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Jahrbuch 2014/2015 | Schlotterer, Oliver | Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden 10+16 dimensional superspace as a building kit for scattering amplitudes Schlotterer, Oliver Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik, Potsdam-Golm Korrespondierender Autor E-Mail: [email protected] Zusammenfassung Streuamplituden beschreiben die Wechselw irkungen von Elementarteilchen und bilden die Grundlage für die Vorhersage von Messergebnissen. Sie w eisen deutlich reichhaltigere mathematische Strukturen und Symmetrien auf als ihre konventionelle Berechnungsvorschrift durch Feynman-Diagramme erw arten lässt. Im Folgenden w ird ein Formalismus mit zusätzlichen Symmetrien und Raumdimensionen vorgestellt, der die versteckte Eleganz von Streuamplituden manifestiert und einen intuitiven Zugang zu ihnen erlaubt. Summary Scattering amplitudes describe the interactions of elementary particles and form the foundations to predict the results of measurements. They exhibit significantly richer mathematical structures and symmetries as the conventional Feynman-diagram prescription for their computation gives rise to expect. In the subsequent, a formalism w ith additional symmetries and spatial dimensions is introduced w hich manifests the hidden elegance of scattering amplitudes and allow s for an intuitive approach. Die im frühen 20. Jahrhundert formulierte Quantenmechanik hat unser Verständnis der Naturkräfte auf (sub)atomaren Längenskalen grundlegend verändert. Insbesondere lehrt sie uns, dass jegliche Form von Materie, Energie oder Krafteinw irkung eine „körnige” Struktur hat, also auf elementare Bestandteile reduziert w erden kann. Neben den Elektronen und Quarks, aus denen die Atome zusammengesetzt sind, zerfällt auch das Licht in unteilbare Quanten, den Photonen. Streuamplituden: Brücke zwischen Theorie und Experiment Im Formalismus der Quantenfeldtheorie Übertragungsteilchen zurückgeführt. So elektromagnetische Anziehung oder w ird jegliche fungiert das Abstoßung Krafteinw irkung auf Photon zum Beispiel als geladener Teilchen. Die den Austausch von Botenteilchen für die zentrale Kennzahl für Kollisionsprozesse ist eine sogenannte Streuamplitude, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit für das Zustandekommen des Prozesses © 2015 Max-Planck-Gesellschaft liefert und damit z. B. auch die w w w .mpg.de Stärke der elektromagnetischen 1/7 Jahrbuch 2014/2015 | Schlotterer, Oliver | Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden W echselw irkung. In ähnlicher Weise w erden auch die übrigen nicht-gravitativen Wechselw irkungen beschrieben, die starken und schw achen Kernkräfte: Beiden sind bestimmte Austauschteilchen zugeordnet, deren Streuamplituden die experimentell zugänglichen Messgrößen liefern. Die starke Kernkraft zw ischen Quarks w ird durch Gluonen übertragen, eine Abw andlung des Lichts in acht Farbsorten mit zusätzlichen W echselw irkungen untereinander. Quark- und Gluonenamplituden bilden die Grundlage der theoretischen Vorhersagen für vielerlei Messungen des Teilchenbeschleunigers „Large Hadron Collider” am CERN, d. h. Streuamplituden stellen die Quantenfeldtheorie auf den experimentellen Prüfstand. Feynman-Diagramme: Erfolge und Grenzen Ein Durchbruch in der Berechnung von Streuamplituden w urde bereits in den 1950er Jahren von dem amerikanischen Physiker und Nobelpreisträger