Sehnenviereck

Geometrie Modul 4b
WS 2015/16
Mi 10-12 HS 1
Benötigte Materialien: Geometrieheft – DIN-A-4 blanco weiß, quadratisches Faltpapier/Zettelblock,
rundes Faltpapier; Zirkel, Geometriedreieck, Klebstoff, Schere
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28.10. V1
04.11. V2
Geometrische Grundbegriffe
Grundkonstruktionen und Bestimmungslinien
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11.11. V3
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18.11. V4
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25.11. V5
02.12. V6
09.12. V7
Dreiecke und ihre Eigenschaften (Winkel, Kongruenzsätze,
Linien/Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
Vierecke und ihre Eigenschaften (Typisierung, besondere Vierecke,
Haus der Vierecke, Symmetrien)
Dreiecke (Flächensätze, Ähnlichkeit)
Vielecke (Sätze, Winkel, Symmetrien, Beziehungen zum Kreis)
Kreis (Geraden, Punkte, Typisierung, Symmetrien, Winkelsätze)
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16.12. V8
13.01. V9
Kongruenzabbildungen - Symmetrie
Flächeninhalt und Umfang von Vielecken und Kreisen
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20.01. V10
Typisierung von Körpern (Quader, Prismen, Spitzkörper, Platonische
Körper, Kugel)
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27.01. V11
Rauminhalt von Körpern (Rauminhalt von Prismen und Spitzkörpern,
Rauminhalt und Oberfläche der Kugel)
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03.02. V12
Zusammenfassung
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12.02. (Freitag)
14-16 Uhr, Klausur (HS 1, HS 2)
1
V7 Kreis (Geraden, Winkel)
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1 Geraden und Winkel am Kreis
2 Sehnenvierecke
3 Tangentenvierecke
4 Falten/Zeichnen von Figuren im Kreis
Quellen: Krauter. Erlebnis
Elementargeometrie; HefendehlHebecker. Figuren und
Abbildungen. Duden Mathematik;
Kusch. Geometrie und
Stereometrie
2
1 Geraden und Winkel am Kreis
Der Kreis ist die Menge aller Punkte der Ebene, die von
einem festen Punkt M der Ebene den gleichen Abstand r
haben.
M heißt Mittelpunkt und die Strecke der Länge r, die jeden
Punkt des Kreises mit seinem Mittelpunkt verbindet, heißt
Radius.
3
• Eine Gerade kann bezüglich
eines Kreises drei
verschiedene Lagen
einnehmen:
– Sie kann den Kreis meiden
(Passante).
– Sie kann den Kreis schneiden
(Sekante).
– Sie kann den Kreis in einem
Punkt berühren (Tangente).
passer (franz.) – vorbeigehen
secare (lat.) – schneiden
tangere (lat.) - berühren
• Die Sehne ist eine Strecke,
die zwei Punkte der
Kreislinie miteinander
verbindet. Eine Sehne, die
durch den Mittelpunkt des
Kreises verläuft, heißt auch
Durchmesser.
4
Von einem Punkt P außerhalb gibt es zwei
Tangenten an den Kreis.
5
• Die Mittelsenkrechte einer Sehne führt immer durch den
Mittelpunkt des Kreises.
• Diese Information benötigen wir, um in Kreisen einen (nicht
vorhandenen) Mittelpunkt zu erzeugen.
• Zeichnen Sie mit Hilfe einer Schablone/eines Gegenstandes einen
Kreis und konstruieren Sie den Mittelpunkt des Kreises.
• Anders gesagt, durch drei Punkte, die nicht auf einer
Geraden liegen, kann man einen Kreis bestimmen. Man
kann die Verbindungsstrecken der Punkte als Sehnen eines
Kreises betrachten und über die Konstruktion des
Mittelpunktes den Kreis entstehen lassen.
• Ein Kreis ist durch drei (nicht auf einer Geraden liegenden)
Punkte eindeutig bestimmt.
6
Winkel im Kreis
7
Zentriwinkel
• Zwei Radien eines Kreises
bilden zwei Winkel mit dem
Mittelpunkt des Kreises als
gemeinsamen Scheitel.
• Man erhält zwei Winkel, die
sich zu 360° ergänzen. Man
nennt sie
Mittelpunktswinkel oder
Zentriwinkel.
• Um sie zu unterscheiden,
gibt man den Kreisbogen
an, über welchem der
Winkel steht.
