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Jahrbuch 2014/2015 | Schlotterer, Oliver | Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für
Streuamplituden
Der 10+16 dimensionale Superraum als Baukasten für
Streuamplituden
10+16 dimensional superspace as a building kit for scattering
amplitudes
Schlotterer, Oliver
Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik, Potsdam-Golm
Korrespondierender Autor
E-Mail: [email protected]
Zusammenfassung
Streuamplituden beschreiben die Wechselw irkungen von Elementarteilchen und bilden die Grundlage für die
Vorhersage
von
Messergebnissen. Sie
w eisen
deutlich
reichhaltigere
mathematische
Strukturen
und
Symmetrien auf als ihre konventionelle Berechnungsvorschrift durch Feynman-Diagramme erw arten lässt. Im
Folgenden w ird ein Formalismus mit zusätzlichen Symmetrien und Raumdimensionen vorgestellt, der die
versteckte Eleganz von Streuamplituden manifestiert und einen intuitiven Zugang zu ihnen erlaubt.
Summary
Scattering amplitudes describe the interactions of elementary particles and form the foundations to predict the
results of measurements. They exhibit significantly richer mathematical structures and symmetries as the
conventional Feynman-diagram prescription for their computation gives rise to expect. In the subsequent, a
formalism w ith additional symmetries and spatial dimensions is introduced w hich manifests the hidden
elegance of scattering amplitudes and allow s for an intuitive approach.
Die im frühen 20. Jahrhundert formulierte Quantenmechanik hat unser Verständnis der Naturkräfte auf
(sub)atomaren Längenskalen grundlegend verändert. Insbesondere lehrt sie uns, dass jegliche Form von
Materie, Energie oder Krafteinw irkung eine „körnige” Struktur hat, also auf elementare Bestandteile reduziert
w erden kann. Neben den Elektronen und Quarks, aus denen die Atome zusammengesetzt sind, zerfällt auch
das Licht in unteilbare Quanten, den Photonen.
Streuamplituden: Brücke zwischen Theorie und Experiment
Im
Formalismus
der
Quantenfeldtheorie
Übertragungsteilchen zurückgeführt. So
elektromagnetische
Anziehung
oder
w ird
jegliche
fungiert das
Abstoßung
Krafteinw irkung
auf
Photon zum Beispiel als
geladener
Teilchen.
Die
den
Austausch
von
Botenteilchen für die
zentrale
Kennzahl
für
Kollisionsprozesse ist eine sogenannte Streuamplitude, deren Betragsquadrat die Wahrscheinlichkeit für das
Zustandekommen des
Prozesses
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liefert und
damit z. B. auch die
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Stärke
der elektromagnetischen
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W echselw irkung.
In ähnlicher Weise w erden auch die übrigen nicht-gravitativen Wechselw irkungen beschrieben, die starken
und schw achen Kernkräfte: Beiden sind bestimmte Austauschteilchen zugeordnet, deren Streuamplituden die
experimentell zugänglichen Messgrößen liefern. Die starke Kernkraft zw ischen Quarks w ird durch Gluonen
übertragen, eine Abw andlung des Lichts in acht Farbsorten mit zusätzlichen W echselw irkungen untereinander.
Quark- und Gluonenamplituden bilden die Grundlage der theoretischen Vorhersagen für vielerlei Messungen
des
Teilchenbeschleunigers
„Large
Hadron
Collider”
am
CERN,
d.
h.
Streuamplituden
stellen
die
Quantenfeldtheorie auf den experimentellen Prüfstand.
Feynman-Diagramme: Erfolge und Grenzen
Ein Durchbruch in der Berechnung von Streuamplituden w urde bereits in den 1950er Jahren von dem
amerikanischen Physiker und Nobelpreisträger Richard P. Feynman erzielt, der ihre Beiträge auf intuitive Art
graphisch veranschaulichte. Ein Feynman-Diagramm zeigt den möglichen Ablauf eines Streuprozesses. Dabei
w erden Teilchenbahnen durch Linien mit Gabelungen an Wechselw irkungspunkten repräsentiert. Das
Linienmuster w ird nach einem überschaubaren Satz von Regeln in einen mathematischen Ausdruck überführt.
Zum Beispiel erzw ingt jeder Knoten Impuls- und Energieerhaltung unter den ein- und auslaufenden Teilchen.
Die volle Amplitude ergibt sich durch Summation über die unendlich vielen Diagramme, die mit gegebenen
Stoßpartnern als externe Beine vereinbar sind. Im Fall der elektromagnetischen Abstoßung von Elektronen gilt
es also, über den Austausch von einem einzigen Photon bis unendlich vielen zu summieren (Abb. 1).
