Fruehjahr03

Staatsexamensklausur für die Lehrämter L 1 (Wahlfach) / L 2 / L 5
Frühjahr 2003
Mathematik
Zugelassenes Hilfsmittel:
Einfacher nicht programmierbarer Taschenrechner (ohne Lösemodule sowie sonstige
Computeralgebrakomponenten und ohne Grafik)
Mathematischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
Gewertet werden die drei besten Aufgaben.
1
Geometrie
a) Zeigen Sie: Die drei Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden einander in einem
gemeinsamen Punkt, dem sogenannten Schwerpunkt des Dreiecks. Dieser
Schwerpunkt teilt jede Seitenhalbierende des Dreiecks im Verhältnis 2:1. Jede
Seitenhalbierende zerlegt das Dreieck in zwei gleichgroße Flächenstücke.
b) Ein Dreieck ABC sei durch die Punkte
A = (1 | 1), B = (11 | 1), C = (3 | 7).
gegeben. Stellen Sie die Geradengleichungen zweier Seitenhalbierenden auf und
berechnen Sie die Koordinaten des Schwerpunkts S von Dreieck ABC.
2
Algebra
a) Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem in den Unbekannten x, y und z
über R in Abhängigkeit des Parameters a:
ax + 3y +
z =5
2x  y + 2az = 3
x + 4y + az = 6
b) Berechnen Sie den größten gemeinsamen Teiler t der Zahlen 3141 und 321.
Bestimmen Sie ganze Zahlen a und b, so dass gilt:
t = 3141 a + 321 b.
1
3
Analysis
Betrachten Sie die quadratische Funktion g, die definiert ist durch g(x) = x2 – 2x – 3.
Sei G der Graph von g, L die Gerade durch die Punkte (3 | 2) und (124 | 123).
a) Geben Sie die reelle Funktion f explizit an, deren Graph L ist. Zeichnen Sie L und G in
ein gemeinsames Koordinatensystem.
b) Bestimmen Sie die Gleichungen aller zu L parallelen Tangenten an G.
c) Bestimmen Sie die Gleichung der Parallelen L’ zu L durch den Punkt (3 | 0) sowie den
Flächeninhalt des zwischen L’ und G gelegenen Flächenstücks.
d) Bestimmen Sie den Definitions- und den Wertebereich der reellen Funktion h, die
f(x)
definiert ist durch h(x) =
. Skizzieren Sie den Graphen von h.
g(x)
e) Sei (xn) eine monoton fallende Zahlenfolge mit Folgengliedern aus dem Intervall [-1, 1].
1
(i) Zeigen Sie: Die Folge (yn), definiert durch yn :=
(xn + xn+1), ist konvergent.
2
(ii) Geben Sie ein Beispiel einer divergenten Folge (xn) explizit an, für welche die wie in
(i) definierte Folge (yn) konvergent ist.
4
Stochastik
Beim Sportfest starten die Brüder Holger und Mark beide im 100 Meter Lauf.
Für die Teilnehmer am 100 Meter Lauf sind die Startnummern 1124 bis 1144 vorgesehen.
Vor Beginn des Wettkampfes werden den 16 erschienenen Läufern ihre Startnummern
zugelost. Natürlich wird keine Nummer doppelt vergeben. Und natürlich bekommt jeder
Läufer nur eine Nummer.
a) Wie viele Möglichkeiten gibt es dafür, wenn nur interessiert
(i) ob Mark eine höhere Startnummer hat als Holger?
(ii) welcher Läufer welche Startnummer erhält?
Geben Sie je eine der Möglichkeiten für (i) und für (ii) an und berechnen ihre
Wahrscheinlichkeiten.
b) Um bei den 16 Läufern einen Sieger zu ermitteln, werden zwei Vorläufe (Vorlauf A und
Vorlauf B) zu je 8 Teilnehmern durchgeführt. Die Läufer werden dazu rein zufällig auf die
beiden Läufe verteilt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit müssen Holger und Mark im selben
Vorlauf starten?
c) Wenn Mark in Form ist (und das ist er in 80 % aller Fälle), gewinnt er hundertprozentig.
