3. Synthetische Geometrie (synthetein = zusammensetzen) Wichtig

3. Synthetische Geometrie (synthetein = zusammensetzen)
Wichtig ist in der synthetischen Geometrie das Zusammensetzen
von Grundsätzen, Voraussetzungen, Sätzen und Folgerungen.
Die SuS lernen die neue Art des Begründens und Beweisens in der
Mathematik im Unterschied zu den Naturwissenschaften kennen.
Ein mathematischer Satz gewinnt nicht durch Experimente oder
Beispiele Gültigkeit, sondern allein durch logisches Schließen aus
bereits gültigen Sätzen und Regeln.
Daher ist ein Grundkanon von einfachen Sätzen notwendig.
3.1 Der Satz vom gleichschenkligen Dreieck:
a) In einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel
gleich weit.
b) Wenn in einem Dreieck zwei Winkel gleich weit sind,
dann ist das Dreieck gleichschenklig.
3.2 Die Sätze über die Winkelpaare:
Scheitelwinkel sind gleich weit,
Stufenwinkel an Parallelen sind gleich weit
Wechselwinkel an Parallelen sind gleich weit
3.3 Der Satz von der Mittelparallelen
Die Mittelparallele im Dreieck ist parallel zur und halb so lang
wie die Grundseite des Dreiecks.
3.4 Der Satz von der Winkelsumme:
In jedem Dreieck beträgt die Winkelsumme 180°.
3.5 Der Satz von Thales
● Thales von Milet (geb. 624 v. Chr. in Milet, Kleinasien; † um 546
v. Chr.)
● Thales unternahm um 594 v.Chr. Forschungs – und
Studienreisen nach Ägypten,
Persien, Babylonien und Athen.
● Er zählt zu den sieben Weisen des Altertums (gilt als
Vorsokratiker).
● Er hat die Sonnenfinsternis vom 28. Mai 585 v. Chr.
vorhergesagt.
Hinführung zum Satz
● Die SuS sollten von einer Strecke AB und dem
Halbkreis über AB ausgehen. Sie sollten
verschiedene Punkte auf dem Halbkreis wählen
und den Winkel zwischen den Schenkeln CA
und CB messen.
● Sie stellen fest:
● Die Winkelweite ist jeweils etwa 90°.
● Dass es immer so ist und dies als Regel gilt, ist
aber nur eine Vermutung.
● Man braucht noch einen Beweis!
Wahrheitsfindung in der Mathematik
● Dass dies nur eine Vermutung ist, ist für die SuS neu.
● Sie sind z. B. aus der Physik (etwa beim Hookeschen Gesetz)
gewohnt, dass empirische, auf Versuchen beruhende
Messungen und daraus ablesbare Gesetzmäßigkeiten für ein
„physikalisches Gesetz“ ausreichend sind.
Grundsätzliche Gesichtspunkte des Begründens in der
Mathematik
● An dieser Stelle muss man grundsätzliche
Gesichtspunkte des Begründens in der
Mathematik herausstellen:
● Man muss die Vermutung mit Hilfe bereits
bekannter Sätze und Regeln begründen.
● Im Allgemeinen braucht man in der Beweisfigur
eine oder mehrere Hilfslinien, damit man die
allgemeinen Sätze anwenden kann.
Didaktische Schwierigkeiten
● Man braucht eine Beweisidee!
● Man muss zunächst die bekannten Sätze, die
man hat und die man möglicherweise braucht,
zusammenstellen.
● Man muss mögliche Hilfslinien untersuchen.
● Dies ist für SuS sehr schwierig!
Welche Sätze braucht man?
● Aus der Vielzahl möglicher Sätze braucht man
den Satz vom gleichschenkligen Dreieck:
● In einem gleichschenkligen Dreieck sind die
Basiswinkel gleich weit.
● Und den Satz von der Winkelsumme im
Dreieck!
Welche Sätze braucht man?
● Aus der Vielzahl möglicher Sätze braucht man
den Satz vom gleichschenkligen Dreieck:
● In einem gleichschenkligen Dreieck sind die
Basiswinkel gleich weit.
● Und den Satz von der Winkelsumme im
Dreieck!
Ausführliche Formulierung
● Wenn C ein beliebiger Punkt des Halbkreises über
einer Strecke AB ist, so ist das Dreieck ABC bei C
rechtwinklig.
● Kurzform: Der Winkel im Halbkreis ist ein Rechter.
● Die Umkehrung muss auch erwähnt und begründet
werden:
● Wenn das Dreieck ABC bei C rechtwinklig ist, dann
liegt C auf dem Halbkreis über AB.
Begründung für den Satz:
Begründung für den Kehrsatz:
M ist der Mittelpunkt von AB. Die Parallele durch M zu AC ist
daher Mittelparallele im Dreieck ABC mit AC als Grundseite. Die
Mittelparallele schneidet BC im Mittelpunkt M' (Satz von der
Mittelparallelen). MM' und BC sind orthogonal (die Winkel ACB
und MM'B sind Stufenwinkel an den Parallelen MM' und AC).
Daher ist MM' Mittelsenkrechte im Teildreieck MBC und deshalb
MC = MB.