A bb. 1: Die e le k trom a gne tische Abstoßung von Ele k trone n
(durchge zoge ne Linie ) k om m t durch de n Austa usch e ine r
be lie bige n Anza hl von P hotone n (Schla nge nlinie ) zusta nde .
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Üblicherw eise w erden Streuamplituden nach der Anzahl geschlossener Schleifen aufgeteilt. Das ist die Anzahl
der unbestimmten Energien und Impulse, die durch die knotenw eisen Erhaltungssätze noch nicht fixiert sind.
In erster Näherung w erden nur Baumdiagramme ohne Schleifen mitgezählt, w ährend alle denkbaren
Einschleifendiagramme die erste quantenmechanische Korrektur zu einem gegebenen Prozess ausmachen.
Leider nimmt die Anzahl der Feynman-Diagramme sehr schnell mit der Anzahl von Schleifen und externen
Beinen zu – und mehr noch die damit verbundene Anzahl von Rechenausdrücken. Wenn auch keines der
beteiligen Diagramme per se ein Rechenhindernis darstellt, so bleiben doch viele Eigenschaften der Amplitude
von der nach oben hin offenen Anzahl der Diagramme verborgen. In den letzten Jahren w urde in
unterschiedlichsten Situationen mit Erstaunen festgestellt, w elch reichhaltige Symmetrien und mathematische
Strukturen in Amplituden verschiedener Quantenfeldtheorien und Schleifenordnungen versteckt sind, sobald
das Resultat der sturen Summation von Feynman-Diagrammen genauer analysiert w ird.
Für Botenteilchen der Kraftübertragung gilt z. B. das Symmetrieprinzip der Eichinvarianz, demzufolge die
Polarisation von Licht oder Gluonen in Bew egungsrichtung nicht zur Amplitude beiträgt. In einzelnen FeynmanDiagrammen macht sich diese unphysikalische Polarisation jedoch sehr w ohl bemerkbar und erst nach
Summation aller Diagramme fixer Schleifenordnung zeigt sich die Eichinvarianz. Die Ineffizienz der Feynman-
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Diagramme liegt also in der Unmenge unphysikalischer Information, die sie den Zw ischenschritten der
Rechnung aufbürden. Alles in allem legen diese Beobachtungen nahe, den Feynman-Zugang „auszumisten”
und alternative Berechnungs- und Beschreibungsvorschriften für Streuamplituden zu finden, die ihren
Symmetrieeigenschaften von vornherein Rechnung tragen.
Supersymmetrie und Extradimensionen
Ein mächtiges Werkzeug der modernen theoretischen Teilchenphysik ist Supersymmetrie. Dahinter verbirgt
sich eine Austauschsymmetrie zw ischen Materieteilchen (z. B. Elektronen) und Botenteilchen w ie Licht oder
Gluonen. Zw ischen den heute bekannten Teilchen sind keine Supersymmetrie-Verknüpfungen möglich, w ie
man bereits an der unterschiedlichen Anzahl von Farbsorten sieht (z. B. acht Gluonen, drei Quarks und ein
Photon). Somit ist die experimentelle Verifizierung von Supersymmetrie noch Zukunftsmusik.
Eine Triebfeder für das Studium supersymmetrischer Theorien ist die unerhörte Vereinfachung ihrer
Streuamplituden.
Auch
Supersymmetrie-Partner
w enn
die
gew altig
Anzahl
der
anw achsen
Feynman-Diagramme
mag,
so
fallen
nach
durch
ihrer
das
Hinzufügen
neuer
Aufsummierung
einige
Schleifenkonfigurationen systematisch w eg. Diese Beobachtungen liefern nicht nur w eitere Motivation,
Formalismen jenseits der Feynman-Diagramme zu suchen, sondern zeichnen supersymmetrische Theorien als
Spielw iese für ein besseres Verständnis von Streuamplituden aus.
Eine w eitere Stellschraube auf der Suche nach einem vereinfachten Labor für Amplituden ist die RaumzeitDimension. Neben den uns umgebenden drei Raumdimensionen mit einer Zeitachse
erlauben auch
höherdimensionale Raumzeiten, die Supersymmetrie-bedingten Überraschungen in der Feynman-Summation
zu untersuchen. Insbesondere lässt sich Supersymmetrie als Erw eiterung der Raumzeit auffassen, in der
neue, nicht-geometrische Richtungen als Ausw ahlmechanismus zw ischen den beteiligten Partnerteilchen
dienen. Der zugrundeliegende Formalismus ist als Superraum bekannt und die darin befindlichen Teilchen
w erden dementsprechend durch Superfelder beschrieben.