8
Peripheriewinkel
• Zwei über dem Bogen
AB stehende Sehnen,
die einen Punkt C der
Kreisperipherie
gemeinsam haben,
bilden den Umfangsoder Peripheriewinkel.
9
• Welcher Zusammenhang
besteht zwischen dem
Zentriwinkel und dem
dazugehörigen
Peripheriewinkel?
• Vermutung: Zentriwinkel
α über dem Bogen AB ist
doppelt so groß wie ein
Peripheriewinkel β über
dem gleichen Bogen.
10
Beh.: Ein Zentriwinkel über dem Bogen AB ist doppelt so
groß wie der Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen.
• Wir schauen uns eine
Begründung an für den
Fall, dass M auf einem
Schenkel des
Peripheriewinkels liegt.
• Der Zentriwinkel α ist ein
Außenwinkel des
gleichschenkligen
Dreiecks ∆MBC und als
solcher so groß wie die
beiden nichtanliegenden
Innenwinkel des Dreiecks.
• Es gilt also α = 2 · β.
11
• Da alle Peripheriewinkel über
dem Bogen AB halb so groß
sind wie die dazugehörigen
Zentriwinkel, sind sie
untereinander alle gleich groß.
• Im Fall, dass der Bogen AB ein
Halbkreis die Sehne also ein
Durchmesser ist, ist der
Zentriwinkel ein gestreckter
Winkel, also 180° groß. Die
zugehörigen Peripheriewinkel
sind dann alle 90° groß. Dieser
Sachverhalt wurde im Satz des
Thales (s. folgende Folie)
beschrieben.
12
Fazit (zu Folie 12)
• Der Zentriwinkel über dem Bogen AB ist doppelt
so groß wie der Peripheriewinkel über dem
gleichen Bogen. Zentri-Peripheriewinkelsatz
• Alle Peripheriewinkel über dem Bogen AB sind
gleich groß. Peripheriewinkelsatz
• Alle Peripheriewinkel über einem Durchmesser
sind rechte Winkel. Thales-Satz
13
Welcher Zusammenhang besteht zwischen
Peripheriewinkeln, die auf verschiedenen Seiten
derselben Sehne liegen?
Peripheriewinkel auf verschiedenen Seiten
eines Bogens (einer Sehne) ergänzen sich zu
180°.
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Wichtige Zusammenhänge:
- Die Tangente verhält sich zum anliegenden Berührungsradius
senkrecht.
- Die längste Sehne im Kreis ist der Durchmesser.
- Peripheriewinkel über dem gleichen Bogen (über der gleichen Seite
der Sehne) sind gleich groß.
- Dies gilt auch für Peripheriewinkel über dem Durchmesser. Jeder
dieser Winkel ist dann ein rechter Winkel (Satz des Thales).
- Setzen wir Peripheriewinkel und Zentriwinkel über den gleichen
Bogen, dann ist der Peripheriewinkel halb so groß wie der
entsprechende Zentriwinkel.
- Peripheriewinkel, die auf verschiedenen Seiten derselben Sehne
liegen, ergänzen sich zu 180°.
15
2 Sehnenvierecke
• Zeichnen Sie vier Sehnen so
in einen Kreis, dass ein
Viereck entsteht.
• Ein solches Viereck heißt
Sehnenviereck.
• In jeden Kreis lassen sich
unendlich viele
Sehnenvierecke
einzeichnen.
• Die Innenwinkel eines
Sehnenvierecks sind
gleichzeitig
Peripheriewinkel des
Kreises.
16
• Ein Viereck ABCD ist nur
dann ein Sehnenviereck,
wenn die
gegenüberliegenden
Winkel zusammen 180°
groß sind.
• Von den speziellen
Vierecken müssten dann
Quadrat, Rechteck und
symmetrisches Trapez
Sehnenvierecke sein.
siehe: Peripheriewinkel auf
verschiedenen Seiten einer
Sehne ergänzen sich zu 180°.
17
•
Vor.: Viereck ABCD mit Umkreis
• Beh.: Die gegenüberliegenden
Winkel im Sehnenviereck ergänzen
sich zu 180°.
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•
•
Beweis: Idee: Peripheriewinkel auf
verschiedenen Seiten derselben Sehne
Diagonale AC zerlegt das Viereck in 2
Dreiecke, die denselben Umkreis
haben.
In  ABC ist β Peripheriewinkel zur
Sehne AC, der entsprechende
Zentriwinkel ist dann doppelt so groß
(2β).
