmasse möglichen Planetenmassen
für eine Scheibe mit einem Auÿenradius zwischen 100 und 1000 AU erreicht, ebenso wie bei den
Scheiben mit 0,01M .
Links: Zeitliche Entwicklung der Massen und Rechts: des Massen-Budgets von Scheiben verschiedener Ausdehnung bei gleicher Startmasse.
Abb. 42:
Links: Winkelgeschwindigkeit und Rechts: viskose Zeitskala in Scheiben verschiedener Ausdehnung. Die Aquamarinen Kurven zeigen die Werte für die Scheibe, deren Masse an den gröÿeren Radius angepasst wurde.
Abb. 43:
43
Links: Radialgeschwindigkeiten und Rechts: Oberächendichte nach Erreichen der Hauptreihe für Scheiben
unterschiedlicher Ausdehnung.
Abb. 44:
Links: Staub-Oberächendichte und Rechts: Wachstumsrate der Protoplaneten nach Erreichen der Hauptreihe
für Scheiben unterschiedlicher Ausdehnung.
Abb. 45:
Links: In verfügbarer Zeit (40 Myr) erreichte Planetenmassen, Rechts: inklusive der Planetenmassen für die
angepasste Scheibe nach 25 Myr.
Abb. 46:
44
Vergleich der zeitlichen Entwicklungen der Planetenmassen von Scheiben gleicher Masse (1 M ) und unterschiedlicher Ausdehnung nach innen und auÿen. Links: Innenradius an 2M Gesamtmasse angepasst. Mitte: Innenradius an
1 M anfängliche Sternmasse angepasst, Auÿenradius mit Standardwert. Rechts: Auÿenradius auf 10-fachen Standardwert
vergröÿert.
Abb. 47:
4.3.3
Scheibenmasse
Nachdem im vorherigen Abschnitt ein Eindruck davon gewonnen wurde, wie sich die anfängliche Oberächendichte auf das Planetenwachstum auswirkt, wird dieser Aspekt hier genauer
untersucht. Diesmal wird der Auÿenradius der Scheibe allerdings konstant gehalten und nur die
Scheibenmasse variiert. Die Simulationsreihe wurde einmal für einen Zentralstern von einer
und einmal für einen von zwei
M
M
durchgeführt. Der innere Radius der Scheibe wurde wieder
nach der Masse-Radius-Relation für Hauptreihensterne an die jeweilige Anfangsmasse des Zentralsterns angepasst. Die Begrenzungen der Entwicklungzeiten wurden aus der VorhauptreihenEntwicklungszeit eines Sterns der Gesamtmasse des betrachteten Systems bestimmt. Dabei bekommt eine Gesamtmasse von 1 M 40 Myr, eine Masse von 2 M 25 Myr, 3 M 8 Myr und 4 M
4 Myr zugeschrieben. Die Ergebnisse sind in den Abbildungen
48-53
zur Anschauung gebracht.
Die viskose Zeitskala (Abb. 48) ist für die höheren Scheibenmassen, also die höheren AnfangsOberächendichten, wie erwartet kürzer als für niedrigere. Das Verhältnis von Scheiben- zu
Zentralmasse spielt dabei oensichtlich eine gröÿere Rolle, denn für die schmalere Scheibe mit
1,516 M Innenradius wäre eigentlich ein deutlicherer Unterschied zwischen den viskosen Zeitskalen verschiedener Scheibenmassen zu erwarten gewesen. Da sich jedoch ein 2 M -Stern im
Zentrum bendet, wird die Dierenz sogar geringer.
Für die Azimutal- (Abb. 49) und Radialgeschwindigkeiten (Abb. 50) ist die anfängliche Verteilung für alle Scheibenmassen gleich. Ab ca.
Md,init = 0, 1Mc,init
ist die Vergröÿerung der
Zentralmasse durch Akkretion der Scheibenmasse nicht mehr zu vernachlässigen und die Geschwindigkeiten steigen mit der Zeit an. Wieder ist der Unterschied bei beiden Geschwindigkeiten
deutlicher für die kleinere Zentralmasse.
Obwohl durch höhere Oberächendichten schneller akkretiert wird, reicht hier das Initial-Σ
(Abb. 51) aus, um gröÿere Planeten hervorzubringen (Abb. 53). Auÿerdem kann man in Abb. 51
45
erkennen, dass bei den gröÿten Anfangs-Scheibenmassen die Selbstgravitation dazu beiträgt, das
Verlaufen der Scheibe nach auÿen abzubremsen. Dadurch wird die Scheibe nach innen gestaucht
und die Oberächendichte zusätzlich erhöht, was ebenfalls zum Planetenwachstum beiträgt. Die
Erhöhung der möglichen Planetenmassen mit Erhöhung der anfänglichen Scheibenmasse sollte so
lange stattnden, bis bei zu hohen Gesamtmassen die zeitliche Begrenzung des Planetenwachstums in dessen Hauptphase fällt.
Viskose Zeitskala in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe, Links:
Für eine Zentralmasse von 1M . Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M .
Abb. 48:
Azimutalgeschwindigkeit in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe,
Links: Für eine Zentralmasse von 1M . Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M .
Abb. 49:
46
Radialgeschwindigkeit in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe,
Links: Für eine Zentralmasse von 1M . Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M .
Abb. 50:
Oberächendichte in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der Hauptreihe, Links:
Für eine Zentralmasse von 1M . Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M .
Abb. 51:
Wachstumsrate von Protoplaneten in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der
Hauptreihe, Links: Für eine Zentralmasse von 1M . Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M .
Abb. 52:
47
Erreichte Massen von Protoplaneten in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der
Hauptreihe, Links: Für eine Zentralmasse von 1M . Rechts: Für eine Zentralmasse von 2M .
Abb. 53:
Für Scheiben mit an die Gesamtmasse angepassten Innenradien allerdings scheint es keinen
solchen Umkehrpunkt zu geben (Abb. 54). Die erhöhte Dichte durch die (nur wenige Sonnenradien) schmaleren Scheiben vermag die Akkretion dermaÿen zu beschleunigen, dass die Planeten
bei gröÿeren Anfangs-Scheibenmassen nur geringere Massen erreichen. Es liegt hier nicht an der
Beschränkung der Zeit zusammen mit der Tatsache, dass das Wachstum eventuell sehr langsam
vorangeht. Genaueres dazu ist in Kap. 4.3.5 zu nden.