Der Pure Spinor-Superraum
Aktuelle Forschung am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik hat zu neuen und frappierend übersichtlichen
Darstellungen für Streuamplituden in einem zehndimensionalen Superraum geführt. Der Namensgeber für
diesen hochdimensionalen Superraum ist ein sogenannter „Pure Spinor”, eine effiziente Hilfsvariable für die
Ausw ahl physikalischer Polarisationen [1, 2]. Der Pure Spinor-Superraum erlaubt eine Superfeldbeschreibung
für ein Gluon in zehn Dimensionen samt einem quark-ähnlichen Supersymmetrie-Partnerteilchen, dem
sogenannten Gluino.
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A bb. 2: Zur Ba um a m plitude von se chs Gluone n tra ge n
vie rze hn k ubische Dia gra m m e be i, de ne n a uf intuitive W e ise
e infa che R e che na usdrück e im P ure Spinor-Supe rra um
zuge ordne t sind.
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W ie im Folgenden erklärt w ird, ermöglicht der Pure Spinor-Superraum besonders geschickte Variablen, mit
deren Hilfe Streuamplituden von Telefonbuchlänge plötzlich in eine Formelzeile passen. Die Baumdiagramme
zur Streuung von sechs Gluonen w ürden in der Sprache konventioneller Polarisationsvektoren ca. 7.000
Rechenausdrücken produzieren. In den Variablen des Pure Spinor-Superraums schrumpfen diese aber auf 14
Summanden zusammen [3, 4] (Abb. 2), w elche zudem die Gluino-Partneramplituden mitliefern. Umgekehrt
können aus dem kompakten Superraum-Ausdruck die obigen 7.000 althergebrachten Amplitudenbausteine
rekonstruiert w erden, dank eines Computerprogramms [5] durch einen Klick auf die Enter-Taste.
Der Baukasten des Pure Spinor-Superraums
W ie oben angedeutet, erfasst der Pure Spinor-Superraum große Gruppen an Feynman-Diagrammen auf
einmal. Deren Repräsentanden vereinfachen sich zu kubischen Graphen-Cartoons von Feynman-Diagrammen
mit nur einer Sorte von Linien, die sich nur in Knoten mit je drei zusammenlaufenden Linien verzw eigen
können. Die oben erw ähnten 14 Baumgraphen-Beiträge zu einer sechs Gluon-Amplitude entsprechen den 14
kubischen Graphen, die mit einer zyklischen Anordnung der externen Beine kompatibel sind (Abb. 2). W ie man
an den ehemals 7.000 Beiträgen aus der Feynman-Summation sieht, entschärfen die kubischen Graphen die
aus konventionellen Feynman-Regeln stammende Scheinkomplexität.
A bb. 3: Unive rse lle Vie lte ilche n-Supe rfe lde r be schre ibe n die
Subgra phe n a uf de r link e n Se ite , una bhä ngig vom pote nzie ll
schle ife nha ltige n R e stdia gra m m a uf de r re chte n Se ite , a n da s
sie durch die m it · · · m a rk ie rte Linie a ndock e n.
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Nun gilt es, kubische Graphen systematisch in Superfelder zu übersetzen. In diesem Unterfangen erlaubt der
Pure Spinor-Formalismus eine effiziente Recyclingmaßnahme, die sogenannten Vielteilchen-Superfelder [6]: Zu
jedem kubischen Baumgraphen lassen sich durch ein rekursives Verfahren universelle Superfelder zuw eisen,
w elche die Information von mehreren durch externe Beine repräsentierten Stoßpartnern beinhalten. W ie in
Abbildung 3 veranschaulicht, besitzen die
zu Vielteilchen-Superfeldern gehörigen Baumgraphen eine
zusätzliche (in der Abbildung gepunktete) Linie, um an beliebige andere Teildiagramme anzudocken. Kubische
Diagramme mit Schleifen w erden dann in die größtmöglichen baumartigen Subgraphen zerlegt. Diese
entsprechen
w iederum
Vielteilchen-Superfeldern,
unabhängig
vom
restlichen
Graphen
jenseits
der
Andockstelle.
Die Konstruktion der Superraum-Repräsentanden von Subgraphen ist durch die BRST-Symmetrie diktiert.
Hinter diesem auf die Physiker Becchi, Rouet, Stora und Tyutin zurückgehenden Akronym verbirgt sich eine Art
Verschmelzung von Eichinvarianz und Supersymmetrie. Damit folgen die Pure Spinor-Methoden einer
allgemeinen Maxime der theoretischen Physik, Probleme anhand ihrer Symmetrien zu lösen.
Die altbekannte zehndimensionale Superraum-Beschreibung von einzelnen Gluonen [7] verw endet genau vier
Typen von Superfeldern, die man mit den vier Farben eines Kartenspiels vergleichen kann – Karo, Herz, Pik
und Kreuz. Dementsprechend erlaubt die BRST-inspirierte Konstruktion von Vielteilchen-Superfeldern genau
vier Versionen pro Subgraph (Abb. 4).