Richard P. Feynman erzielt, der ihre Beiträge auf intuitive Art graphisch veranschaulichte. Ein Feynman-Diagramm zeigt den möglichen Ablauf eines Streuprozesses. Dabei w erden Teilchenbahnen durch Linien mit Gabelungen an Wechselw irkungspunkten repräsentiert. Das Linienmuster w ird nach einem überschaubaren Satz von Regeln in einen mathematischen Ausdruck überführt. Zum Beispiel erzw ingt jeder Knoten Impuls- und Energieerhaltung unter den ein- und auslaufenden Teilchen. Die volle Amplitude ergibt sich durch Summation über die unendlich vielen Diagramme, die mit gegebenen Stoßpartnern als externe Beine vereinbar sind. Im Fall der elektromagnetischen Abstoßung von Elektronen gilt es also, über den Austausch von einem einzigen Photon bis unendlich vielen zu summieren (Abb. 1). A bb. 1: Die e le k trom a gne tische Abstoßung von Ele k trone n (durchge zoge ne Linie ) k om m t durch de n Austa usch e ine r be lie bige n Anza hl von P hotone n (Schla nge nlinie ) zusta nde . © Ma x -P la nck -Institut für Gra vita tionsphysik (Albe rt-Einste inInstitut) / Schlotte re r Üblicherw eise w erden Streuamplituden nach der Anzahl geschlossener Schleifen aufgeteilt. Das ist die Anzahl der unbestimmten Energien und Impulse, die durch die knotenw eisen Erhaltungssätze noch nicht fixiert sind. In erster Näherung w erden nur Baumdiagramme ohne Schleifen mitgezählt, w ährend alle denkbaren Einschleifendiagramme die erste quantenmechanische Korrektur zu einem gegebenen Prozess ausmachen. Leider nimmt die Anzahl der Feynman-Diagramme sehr schnell mit der Anzahl von Schleifen und externen Beinen zu – und mehr noch die damit verbundene Anzahl von Rechenausdrücken. Wenn auch keines der beteiligen Diagramme per se ein Rechenhindernis darstellt, so bleiben doch viele Eigenschaften der Amplitude von der nach oben hin offenen Anzahl der Diagramme verborgen. In den letzten Jahren w urde in unterschiedlichsten Situationen mit Erstaunen festgestellt, w elch reichhaltige Symmetrien und mathematische Strukturen in Amplituden verschiedener Quantenfeldtheorien und Schleifenordnungen versteckt sind, sobald das Resultat der sturen Summation von Feynman-Diagrammen genauer analysiert w ird. Für Botenteilchen der Kraftübertragung gilt z. B. das Symmetrieprinzip der Eichinvarianz, demzufolge die Polarisation von Licht oder Gluonen in Bew egungsrichtung nicht zur Amplitude beiträgt. In einzelnen FeynmanDiagrammen macht sich diese unphysikalische Polarisation jedoch sehr w ohl bemerkbar und erst nach Summation aller Diagramme fixer Schleifenordnung zeigt sich die Eichinvarianz. Die Ineffizienz der Feynman- © 2015 Max-Planck-Gesellschaft w w w .mpg.de 2/7 Jahrbuch 2014/2015 | Schlotterer, Oliver | Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden Diagramme liegt also in der Unmenge unphysikalischer Information, die sie den Zw ischenschritten der Rechnung aufbürden. Alles in allem legen diese Beobachtungen nahe, den Feynman-Zugang „auszumisten” und alternative Berechnungs- und Beschreibungsvorschriften für Streuamplituden zu finden, die ihren Symmetrieeigenschaften von vornherein Rechnung tragen. Supersymmetrie und Extradimensionen Ein mächtiges Werkzeug der modernen theoretischen Teilchenphysik ist Supersymmetrie. Dahinter verbirgt sich eine Austauschsymmetrie zw ischen Materieteilchen (z. B. Elektronen) und Botenteilchen w ie Licht oder Gluonen. Zw ischen den heute bekannten Teilchen sind