In  ACD ist δ Peripheriewinkel zur
Sehne AC, der entsprechende
Zentriwinkel ist dann 2δ groß.
Da β und δ Peripheriewinkel zu
derselben Sehne sind, gilt:
2β + 2δ = 360°
2(β + δ) = 360°
β + δ = 180°
18
• Beim Sehnenviereck
schneiden sich alle vier
Mittelsenkrechten in
einem Punkt und bilden
den
Umkreismittelpunkt.
Wenn wir zu einem
gleichschenkligen Trapez einen
Umkreis suchen, reichen also zwei
Mittelsenkrechten, um den
Mittelpunkt des Kreises zu finden.
19
• Unter dem Umkreis eines n-Ecks versteht man den
Kreis, der durch alle Eckpunkte des n-Ecks geht. Die
Seiten des n-Ecks sind Sehnen des Umkreises.
• Alle Dreiecke und alle regelmäßigen
Vielecke haben einen Umkreis, aber nicht
jedes Viereck. Besitzt ein Viereck einen
Umkreis, so ist es ein Sehnenviereck.
• Spezielle Sehnenvierecke sind gleichschenklige
Trapeze, Rechtecke und Quadrate.
20
• Wie wir wissen, ist auch
das Rechteck ein
spezielles Sehnenviereck.
• Man kann sich dies gut
mit Hilfe des Satzes des
Thales vorstellen. Durch
Punktspiegelung des
rechten Winkels ACB
(bzw. des Dreiecks ABC)
an M erhalten wir ein
Rechteck.
21
3 Tangentenvierecke
22
• Zeichnen Sie vier Tangenten so an einen Kreis,
dass ein Viereck entsteht.
• Ein solches Viereck nennt man Tangentenviereck.
Der Kreis wird zum Inkreis.
• Im Tangentenviereck ist die Länge der Summe
zweier gegenüberliegender Seiten gleich der
Summe der anderen beiden Gegenseiten.
Tangenten
konstruieren
Tangentenviereck
23
• Bei einigen
Viereckformen ist die
Bedingung (Summe der
Gegenseiten gleich)
stets erfüllt.
Drachenvierecke,
Quadrate und Rauten
sind immer auch
Tangentenvierecke.
24
• Der Inkreis eines Vielecks ist ein Kreis, der alle Seiten
von innen berührt. Die Seiten des Vieleckes sind dann
Tangenten an den Inkreis.
• Alle Dreiecke und alle regelmäßigen Vielecke haben
einen Inkreis. Vierecke, die einen Inkreis besitzen,
heißen Tangentenvierecke.
Inkreis und
Umkreis für
spezielle Vierecke
Viereck
Inkreis
(Tangentenviereck)
Umkreis
(Sehnenviereck)
Quadrat
ja
ja
Rechteck
nein
ja
Raute
ja
nein
Drachenviereck
ja
nein
gleichschenkliges
Trapez
nein
ja
Parallelogramm
nein
nein
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3 Falten/Zeichnen im Kreis
• Falten einer Ellipse
– Eine Ellipse ist eine spezielle geschlossene ovale
Kurve.
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Stellen Sie sich vor, Sie wollen Kreise
durch einen Punkt zeichnen, Kreise durch
zwei Punkte, Kreise durch drei Punkte.
Stellen Sie Überlegungen zu den
Mittelpunkten dieser Kreise an, die durch
1, 2 oder 3 Punkte gehen.
27
• Durch einen Punkt P lassen
sich unendlich viele Kreise
zeichnen.
•
Die Mittelpunkte für Kreise mit
dem gleichen Radius findet man
auf einem Kreis um P.
P
• Durch zwei Punkte kann
man unendlich viele Kreise
zeichnen.
P1
P2
Die Mittelpunkte dieser Kreise
liegen auf der Mittelsenkrechten
der Verbindungsstrecke der
beiden Punkte.
• Durch drei nicht auf einer Geraden liegenden
Punkte lässt sich stets genau ein Kreis
zeichnen.
•
Den Mittelpunkt findet man über die
Mittelsenkrechten der Verbindungsstrecken.
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Aufgabe zur Übung, Woche vom 14.12.-18.12. 2015
• Zeichnen Sie Sehnenvierecke. (Begründen Sie
für ein spezielles Viereck.)
• Zeichnen Sie Tangentenvierecke. (Begründen
Sie für ein spezielles Viereck.)
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