A bb. 4: Es gibt vie r Sorte n ♦,♥,♠ und ♣ von Supe rra um R e prä se nta nde n für Subgra phe n, da rge ste llt durch Ellipse n
(1). Ba um - (2) und Einschle ife ndia gra m m e (3) se tze n sich
a us fix e n „Fa rb”k onfigura tione n ♦♦♦ bzw. ♦♠♠♣ zusa m m e n.
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Deren Zusammensetzung in Amplituden unterliegt bestimmten Ausw ahlregeln sow ie bei Kartenspielen vielfach
gew issen Kombinationen aus Karo, Herz, Pik und Kreuz ausgezeichnet sind. Das Quartett der VielteilchenSuperfelder ist über vielerlei Schleifenordnungen hinw eg universell anw endbar. Die genauen Ausw ahlregeln
für die Farbe mögen je nach Ordnung unterschiedlich sein, d. h. ♦♦♦ für Baumamplituden oder z. B. ♦♠♠♣ für
Einschleifenamplituden [8] (siehe Abb. 4). Aber sie alle bedienen sich aus demselben Baukasten der
Vielteilchen-Superfelder {♦, ♥, ♠, ♣}. Sobald dieser einmal systematisch bestückt ist, können komplexe Graphen
mit w enig Aufw and konstruiert und in kompakte Form gegossen w erden.
Zusammenfassung und Ausblick
Der oben vorgestellte Amplitudenbaukasten des Pure Spinor-Formalismus erlaubt es, Feynman-Diagramme
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von ihrem unphysikalischen Ballast zu befreien und Amplituden über effiziente Rechenw ege in elegante
Darstellungen zu gießen. Die verw endeten kubischen Graphen bew ahren auf der einen Seite die suggestive
Kraft der ursprünglichen Feynman-Diagramme, zähmen aber auf der anderen Seite die explosionsartige
Zunahme der Rechenausdrücke mit der Anzahl von Knoten, Linien und Schleifen. Stattdessen können kubische
Graphen im Pure Spinor-Superraum zerlegt w erden und nach einem überschaubaren Satz von Regeln gemäß
ihrer baumartigen Bestandteile organisiert w erden. Die BRST-Symmetrie übernimmt eine stringente Leitung in
jedem Schritt der Superraum-Konstruktion von Amplituden.
Derzeit w ird am Max-Planck-Institut für Gravitationsphysik konzentriert an Weiterentw icklungen der Pure
Spinor inspirierten
Methoden
gearbeitet. Es
gilt nicht nur, die
Systematik der supersymmetrischen
Gluonamplituden auf höheren Schleifenordnungen zu verstehen, sondern auch größere Klassen von
Amplituden in Gravitations- oder Stringtheorien aus demselben Baukasten zu konstruieren [9, 10]. Der Pure
Spinor-Superraum trägt ein hohes Potenzial, unser Grundverständnis von w echselw irkenden Quantentheorien
voranzubringen.
Literaturhinweise
[1] Howe, P. S.
Pure spinors, function superspaces and supergravity theories in ten-dimensions and eleven-dimensions
Physics Letters B 273, 90-94 (1991)
[2] Berkovits, N.
Super Poincaré covariant quantization of the superstring
Journal of High Energy Physics 2000, 018 (2000)
[3] Mafra, C. R.
Towards Field Theory Amplitudes From the Cohomology of Pure Spinor Superspace
Journal of High Energy Physics 2010, 096 (2010)
[4] Mafra, C. R.; Schlotterer, O.; Stieberger, S.; Tsimpis, D.
A recursive method for SY M n-point tree amplitudes in supersymmetric Y ang-Mills theories
Physical Review D 83, 126012 (2011)
[5] Mafra, C. R.
PSS: A FORM Program to Evaluate Pure Spinor Superspace Expressions
ePub ahead of print: arXiv:1007.4999 [hep-th]
[6] Mafra, C. R.; Schlotterer, O.
Multiparticle SY M equations of motion and pure spinor BRST blocks
Journal of High Energy Physics 2014, 153 (2014)
[7] Witten, E.
Twistor - Like Transform in Ten-Dimensions
Nuclear Physics B 266, 245-264 (1986)
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Streuamplituden
[8] Mafra, C. R.; Schlotterer, O.
Towards one-loop SY M amplitudes from the pure spinor BRST cohomology
Fortschritte der Physik 63, 105-131 (2015)
[9] Bern, Z.; Carrasco, J. J. M.; Johansson, H.
Perturbative Quantum Gravity as a Double Copy of Gauge Theory
Physical Review Letters 105, 061602 (2010)
[10] Mafra, C. R.; Schlotterer, O.; Stieberger, S.
Complete N-Point Superstring Disk Amplitude I. Pure Spinor Computation
Nuclear Physics B 873, 419-460 (2013)
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