Ausgewählte Aufgaben zur Förderung - ISB

Mathematikunterricht am Gymnasium
Förderung mathematischer Kompetenzen
Anregungen und Materialien
Ausgewählte Aufgaben zur Förderung mathematischer Kompetenzen
Aufgaben zur Förderung grundlegender
Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten
Lehrplanabschnitt „M 9.5.1 Die Satzgruppe des Pythagoras“
Ausführliche Hinweise zur Verwendung der folgenden Aufgaben bietet der Abschnitt „5.2
Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten“ des zentralen Dokuments, das unter www.isb.bayern.de  Gymnasium  Fächer  Mathematik 
Materialien  Förderung mathematischer Kompetenzen zum Download bereitsteht.
Auch an dieser Stelle sei jedoch ausdrücklich darauf hingewiesen, dass das Angebot der
Aufgaben zu einem Lehrplanabschnitt nicht dahingehend missverstanden werden darf, dass
alle Aufgaben in einer Unterrichtsstunde zu Beginn der Behandlung dieses Lehrplanabschnitts bearbeitet werden sollen. Im Sinne einer nachhaltigen Förderung grundlegender
Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten ist es wesentlich effektiver, die angebotenen Aufgaben – jeweils einzeln – gleichmäßig verteilt auf die Zeit vor und während der Behandlung
des jeweiligen Lehrplanabschnitts einzusetzen. Für den Einsatz einer Aufgabe können beispielsweise die ersten Minuten einer Unterrichtsstunde genutzt werden.
Das Symbol
kennzeichnet Aufgaben, für deren Bearbeitung bewusst die Verwendung
eines Taschenrechners ausgeschlossen werden sollte, da bei diesen von Schülerinnen und
Schülern zu fordernde elementare Rechenfertigkeiten im Vordergrund stehen.
Weitere vielfältige Beispiele zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten liefern die Aufgaben der Bayerischen Mathematik-Tests (BMT) der letzten Jahre.
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Aufgaben mit unmittelbarem Bezug zum Lehrplanabschnitt
Aufgabe 1
a) Erkläre die Begriffe gleichseitiges Dreieck, gleichschenkliges Dreieck und rechtwinkliges
Dreieck jeweils anhand einer Skizze. Gib jeweils an, was sich über die Größen der Winkel
aussagen lässt.
b) Gib an, für welche Dreiecke die Begriffe Kathete sowie Hypotenuse verwendet werden
und was diese Begriffe jeweils bezeichnen.
Aufgabe 2
Im Dreieck ABC gilt AB  5cm und AC  7cm ; die Höhe auf die Seite  AC ist 4 cm lang.
a) Bestimme den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
b) Ein Dreieck ABC soll den gleichen Flächeninhalt wie das Dreieck ABC haben. Welche
Aussage lässt sich über die Lage jedes Punkts treffen, der für B infrage kommt? Begründe deine Antwort.
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Aufgabe 3
Konstruiere ein rechtwinkliges Dreieck, dessen Hypotenuse die Länge 8 cm und dessen eine
Kathete die Länge 3,5 cm besitzt. Gib die gemessene Länge der zweiten Kathete an.
Aufgabe 4
Entscheide jeweils, ob man mit Sicherheit sagen kann, dass das beschriebene Dreieck eine
besondere Eigenschaft hat. Begründe jeweils deine Entscheidung und gib gegebenenfalls
die besondere Eigenschaft an.
a) In einem Dreieck ist ein Winkel 50 groß, ein weiterer 80 .
b) In einem Dreieck ist ein Winkel 50 groß, ein weiterer 40 .
c) Die drei Eckpunkte eines Dreiecks liegen auf einem Kreis.
d) Die drei Eckpunkte eines Dreiecks liegen auf einem Kreis, eine Seite des Dreiecks verläuft durch den Mittelpunkt des Kreises.
Aufgabe 5
a) Betrachtet wird der Satz:
„Wenn heute Samstag ist, dann findet morgen in der Schule kein Unterricht statt.“
Formuliere den zugehörigen Kehrsatz. Entscheide für Satz und Kehrsatz jeweils, ob er
wahr ist.
b) Formuliere den Satz des Thales sowie den zugehörigen Kehrsatz jeweils in Wenn-DannForm.
Aufgabe 6
a) Begründe anhand der Abbildung die Regel
a  b  c  a  c  b  c
zum Auflösen einer Klammer.
b) Anna kritisiert: „Anhand der Abbildung lässt sich die Regel aber nicht für alle Zahlen a, b
und c begründen!“ Ergänze, wie Anna ihre Kritik untermauern könnte.
Aufgabe 7
Begründe jeweils anhand eines geeigneten Zahlenbeispiels, dass die Aussage falsch ist. Die
Variablen p und q stehen für positive reelle Zahlen.
a)
p2  q2  p  q
b) x  p2  x  p oder x  p
c) 2  p  q  2p  2q
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Aufgaben ohne unmittelbaren Bezug zum Lehrplanabschnitt
Aufgabe 8
Berechne jeweils den Termwert.
a)  12   3 
b)  12   3 
c)  12 :  3 
d)  12   3 
e)  12   3 
f)
 12   3
g)  12 :  3 
Aufgabe 9
a) Im „Jahrhundertsommer“ 2003 besuchten 25 000 Personen das Freibad von Nassing. Im
Sommer des Jahres 2004 kamen nur noch 22 500 Besucher.
Um wie viel Prozent ist die Besucherzahl gesunken?
b) 12,5 % von 720 Schülerinnen und Schülern kommen mit dem Fahrrad in die Schule. Berechne die Anzahl der mit dem Fahrrad in die Schule kommenden Schülerinnen und
Schüler.
c) Ein Internetportal bietet Zusatzprogramme für Smartphones an. Bei jedem Verkauf eines
solchen Programms behält der Betreiber des Portals 30 % des Verkaufspreises; den Rest
erhält der Entwickler des Programms.
Ein Entwickler eines Programms möchte bei jedem Verkauf 1,40 Euro erhalten. Ermittle
den festzulegenden Verkaufspreis.
(Aufgabe 9a aus BMT8 2004, Gruppe A, Aufgabe 1;
Aufgabe 9c aus BMT8 2012, Gruppe A, Aufgabe 3)
Aufgabe 10
Berechne jeweils die Koordinaten der Schnittpunkte der Graphen folgender Funktionen.
a) g : x
1
, x  IR \ 2 , und h : x
x2
4
, x  IR \ 12
x  12
b) g : x
6x
, x  IR \ 4 , und h : x
x4
2x  2 , x  IR
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