Erreichte Massen von Protoplaneten in Scheiben verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der
Hauptreihe. Der Zentralstern hat jeweils eine Startmasse von ca. 0,1M . Die Zeitbegrenzung bezieht sich, wie immer, auf
die Gesamtmasse und auch der Innenrand der Scheibe wurde an den Radius eines Hauptreihensterns mit der jeweiligen
Gesamtmasse angeglichen.
Abb. 54:
48
4.3.4
Zentralmasse
Dieser und der folgende Teil dieser Arbeit sind für den beobachtenden Astronomen wahrscheinlich von besonderem Interesse, da es hier um die Auswirkungen der Massen der Zentralsterne
auf das Planetenwachstum geht. Schlieÿlich ist die Suche nach extrasolaren Planeten von nicht
unerheblichem Aufwand. Es wäre demnach lohnend zu wissen, bei welchen stellaren Massen
Planetensysteme zu erwarten sind.
Der Einuss der Zentralsternmasse auf das Planetenwachstum wird hier mit und ohne an die
Gesamtmasse angepassten Innenradius untersucht. Die Abb. 55-60 zeigen die Ergebnisse für die
verschiedenen Gröÿen nach Erreichen der Hauptreihe (HR). Die maximale Entwicklungszeit wird
auch hier aus der Vorhauptreihenentwicklungszeit (Tab 1, Abb. 15) bestimmt.
Wie erwartet ist die viskose Zeitskala
τν
(Abb. 55, links;
τν = s2 /ν
Kap. 2.1.3) für die Scheiben
um massereicheren Sternen deutlich kürzer als für solche, die masseärmere Sterne im Zentrum
aufweisen. Aufgrund der niedrigen Scheibenmassen, ndet keine sichtbare zeitliche Änderung von
τν
statt und somit auch nicht für die Winkelgeschwindigkeit
ω
(Abb. 56).
Diese ist um die höheren Zentralmassen sichtlich gröÿer und eine Umlaufperiode erreicht für
10 M Tiefstwerte von ca. 0,0003 Jahre bei nicht angepasstem Innenrand. Wird der innere Radius
an die Sternmasse angepasst, so werden bei höheren Massen geringere Spitzenwerte erreicht, da
die Scheibe weiter auÿen abgeschnitten wird. Die eigentlichen Werte bei jedem Radius,
ω(s),
unterscheiden sich kaum von denen in den Scheiben mit unangepasstem Radius.
Die Radialgeschwindigkeiten (Abb. 57) werden ebenfalls gröÿer mit höherer Zentralmasse. Ebenso wie bei
ω,
wird auch hier mit der Anpassung der Radien eine Verringerung der Spitzenwerte
durch Abschneiden hervorgerufen. Durch die erhöhte Oberächendichte allerdings, werden die
eigentlichen Werte der Radialgeschwindigkeiten,
vs (s),
erhöht, so dass dennoch die Scheiben mit
den höchsten Zentralmassen die höchsten Radialgeschwindigkeiten aufweisen.
Die Akkretionsrate steigt mit höherer Zentralmassen merklich an, wie in Abb. (55, rechts)
zu erkennen ist. Sehr deutlich lässt sich in dieser Abbildung die Auswirkung der verkürzten
Entwicklungszeit für gröÿere Massen beobachten. Für die Scheiben mit Zentralsternen von 1
und 2 M ist oensichtlich genügend Zeit vorhanden, um in den relativ stabilen Massenbereich
unterhalb von 0,001 M zu gelangen, obwohl ihre Akkretionsraten am geringsten sind. In diesen
Scheiben würden dann auch mit mehr Zeit die Planeten kaum höhere Massen erreichen. Bei
höheren Zentralmassen, wird dagegen die Entwicklung mitten in der Haupt-Akkretionsphase
abgebrochen.
Dieser Eekt ist auch in Abb. 58 zu nden, in welcher sich die Werte für die Oberächendichte
der Scheibe um 1 M am Ende der Entwicklung kaum von denen der Scheibe um 2 M unterscheiden, während die Werte der anderen deutlich darüber liegen. Die Angfangs-Oberächendichte
Σinit der Scheiben mit angepasstem Innenradius ist nur geringfügig höher als die derjenigen mit
R? = 1R , da die Scheiben sehr massearm sind. Auch beim direkten Vergleich von Abb. (58,
links) mit Abb. (58, rechts) ist nur ein minimaler Unterschied der jeweils zur gleichen Zentralmasse gehörenden Verteilungen von Σ(HR-Ankunft) zu erkennen. In Abb. (58, links) sind sie wie
erwartet etwas höher, da die Akkretion in Abb. (58, rechts) durch die leicht höhere Initialdichte
beschleunigt wird. Gleiches gilt natürlich auch für die Staub-Oberächendichte Σsolid in Abb. 59.
Hier kann man sehen, wie die snowline von der Masse des Zentralsterns abhängt.
Trotz der geringen Unterschiede zwischen den Flächendichten für angepasste und unangepasste
Innenradien, sieht das Ergebnis für die maximal erreichten Planetenmassen (Abb. 60) deutlich
verschieden aus. Bei den unangepassten Radien, also den niedrigeren Flächendichten, ist bei
einem Zentralstern von 2 M die Planetenmasse ca. 1,5 mal so groÿ wie bei den angepassten.
Der Eekt ist eigentlich sogar noch gröÿer, da hier bei angepassten Radien automatisch die
Gitterpunkte enger sind als bei den unangepassten. Aus Kap. 4.2 ist bekannt, dass ein engeres
49
Gitter eine höhere Planetenmasse berechnet.
Für verschiedene Zentralmassen und gleichem Innenradius ändert sich die Radialverteilung von
Σ nicht bei prozentualer Abnahme der Scheibenmasse, abgesehen von kleinen Rundungsdierenzen, die bei der Auswahl der Ausgabewerte entstehen. Dies ist voraussichtlich nicht mehr der
Fall, wenn das Eddington-Limit oder die Selbstgravitation eine Rolle spielen. In Abb. 61 ist der
Verlauf für eine Zentralmasse von 1 M und für eine von 10 M zu sehen. Wie in Kap. 4.3.1 für
β , gibt es vermutlich eine Lösung für ∂Σ/∂Md , die bei Vernachlässigung der Scheibenmasse, also
ωkepler , unabhängig von der Zentralsternmasse Mc wird.
bei Verwendung von
Links: Viskose Zeitskala und Rechts: zeitliche Entwicklung der Massen von Scheiben der Anfangsmasse 0,01 M
bei Innenradien von 1 R um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft des Zentralsterns auf der HR.
