Vektoren im R n

2. Vektorräume
2.1. Vektoren im Rn .
Vektoren sind gerichtete Groen, die durch ihre
und Richtung gekennzeichnet sind.
Lange (Betrag, Norm )
Physikalische Beispiele fur Vektoren: Kraft, Geschwindigkeit, Beschleunigung, elektrische und magnetische Feldstarke.
Zu je zwei Punkten P und Q des Raumes gibt es genau eine Parallelverschiebung
−→
(des Raumes), die P nach Q bringt (abbildet). Diese Verschiebung wird mit ~v = P Q
bezeichnet bzw. der Vektor hat den Anfangspunkt P und den Endpunkt Q. Vektoren, die durch Parallelverschiebung ineinander uberfuhrt werden konnen, werden als
gleich angesehen (freie Vektoren). Den zu ~v gleich langen, aber entgegengesetzt gerichteten Vektor bezeichnet man mit −~v . Als Nullvektor bezeichnet man den Vektor
→
~0 = −
P P (nichts wird verschoben).
2.2. Vektoraddition.
−→
−→
Fuhrt man zwei Parallelverschiebungen, erst ~a = P Q und dann ~b = QR aus, so ergibt
−→
sich wieder eine Parallelverschiebung, namlich ~c = P R.
Wir nennen ~c die Summe von ~a und ~b und schreiben:
~c = ~a + ~b.
Fur beliebige Vektoren ~a, ~b, ~c gelten die folgenden Rechenregeln:
~a + ~0 = ~a
~a + (−~a) = ~0,
~a + ~b = ~b + ~a
(Kommmutativgesetz)
~a + (~b + ~c) = (~a + ~b) + ~c (Assoziativgesetz)
Die Dierenz von Vektoren wird erklart durch
~a − ~b = ~a + (−~b).
2.3. Skalares Vielfaches.
Zu jeder reellen Zahl α ≥ 0 und einem Vektor ~a bezeichnet α~a (das α-fache von ~a)
den Vektor, der dieselbe Richtung hat wie ~a, aber die α-fache Lange.
Im Fall α < 0 setzt man α~a = −(|α|~a).
165
166
Sonderfalle: 0~a = ~0 und α~0 = ~0.
Rechenregeln:
α(β~a) = (αβ)~a,
2.4. Betrag.
α(~a + ~b) = α~a + β~b,
(α + β)~a = α~a + β~b.
−→
Die Lange eines Vektors ~a = P Q ist die Lange der Strecke P Q und nennt sie den
Betrag des Vektors ~a. Man schreibt dafur |~a| (oder auch ||~a||).
Rechenregeln:
|α~a| = |α||~a|,
insbesondere | − ~a| = |~a|,
~
~
|~a + b| ≤ |~a| + |b| (Dreiecksungleichung)
Ein Vektor vom Betrag 1 heit Einheitsvektor.
Zu jedem vom Nullvektor verschiedenen Vektor ~a 6= ~0 gehort der Einheitsvektor in
Richtung ~a : |~a1|~a.
2.5. Vektoren im Koordinatensystem.
Wir legen im Raum ein kartesisches Koordinatensystem mit dem Ursprung O fest.
Dadurch werden gleichzeitig drei ausgezeichnete Vektoren gegeben, namlich die Einheitsvektoren ~e1 , ~e2 , . . . , ~en in Richtung der positiven ~e1 −, ~e2 − bzw. ~en − Achse. Wir
nennen (~e1 , ~e2 , . . . , ~en ) eine kartesische Basis und bezeichnen das Koordinatensystem mit
(O, ~e1 , ~e2 , . . . , ~en ).
−−→
Der Vektor OA heit Ortsvektor des Punktes A = (a1 , a2 , . . . , an ); er ist eindeutig
zerlegbar als Summe
~a = a1~e1 + a2~e2 + . . . + an~en .

2. VEKTORRAUME
167
Abkurzend schreibt man bei festgelegtem Koordinatensystem:


a1
 a2 
−−→


~a =  .  ⇐⇒ ~a = a1~e1 + a2~e2 + . . . + an~en = OA mit A = (a1 , a2 , . . . , an ).
.
 . 
an
Man nennt ai~ei die Komponente von ~a in ~ei -Richtung (i = 1, 2, . . . n) und die Zahlen
3
ai ∈ R die Koordinaten des Vektors ~a. Die Lange
p des Vektors lat sich (im R mit
dem Satz des Phythagoras) berechnen zu: |~a| = a21 + a22 + . . . + a2n .
2.6. Skalarprodukt im R3 .
Das Skalarprodukt ~a · ~b der Vektoren ~a und ~b ist deniert durch
(
~a · ~b :=
|~a||~b| cos ^(~a, ~b), falls ~a 6= ~0 und ~b 6= 0,
0,
falls ~a = ~0 oder ~b = 0.
Das Skalarprodukt, auch inneres Produkt genannt, ist eine Zahl (Skalar).
Beispiel
a3~e3
stets
8.19. Wegen ~ei = 1 gilt fur einen beliebigen Vektor ~a = a1~e1 + a2~e2 +
~a · ~ei = |~a| cos ^(~a, ~ei ) = ai , i = 1, 2, 3.
Damit erhalt man
~a = (~a · ~e1 )~e1 + (~a · ~e2 )~e2 + (~a · ~e3 )~e3 .
Die Faktoren cos ^(~a, ~ei ) nennt man Richtungskosinus von ~a.
Rechenregeln fur das Skalarprodukt:
~a · ~b = ~b · ~a
(Kommutativgesetz),
~
~
~
(α~a) · b = ~a · (αb) = α(~a · b)
(f
ur α ∈ R),
~
~
(~a + b) · ~c = ~a · ~c + b · ~c
(Distributivgesetz),
~
~
~a · b =√0 ⇐⇒ ~a orthogonal zu b (Orthogonalitatstest),
|~a| = ~a · ~a.
168