Sonst stehen seine Chancen 50 : 50 für einen Sieg. Wie wahrscheinlich ist es, dass
Mark in Form war, wenn er gewonnen hat ?
Der Starter der Laufentscheidungen des Sportfestes hat eine altersschwache
Startschusspistole dabei. Die funktioniert nur in 2 von 4 Fällen. Startschüsse mit dieser
Pistole seien, was das Funktionieren angeht, unabhängig.
d) Wie viele Laufwettbewerbe muss das Sportfest mindestens haben, damit die Pistole mit
99 %-iger Sicherheit mindestens einmal versagt?
e) Es sind diesmal genau 8 Laufentscheidungen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass
die Pistole genau viermal versagt?
2
Mathematikdidaktischer Teil
Bearbeitungszeit: 2 Stunden
1
Hantieren, Konstruieren, Überlegen im Geometrieunterricht
Zum Satz von der Winkelsumme im Dreieck gibt es (neben anderen) die folgenden
Hinführungen:
(1) Zeichne am Computer-Bildschirm mit einer dynamischen Geometrie-Software (z. B.
mit DYNAGEO-EUKLID) ein Dreieck. Bestimme mit dem Programm die Maße der
Innenwinkel des Dreiecks und deren Summe S. Verändere nun durch Ziehen an den
Dreiecksecken die Form des Dreiecks und beobachte dabei die Summe S.
(2) Schneide aus Papier ein Dreieck aus. Reiße dessen Ecken ab. Lege diese zu einem
gestreckten Winkel zusammen.
(3) Schneide aus Papier ein Dreieck aus. Falte, wie in den Figuren angegeben.
C
C
M
N
B
A
B
A
C
N
A
M
N
C
M
N
B
A
M
B
(4) Zeichne ein Dreieck ABC. Laufe einmal den Rand ab: von der Ausgangsstellung in A
über B und C wieder nach A in die Ausgangsstellung. Bestimme, um wie viel man
sich insgesamt gedreht hat. Berechne daraus die Winkelsumme im Dreieck ABC.
(5) Ergänze ein Dreieck ABC zu einem Parallelogramm ABCD. Konstruiere ein Parkett
mit dem Grundbaustein ABCD. Zeichne in das Parkett die zur Geraden AC
parallelen Gitterlinien ein. Markiere gleich große Winkel in der entstehenden Figur.
Untersuche die Winkel, deren Scheitel in einem Gitterpunkt zusammenstoßen.
a) Was sollte jeder Schüler über den Satz von der Winkelsumme im Dreieck (allgemeiner:
im Vieleck) wissen? Begründen Sie Ihre Antwort.
b) Vergleichen Sie die Hinführungen (1) bis (5) unter wenigstens folgenden Aspekten:
 Veranschaulichen des Satzes
 Handlungsorientierung des Geometrieunterrichts
 Einsicht gewinnen in die Allgemeingültigkeit des Satzes
 Zugänglichkeit für Hauptschüler, Realschüler, Gymnasiasten
 Unterstützen von Zielen des Geometrieunterrichts
 Verträglichkeit mit den Forderungen aus a).
c) Wie kommt man im Unterricht von den Hinführungen (1) bis (5) zur Winkelsumme in
einem Vieleck?
3
2
Üben im Mathematikunterricht
Ein wichtiges Thema der Jahrgangsstufe 8 aller Schularten ist die Zinsrechnung (mit
Berücksichtigung des Zeitfaktors).
Grundschema der Zinsrechnung
Kapital mal Zinssatz Jahreszins mal Zeitfaktor Zins
a) Welche Typen von Festigungsaufgaben gibt es in der Zinsrechnung.
b) Geben Sie Gründe an für das Üben im Mathematikunterricht.
Beschreiben Sie verschiedene Arten des Übens im Lehr-Lern-Prozess am Beispiel der
Zinsrechnung.
c) Erläutern Sie Formen und Maßnahmen des Wiederholens im Mathematikunterricht am
Beispiel der Zinsrechnung.
d) Zählen Sie Maßnahmen auf zum operativen Üben im Mathematikunterricht.
Konstruieren Sie vier Vorschläge zum operativen Üben der Zinsrechnung.
4