Abb. 55:
Azimutalgeschwindigkeiten in Scheiben der Anfangsmasse 0,01 M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft
des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1 R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien.
Abb. 56:
50
Abb. 57: Radialgeschwindigkeiten in Scheiben der Anfangsmasse 0,01 M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft
des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1 R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien.
Abb. 58: Oberächendichten von Scheiben der Anfangsmasse 0,01 M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft des
Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1 R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien.
Abb. 59: Staub-Oberächendichten von Scheiben der Anfangsmasse 0,01 M um Sterne verschiedener Massen bei Ankunft
des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1 R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten Innenradien.
51
Erreichte Massen von Protoplaneten in Scheiben der Anfangsmasse 0,01 M um Sterne verschiedener Massen
bei Ankunft des Zentralsterns auf der HR. Links: bei Innenradien von 1 R und Rechts: bei an den Zentralstern angepassten
Innenradien.
Abb. 60:
Entwicklung der Oberächendichten mit prozentualer Abnahme der Masse von Scheiben mit der Anfangsmasse
0,01 M Links: bei einem Zentralstern mit 1 M und Rechts: bei einem Zentralstern mit 10 M .
Abb. 61:
4.3.5
Anfängliches Massenverhältnis bei gleicher Gesamtmasse
In dieser abschlieÿenden Simulationsreihe wird die Auswirkung der anfänglichen Massenverteilung des Systems auf die resultierenden Planetenmassen untersucht. Es wird für verschiedene
Gesamtmassen zwischen 0,5 und 10 M mit angepassten Innenradien jeweils eine Reihe von
Simulationen mit unterschiedlichen Startwerten von
Md /Mc
durchgeführt. In den vorherigen
Abschnitten wurde beobachtet, dass erhöhte Scheibenmassen zu erhöhten Oberächendichten
und damit zu höheren Akkretionsraten führen. Allerdings lässt eine niedrigere Zentralmasse die
Akkretionsraten wieder sinken. In diesem Abschnitt ist beides gleichzeitig der Fall und es ist von
Interesse, welcher Eekt ausschlaggebend ist.
Die numerischen Massenverluste (Abb. 62, links) sind bei allen Gesamtmassen für die höheren anfänglichen Scheibenmassen gröÿer als für die niedrigeren. Sie liegen bei ganzen 1-2%. Die
Entwicklung der Scheiben hin zu stabileren Massenverhältnissen geschieht sehr schnell. Innerhalb der ersten 2 Myr ist
Md /Mc
bei allen initialen Massenverhältnissen und allen betrachteten
Gesamtmassen auf 0,2 gesunken (Abb. 62, rechts). Bei den Simulationsreihen mit einer Gesamt-
52
masse von 10 M wurde zusätzlich eine Simulation mit vergröÿertem Auÿenradius durchgeführt,
in welcher die Entwicklung wie erwartet deutlich langsamer vonstatten geht.
In Abb. (63, links) ist anhand des Beispiels mit der Gesamtmasse von 10 M zu erkennen,
dass bei den höchsten Massenverhältnissen
Md /Mc
die Akkretionsrate ebenfalls am höchsten
ist. Sie beginnt allerdings, im Vergleich mit der Rate bei kleineren Start-Scheibenmassen, mit
einem niedrigeren Wert und nimmt zunächst langsamer zu, was vermutlich in der geringeren
Start-Zentralmasse begründet liegt. In den ersten Zeitschritten wird die Materie der Scheibe
hauptsächlich durch ihre Selbstgravitation dazu veranlasst von auÿen nach innen zu ieÿen.
Erst wenn die Oberächendichte innen dadurch genügend angestiegen ist und das Zentralobjekt
bereits einen kleinen Teil der Scheibe akkretiert hat, steigt die Akkretionsrate merklich an und
erreicht ihre Spitzenwerte. In Abb. (63, rechts) ist zum Vergleich der zeitliche Verlauf des SGRadius (Kap. 4.4) dargestellt.
Für keinen der betrachteten Fälle wird das Eddington-Limit für die Akkretionsrate über-
Mc = 0, 2 M und
Gröÿenordnungen (Abb. 64). Die
schritten. Die höchste hier beobachtete Akkretionsrate bei den Startwerten
Md = 9, 8 M
nähert sich dem Limit gerade bis auf ca. zwei
Beschränkung der Akkretionsrate durch den gleichzeitigen Massenabuss aufgrund der Abstrahlung freiwerdender Gravitationsenergie ist also für Systeme mit Gesamtmassen von nur einigen
M
nicht von Bedeutung.
Die Azimutalgeschwindigkeiten
vϕ
mit der Zeit aber sehr schnell der gleichen Radialverteilung
die Radialgeschwindigkeiten (Abb. 65, rechts) und umgekehrt
links). Die Initialwerte von
vϕ
Md /Mc geringer, nähern sich
(Abb. 65, links). Gleiches gilt für
für die viskose Zeitskala (Abb. 66,
sind anfänglich bei höherem
in den Scheiben mit den höchsten Massenverhältnissen zum Zen-
tralstern weisen weit auÿen eine leichte Erhöhung auf, welche sich vom Wert her an die Geschwindigkeiten am Ende der Entwicklung anpasst. Dies ist durch den Einuss der Selbstgravitation zu
erklären. In der Scheibe höherer Anfangsmasse, sieht ein Teilchen, das sich weit auÿen bendet,
bereits zu Beginn der Entwicklung die Gesamtmasse von der Scheibe und dem Stern im Zentrum.
Bei der viskosen Zeitskala (Abb. 66, links) ist dieser Eekt ebenfalls deutlich zu erkennen.