a1
b1
P
P3



Die Koordinatendarstellung ~a = 3i=1 ai~ei = 
ei =  b2 
 a2  , ~b =
i=1 bi~
a3
b3
bezuglich einer kartesischen Basis (~e1 , ~e2 , ~e3 ) ermoglicht eine einfache Berechnung
des Skalarprodukts und der Richtungscosinus:
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + a3 b3 ,
cos ^(~a, ~b) =
~a·~b
|~a||~b|
=√
|~a| =
p
a21 + a22 + a23 ,
a1 b1 +a2 b√
2 +a3 b3
,
a21 +a22 +a23 b21 +b22 +b23
falls ~a, ~b 6= 0,
insbesondere Richtungscosinus cos ^(~a, ~ei ) = √

 
 
ai
,
a21 +a22 +a23
i = 1, 2, 3, f
ur die

0
0
1
     
Basisvektoren  0  ,  1  ,  0  .
1
0
0
2.7. Skalarprodukt für Vektoren im Rn .
Im Rn ist unklar, was der Winkel zwischen 2 Vektoren sein soll, in diesem Fall
niert man in volliger Analogie zum Fall n = 3 deshalb:
Definition
. . . + an~en
de-
8.13. Das Skalarprodukt zweier Vektoren ~a = a1~e1 + a2~e2 +
und ~b = b1~e1 + b2~e2 + . . . + bn~en ist deniert als
~a · ~b = a1 b1 + a2 b2 + . . . an bn
und der Kosinus des Winkels zwischen den Vektoren ist
cos ^(~a, ~b) :=
Folglich sind zwei Vektoren
Null ist.
orthogonal,
~a · ~b
|~a| · |~b|
wenn ihr Skalarprodukt gleich
Sowohl im R3 als auch im Rn gilt deshalb die folgende orthogonale Zerlegung von
Vektoren:

2. VEKTORRAUME
169
Orthogonale Zerlegung von ~a langs ~b, falls ~b 6= ~0.
~a = ~a~b + ~a~⊥
b
mit den Komponenten
~a~b :=
~a · ~b~
b
|~b|2
in Richtung ~b und
= ~a −
~a~⊥
b
~a · ~b~
b
|~b|2
orthogonal zu ~b.
Beispiel
8.20. Ein spurgebundenes Fahrzeug (Eisenbahn, Straenbahn, Trans-
rapid, ... ) ubt momentan eine Antriebskraft
vom Betrag
4 aus und bewegt sich
√ 1√
√
1
1
dabei auf Schienen, die in Richtung ( 4 √2, 4 2,√− 2 √3) verlegt sind. Zusatzlich
wirkt auf das Fahrzeug die Windkraft ( 34 2, − 54 2, 12 3).
Wie gro ist die Gesamtkraft in Fahrtrichtung?
Definition
8.14. Eine n × n-Matrix heit orthogonal, wenn gilt:
AT A = E,
(also AT = A−1 ).
Folgerung: Die Zeilenvektoren (Spaltenvektoren) von A sind paarweise orthogonale
Einheitsvektoren.
Beispiel
8.21. Die Matrizen

1
A= √
2
1 1
−1 1
!
und
1

B= 
2

1
1 1 −1
−1 1 1 1 


−1 −1 1 −1 
1 −1 1 1
sind orthogonal. Wir weisen das fur B nach. Die Spaltenvektoren von B sind


~b1 = 1 

2
1
−1
−1
1



,



~b2 = 1 

2
1
1
−1
−1



,



~b3 = 1 

2
1
1
1
1



,



~b1 = 1 

2
−1
1
−1
1



.

170
Wie man leicht nachrechnet sind sie alle
Einheitsvektoren:
r
|~b1 | = |~b2 | = |~b3 | = |~b4 | =
1 2
(1 + 12 + 12 + 12 ) = 1.
4
Die paarweise Orthogonalitat wird nachgewiesen durch das Ausrechnen der Skalarprodukte:
~b1 · ~b2
~b1 · ~b3
~b1 · ~b4
~b2 · ~b3
~b2 · ~b4
~b3 · ~b4
Folglich ist B −1 = B T .
=
=
=
=
=
=
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
· 12 + (−1)
· 21 + (−1)
· (−1)
+ 12 · (−1)
= 0,
2
2
2
2
(−1) 1
(−1) 1
1
1 1
· 2 + 2 · 2 + 2 · 2 + 2 · 2 = 0,
· (−1)
+ (−1)
· 21 + (−1)
· (−1)
+ 12 · 12 = 0,
2
2
2
2
· 12 + 12 · 12 + (−1)
· 21 + (−1)
· 21 = 0,
2
2
· (−1)
+ 12 · 12 + (−1)
· (−1)
+ (−1)
· 12 = 0,
2
2
2
2
· (−1)
+ 12 · 12 + 12 · (−1)
+ 12 · 21 = 0.
2
2