keine Supersymmetrie-Verknüpfungen möglich, w ie man bereits an der unterschiedlichen Anzahl von Farbsorten sieht (z. B. acht Gluonen, drei Quarks und ein Photon). Somit ist die experimentelle Verifizierung von Supersymmetrie noch Zukunftsmusik. Eine Triebfeder für das Studium supersymmetrischer Theorien ist die unerhörte Vereinfachung ihrer Streuamplituden. Auch Supersymmetrie-Partner w enn die gew altig Anzahl der anw achsen Feynman-Diagramme mag, so fallen nach durch ihrer das Hinzufügen neuer Aufsummierung einige Schleifenkonfigurationen systematisch w eg. Diese Beobachtungen liefern nicht nur w eitere Motivation, Formalismen jenseits der Feynman-Diagramme zu suchen, sondern zeichnen supersymmetrische Theorien als Spielw iese für ein besseres Verständnis von Streuamplituden aus. Eine w eitere Stellschraube auf der Suche nach einem vereinfachten Labor für Amplituden ist die RaumzeitDimension. Neben den uns umgebenden drei Raumdimensionen mit einer Zeitachse erlauben auch höherdimensionale Raumzeiten, die Supersymmetrie-bedingten Überraschungen in der Feynman-Summation zu untersuchen. Insbesondere lässt sich Supersymmetrie als Erw eiterung der Raumzeit auffassen, in der neue, nicht-geometrische Richtungen als Ausw ahlmechanismus zw ischen den beteiligten Partnerteilchen dienen. Der zugrundeliegende Formalismus ist als Superraum bekannt und die darin befindlichen Teilchen w erden dementsprechend durch Superfelder beschrieben. Der Pure Spinor-Superraum Aktuelle Forschung am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik hat zu neuen und frappierend übersichtlichen Darstellungen für Streuamplituden in einem zehndimensionalen Superraum geführt. Der Namensgeber für diesen hochdimensionalen Superraum ist ein sogenannter „Pure Spinor”, eine effiziente Hilfsvariable für die Ausw ahl physikalischer Polarisationen [1, 2]. Der Pure Spinor-Superraum erlaubt eine Superfeldbeschreibung für ein Gluon in zehn Dimensionen samt einem quark-ähnlichen Supersymmetrie-Partnerteilchen, dem sogenannten Gluino. © 2015 Max-Planck-Gesellschaft w w w .mpg.de 3/7 Jahrbuch 2014/2015 | Schlotterer, Oliver | Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden A bb. 2: Zur Ba um a m plitude von se chs Gluone n tra ge n vie rze hn k ubische Dia gra m m e be i, de ne n a uf intuitive W e ise e infa che R e che na usdrück e im P ure Spinor-Supe rra um zuge ordne t sind. © Ma x -P la nck -Institut für Gra vita tionsphysik (Albe rt-Einste inInstitut) / Schlotte re r W ie im Folgenden erklärt w ird, ermöglicht der Pure Spinor-Superraum besonders geschickte Variablen, mit deren Hilfe Streuamplituden von Telefonbuchlänge plötzlich in eine Formelzeile passen. Die Baumdiagramme zur Streuung von sechs Gluonen w ürden in der Sprache konventioneller Polarisationsvektoren ca. 7.000 Rechenausdrücken produzieren. In den Variablen des Pure Spinor-Superraums schrumpfen diese aber auf 14 Summanden zusammen [3, 4] (Abb. 2), w elche zudem die Gluino-Partneramplituden mitliefern. Umgekehrt können aus dem kompakten Superraum-Ausdruck die obigen 7.000 althergebrachten Amplitudenbausteine rekonstruiert w erden, dank eines Computerprogramms [5] durch einen Klick auf die Enter-Taste. Der Baukasten des Pure Spinor-Superraums W ie oben angedeutet, erfasst der Pure Spinor-Superraum große Gruppen an Feynman-Diagrammen auf einmal. Deren Repräsentanden vereinfachen sich zu kubischen Graphen-Cartoons von