In Abb. (66, rechts) ist für drei verschiedene Gesamtmassen zu den jeweiligen anfänglichen Massenverhältnissen die Oberächendichte
Σ
nach Erreichen der Hauptreihe zu sehen. Tatsächlich
ist, trotz höchsten Initial-Flächendichten und numerischen Verlusten, bei den gröÿten
Md /Mc
die
Oberächendichte immer die höchste. Zusätzlich sind die Abstände zwischen den entwickelten
Σ
der verschiedenen Anfangsbedingungen auf der logarithmischen Skala gleich denen der initialen
Σ.
Die kleine Zentralmasse verlangsamt die Akkretion also nur so viel, wie die erhöhte Ober-
ächendichte sie beschleunigt. Die Eekte gleichen sich aus und das lässt darauf schlieÿen, dass
für höhere Anfangsmassen bei gleichen Gesamtmassen das mögliche Planetenwachstum stärker
begünstigt wird.
Diese Schlussfolgerung bewahrheitet sich (zumindest in dem hier verwendeten Modell), betrachtet man Abb. 67. Dort sind sich die am Ende der Vorhauptreihen-Entwicklung erreichten
Planetenmassen für verschiedene Massenverhältnisse bei jeweils gleicher Gesamtmasse gegenüber
gestellt. Je höher das anfängliche Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse ist, desto massereichere Planeten können erreicht werden. Dabei ist auch eine Abhängigkeit von der Gesamtmasse
zu erkennen. In Abb. 68 sind für jede der betrachteten Gesamtmassen die jeweils maximal erreichten Planetenmassen im direkten Vergleich dargestellt. Gröÿere Gesamtmassen bei den gleichen
Auÿenradien und sogar einem weiter auÿen liegenden Innenrand akkretieren schneller und lassen
somit nur geringeres Planetenwachstum zu. Ab ca. 3 M Gesamtmasse spielt dann noch zusätzlich die verkürzte Vorhauptreihen-Zeit eine Rolle. Bei einer Gesamtmasse von 10 M wurde
getestet, ob mit einem erweiterten Auÿenrand, wie in Kap. 4.3.2, deutlich höhere Planetenmassen
erzielt werden können. Dies ist mit 1000 AU Auÿenradius allerdings nur geringfügig der Fall. Hier
bietet sich an, die Simulationsreihe mit den je Scheibenmasse für das Planetenwachstum idealen
Auÿenradien, auf deren Existenz in Kap. 4.3.2 hingewiesen wurde, zu wiederholen.
53
Den Beweis, dass diese Tendenz für die Gesamtmassen bis 3 M nicht hauptsächlich an der
stärker begrenzten Entwicklungszeit liegt, erbringt Abb. 69, welche die zu den Maximalwerten je
Gesamtmasse gehörende Zeitentwicklung der Planetenmassen zeigt. Bis einschlieÿlich dem Fall
einer Gesamtmasse von 2 M , würden die Planeten selbst bei einer um 40 Myr verlängerten Entwicklungszeit nicht bedeutend massereicher werden, bei höheren Gesamtmassen dagegen doch.
Die erhöhte Akkretionsrate ist also für den Abfall der maximalen Planetenmassen bei Gesamtmassen bis 2 M ausschlaggebend, wobei ihr Einuss bereits ab 1M stark abnimmt. Die Ergebnisse für 1 bis 4
M
liegen in einem Übergangsbereich, in welchem die erhöhte Akkretionsrate
nicht mehr und die begrenzte Entwicklungszeit noch nicht so groÿen Einuss haben. Sie liegen in
Abb. (68, rechts) auf einer relativ abgeachten Geraden, welche zu gröÿeren Gesamtmassen hin
an etwas steilere und zu kleineren hin an deutlich steilere Verläufe angrenzt. Zu gröÿeren Massen
hin fehlen hier allerdings Zwischenwerte, um genauere Schlüsse ziehen zu können.
Bei einer Gesamtmasse von 0,5 M wird im Maximalfall bei den Planetenmassen knapp die
5 M⊕ für zusätzlichen Anstieg der Wachstumsrate durch angesammelte Atmosphäre überschritten. Bei keinem der betrachteten Fälle ist ein Kern entstanden, der die für nennenswerte GasAkkretion benötigten ca. 10 M⊕ besitzt. Allerdings gilt bei allen hier gewonnenen Ergebnissen
zu bedenken, dass die Planeten nur etwa 75% der Massen erreicht haben, die sich bei einer
Simulation mit 100 Gitterpunkten ergeben hätte. Damit würden sie jedoch noch immer nicht
die Massen gasakkretierender Planetenkerne erreichen. Vermutlich ergäben sich deutlich höhere
Planetenwachstumsraten mit Aussicht auf Gasriesenbildung, wenn die möglichen Exzentrizitäten der auf die Protoplaneten einfallenden Planetesimale, beispielsweise genähert durch einen
Faktor im eektiven Einfangradius des Protoplaneten, mit einbezogen oder auch Kollisionen und
Verschmelzungen der gröÿten Planetesimale zugelassen würden.
In keinem der betrachteten Fälle entstehen auÿerhalb der snowline Planeten, deren Masse die
der innerhalb von ihr gelegenen übersteigt. Obwohl in der Initialverteilung auÿerhalb der snowline jeweils eine höhere Staub-Oberächendichte herrscht als innerhalb, entwickelt die Scheibe
innerhalb sehr kurzer Zeit einen so steilen Dichteabfall nach auÿen, dass die Staub-Flächendichte
dort nurmehr ein lokales Maximum besitzt. Somit liefert diese Entwicklungssimulation eine Unterstützung der Theorie nach auÿen gerichteter Migration massereicher Planeten.
54
62: Zeitverlauf von Links: Massenbudget und Rechts: Scheiben- zu Zentralmasse für verschiedene StartMassenverhältnisse und Gesamtmassen. Von oben nach unten: Gesamtmasse 0.5, 3, 10 M .
Abb.
55
Zeitlicher Verlauf von Links: Scheibenmasse und Rechts: SG-Radius für verschiedene Startverteilungen einer
Gesamtmasse von 10 M .
Abb. 63:
Zeitlicher Verlauf von Links: Akkretionsrate und Rechts: Akkretionsrate im Vergleich mit dem Eddington-Limit
für höchstes betrachtetes Massenverhältnis von Scheibe zu Zentralstern bei einer Gesamtmasse von 10 M .
Abb. 64:
56
65: Links: Azimutal- und Rechts: Radialgeschwindigkeit bei Erreichen der HR für verschiedene StartMassenverhältnisse und Gesamtmassen. Von oben nach unten: Gesamtmasse 0.5, 3, 10 M .
Abb.
57
Links: Viskose Zeitskala und Rechts: Oberächendichte bei Erreichen der HR für verschiedene StartMassenverhältnisse und Gesamtmassen. Von oben nach unten: Gesamtmasse 0.5, 3, 10 M .
Abb. 66:
58
Erreichte Planetenmassen bei Ankunft auf der HR für verschiedene Start-Massenverhältnisse und in der Reihenfolge abnehmender Gesamtmassen.
Abb. 67:
59
Maximal erreichte Planetenmassen je Gesamtmasse bei Erreichen der HR Links: Radial und Rechts: Maxima
abhängig von der Gesamtmasse, verglichen mit der Vorhauptreihen-Entwicklungszeit je Gesamtmasse.
Abb. 68:
60
Zeitentwicklungen der Planetenmassen für verschiedene Gesamtmassen. Zu Beginn der Entwicklungen ist nahezu
die gesamte Masse in den Scheiben.
Abb. 69:
4.4 Zusammenfassung und Ausblick
In dieser Arbeit wurde untersucht, welches das Massenfenster für mögliche Zentralsterne von
Planetensystemen ist. Zu diesem Zweck wurde der Einuss der Zentralsternmasse auf die Entwicklung von zirkumstellaren Akkretionsscheiben, aus welchen sich die Planetensysteme entwickeln, genauer betrachtet. Dabei wurden in eine eindimensionale Simulation für sich zeitlich
entwickelnde Akkretionsscheiben groÿe Planetesimale eingebettet und abhängig von variierten
Anfangsbedingungen, wie Zentralsternmasse, Scheibenmasse und Ausdehnung des Systems, sich
entwickeln gelassen. Die Ergebnisse, welche mit diesem Modell gewonnen wurden, stimmen gut
mit den Beobachtungen überein. Planetensysteme wurden bisher bei Sternen der Massen zwi-
61
schen 0,1 und 3
M
entdeckt. In den Simulationen hat sich ergeben, dass dies der Massenbereich
ist, in welchem die verkürzte Entwicklungszeit, die den Planeten bei höheren Zentralmassen
zur Verfügung steht, noch nicht in die zeitliche Gröÿenordnung der Hauptwachstumsphase der
Planeten gelangt. Generell ergeben sich hier für gröÿere Gesamtmassen von Scheibe und Stern
geringere Planetenmassen. Im Massenbereich bis ca. 2 M wird dieser Verlauf von den höheren
Akkretionsraten - durch gröÿere gravitative Anziehung des massereicheren Sterns, stärker selbstgravitierende Scheiben und/oder höhere Oberächendichten - bei gröÿeren Massen verursacht.
Das Eddington-Limit für die Akkretionsraten spielt bei allen hier betrachteten Massen keine
Rolle.
Des Weiteren ist hier deutlich geworden, dass die erreichten Planetenmassen stark von dem
anfänglichen Verhältnis von Scheiben- zu Zentralmasse abhängen, ebenso wie von der anfänglichen Ausdehnung der Scheibe. Für die Ausdehnung existiert ein Maximalwert, den eine Scheibe
bestimmter Masse haben darf, damit sich seine niedrige Oberächendichte noch nicht negativ
auf das Planetenwachstum auswirkt. Unterhalb dieses Maximalwertes verlangsamt sich nur die
Akkretionsrate bei höheren Ausdehnungen und begünstigt so das Wachstum. In dieser Arbeit
wurde dieses Maximum noch nicht bestimmt und steht damit eventuell folgenden genaueren Untersuchungen zur Verfügung. Bendet sich am Anfang der Entwicklung nahezu die gesamte Masse
des Systems in der Scheibe, so sind die erreichten Planetenmassen um 2 bis 4 Gröÿenordnungen
höher als im umgekehrten Fall, welcher in den meisten bisher durchgeführten Planetenentstehungsrechnungen angenommen wird.
Die Planeten erreichen dennoch noch immer nicht die Massen, die für die Bildung von Gasriesen benötigt werden. Dies kann einerseits an den Deziten dieses Modells liegen, welche vernachlässigte Exzentrizitäten der Planetesimale, vernachlässigte Kollisionen und Verschmelzungen
selbiger sowie zeitlich unveränderte Innenradien der Scheiben betreen. Andererseit lässt es vermuten, dass die hier gewählten Anfangsmassen der Protoplaneten bereits während des Kollapses
der Sternentstehung vorhanden sein müssen. Ist Letzteres der Fall, so ist es unvermeidbar, dass
in Zukunft genauere Kollapstheorien in das Modell mit einbezogen werden müssen, will man
einen klaren Strich ziehen zwischen Sternmassen, bei denen Planetenentstehung möglich ist und
solchen, die keine zulassen. Zum Beispiel könnte diese Entwicklungssimulation in Kollapssimulationen wie die von Wuchterl & Tscharnuter (2003, [29]) Kap. 2.4 integriert werden. Die zeitliche
Änderung der Winkelgeschwindigkeit gewinnt dadurch auch an Bedeutung und sollte in Zukunft
bei der Berechnung der Entwicklung nicht mehr vernachlässigt werden, denn das ausschlaggebende Wachstum der Planeten ndet in den Phasen stärkerer Akkretion statt. In Bezug auf
die empndlichen Reaktionen der Ergebnisse auf geringe Variationen der Innenradien der Scheiben, bietet sich auch die integration genauerer Protosternentwicklungstheorien an, insbesondere
betreend das Sternwachstum und die Vorhauptreihenkontraktion.
Zu den interessanten weiterführenden Untersuchungen, die mit diesem Modell durchführbar
wären, gehört die der Entwicklung und Lebensdauer sogenannter Gaps, Materielücken in der
Scheibe, die durch das Wachstum der Planeten entstehen. Weiterhin wäre interessant, zu untersuchen, unter welchen Bedingungen und auf welchen Zeitskalen es durch die Viskosität in der
Scheibe zur Migration der Planeten kommen kann.