Feynman-Diagrammen mit nur einer Sorte von Linien, die sich nur in Knoten mit je drei zusammenlaufenden Linien verzw eigen können. Die oben erw ähnten 14 Baumgraphen-Beiträge zu einer sechs Gluon-Amplitude entsprechen den 14 kubischen Graphen, die mit einer zyklischen Anordnung der externen Beine kompatibel sind (Abb. 2). W ie man an den ehemals 7.000 Beiträgen aus der Feynman-Summation sieht, entschärfen die kubischen Graphen die aus konventionellen Feynman-Regeln stammende Scheinkomplexität. A bb. 3: Unive rse lle Vie lte ilche n-Supe rfe lde r be schre ibe n die Subgra phe n a uf de r link e n Se ite , una bhä ngig vom pote nzie ll schle ife nha ltige n R e stdia gra m m a uf de r re chte n Se ite , a n da s sie durch die m it · · · m a rk ie rte Linie a ndock e n. © Ma x -P la nck -Institut für Gra vita tionsphysik (Albe rt-Einste inInstitut) / Schlotte re r © 2015 Max-Planck-Gesellschaft w w w .mpg.de 4/7 Jahrbuch 2014/2015 | Schlotterer, Oliver | Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden Nun gilt es, kubische Graphen systematisch in Superfelder zu übersetzen. In diesem Unterfangen erlaubt der Pure Spinor-Formalismus eine effiziente Recyclingmaßnahme, die sogenannten Vielteilchen-Superfelder [6]: Zu jedem kubischen Baumgraphen lassen sich durch ein rekursives Verfahren universelle Superfelder zuw eisen, w elche die Information von mehreren durch externe Beine repräsentierten Stoßpartnern beinhalten. W ie in Abbildung 3 veranschaulicht, besitzen die zu Vielteilchen-Superfeldern gehörigen Baumgraphen eine zusätzliche (in der Abbildung gepunktete) Linie, um an beliebige andere Teildiagramme anzudocken. Kubische Diagramme mit Schleifen w erden dann in die größtmöglichen baumartigen Subgraphen zerlegt. Diese entsprechen w iederum Vielteilchen-Superfeldern, unabhängig vom restlichen Graphen jenseits der Andockstelle. Die Konstruktion der Superraum-Repräsentanden von Subgraphen ist durch die BRST-Symmetrie diktiert. Hinter diesem auf die Physiker Becchi, Rouet, Stora und Tyutin zurückgehenden Akronym verbirgt sich eine Art Verschmelzung von Eichinvarianz und Supersymmetrie. Damit folgen die Pure Spinor-Methoden einer allgemeinen Maxime der theoretischen Physik, Probleme anhand ihrer Symmetrien zu lösen. Die altbekannte zehndimensionale Superraum-Beschreibung von einzelnen Gluonen [7] verw endet genau vier Typen von Superfeldern, die man mit den vier Farben eines Kartenspiels vergleichen kann – Karo, Herz, Pik und Kreuz. Dementsprechend erlaubt die BRST-inspirierte Konstruktion von Vielteilchen-Superfeldern genau vier Versionen pro Subgraph (Abb. 4). A bb. 4: Es gibt vie r Sorte n ♦,♥,♠ und ♣ von Supe rra um R e prä se nta nde n für Subgra phe n, da rge ste llt durch Ellipse n (1). Ba um - (2) und Einschle ife ndia gra m m e (3) se tze n sich a us fix e n „Fa rb”k onfigura tione n ♦♦♦ bzw. ♦♠♠♣ zusa m m e n. © Ma x -P la nck -Institut für Gra vita tionsphysik (Albe rt-Einste inInstitut) / Schlotte re r Deren Zusammensetzung in Amplituden unterliegt bestimmten Ausw ahlregeln sow ie bei Kartenspielen vielfach gew issen Kombinationen aus Karo, Herz, Pik und Kreuz ausgezeichnet sind. Das Quartett der VielteilchenSuperfelder ist über vielerlei Schleifenordnungen hinw eg universell anw endbar. Die genauen Ausw ahlregeln für die Farbe mögen je nach Ordnung unterschiedlich sein, d. h. ♦♦♦ für Baumamplituden oder z. B. ♦♠♠♣ für Einschleifenamplituden [8] (siehe