62
Literatur
[1] Beckwith S.V.W., Sargent A.I., Chini R.S. & Güsten R. A Survey for Circumstellar Disks around
young stellar Objects, AJ 99(3), 924-945 (1990)
[2] Bell K.R. & Lin D.N.C. Using FU Orionis Outbursts to Constrain Self-Regulated Protostellar Disk
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[32]
[33]
[34]
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[36]
[37]
[38]
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http://teacherlink.ed.usu.edu/tlnasa/pictures/
http://heritage.stsci.edu/2003/
http://apod.nasa.gov/apod/image/0607/mira_xray_cxc.jpg
http://apod.nasa.gov/apod/image/0607/mira_illustration.jpg
http://hubblesite.org/gallery/album/entire_collection/pr1995045c/web_print
http://hubblesite.org/newscenter/archive/releases/1994/24/image/a/format/web_print
http://teacherlink.ed.usu.edu/tlnasa/pictures/picture/OriProp4.jpg
http://heritage.stsci.edu/2001/15/big.html
http://imgsrc.hubblesite.org/hu/db/2004/05/images/a/formats/full_jpg.jpg
http://hubblesite.org/gallery/album/entire_collection/pr2007013c/web
64
Anhang
Hier werden die Details zur numerischen Umsetzung beschrieben und die neuen Programmteile
beigefügt.
Eingabegröÿen der Simulation
Das Programm verfügt über ein Input-File, in welchem unter anderem folgende (Start-)Parameter
gesetzt werden können:
Parameter
Einheit
number of grid points
1
print intervall
yr
CFL-Zahl
1
βvisc
log10 (rmin )
log10 (rmax )
log10 (R? )
1
max time
yr
initial
initial
rmin in cm
rmax in cm
r? in cm
Mcentral
Mdisk
M
M
Von der eingegebenen Gitterpunktanzahl (number of grid points) wird eine Hälfte in den
interessanten Bereich vom inneren bis zum äuÿeren Rand der Initial-Scheibe gelegt und die andere Hälfte auÿen angefügt. Das Ausgabe-Intervall (print intervall) ist Teil der Modikation
und gibt an, in welchen Abständen die Zeitentwicklung in die Ausgabe-Datei geschrieben werden soll. Die Zeitschritte der Berechnungen, welche deutlich kürzer sind, werden an dieses feste
Intervall angepasst. Die CFL(Courant-Friedrichs-Lewy)-Zahl (≤
1)
begrenzt die Länge der Be-
rechnungszeitschritte abhängig von den Radialgeschwindigkeiten und den Gitterpunktabständen
in der Scheibe:
Dieses
∆s(s) .
∆t = CFL-Zahl · M in vs (s) ∆t ist ein Maximalwert für die Zeitschrittlänge. An der jeweils oberen Grenze eines Aus-
gabeintervalls wird der letzte Zeitschritt entsprechend gekürzt, so dass die Ausgabe genau zur
gewünschten Zeit erfolgen kann. Setzt man das Ausgabeintervall in Jahren (print_intervall_yr)
gleich Null, wird das Intervall in Zeitschritten (print_intervall) für die Ausgabe beachtet und die
Berechnungszeitschritte werden nicht mehr angepasst. Der Parameter
mit dem
β -Parameter
aus Kapitel 2.1.3. Die Parameter
rmin
und
rmax
βvisc
ist gleichbedeutend
stellen die Anfangsradien
des inneren und äuÿeren Scheibenrandes dar. Des Weiteren kann der Radius
R?
des Zentrals-
terns vorgegeben werden. Dieser Radius ändert sich in diesem Modell nicht mit der Zeit durch
beispielsweise Massenzuwachs oder Vor-Hauptreihen-Kontraktion des Sterns. Er muss also so
gewählt werden, dass seine Dimension in einem Groÿteil der betrachteten Entwicklungszeit mit
der Masse des Sterns zusammenpasst (Kap. 3.3). Die Maximalzeit der simulierten Entwicklung
(max time) kann in Jahren angegeben werden, was für diese Arbeit zweckmäÿig ist und daher
den Eingabeparametern hinzugefügt wurde. Zu guter Letzt können noch die Anfangsmassen der
Scheibe (initial
Mdisk )
und des Zentralsterns (initial
Mcentral )
festgelegt werden.
Nicht im Input-File einstellbar ist der Parameter der Planetesimal-Startmasse. Sie wird in der
Subroutine propla_init (siehe Initialisierungen) gesetzt.
65
Eingabe-Datei: input.general
66
Initialisierungen und Zeitentwicklung
Aus den in der Eingabedatei festgelegten Randbedingungen werden die radiale logarithmische
Zuordnung der Gitterpunkte, die Initialverteilungen der Oberächendichte
Σ,
der Winkelge-
schwindigkeit und des Drehimpulses, der Viskosität und der Radialgeschwindigkeit berechnet,
sowie der erste Zeitschritt
schen
rmin
und
rmax
∆t
per CFL-Bedingung bestimmt. Für den gesamten Bereich zwi-
wird in der hier verwendeten, aber nicht zwingend notwendigen, Wahl der
Anfangsbedingungen eine konstante Oberächendichte aus der Scheibenmasse berechnet und
jedem Gitterpunkt dort zugewiesen. Die äuÿere Hälfte der Gitterpunkte, also die, welche sich
auÿerhalb von
rmax
0 g/cm2 . Anschlieÿend werden den inners0.0, 0.1 · Σconst und 0.3 · Σconst zugewiesen, um die
benden, bekommen den Wert
ten 3 Gitterpunkten steigende Werte von
steilen Randbedingungen abzuachen. Da nun die Scheibenmasse nicht mehr stimmen würde,
wird eine Korrektur aller
Σ-Werte
um einen Faktor
(Md,Eingabe )/(Md,aktuell )
durchgeführt. Nun
wird, ebenfalls um die Randbedingungen abzuachen, die äuÿere Hälfte der Gitterpunkte mit
Aring (rmax )
−6 · Σ
fallenden Werten nach der Vorschrift Σ(s) = 10
const · Aring (s) belegt, wobei Aring (s) die
Fläche eines Rings mit mittlerem Radius s und der Breite des halben Abstands der benachbarten
Gitterpunkte ist. Die Scheibenmasse wird vor jeder Ausgabe aus den Oberächendichten aller
Gitterpunkte zusammen berechnet, daher wird der Scheibe schon bei der Initialisierung ein wenig zu viel Masse zugeschrieben (Kap. 4.2). Dies könnte allerdings zukünftig leicht durch einen
erneuten Korrekturschritt verhindert werden. Das Input-File bietet noch die Möglichkeit, über
einen weiteren Parameter sigma_initial_exponent (default: 0) die Oberächendichte zu Beginn
exponentiell mit dem Radius steigen oder fallen zu lassen. Die Initialverteilungen der anderen
Gröÿen werden wie in Kap. 3.1 vorgestellt aus
Σ
und den Eingabeparametern berechnet. Die
Abbildungen in Kap. 4 zeigen die Anfangsverteilungen der verschiedenen Gröÿen zusätzlich zur
zeitlichen Entwicklung in gepunkteter Darstellung.
Die Zeitentwicklung von
Σ wird numerisch mit Hilfe der expliziten Finite-Dierenzen-Methode
gelöst, d.h. die Berechnung der Oberächendichte erfolgt nur mit Werten des letzten Zeitschritts
ohne Berücksichtigung der Werte benachbarter Gitterpunkte zum aktuellen Zeitpunkt, weshalb
die Länge der einzelnen Zeitschritte äuÿerst begrenzt ist (Kap. 4.4). Der Einfachheit halber wird
bei der Berechnung von
gesetzt.
ω
∂Σ/∂t
die zeitliche Änderung der Winkelgeschwindigkeit
∂ω/∂t = 0
ändert sich zwar in jedem Schritt mit der Massenverteilung, allerdings unwesentlich.
Eine Ausnahme bilden die Zeitabschnitte starker Akkretion, welche aber vergleichsweise kurz
sind gegenüber der Gesamtdauer der Entwicklung.
Die Akkretionsrate wird in jedem Schritt der Eddington-Beschränkung unterzogen. Bei Überschreitung dieses Limits wird die Rate auf den Grenzwert gesetzt und damit dann die neue
Zentralmasse berechnet. Allerdings geht die Masse, die durch die ursprünglich berechnete Akkretionsrate auf das Zentralobjekt einfallen sollte, dem System verloren und bleibt nicht einfach
in der Scheibe. Sie wird in einer Ausgabe-Gröÿe namens mass_lost_to_Eddington in jedem
Schritt aufsummiert.
Mit Anpassung an das feste Ausgabe-Zeitintervall der modizierten Version des Codes, wird
in jedem Zeitschritt der folgende Zeitschritt erneut per CFL-Bedingung berechnet.
Eine etwas umfassendere Modikation des Programms stellt die Erweiterung um Planetenwachstum in der Scheibe dar. Diese kann Makele-gesteuert (Präprozessor-Befehl) ein- und
ausgeschaltet werden, indem PLANET deniert oder nicht deniert wird. Sie besteht aus einem Modul (propla_util) mit den speziell benötigten Konstanten und Variablen und einigen
Berechnungs- und Ausgabe-Subroutines (propla_init, proplamass, propla_close). Mit dieser
Erweiterung kann untersucht werden, bei welchen Eingabe-Parametern, zu welchem Zeitpunkt
in der Scheibenentwicklung und bei welchem Radius in der Scheibe, Planetenwachstum in dem
67
hier verwendeten Modell zu groÿen Kernen führt, die beginnen können, Gas zu akkretieren.
In der Initialisierungs-Routine wird zunächst auf jeden Gitterpunkt ein Planetesimal hoher
Masse (10
−7
− 10−5 M⊕ )
gesetzt. Da die Abstände zwischen den Gitterpunkten, bei der hier
verwendeten Anzahl, immer noch deutlich gröÿer sind als der Hill-Radius (&
103 RH ),
kann man
davon ausgehen, dass die groÿen Planetesimale nicht direkt wechselwirken, zumal hier nur Kreisbahnen angenommen werden. Nach der Wachstumsformel aus Kap. 3.1 wird nun in proplamass
in jedem Zeitschritt die snowline (Kap. 2.3), die Oberächendichte des Staubs
ÿend für jeden Gitterpunkt die neue Protoplanetenmasse
Mp
Σsolid und anschlie-
berechnet. Das Planetenwachstum
wird allerdings nicht zeitgleich mit der Scheibenentwicklung gestartet. Es wird gewartet, bis die
Initialform der Oberächendichte verossen ist, da sonst in den Planetenmassen eine unphysikalische zusätzliche Erhöhung am ursprünglichen Auÿenrand der Scheibe auftritt (Kap. 4.2). Das
Wachstum darf aber auch nicht zu spät gestartet werden, da die Scheibe sonst bereits zu viel Masse verloren hat, als dass noch nennenswerte Planeten daraus entstehen könnten. In der aktuellen
Version beginnt der Wachstumsprozess nach den ersten 1 000 000 Zeitschritten, das entspricht ca.
der viskosen Zeitskala am äuÿeren Rand der Scheibe. Die Protoplaneten behalten während der
Entwicklung einen konstanten Bahnradius. Die Scheibe akkretiert auf das Zentrum und verläuft
sich nach auÿen, während die Protoplaneten an ihrem Platz bleiben. Um Rechenzeit zu sparen,
ändert
Σ
ωkepler
ωkepler
wurde in der Berechnung der Planetenmassen hier
sich hier nicht durch Akkretion von Materie auf die Protoplaneten und anstelle von
ω
verwendet. Zusätzliche Tests mit
und Änderungen der Oberächendichte zeigen, dass es im gewählten Parameterraum so
gut wie keinen Unterschied macht (Kap. 4.2).
propla_util
68
propla_init
propla_close
69
proplamass
70
Ausgabegröÿen der Simulation
Die Standard-Ausgabedatei des Programms beinhaltet die zeitliche Entwicklung unter anderem
der folgenden Gröÿen:
Gröÿe
Einheit
timestep
1
t
∆t
Mdisk
Mcentral
Mdisk /Mcentral
dMc /dt
(dMc /dt)Edd
yr
yr
M
M
1
mass lost to Eddington
mass budget
M /yr
M /yr
M
M
In der modizierten Version wurde sie um den SG(Self-Gravity)-Radius erweitert und in ein
Gnuplot-konformes Format gebracht, indem die Parameterliste und die Überschrift der Tabelle
mit # für Gnuplot auskommentiert wurden. Der SG-Radius in Gitterpunkten wird bereits in der
ursprünglichen Version des Programms berechnet. Er gibt den kleinsten Radius an, bei welchem
die eingeschlossene Scheibenmasse gröÿer ist als die Masse des Zentralsterns. Das mass budget
ist die Summe von Zentralmasse, Scheibenmasse, der Masse, die durch das Eddington-Limit
verloren geht und der Masse, die das Gitter am äuÿeren Rand verlässt. Treten in dieser Gröÿe
Änderungen auf, so sind sie also rein numerischer Natur (Kap. 4.2).