Abb. 4). Aber sie alle bedienen sich aus demselben Baukasten der Vielteilchen-Superfelder {♦, ♥, ♠, ♣}. Sobald dieser einmal systematisch bestückt ist, können komplexe Graphen mit w enig Aufw and konstruiert und in kompakte Form gegossen w erden. Zusammenfassung und Ausblick Der oben vorgestellte Amplitudenbaukasten des Pure Spinor-Formalismus erlaubt es, Feynman-Diagramme © 2015 Max-Planck-Gesellschaft w w w .mpg.de 5/7 Jahrbuch 2014/2015 | Schlotterer, Oliver | Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden von ihrem unphysikalischen Ballast zu befreien und Amplituden über effiziente Rechenw ege in elegante Darstellungen zu gießen. Die verw endeten kubischen Graphen bew ahren auf der einen Seite die suggestive Kraft der ursprünglichen Feynman-Diagramme, zähmen aber auf der anderen Seite die explosionsartige Zunahme der Rechenausdrücke mit der Anzahl von Knoten, Linien und Schleifen. Stattdessen können kubische Graphen im Pure Spinor-Superraum zerlegt w erden und nach einem überschaubaren Satz von Regeln gemäß ihrer baumartigen Bestandteile organisiert w erden. Die BRST-Symmetrie übernimmt eine stringente Leitung in jedem Schritt der Superraum-Konstruktion von Amplituden. Derzeit w ird am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik konzentriert an Weiterentw icklungen der Pure Spinor inspirierten Methoden gearbeitet. Es gilt nicht nur, die Systematik der supersymmetrischen Gluonamplituden auf höheren Schleifenordnungen zu verstehen, sondern auch größere Klassen von Amplituden in Gravitations- oder Stringtheorien aus demselben Baukasten zu konstruieren [9, 10]. Der Pure Spinor-Superraum trägt ein hohes Potenzial, unser Grundverständnis von w echselw irkenden Quantentheorien voranzubringen. Literaturhinweise [1] Howe, P. S. Pure spinors, function superspaces and supergravity theories in ten-dimensions and eleven-dimensions Physics Letters B 273, 90-94 (1991) [2] Berkovits, N. Super Poincaré covariant quantization of the superstring Journal of High Energy Physics 2000, 018 (2000) [3] Mafra, C. R. Towards Field Theory Amplitudes From the Cohomology of Pure Spinor Superspace Journal of High Energy Physics 2010, 096 (2010) [4] Mafra, C. R.; Schlotterer, O.; Stieberger, S.; Tsimpis, D. A recursive method for SY M n-point tree amplitudes in supersymmetric Y ang-Mills theories Physical Review D 83, 126012 (2011) [5] Mafra, C. R. PSS: A FORM Program to Evaluate Pure Spinor Superspace Expressions ePub ahead of print: arXiv:1007.4999 [hep-th] [6] Mafra, C. R.; Schlotterer, O. Multiparticle SY M equations of motion and pure spinor BRST blocks Journal of High Energy Physics 2014, 153 (2014) [7] Witten, E. Twistor - Like Transform in Ten-Dimensions Nuclear Physics B 266, 245-264 (1986) © 2015 Max-Planck-Gesellschaft w w w .mpg.de 6/7 Jahrbuch 2014/2015 | Schlotterer, Oliver | Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für Streuamplituden [8] Mafra, C. R.; Schlotterer, O. Towards one-loop SY M amplitudes from the pure spinor BRST cohomology Fortschritte der Physik 63, 105-131 (2015) [9] Bern, Z.; Carrasco, J. J. M.; Johansson, H. Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy of Gauge Theory Physical Review Letters 105, 061602 (2010) [10] Mafra, C. R.; Schlotterer, O.; Stieberger, S. Complete N-Point Superstring Disk Amplitude I. Pure Spinor Computation Nuclear Physics B 873, 419-460 (2013) © 2015 Max-Planck-Gesellschaft w w w .mpg.de 7/7