Für diese Arbeit wurden weitere Ausgabe-Dateien hinzugefügt. Zunächst kann nun im InputFile durch setzen des Parameters radial_print auf .true. die Ausgabe einiger radial veränderlicher Gröÿen hervorgerufen werden:
s
ist der Radius,
Σ
Gröÿe
Einheit
t
s
Σ
v -index
vs
ω
vϕ
τν
vs /vϕ
yr
die Oberächendichte.
cm
2
g/cm
sign
cm/s
1/s
cm/s
yr
1
v -Index
ist -1, wenn die Radialgeschwindigkeit
vs
vϕ = s · ω ist die Azimutalgeschwin1
die viskose Zeitskala, welche ungefähr die Zeit angibt, die ein Teilchen
βω
negativ, also hier nach innen gerichtet ist und 1 andernfalls.
digkeit und
τν =
vom zugehörigen Bahnradius in der Scheibe benötigt, um bis zum Innenrand zu wandern, also die charakteristische Zeitskala nennenswerter Änderungen der Scheibeneigenschaften und der
Akkretionsrate.
Es wird zu jeder dieser Gröÿen zu jedem Ausgabe-Zeitschritt der Wert jedes Gitterpunktes
in der radial-Datei untereinander mit zwei freien Zeilen nach jedem Zeitschritt gespeichert, so
dass mit Gnuplot auch 3-D Plots möglich sind. Die Programm-Erweiterung dazu besteht aus den
71
Subroutines print_radial_init, print_radial und print_radial_close. Zusätzlich zu der Radialausgabe zu den festen Zeitpunkten werden in den Ausgabe-Dateien radialpercentdm und
radialsqrtcmmulti die gleichen Gröÿen mit natürlichen, von der Scheibe vorgegebenen, Zeitschritten gespeichert (Subroutine: print_radial_signat). radialpercentdm gibt sie zusammen
mit der Scheibenmasse in prozentualen Schritten selbiger aus. In radialsqrtcmmulti sind die
Schritte nach der prozentualen Änderung der viskosen Zeitskala gewählt. Da diese aber nicht
radial konstant ist, wird stellvertretend die Gröÿe
√
Mc
Vernachlässigung des Beitrags der Scheibenmasse (KSG)
p
τν = x · τν ,init ⇔
Mc =
1
τν = βω
ist und da mit
√
3
s
√
ist, kann gefolgert werden:
β GMc
betrachtet. Da
1
βω
≈
1p
Mc,init
x
Die letzte zusätzliche Ausgabe-Datei propla(r,t) wird nur erstellt, wenn die ProtoplanetenErweiterung gewählt wurde. Ihre Ausgabegröÿen sind:
Mp ist die Masse des Protoplaneten
Σsolid die Staub-Flächendichte.
Gröÿe
Einheit
t
s
Mp
Σsolid
dMp /dt
RH
yr
cm
g
2
g/cm
g/s
cm
an dem entsprechenden Gitterpunkt,
und
print_radial_init
72
RH
sein Hill-Radius
print_radial
73
print_radial_signat
74
75
76
Danksagung
Ich danke ganz herzlich Herrn Prof. Dr. W. J. Duschl für die interessante Themenstellung und
die stets motivierende Betreuung dieser Arbeit.
Weiterhin danke ich Herrn Prof. Dr. S. Wolf für den Hinweis auf eine seiner Veröentlichungen
von 2007, welche zu einem Groÿteil der hier erhaltenen Ergebnisse beigetragen hat.
Ich bedanke mich bei Herrn Dr. M. Kalläne für die bereitwillige Vorabkorrektur des Theorieteils
dieser Arbeit und bei Herrn M. Stiller für die Vermittlung.
Ich danke Herrn B. Sperling dafür, dass er ein erträglicher Bürogenosse ist und dass er mir den
Umgang mit Linux beigebracht hat.
Ich möchte mich bei allen aktuellen Mitgliedern der Arbeitsgruppen Duschl und Wolf für die entspannte Arbeitsatmosphäre und die unterhaltsamen Keks- und Kaeerunden bedanken. Insbesondere danke ich der AG Duschl für ihre Geduld hinsichtlich der durch diese Arbeit verbrauchten
Rechenzeit und zeitweise blockierten Rechner, für deren uneingeschränkte Betriebsbereitschaft
ich mich bei Herrn H. Boll bedanken möchte.
Des Weiteren bedanke ich mich bei Herrn T. Peter dafür, dass er mir den Physik-LK ersetzt hat
und ich dadurch erfolgreich das Grundstudium absolvieren konnte.
Mein besonderer Dank gilt Herrn K. T. Stiller für eigentlich alles, insbesondere dafür, dass er
für meine Verpegung in der Endphase der Fertigstellung dieser Arbeit gesorgt hat und dass er
mich überhaupt auf die Idee gebracht hat, Physik zu studieren.
Ich danke dem 1. Kieler Roll- und Eissportverein, der mir den nötigen Ausgleich zur Büroarbeit
bieten konnte.
Schlieÿlich danke ich noch meinen Eltern H.-W. B. Hinz und I. Priemer-Hinz sowie H. und M.
Stiller für Unterkunft, Verpegung und gelegentliches aufbauendes Lob.
77
78
Erklärung
Hiermit versichere ich, die vorliegende Arbeit selbstständig und unter ausschlieÿlicher Verwendung der angegebenen Literatur und Hilfsmittel erstellt zu haben.
Kiel, den ...........................................
...........................................
79